NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN BERULANG IRESA APRILIANI

Transkripsi

1 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN BERULANG IRESA APRILIANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 1

2 ABSTRAK IRESA APRILIANI. Nilai Eigen dan Vetor Eigen dari Matris Tridiagonal dengan Entri Diagonal Utama Tida Konstan dan Berulang. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS OED. Matris tridiagonal adalah suatu matris yang mempunyai entri-entri bernilai nol ecuali pada diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Entri pada diagonal utama tida onstan dan berulang. Setiap entri pada matris tridiagonal ini adalah bilangan omples. Dalam arya ilmiah ini, aan dibutian 3 teorema untu menentuan nilai eigen dengan asus dan 1 teorema untu menentuan vetor eigen. Teorema pertama menentuan polinomial arateristi dari matris tridiagonal. Polinomial arateristi dari matris tridiagonal tersebut digunaan untu menentuan nilai eigen pada teorema edua dan etiga serta menentuan vetor eigen pada teorema eempat.

3 ABSTRACT IRESA APRILIANI. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrix with Non Constant and Recurrent Diagonal Entries. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS OED. A tridiagonal matrix is a matrix which has zero elements except the elements at the main diagonal, the elements at the first diagonal below the main diagonal (subdiagonal) and the elements at the first diagonal above the main diagonal (superdiagonal). The diagonal entries are non constant and recurrent. Each entry in this tridiagonal matrix is a complex number. This manuscript will prove 3 theorems to determine eigenvalues with cases and a theorem to determine eigenvectors. The first theorem determines the characteristic polynomial of tridiagonal matrix. The characteristic polynomial of the tridiagonal matrix can be used to determine the eigenvalues in the second and third theorems. Furthermore, it can be used to determine the eigenvectors in the fourth theorem.

4 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN BERULANG IRESA APRILIANI Sripsi sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematia DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 1

5 Judul Sripsi : Nilai Eigen dan Vetor Eigen dari Matris Tridiagonal dengan Entri Diagonal Utama Tida Konstan dan Berulang Nama : Iresa Apriliani NIM : G54736 Menyetujui, Pembimbing I, Pembimbing II, Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. NIP Teduh Wulandari Mas oed, M.Si. NIP Mengetahui: Ketua Departemen Matematia, Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji dan syuur penulis panjatan epada Allah SWT atas segala rahmat dan arunia-nya serta shalawat dan salam epada Nabi Muhammad SAW sehingga arya ilmiah ini berhasil diselesaian. Penyusunan arya ilmiah ini juga tida lepas dari peranan berbagai piha. Untu itu penulis mengucapan terima asih yang sebesar-besarnya epada: 1. Keluargau tercinta: Bapa dan Mamah (terima asih atas doa, duungan, esabaran, epercayaan, dan asih sayangnya), adiu (terima asih atas doa, duungan, asih sayang, dan motivasinya), serta eluarga besar bai dari Bapa maupun dari Mamah (terima asih atas doanya).. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selau dosen pembimbing I (terima asih atas semua ilmu, esabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan sripsi ini). 3. Teduh Wulandari Mas oed, M.Si selau dosen pembimbing II (terima asih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 4. Dra. Farida Hanum, M.Si selau dosen penguji (terima asih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematia: Bu Anggi, Bu Ida, Pa Donny, Pa Hadi, Pa Wayan, Pa Prapto, dan lainnya (terima asih atas semua ilmu yang telah diberian). 6. Staf Departemen Matematia: Pa Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pa Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya (terima asih atas bantuan dan motivasinya). 7. Muhamad Yaub (terima asih atas doa, duungan, dan asih sayangnya) 8. Kaa-aa Matematia angatan 41, 4, dan 43: Ka Sima, Ka Vino, Ka Bange, Ka Kabil, Ka Ocoy, Ka Aini, Ka Putri, Ka Apri, Ka Agung, Ka Vera, Ka Mira, Ka Tami, Ka Destya, Ka Wira, Ka Cupit, Ka Ro fah, Ka Cici, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Adi, Ka Amin, Ka Cumi, Ka Sapto, Ka Chopi, dan lainnya (terima asih atas ilmu, bantuan, dan semuanya). 9. Teman-teman Matematia angatan 44: Ruhiyat, Wahyu, Ayum, Iam, Firi, Wenti, Ririh, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Ipul, Cita, Tanty, Arina, Deva, Yuyun, Lingga, Masay, Diana, Yogie, Lugina, Yanti, Selvie, Ucu, Pepi, Devi, Istiti, Sari, Anis, Aqil, Lilis, Imam, Aswin, Ea, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na im, Dhia, Ima, Dora, Ati, Nunuy, Yuli, Fani, Phunny, Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Sisa, Lili, Tita, Lina, Endro, Luman, Puying, Tendhy, Ihsan, Chopa, dan Zae (terima asih atas doa, semangat, duungan, bantuan, dan ebersamaannya). 1. Adi-adi Matematia angatan 45 (terima asih atas duungan dan bantuannya). 11. Teman-teman lainnya yang telah menduung selama ini, bai moril maupun materil. Semoga arya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan hususnya matematia dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Januari 1 Iresa Apriliani

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahiran di Jaarta pada tanggal 5 April 1989 dari pasangan Maulana dan Ipah. Penulis merupaan ana pertama dari dua bersaudara. Tahun 7 penulis lulus dari SMA Negeri 38 Jaarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Selesi Masu IPB ). Selama mengiuti peruliahan, penulis atif sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematia (GUMATIKA), divisi Sosialisasi Informasi dan Komuniasi (SOSINKOM) tahun 9. Selain itu, penulis juga atif dalam berbagai epanitian, diantaranya menjadi panitia pada Masa Perenalan Departemen (MPD) 9.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN Latar Belaang Tujuan... 1 II LANDASAN TEORI Matris Determinan dan Sifat-Sifatnya....3 Nilai Eigen dan Vetor Eigen....4 Ruang Vetor dan Kebebasan Linear....5 Bilangan Komples Trigonometri Pemetaan Matris Blo... 3 III PEMBAHASAN Matris Tridiagonal Nilai Eigen Vetor Eigen... 8 IV SIMPULAN DAN SARAN... 1 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 14

9 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Buti Teorema Lampiran. Buti Teorema... 1 Lampiran 3. Buti Teorema Lampiran 4. Buti Teorema ix

10 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang Matris adalah susunan segi empat siusiu dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamaan entri dalam matris. Matris tridiagonal adalah matris yang mempunyai entri yang bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Matris tridiagonal muncul di sebagian besar cabang ilmu seperti matematia terapan, matematia modern, teni, dan lain sebagainya. Kata eigen berasal dari bahasa Jerman yang berarti sebenarnya atau arateristi. Nilai eigen dapat dinamaan nilai sebenarnya atau nilai arateristi. Nilai eigen dan vetor eigen aan dicari dengan menggunaan polinomial arateristi, sehingga dalam arya ilmiah ini terlebih dahulu aan dibahas polinomial arateristi dari suatu matris tridiagonal dengan entri diagonal utama tida tetap. Karya ilmiah ini merupaan reonstrusi dari tulisan Said Kouachi (6) yang berjudul Eigenvalues and eigenvectors of some tridiagonal matrices with non constant diagonal entries. 1. Tujuan Tujuan dari arya ilmiah ini adalah: 1. Mencari nilai polinomial arateristi. Mencari nilai eigen dan vetor eigen dari matris tridiagonal yang entri diagonal utamanya tida onstan dan berulang dengan beberapa asus. 1.3 Sistematia Penulisan Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupaan pendahuluan yang berisi latar belaang dan tujuan penulisan. Bab edua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan onsep dari matris tridiagonal, nilai eigen dan vetor eigen. Bab etiga berupa pembahasan bagaimana mencari nilai eigen dan vetor eigen dengan beberapa asus. Bab terahir pada tulisan ini berisi esimpulan dari eseluruhan penulisan. II LANDASAN TEORI Pada bab ini aan dijelasan definisidefinisi tentang arya ilmiah ini..1 Matris Definisi 1 (Matris) Sebuah matris adalah susunan segi empat siu-siu dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamaan entri dalam matris. [Anton 1998] Definisi (Matris segi berorde n) Sebuah matris A dengan n baris dan n olom dinamaan matris segi berorde n, dan entrientri a 11, a,, a nn diataan berada pada diagonal utama dari A (lihat (.1)). A = a 11 a 1 a 1 a a 1n a n (.1) a n1 a n a nn [Anton 1998] Definisi 3 (Matris Tridiagonal) Suatu matris tridiagonal yang beruuran n n, dinotasian sebagai T n, adalah matris dengan entri-entri t ij = jia i j > 1 seperti T n = a b c a b c a b c a b c a (.) [Zhang 1999] Definisi 4 Entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matris tridiagonal disebut superdiagonal dan entri-entri tepat di bawah diagonal utama matris tridiagonal disebut subdiagonal. [Kouachi 6]

11 . Determinan dan Sifat-sifatnya Definisi 5 (Determinan) Misalan A adalah matris n n dan M ij menyataan matris n 1 n 1 yang diperoleh dari A dengan menghapus baris e-i dan olom e-j. Determinan dari suatu matris A berorde n n, dinotasian sebagai det(a), adalah suatu salar yang diasosiasian dengan matris A dan didefinisian secara indutif sebagai: det(a)= dengan a 11, jia n = 1 a 11 A 1 + a 1 A a 1n A 1n, jia n > 1 A 1j = (-1) 1+ j det (M 1j ), j = 1,, n adalah ofator-ofator yang diasosiasian dengan entri-entri dalam baris pertama dari A. [Leon 1] Teorema 1 Jia A adalah suatu matris segitiga atas atau segitiga bawah yang beruuran n n, maa determinan dari A sama dengan hasil ali elemen-elemen diagonal utama dari A. [Leon 1] Definisi 6 (Sifat-sifat Determinan) Operasi baris 1. Pertuaran dua baris (atau olom) dari suatu matris aan mengubah tanda dari determinan.. Mengalian satu baris atau olom dari suatu matris dengan suatu salar sama aibatnya dengan mengalian nilai dari determinan dengan salar tersebut. 3. Menjumlahan peralian dari suatu baris atau olom pada baris lain atau olom lain tida aan mengubah nilai dari determinan. [Leon 1] Teorema (Aturan Cramer) Misalan A adalah matris tasingular berorde n n dan misalan b R n. Misalan A i adalah matris yang diperoleh dengan mengganti olom e- i dari A dengan b. Jia x adalah penyelesaian tunggal dari Ax = b, maa x i = det (A i) untu i = 1,,, n. det A [Leon 1].3 Nilai Eigen dan Vetor Eigen Definisi 7 (Nilai Eigen, Vetor Eigen, Persamaan Karateristi dan Polinomial Karateristi) Misalan A adalah suatu matris n n. Salar λ disebut nilai eigen atau nilai arateristi dari A jia terdapat suatu vetor tanol x, sehingga Ax = λx. Vetor x disebut vetor eigen atau vetor arateristi yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat ditulisan dalam bentu A λi x =. (.3) Persamaan (.3) aan mempunyai penyelesaian tatrivial jia dan hanya jia A λi singular atau secara euivalen det A λi =. (.4) Jia determinan pada persamaan (.4) diuraian maa didapatan suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ p λ = det A λi Polinomial ini disebut polinomial arateristi dan persamaan (.4) disebut persamaan arateristi untu matris A. [Leon 1] Teorema 3 Misalan A adalah suatu matris berorde nxn. Himpunan dari setiap nilai eigen yang berbeda dari matris A adalah taosong dan mempunyai paling banya n nilai eigen yang berbeda. Buti: lihat [Lancaster & Tismenetsy 1985]. Definisi 8 Misalan A adalah suatu matris berorde nxn. Jia A mempunyai n nilai eigen yang berbeda maa matris A disebut sederhana. [Lancaster & Tismenetsy 1985]..4 Ruang Vetor dan Kebebasan Linear Definisi 9 (Ruang Vetor) Misalan V adalah himpunan di mana didefinisian operasi-operasi penjumlahan dan

12 3 peralian dengan salar. Dengan ini dapat diartian bahwa untu setiap pasang elemenelemen x dan y di dalam V, dapat diasosiasian dengan elemen x + y yang tunggal yang juga berada di V dan setiap salar α, dapat diasosiasian dengan elemen αx yang tunggal di dalam V. Himpunan V bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan peralian dengan salar diataan membentu suatu ruang vetor jia asioma-asioma beriut terpenuhi a. x + y = y + x untu setiap x dan y di V. b. (x + y) + z = x + (y + z) untu setiap x, y, z di V. c. Terdapat elemen di V sehingga x+ = x untu setiap x V. d. Untu setiap x V terdapat elemen x V sehingga x + ( x) =. e. α(x + y) = αx + αy untu setiap salar α dan setiap x dan y di V. f. (α + β) x = αx + βx untu setiap salar α dan β dan setiap x V. g. (αβ) x = α(βx) untu setiap salar α dan β dan setiap x V. h. 1.x = x untu setiap x V. [Leon 1] Definisi 1 (Bergantung Linear) Vetor-vetor v 1, v,, v n dalam ruang vetor V disebut bergantung linear jia terdapat salar-salar c 1, c,, c n yang tida semuanya nol sehingga c 1 v 1 + c v + + c n v n =. Definisi 11 (Bebas Linear) Vetor-vetor v 1, v,, v n dalam ruang vetor V disebut bebas linear jia c 1 v 1 + c v + + c n v n =. mengaibatan semua salar-salar c 1, c,, c n harus sama dengan. [Leon 1].5 Bilangan Komples Definisi 1 (Bilangan Komples) Bilangan omples adalah suatu pasangan terurut dari bilangan real yang dinyataan dengan (a, b) atau a + bi dengan i = 1. [Anton 1998].6 Trigonometri Definisi 13 (Kesamaan Trigonometri) Kesamaan trigonometri adalah hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri, yaitu 1. sin θ + cos θ = 1. sin ( θ) = 3. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y 4. sin (x y) = sin x cos y cos x sin y 5. cos (x y) = cos x cos y + sin x sin y 6. cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y 7. sin x = sin x cos x 8. cos x = cos x sin x 9. cos x = cos x 1 1. cos x = 1 sin x [Stewart 1].7 Pemetaan Definisi 14 Misalan A dan B adalah dua himpunan. Pemetaan f dari A e B biasa juga disebut bahwa f memetaan A e B (atau pemetaan A e B) dan ditulis f : A B. [Goldberg 1976] Definisi 15 (Pemetaan Identitas) Misalan A adalah suatu himpunan. Pemetaan A e A disebut pemetaan identitas, dinotasian I A, jia a anggota dari A maa I A (a) = a atau dapat ditulis I A : A A. [Kurtz 199].8 Matris Blo (Matris Terpartisi) Definisi 16 (Matris Blo) Misalan A, B, C dan D adalah suatu matris dengan A adalah matris berorde n dan D adalah matris berorde m. Matris M disebut A B matris blo jia M = C D. [Zhang 1999]

13 4 III PEMBAHASAN Dalam bab ini aan dibahas mengenai nilai eigen dan vetor eigen dari matris tridiagonal. 3.1 Matris Tridiagonal Misalan diberian matris tridiagonal dalam bentu sebagai beriut α + b 1 c 1 a 1 b c a A n = b 3 c n 1 a n 1 β + b n (3.1) dengan a j dan c j, j = 1,,, n 1 adalah bilangan omples, α dan β adalah bilangan omples. Misalan bahwa a j c j = d, j = 1,,, n 1 (3.) b j = b 1, jia j ganjil, j = 1,,, n 1 (3.3) b, jia j genap dengan d, b 1 dan b adalah bilangan omples dengan d. Jia ς adalah pemetaan dari himpunan bilangan bulat 1 sampai n-1 e dalam himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari n-1 maa matris A n menjadi A n σ α + b 1 a ς1 c ς1 b a ς c ς b 3 a ςn 1 c ςn 1 β + b n (3.4) dan n ς = A n σ λi n adalah polinomial arateristinya. Jia ς = i dengan i adalah pemetaan identitas, maa A n (i) dan n i dinotasian berturut-turut dengan A n dan n. Contoh Misalan diberian a 1 = 6 a 7 = 4 a = a 1 = 1 a 3 = 9 a 17 = 3i dan a 4 = 5 i 11 a = 4 i 5 a 5 = i a 7 = 6 c 1 = 6 c 7 = 9 c = 18 c 1 = 36 c 3 = 4 c 17 = 1i c 4 = 5 + i 11 c = 4 + i 5 c 5 = 18i c 7 = 6 dengan a j c j = 36, j = 1,,, 5 5, jia j ganjil b j = 3, jia j genap α = 4 3 β = 3 3 Dapat dibentu matris tridiagonal: A 6 = i i 11 5 i 18i Jia ada pemetaan : ς: Maa a ς1 = a 7 = 4 a ς = a 1 = 1 a ς3 = a 17 = 3i a ς4 = a = 4 i 5 a ς5 = a 7 = 6 c ς1 = c 7 = 9 c ς = c 1 = 36

14 5 c ς3 = c 17 = 1i c ς4 = c = 4 + i 5 c ς5 = c 7 = 6 Dan matris tridiagonal A 6 menjadi A 6 (ς) = i 1i 3 4 i i Selanjutnya aan dibahas nilai eigen dari matris tridiagonal untu α = β = dan αβ = d. Nilai Eigen Dalam asus α = β =, matris A n σ dan polinomial arateristinya n ς dinotasian berturut-turut A n σ dan n ς sedangan dalam asus α dan β matris dan polinomial arateristinya dinotasian dengan A n dan n. Untu mencari nilai eigen dari matris tridiagonal digunaan persamaan beriut yang telah diberian di [Kouachi, in press], yaitu Y = 4d cos θ (3.5) dengan = b 1 λ dan Y = b λ (3.6) Oleh arena itu, aan dibahas mengenai polinomial arateristi untu α = β = pada Teorema 1. Teorema 1 Jia α = β = maa nilai eigen dari matris A n σ tida bergantung pada (a i, c i, i = 1,, n 1) dan pemetaan ς memperlihatan ondisi (3.) dan (3.3) terpenuhi dengan polinomial arateristinya Jia n = m + 1 maa Jia n = m n = d m sin m + θ sin m + 1 θ m n = d (Buti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian C) Jia α dan β maa nilai n menjadi n = n α Y a c a 3 c 3 a n 1 c n 1 β a 1 c 1 Y a c a n c n Y + αβ Y a c a 3 c 3 a n c n Y (3.9) (Buti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian A) Semua entri subdiagonal dan superdiagonal memenuhi ondisi (3.) dan (3.3) maa polinomial arateristi jia α dan β dan diperoleh. Jia n = m + 1 n = d m [ (α + β)] sin m + θ + αβ d Y α + β sin mθ (3.1)

15 6 dan jia n = m n = d m d sin m + θ αy + β αβ d sin mθ + αβ sin m θ 3.11 (Buti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian B) Untu n = m, jia αβ = d polinomial arateristinya menjadi n = d m (Buti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian D) Dari persamaan (3.11) dapat diperoleh Proposisi 1 yaitu dimana nilai eigen dari matris tridiagonal lain yaitu matris tridiagonal dengan menuar bilangan α, β, b 1 dan b. Proposisi 1 Misalan B n σ adalah suatu matris tridiagonal yang diperoleh dari matris tridiagonal A n σ pada (3.4) dengan menuar bilangan α dengan β, β dengan α, b 1 dengan b, dan b dengan b 1. Jia uuran suatu matris tridiagonal adalah n yang bernilai genap maa nilai eigen Y αy β sin mθ (3.1) dari matris tridiagonal B n σ sama dengan nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ. Buti: Aan dibutian nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ dan B n σ sama. Untu membutian bahwa nilai eigen edua matris tridiagonal tersebut sama, cuup membutian polinomial arateristi edua matris tridiagonal tersebut sama arena nilai eigen bergantung pada polinomial arateristinya. Telah didapatan polinomial arateristi untu n genap sebagai beriut. Untu n genap Diberian matris A n σ = α + b 1 a ς1 c ς1 b a ς c ς b 1 c ςn 1 a ςn 1 β + b Maa matris Untu A n σ B n σ = β + b a ς1 c ς1 b 1 a ς c ς b c ςn 1 a ςn 1 α + b 1 n = d m d sin m + θ αy + β αβ d sin mθ + αβ sin m θ

16 7 Sedangan untu B n σ (A n σ ) = b 1 λ = b λ = Y (B n σ ) Y (A n σ ) = b λ = b 1 λ = (B n σ ) n = d m d sin m + θ β + αy βα d sin mθ + βα sin m θ = d m d sin m + θ αy + β αβ d sin mθ + αβ sin m θ Karena polinomial arateristi dari matris tridiagonal A n σ dan B n σ sama, maa nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ dan B n σ sama. Selanjutnya aan dicari nilai eigen dari matris tridiagonal dengan α = β =. Teorema Jia α = β = dan ondisi (3.) dan (3.3) terpenuhi maa nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ adalah beriut ini. λ = dengan jia n ganjil b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m + 1,, m b 1, = n θ = π m +, = 1,, m ( m)π m +, = m + 1,, m (3.13) dan jia n genap θ = π m + 1, ( m)π m + 1 = 1,, m, = m + 1,, m (Buti dapat dilihat di Lampiran ) Setelah dalam Teorema dibahas tentang nilai eigen dari matris tridiagonal dengan α = β =. Selanjutnya aan dicari nilai eigen dari matris tridiagonal untu n genap dan αβ = d. Teorema 3 Jia n genap dan αβ = d dan ondisi (3.) dan (3.3) terpenuhi, maa nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ adalah sebagai beriut.

17 8 λ = b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m 1 b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m,, m b 1 + b α β (b 1 b ) + (α + β) b 1 b (α β), = n 1 b 1 + b α β + (b 1 b ) + (α + β) b 1 b (α β), = n (3.14) π, = 1,, m 1 θ = m ( m + 1)π, = m,, m m (Buti dapat dilihat di Lampiran 3) Dari Teorema 1, dan 3 maa menghasilan adanya Aibat 1 yaitu Aibat 1 Setiap entri dalam subdiagonal dan superdiagonal dari matris tridiagonal A n dan A n σ memenuhi ondisi (3.) dan (3.3). λ, = 1,, n, dinotasian dengan (), j = 1,, n adalah solusi dari persamaan linear α + ξ 1 u 1 + c ς1 u () = a ς1 u 1 + ξ () u () + c ς u () 3 = a ςn 1 u n 1 + β + ξ n u n = (3.15) Vetor Eigen Selanjutnya aan dibahas vetor eigen dari matris tridiagonal A n σ. Misalan omponen dari vetor eigen u ς, = 1,, n yang berhubungan dengan nilai eigen dengan ξ i () = Y i () = b i λ = b 1 λ, i ganjil b λ, i genap i = 1,,, n 1, = 1,,, n (3.16) memenuhi persamaan (3.5) dan θ, =1,, n adalah solusi dari persamaan beriut ini. Jia n = m + 1 ξ 1 α + β sin m + θ + [ αβ ξ d (α + β)] sin mθ = (3.17) dan jia n = m d sin m + θ αξ + βξ 1 αβ d sin mθ + αβ sin m θ = (3.18) Karena persamaan (3.15) adalah bergantung linear maa dengan mengeliminasi persamaan pertama atau baris pertama diperoleh a ς1 u 1 + ξ () u () + c ς u 3 () = a ς u + ξ () 3 u () 3 + c ς3 u () 4 = a ςn 1 u n 1 + β + ξ n u n = Sistem persamaan linear di atas ditulisan dalam bentu matris beriut ini.

18 9 ξ () a ς c ς ξ 3 () a ςn 1 Vetor eigen (), j, = 1,, n, pada sistem persamaan (3.1) dapat dicari dengan Aturan Cramer, yaitu c ςn 1 ( β + ξ n () ) dengan u () u 3 () u n () = α ς1 u 1 () ς = Γ j (σ), j, = 1,, n () n 1 (3.19) (3.) Γ j ς = ξ () c ς a ς ξ 3 () a ςj Unt =,, n, = 1,, n Persamaan Δ n () pada (3.1) ditentuan dari persamaan (3.1) dan (3.11) dengan α = () α ς1 u 1 c ςj () ξ j 1 a ςj 1 c ςj () ξ j +1 a ςj +1 a ςj 1 Kolom e j-1 c ςn β + ξ n () dan n diganti dengan n 1 sehingga diperoleh persamaan beriut ini. Jia n = m + 1 () n 1 = d m d sin m + θ βξ d sin mθ sin mθ (3.1) dan jia n = m Untu setiap = 1,, n () n 1 = d m ξ β sin mθ βsin (m )θ sin mθ (3.) (Buti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian A) Pertuaran olom e- j dengan olom e- j 1 dari Γ j ς, menghasilan ς = 1 Λ j j ς n 1, j =,, n (3.3) dengan Λ j ς adalah determinan dari matris blo beriut ini. C j ς = T j 1(ς) S n j (ς), dengan () () α ς1 u 1 ξ c ς α ς T j 1 ς = c ςj () ξ j 1 α ςj 1 adalah matris dengan order j 1 dengan diagonal ( α ς1 u 1, α ς,, α ςj 1 ) dan

19 1 S n j = ς () ξ j +1 α ςj +1 c ςj +1 α ςn 1 c ςn 1 ) ( β + ξ j +1 adalah matris tridiagonal dengan order n j yang memenuhi ondisi (3.) dan (3.3) arena T j 1 (ς) memilii invers maa C j ς = T j 1 ς S n j ς = α ς1 α ςj 1 u () () 1 n j (3.4) Untu setiap j =,, n, = 1,, n, dengan () diberian oleh persamaan (3.1) dan n j (3.11) untu α = dan mengganti n dengan n j sehingga diperoleh persamaan beriut ini. Jia n ganjil () n j = dan jia n genap d n j d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ, jia j ganjil d n j 1 ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j genap (3.5) () n j = d n j 1 ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j ganjil d n j d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ Untu setiap j =,, n, = 1,, n (Buti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian B) Dengan menyubstitusi persamaan (3.4) dengan (3.5) didapatan () ς = ( 1) j α ς1 α ςj 1 u 1 () n j () n 1, jia j genap (3.6) = ( 1) j 1 () α ς1 α ςj u () n j 1 () n 1 (3.7) j =,, n dan = 1,, n Dengan menyubstitusi persamaan (3.), (3.3), (3.6) dan (3.7) dengan persamaan (3.8) didapatan persamaan beriut. Jia n ganjil () ς = μ j ς u 1 dan jia n genap () ς = μ j ς u 1 dengan d 1 j d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ, jia j ganjil d j ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j genap d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ (3.8) d 1 j ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j ganjil ξ β sin nθ βsin(n )θ d j d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ ξ β sin nθ βsin(n )θ, jia j genap (3.9) μ j ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1

20 11 Untu setiap j =,, n, = 1,, n (Buti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian C) Maa dapat diperoleh vetor eigen untu matris tridiagonal A n σ dalam teorema beriut ini. Teorema 4 Vetor eigen u ς, = 1,, n dari matris tridiagonal A n σ yaitu Dipilih dan maa, u () 1 = ( d) n 1 d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ, jia j ganjil ξ β sin nθ β sin n θ, jia j genap ρ j ς = ( d) n j α ς1 α ςj 1, j =,, n (3.3) Jia n ganjil ς = ρ j ς d sin n j + θ βξ d sin n j θ, jia j ganjil ξ 1 β d sin n j + 1 θ βd sin n j 1 θ, jia j genap (3.31) Jia n genap ς = ρ j ς dengan ξ β sin n j + 1 θ β sin n j 1 θ, jia j ganjil d sin n j + θ βξ 1 d d sin n j θ, jia j genap ρ j ς, j =,, n dan θ, ξ 1 dan ξ, = 1,,., n dari persamaan (3.5), (3.17) dan (3.18) (3.3) (Buti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian D) Contoh A 6 ς = i 1i 3 4 i i Nilai eigen yang diperoleh dari matris di atas dengan menggunaan persamaan (3.14) adalah λ 1 = π cos 6 = 4 19 λ = π cos 3 = 4 37 λ 3 = π cos 6 = λ 4 = π cos 3 = λ 5 = (5 3) + ( ) 5 3 ( )

21 1 = λ 6 = = = (5 3) + ( ) 5 3 ( ) = Untu λ 1 = 4 19 vetor eigennya 1 u 1 ς = = = 3499 u 1 ς = sin π = 43( ) sin π 3 u 3 1 ς = sin π sin π 3 = u 4 ς = 6 3i 6 sin π 3 = 3 3i sin π 3 u 5 1 ς = ( 6) 4 i sin π sin = 3 4 i u 6 1 ς = sin π 3 = sin Jadi vetor eigen untu λ 1 yaitu ( ) i i IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Berdasaran pembahasan yang telah diuraian sebelumnya, diperoleh beberapa esimpulan sebagai beriut: 1. Matris tridiagonal yang beruuran ganjil dan genap mempunyai rumusan polinomial arateristi yang berbeda sehingga nilai eigen dan vetor eigen mempunyai rumusan yang berbeda juga.. Jia n genap maa nilai eigen dari matris tridiagonal B n σ, yaitu matris tridiagonal yang diperoleh dari matris tridiagonal A n σ dengan menuar bilangan α dengan β, β dengan α, b 1 dengan b, dan b dengan b 1 sama dengan nilai eigen dari matris tridiagonal A n σ. 4. Saran Bagi yang berminat dapat membahas nilai eigen dan vetor eigen dari matris tridiagonal dengan entri diagonal utama tida berulang untu arya ilmiahnya.

22 13 DAFTAR PUSTAKA Anton H Aljabar Linear Elementer. Ed e-5. Silaban P, Susila IN, penerjemah; Jaarta: Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra. Goldberg RR Methods of Real Analysis. Ed e-. New Yor: John Wiley & Sons, Inc. Kouachi S. 6. Eigenvalues and Eigenvectors of some tridiagonal matrices with non constant diagonal entries. ELA, In press. Kurtz DC, Luhrs M, Wallis R, editor Foundations of Abstract Mathematics. New Yor: McGraw-Hill, Inc. Lancaster P, Tismenetsy M The Theory of Matrices with Applications. Ed e-. San Diego: Academic Press, Inc Leon SJ. 1. Aljabar Linear dan Apliasinya. Ed e-5. Bondan A, penerjemah. Jaarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Stewart J. 1. Kalulus. Ed e-4, jilid 1. Gunawan H & Susila IN, penerjemah. Jaarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus. Zhang F Matrix Theory: Basic Result and Techniques. New Yor: Springer Verlag.

23 LAMPIRAN 14

24 15 Lampiran 1 Buti Teorema 1 A. Buti persamaan (3.9) 1 = A 1 ς λi 1 = ( α + b 1 ) λ(1) = ( α + b 1 λ) = ( α) + (b 1 λ) = α Jia 1 adalah polinomial arateristi dengan α = β =, maa 1 = 1 α = A ς λi = α + b 1 c 1 a 1 β + b λ λ = α c 1 a 1 Y β = α Y β a 1 c 1 = Y β αy + αβ d = Y d αy β + αβ Jia adalah polinomial arateristi dengan α = β =, maa = α Y β + αβ 3 = A 3 ς λi 3 α + b 1 c 1 = a 1 b c a β + b 1 α c 1 = a 1 Y c a β λ λ λ = α Y c a β c a 1 c 1 β = α Y β d c 1 (a 1 β ) = α Y β α d d β = Y Y 1 α β + αβ d + d α d + d β = Y α Y β Y + αβy d d α d + d β = Y d Y α + β d α + β + αβy = Y d α Y d β Y d + αβy Jia 3 adalah polinomial arateristi dengan α = β =, maa 3 = 3 α c a Y β c 1 a 1 Y + αβ Y 4 = A ς λi 4 4 α + b 1 c 1 = a 1 b c a b 1 c 3 3 a β + b α c 1 = a 1 Y c a c 3 a 3 Y β λ λ λ λ

25 16 = ( α) Y c a c 3 a 3 Y β c 1 a 1 c c 3 a 3 Y β = ( α) Y Y β d c a Y β c 1 [a 1 Y β d ] = ( α) Y Y β d d Y β d [ Y β d ] = ( α) Y β Y d Y d Y + d β d [ Y β d ] = Y 1 Y βy 1 Y d Y d Y + d β α Y + αβ Y + d αy + d αy d αβ d Y + d β + (d ) = Y 1 Y 3d Y + (d ) α Y d Y β Y 1 Y d + αβ( Y d ) Jia 4 adalah polinomial arateristi dengan α = β =, maa Y c c 1 4 = 4 α a c 3 β a 1 Y c + αβ Y c a a 3 Y a Y 1 5 = A 5 ς λi 5 α + b 1 c 1 a 1 b = a c b 3 a 3 c 3 b 4 a 4 c 4 β + b λ λ λ λ λ = α a 1 = α c 1 Y a Y a = α c c a 3 c a 3 c 3 Y a 4 β c 3 Y a 4 c 3 Y a 4 c 4 β c 4 β c 3 a 3 Y c 4 a 4 β c 1 c a 1 c a 3 c 3 Y a 4 a c 3 Y c 4 a 4 β c 4 β c 1 a 1 c 3 a 3 Y c 4 a 4 β = α Y ( Y β d ) c (a 3 β ) c a (Y β d ) c 1 [a 1 Y β d c 3 a 3 β ] = α Y Y βy d d β d Y βy d c 1 [a 1 [ Y βy d d β ]] = α Y β Y d Y d Y + d Y β d Y + d Y β d d [ 3 Y β Y d d d β] = 3 Y β Y d Y d Y + d β d Y + d β Y + d α Y + αβ Y + d αy d αβy + d α Y d αβy d α d Y + d β Y + d + d d β = 3 Y 3d Y + d + d α Y d Y d Y + d β Y d d Y + d + αβ Y d Y d Jia 5 adalah polinomial arateristi dengan α = β =, maa Y c c 1 5 = a 5 α c 3 Y a 3 Y c 4 β c a c 3 + αβ a 4 a 3 Y a 1 Y c a c 3 a 3 Y

26 17 Jadi, didapatan bentu umum Jia α dan β n = n α Y a c a 3 c 3 a n 1 c n 1 β a 1 c 1 Y a c a n c n Y + αβ Y a c a 3 c 3 a n c n Y (3.9) B. Buti persamaan (3.1) dan (3.11) Jia n = m + 1 ganjil n = n α Y a c a 3 c 3 a n 1 c n 1 α a 1 a 1 β c 1 Y a c 1 Y a c c a n a n c n Y β c n Y + αβ Y a c a 3 c 3 a n c n Y n = d m sin(m + )θ sin m + 1 θ m α + β d + αβd m Y sin mθ sin m + θ α + β cos θ sin m + 1 θ + αβ = d m d Y sin mθ cos θ sin m + θ α + β sin mθ + θ + θ + sin(mθ + θ θ) + αβ = d m d Y sin mθ sin m + θ α + β sin m + θ + sin mθ + αβ = d m d Y sin mθ = d m α + β sin m + θ + αβ d Y α + β sin mθ Jia n = m genap n = n α Y a c a 3 c 3 a n 1 α a 1 c n 1 c 1 Y a β a 1 c c 1 Y a a n c c n Y β a n c n Y + αβ Y a c a 3 c 3 a n c n Y sin(m + 1)θ m n = d sin(m 1)θ m +αβd αd m Y sin mθ βd m sin mθ = d m d sin m + 1 θ cos θ αy + β sin mθ + αβ sin(m 1)θ cos θ cos θ = d m d sin m + 1 θ cos θ αy + β sin mθ + αβ sin(m 1)θ cos θ = d m d [sin m + θ + sin mθ] αy + β sin mθ + αβ[sin mθ + sin(m )θ

27 18 = d m d sin m + θ αy + β αβ d sin mθ + αβ sin(m )θ Jadi persamaan (3.1) dan (3.11) terbuti C. Buti persamaan (3.1) Jia αβ = d untu n genap n = d m d sin m + θ αy + β d d sin mθ + d sin(m )θ = d m d [sin m + θ + sin(m )θ] αy + β d sin mθ = d m d [sin mθ cos θ] αy + β d sin mθ = d m d sin mθ cos θ αy + β d sin mθ = d m [d cos θ αy β + d ] sin mθ = d m [d (cos θ 1) αy β + d ] sin mθ = d m [4d cos θ d αy β + d ] sin mθ = d m Y αy β sin mθ Jadi persamaan (3.1) terbuti C. Buti persamaan (3.7) dan (3.8) Sebelumnya aan dionstrusi embali persamaan (3.7) dan (3.8) yang beraitan dengan n 1 dan n, diperoleh Jia n = m + 1 ganjil sin m + 1 θ m n 1 = d n = d m sin mθ n = d m sin m + θ sin m + θ sin mθ m m = d + Y 1 d Y sin mθ m 1d d sin m + θ + sin mθ m = d Y 1 d m d sin mθ sin m + 1 θ m = d = n 1 d n d sin mθ m d Serta diperoleh juga persamaan dengan menggunaan persamaan (L1.1), yaitu m +1 = m d m 1 Jia n = m genap sin mθ n 1 = d m (L1.1)

28 19 sin(m 1)θ m n = d sin m + 1 θ m n = d sin m + 1 θ m = d sin m + 1 θ + sin(m 1)θ m = d sin mθ cos θ m = d cos θ = d m 4 sin mθ cos θ Y = d m d sin mθ sin(m 1)θ sin(m 1)θ m m + d d d sin(m 1)θ m d d d m d sin(m 1)θ d sin(m 1)θ m d d sin m 1 θ m d = d m sin mθ Y = Y d m sin mθ = Y n 1 d n Sehingga diperoleh, m = Y m 1 d m Jadi didapatan m + d sin m 1 θ m d d sin m 1 θ m d = Y m +1 d m = Y m d m 1 d m = Y m Y d m 1 d m = Y d m Y d m + d m = Y d m d m d 4 m = Y d m d 4 m 1. Aan dibutian persamaan (3.8) dengan indusi matematia. Buti: Untu n =, m = = Y d Persamaan terpenuhi Untu n = 4, m = 1 4 = Y 1 Y 3d Y + (d ) Persamaan terpenuhi Anggap benar untu setiap integer < m + genap Aan dibutian integer n = m + benar Buti: Dengan menggunaan persamaan (3.5) dengan (L1.) maa m + = 4d cos θ d m d 4 m Karena m dan m dianggap benar, maa m + = 4d cos θ d m d 4 m = 4d cos θ d sin m + 1 θ m d d 4 sin m 1 θ m d Y (L1.)

29 Jadi, sin m + 1 θ sin m + 1 θ sin m 1 θ = 4d m + cos m + m + θ d d = d m + (4 cos θ ) sin m + 1 θ sin m 1 θ cos θ sin m + 1 θ sin m 1 θ m + = d sin m + 1 θ cos θ sin m 1 θ m + = d sin m + 3 θ + sin m 1 θ sin m 1 θ m + = d sin m + 3 θ m + = d sin m + 1 θ m m = d Persamaan (3.8) terbuti. Jia n = m + 1 ganjil Dengan persamaan (L1.) untu n = m + didapatan m +1 = m + + d m Y Dengan menggunaan persamaan (3.8) untu n = m dan n = m +, didapatan = dm + sin m + 3 θ m +1 + d d m sin m + 1 θ Y sin m + 3 θ + sin m + 1 θ m + = d Y mθ + 3θ + (mθ + θ) sin m + = d cos Y 4mθ + 4θ sin cos θ m + = d Y sin(mθ + θ) cos θ m + = d Y sin(m + )θ cos θ m + = d Y sin(m + )θ cos θ = d m + 4d cos θ = d m sin(m + )θ cos θ cos θ = d m sin(m + )θ cos θ = d m sin(m + )θ Sehingga persamaannya menjadi m +1 = d m sin (m +)θ Jadi persamaan (3.7) terbuti. mθ + 3θ (mθ + θ)

30 1 Lampiran Buti Teorema Aan dibutian persamaan (3.13) Untu α = β = dan ondisi (3.) dan (3.3) terpenuhi, sehingga dengan λ = λ dan θ = θ, persamaan (3.5) menjadi Y = 4d cos θ (b 1 λ ) b λ = 4d cos θ b 1 b b 1 λ b λ + λ = 4d cos θ λ b 1 + b λ + b 1 b 4d cos θ = λ = b 1 + b ± b 1 + b 4b 1 b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 + b 4b 1 b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 + b 1 b + b 4b 1 b + 16d cos θ Jadi, = b 1 + b ± b 1 b 1 b + b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 b + 16d cos θ λ = b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m + 1,, m Selanjutnya aan dicari untu = n = m + 1 Dari persamaan (3.1) dan hipotesis α = β = diperoleh d m sin m + θ maa = atau sin m + θ =. Jia = maa sin m + θ, sehingga = b 1 λ = λ = b 1 Jadi, =, arena d m, λ = b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m + 1,, m b 1, = n Selanjutnya aan dicari θ Jia n ganjil Dari persamaan (3.1) dan α = β = diperoleh sin m + θ = maa, sehingga

31 sin m + θ = sin(m + ) θ = sin m + θ = + π, π θ = (m + ), Jia = m + 1,,m ( m)π θ = (m + ), Jadi = 1,, m = 1,, m = m + 1,,m θ = π m +, ( m)π m + = 1,, m, = m + 1,, m Jia n genap Dari persamaan (3.11) dan α = β = diperoleh sin m + 1 θ = sehingga sin m + 1 θ = sin m + 1 θ = sin m + 1 θ = + π, = 1,, m π θ = (m + 1), Jia = m + 1,,m ( m)π θ = (m + 1), Jadi = 1,, m = m + 1,,m θ = π m + 1, = 1,, m ( m)π m + 1, = m + 1,, m

32 3 Lampiran 3 Buti Teorema 3 Aan dibutian persamaan (3.14) dengan dengan λ = λ dan θ = θ, persamaan (3.5) menjadi Y = 4d cos θ (b 1 λ ) b λ = 4d cos θ b 1 b b 1 λ b λ + λ = 4d cos θ λ b 1 + b λ + b 1 b 4d cos θ = λ = b 1 + b ± b 1 + b 4b 1 b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 + b 4b 1 b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 + b 1 b + b 4b 1 b + 16d cos θ Jadi, = b 1 + b ± b 1 b 1 b + b + 16d cos θ = b 1 + b ± b 1 b + 16d cos θ λ = b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m 1 b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m,, m Selanjutnya aan dicari = n 1 dan = n Dari persamaan (3.1) dan persamaan (3.6) berlau, maa persamaan (3.1) menjadi m n = d (b 1 λ ) b λ α b λ β(b 1 λ ) sin mθ = d m b 1b b 1 λ b λ + λ αb + αλ βb 1 + βλ sin mθ = d m [λ b 1 + b α β λ (αb + βb 1 b 1 b )] sin mθ Dari persamaan di atas diperoleh λ b 1 + b α β λ αb + βb 1 b 1 b = atau sin mθ =, maa Jia λ b 1 + b α β λ αb + βb 1 b 1 b = maa sin mθ sehingga λ b 1 + b α β λ αb + βb 1 b 1 b = λ = b 1 + b α β ± ( b 1 + b α β ) 4( αb + βb 1 b 1 b ) = b 1 + b α β ± b 1 + b α β + 4αb + 4βb 1 4b 1 b = b 1 + b α β ± b 1 + b + (α + β) b 1 + b α + β + 4αb + 4βb 1 4b 1 b = b 1 + b α β ± b 1 + b + (α + β) b 1 b α β 4b 1 b

33 4 = b 1 + b α β ± b 1 b + (α + β) b 1 b α β Jadi, λ = b 1 + b α β b 1 b + (α + β) b 1 b α β b 1 + b α β + b 1 b + (α + β) b 1 b α β, = n 1, = n Sehingga nilai eigen jia αβ = d dan untu n genap yaitu λ = b 1 + b (b 1 b ) + 16d cos θ, = 1,, m 1 b 1 + b + (b 1 b ) + 16d cos θ, = m,, m b 1 + b α β (b 1 b ) + (α + β) b 1 b (α β), = n 1 b 1 + b α β + (b 1 b ) + (α + β) b 1 b (α β), = n Selanjutnya aan dicari θ Jiasin mθ = maa λ b 1 + b α β λ αb + βb 1 b 1 b maa sehingga sin mθ = sin mθ = sin mθ = + π, = 1,, m 1 θ = π, = 1,, m 1 m Jia = m,,m ( m + 1)π θ =, = m,,m m Jadi, θ = π, m = 1,, m 1 ( m + 1)π, m = m,, m

34 5 Lampiran 4 Buti Teorema 4 A. Buti persamaan (3.1) dan (3.) Dari persamaan (3.1) dan (3.11) dengan θ = θ dan Y i = ξ i () untu = 1,, n Jia n = m + 1 ganjil n = m + 1 n 1 = m () n 1 = d m d sin m + θ αξ () 1 + βξ () αβ d sin mθ + αβ sin(m )θ α = () n 1 = d m d sin m + θ βξ () d sin mθ Jia n = m genap n = m n 1 = m 1 n 1 = (m + 1) [ξ () () (α + β)] sin m + θ + αβ n 1 = d m d ξ () 1 α + β sin(m )θ [ξ () (α + β)] sin mθ + αβ = d m d ξ () 1 α + β sin(m )θ α = () n 1 = d m (ξ () β) sin mθ β sin(m )θ B. Buti persamaan (3.5) dan (3.6) () n j Dari persamaan (3.17) dan (3.18) dan mengganti n dengan n j diperoleh Jia n = m + 1 ganjil Jia j ganjil = d n j d sin n j + θ αξ 1 () + βξ () αβ d sin(n j)θ + αβ sin(n j )θ α = () n j = d n j d sin n j + θ βξ () d sin(n j)θ Jia j genap [ξ () () 1 (α + β)] sin n j 1 + θ + αβ = d n j 1 d ξ () α + β sin(n j 1)θ α = () n j = d n j 1 [ξ () 1 β] sin n j + 1 θ β sin(n j 1)θ n j

35 6 Jadi () n j = d n j d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ, jia j ganjil d n j 1 ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j genap Jia n = m genap Jia j ganjil [ξ () () (α + β)] sin n j 1 + θ + αβ = d n j 1 d ξ () 1 α + β sin(n j 1)θ α = () n j = d n j 1 [ξ () β] sin n j + 1 θ β sin(n j 1)θ Jia j genap n j () n j = d n j d sin n j + θ αξ () + βξ 1 () αβ d sin(n j)θ + αβ sin(n j )θ α = () n j = d n j d sin n j + θ βξ () 1 d sin(n j)θ Jadi () n j = d n j 1 ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j ganjil d n j d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ, jia j genap C. Buti persamaan (3.8) dan (3.9) Dengan menyubstitusi persamaan (3.), (3.3), (3.6) dan (3.7) dengan persamaan (3.8) maa Jia n ganjil Jia j ganjil ς = Jia j genap ς = d n j d sin n j + θ βξ () d sin(n j)θ d n 3 d sin n + 1 θ βξ () d sin(n 1)θ = d 1 j d sin n j + θ βξ () d sin(n j)θ d sin n + 1 θ βξ () d sin(n 1)θ d n j 1 ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ d n 3 d sin n + 1 θ βξ () d sin(n 1)θ = d j ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ d sin n + 1 θ βξ () d sin(n 1)θ

36 7 Jadi ς = μ j ς u 1 () Jia n genap Jia j ganjil d 1 j d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ, jia j ganjil d j ξ 1 β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j genap d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ d n j 1 [ξ () β] sin n j + 1 θ β sin(n j 1)θ ς = d n [ξ () β] sin nθ β sin(n )θ = d 1 j [ξ () β] sin n j + 1 θ β sin(n j 1)θ [ξ () β] sin nθ β sin(n )θ Jia j genap d n j d sin n j + θ βξ () 1 d sin(n j)θ ς = d [ξ () n β] sin nθ β sin(n )θ Jadi = d j d sin n j + θ βξ 1 () d sin(n j)θ [ξ () β] sin nθ β sin(n )θ ς = μ j ς u 1 () d 1 j ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ, jia j ganjil ξ β sin nθ βsin(n )θ d j d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ ξ β sin nθ βsin(n )θ, jia j genap D. Buti persamaan (3.31) dan (3.3) Dari persamaan (3.3) disubstitusi e persamaan (3.8) dan (3.9) dengan dengan μ j ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1 dan ρ j ς = ( d) n j α ς1 α ςj 1, j =,, n dan = 1,, n maa diperoleh Jia n ganjil Jia j ganjil ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1 ( d) n 1 d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ Jia j genap d 1 j d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ = ( d) n j α ς1 α ςj 1 d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ = ρ j ς d sin n j + θ βξ d sin(n j)θ ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1 ( d) n 1 d sin n + 1 θ βξ d sin(n 1)θ d j ξ 1 β sin n j + 1 θ β sin n j 1 θ d sin n + 1 θ βξ d sin n 1 θ = ( d) n+1 j α ς1 α ςj 1 ξ 1 β sin n j + 1 θ β sin n j 1 θ = ( d) n j α ς1 α ςj 1 ξ 1 β d sin n j + 1 θ βd sin n j 1 θ

37 8 Jadi ς = ρ j ς Jia n ganjil Jia j ganjil = ρ j ς ξ 1 β d sin n j + 1 θ βd sin n j 1 θ d sin n j + θ βξ d sin n j θ, jia j ganjil ξ 1 β d sin n j + 1 θ βd sin n j 1 θ, jia j genap ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1 ( d) n 1 ξ β sin nθ β sin n θ Jia j genap Jadi d 1 j ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ ξ β sin nθ βsin(n )θ = ( d) n j α ς1 α ςj 1 ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ = ρ j ς ξ β sin(n j + 1)θ βsin(n j 1)θ ς = ( 1) 1 j α ς1 α ςj 1 ( d) n 1 ξ β sin nθ β sin n θ ς = ρ j ς d j d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ ξ β sin nθ βsin(n )θ = ( d) n 1 j α ς1 α ςj 1 d sin n j + θ βξ 1 d sin(n j)θ = ( d) n j α ς1 α ςj 1 d sin n j + θ βξ 1 d = ρ j ς d sin n j + θ βξ 1 d d sin n j θ d sin n j θ ξ β sin n j + 1 θ β sin n j 1 θ, jia j ganjil d sin n j + θ βξ 1 d d sin n j θ, jia j genap