BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini disampaian beberapa pengertian dasar yang diperluan pada bab selanutnya. Selain definisi, diberian pula lemma dan teorema dengan atau tanpa buti. Untu beberapa teorema yang tida disertai buti dapat dilihat pada referensi terait. Beberapa contoh diberian untu memperelas pengertian atau teorema. Uraian tentang pengertian dasar ini disaian secara ringas sesuai dengan tuuan dari penulisan. 2.. Ruang Barisan Definisi 2... Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisian pada himpunan N,, 2,. Dengan ata lain, barisan bilangan real adalah fungsi x : N R dengan aturan x() x untu setiap N. Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x (x ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan bilangan real, maa untu selanutnya barisan bilangan real disebut barisan saa. Contoh (i) Barisan x (x ) dengan x ( ) adalah barisan,,, ( ),. (ii) Barisan e (e ) dengan e untu setiap N disebut barisan onstan dengan onstanta. ( ) (iii) Barisan e [n] e [n] dengan e [n] untu n, dan e [n] untu n. Definisi Barisan x (x ) diataan onvergen e suatu bilangan real a, ia untu setiap ɛ > terdapat K(ɛ) N, sehingga untu setiap K(ɛ) berlau x a < ɛ. Dalam hal ini ditulis lim x a atau x a untu, dan a disebut limit dari (x ). Barisan (x ) yang tida onvergen diataan divergen.

2 8 Selanutnya, apabila diberian barisan (x ) dengan x a dan x b untu, maa untu setiap bilangan ɛ > terdapat bilangan K, K N sehingga untu setiap K berlau x a < ɛ dan untu setiap K berlau x b < ɛ. Jia diambil K supk, K, maa untu setiap K diperoleh a b < ɛ. Karena berlau untu setiap ɛ >, maa a b atau a b. beriut. Pernyataan tersebut di atas dapat dinyataan e dalam pernyataan dasar Lemma Limit dari suatu barisan bernilai tunggal. Definisi Barisan x (x ) diataan terbatas ia terdapat bilangan real M > sehingga x M untu setiap N. Lemma Setiap barisan onvergen bersifat terbatas. Contoh tetapi tida onvergen. Barisan pada contoh 2..2 (i) merupaan barisan terbatas Barisan x (x ) dengan x x x 2 atau x x + untu setiap N disebut barisan nai dan ditulis dengan notasi x. Sebalinya, ia x x x 2 atau x x + untu setiap N, maa barisan x (x ) disebut barisan turun dan ditulis dengan notasi x. Adapun apabila x < x + untu setiap N, maa barisan x (x ) disebut barisan nai uat, dan apabila x > x + untu setiap N, maa barisan x (x ) disebut barisan turun uat Definisi Barisan x (x ) diataan monoton ia (x ) merupaan barisan nai atau barisan turun. Definisi Diberian barisan x (x ) dan dibentu s supx : untu setiap N. Limit superior dari barisan x (x ) didefinisian sebagai lim sup x lim s lim supx :. Dalam hal ini, apabila y lim sup x, berarti untu sebarang bilangan ɛ > terdapat N, sehingga untu setiap berlau x < y + ɛ. Dengan cara yang sama, dibentu t infx : untu setiap N.

3 9 Limit inferior dari barisan x (x ) didefinisian sebagai lim inf x lim t lim infx :. Dalam hal ini, apabila z lim inf x, berarti untu sebarang bilangan ɛ > terdapat N, sehingga untu setiap berlau z ɛ < x. Definisi 2... Barisan x (x ) disebut barisan Cauchy ia untu setiap ɛ > terdapat H(ɛ) N sehingga untu setiap m n H(ɛ) berlau x m x n < ɛ. Cuup mudah diperlihatan bahwa setiap barisan onvergen merupaan barisan Cauchy. Teorema 2... Barisan x (x ) di sistem bilangan real, onvergen ia dan hanya ia (x ) merupaan barisan Cauchy. Contoh (i) Barisan ( +) merupaan barisan Cauchy. (ii) Barisan ( + ( ) ) buan merupaan barisan Cauchy. Kolesi semua barisan dinotasian dengan ω, yaitu ω x (x ) : x R, N. Operasi penumlahan dan peralian salar untu setiap x (x ), y (y ) ω dan α R didefinisian dengan aturan x + y (x ) + (y ) (x + y ), dan αx α(x ) (αx ) untu setiap N. Dalam hal ini, ω merupaan ruang linier (Maddox, 97). Definisi Sebarang ruang linier bagian X ω disebut ruang barisan. Beriut ini merupaan salah satu bentu ruang barisan lasi:

4 (i) Kolesi dari semua barisan terbatas yang ditulis dengan notasi l ; yaitu l x (x ) ω : sup x < N. Dalam hal ini, l disebut ruang barisan terbatas. (ii) Kolesi dari semua barisan onvergen yang ditulis dengan notasi c; yaitu c x (x ) ω : ( a R) x a,. Dalam hal ini, c disebut ruang barisan onvergen. (iii) Kolesi dari semua barisan onvergen e nol yang ditulis dengan notasi c ; yaitu c x (x ) ω : x,. Dalam hal ini, c disebut ruang barisan onvergen e nol. (iv) Kolesi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ; yaitu Φ x N (x, x, x 2,, x N,,, ) : N N. Dalam hal ini, Φ disebut ruang barisan berhingga Ruang Banach Definisi Diberian ruang linier X. Fungsi : X R disebut norma apabila untu setiap x, y X dan α R, memenuhi sifat-sifat : (N) x, x ia dan hanya ia x, (N2) αx α x, dan (N3) x + y x + y. Ruang linier X yang dilengapi dengan norma disebut ruang bernorma dan ditulis dengan notasi (X, ) atau X saa. Contoh (i) R n merupaan ruang bernorma terhadap norma p untu p, yaitu:

5 (a) Jia p, didefinisian x sup x, dan N ( n ) p (b) Jia p <, didefinisian x p x p untu setiap x R n dengan x (x, x 2,, x n ). (ii) Diberian ruang linier C[, ] yang memuat semua fungsi ontinu bernilai real yang didefinisian pada [, ] (Maddox, 97), yaitu C[, ] f. f : [, ] R dan f ontinu Dapat diperlihatan bahwa fungsi : C[, ] R dengan aturan f f(x) dx merupaan suatu norma. Untu itu, diambil sebarang f C[, ]. Diperoleh, f f(x) dx. (N) Selanutnya, diasumsian f, maa f(x) dx. Kemudian, apabila f(x) >, maa f(x) dx >. Oleh arena itu, apabila f f(x) dx, maa f(x) untu setiap x [, ]. Aibatnya, f. Sebalinya, diasumsian f. Berarti, f(x) untu setiap x [, ]. Oleh arena itu, diperoleh f f(x) dx. Jadi, f ia dan hanya ia f. Selanutnya, diambil sebarang salar α R. Diperoleh (N2) αf α αf(x) dx f(x) dx α f. α f(x) dx (N3)

6 2 Kemudian, diambil sebarang g C[, ]. Diperoleh f + g f(x) + g(x) dx ( f(x) dx + g(x) f(x) + f + g. g(x) dx ) dx (N4) Dari hasil (N), (N2), (N3), dan (N4), diperoleh bahwa C[, ] merupaan ruang bernorma terhadap norma f f(x) dx. Definisi Barisan x (x ) di dalam ruang bernorma X disebut barisan Cauchy atau barisan fundamental ia untu setiap ɛ > terdapat N sehingga untu setiap berlau x x < ɛ. Teorema Setiap barisan onvergen di dalam ruang bernorma X merupaan barisan Cauchy. Kebalian dari Teorema belum tentu berlau (Royden, 2). Hal ini ditunuan oleh contoh beriut: Contoh Dari Contoh (ii), diperoleh bahwa ruang C[, ] merupaan ruang bernorma terhadap norma f f(x) dx untu setiap f C[, ]. Selanutnya, didefinisian (f ) C[, ] dengan aturan f (x) x ; untu x < ; untu x untu setiap N. Aan ditunuan bahwa (f ) merupaan barisan Cauchy di dalam ruang bernorma C[, ]. Untu itu, diambil sebarang, N

7 3 dengan. Diperoleh f f ( ) f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx + x x dx + x dx + f (x) f (x) dx + x dx + x dx. dx Dengan menggunaan proses pengintegralan biasa, diperoleh ( ) x dx + x dx 2 x x f (x) f (x) dx + x ( x) 2 ( ) ( ) ( 2 ) Selanutnya, untu sebarang bilangan ɛ >, terdapat N sehingga > ɛ. Oleh arena itu, untu setiap, N dengan, diperoleh f f < ɛ. Hal ini menunuan bahwa (f ) C[, ] merupaan barisan Cauchy. Selanutnya, aan diperlihatan bahwa (f ) tida onvergen di dalam ruang bernorma C[, ]. Untu itu, didefinisian fungsi f : [, ] R dengan aturan f(x) ; untu x ; untu < x

8 4 Oleh arena itu, diperoleh f f f (x) f(x) dx f (x) f(x) dx + x dx + x dx. dx f (x) f(x) dx Dengan menggunaan proses pengintegralan biasa, diperoleh x dx 2 2 x (x ) ( ( 2. ) ) ( ) Karena > untu suatu bilangan ɛ > dan untu suatu ɛ N, maa untu setiap N dengan, diperoleh f f < ɛ. Selanutnya, diambil x. Kemudian, apabila diberian sebarang bilangan ɛ >, berarti terdapat δ > sehingga untu setiap x (, ] dengan x x < δ, diperoleh f(x ) f(x) ɛ. Hal ini menunuan bahwa fungsi f tida ontinu di x. Jadi, f tida ontinu di [, ]. Dengan ata lain, f / C[, ]. Jadi, barisan (f ) tida onvergen di dalam ruang bernorma C[, ]. Definisi Ruang bernorma diataan bersifat lengap ia untu setiap barisan Cauchy di dalam ruang tersebut bersifat onvergen. Ruang bernorma yang bersifat lengap disebut ruang Banach. Definisi Ruang Banach X disebut ruang BK (Banach Kantorovich) ia fungsi oordinat p : X R dengan aturan x p (x) x ontinu pada

9 5 X untu setiap x (x ) X dan setiap N. Contoh Ruang barisan l, c, dan c masing-masing merupaan ruang BK terhadap norma supremum ; yaitu x sup N x (Kamthan dan Gupta, 98). Definisi Ruang barisan X dengan X Φ, diataan mempunyai sifat AK(Abschnittsonvergenz) ia X merupaan ruang BK dan x x [n] untu n dan untu setiap x X. Dalam hal ini, untu setiap n N, x [n] didefinisian dengan aturan x [n] n x e []. Ruang barisan X yang mempunyai sifat AK disebut ruang AK. Contoh Ruang barisan c merupaan ruang AK, sedangan ruang barisan c dan l merupaan ruang BK dan buan ruang AK (Wilansy, 984) Domain Matris Definisi Diberian ruang barisan X, Y, dan matris ta hingga A (a n ) dengan a n R untu setiap n, N. Fungsi T : X Y dengan aturan x T x Ax disebut transformasi matris. Dalam hal ini, barisan Ax (A n (x)) n Y, dengan A n (x) a n x merupaan deret onvergen untu setiap n N. Barisan e-n dari matris ta hingga A ditulis dengan notasi A n ; yaitu A n (a n ) untu setiap n N. Kolesi semua transformasi matris yang memetaan X e Y ditulis dengan notasi (X, Y ). Oleh arena itu, A (X, Y ) ia dan hanya ia A n (x) onvergen untu setiap n N dan untu setiap x X, dan Ax Y untu setiap x X. Teori transformasi matris erat aitannya dengan arateristi elas (X, Y ). Dengan ata lain, teori transformasi matris berhubungan dengan

10 6 membentu syarat perlu dan cuup dari entri-entri sebuah matris untu memetaan ruang barisan X e ruang barisan Y. Penelitian tentang transformasi matris pada ruang-ruang barisan lasi telah cuup lengap dilauan para peneliti (Maddox 97; Wilansy 984). Oleh arena itu, para peneliti mengalihan perhatian merea e ruang barisan lain dengan membentu ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatan ruang barisan X dan matris ta hingga A yang diberian. Ruang barisan seperti ini disebut domain matris. Definisi Diberian ruang barisan X dan matris ta hingga A. Himpunan yang didefinisian oleh X A x (x ) ω : Ax X, x X disebut domain matris dari A Ruang Barisan Orlicz Definisi Fungsi Orlicz merupaan sebuah fungsi M : [, ) [, ) yang ontinu, nai, dan onves, dengan M(), M(x) > untu x >, dan M(x) untu x. Fungsi M : [, ) [, ) diataan ontinu di suatu titi c [, ), ia untu sebarang bilangan ɛ > terdapat bilangan δ > sehingga untu setiap x [, ) dengan x c < δ, berlau f(x) f(c) < ɛ. Selanutnya, fungsi M diataan ontinu pada [, ) ia M ontinu di setiap c [, ). Fungsi M : [, ) [, ) diataan nai pada [, ), ia untu setiap x, x 2 [, ) dengan x x 2 berlau M(x ) M(x 2 ). Fungsi M : [, ) [, ) diataan onves pada [, ), ia untu setiap t [, ] dan x, x 2 [, ) berlau ) M (( t)x + tx 2 ( t)m(x ) + tm(x 2 ). Apabila sifat onves dari fungsi Orlicz M diganti dengan M(x+y) M(x)+ M(y), maa fungsi Orlicz M disebut fungsi modulus (Rucle 973; Maddox 986). Fungsi Orlicz M diataan memenuhi ondisi- 2 untu setiap x [, ) ia terdapat onstanta K > sehingga M(2x) KM(x). Selanutnya,

11 7 Lindenstrauss dan Tzafriri (97) memperenalan ruang barisan yang ditulis dengan notasi l M ; yaitu ( ) x l M x (x ) ω : ( ρ > ) M <. ρ Ruang barisan l M dengan norma beriut, yaitu ( ) x x inf ρ > : M ρ merupaan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz. Selanutnya, generalisasi fungsi Orlicz merupaan sebuah fungsi Orlicz dengan sifat diperumum. Dengan ata lain, generalisasi fungsi Orlicz adalah sebuah fungsi M : [, ) [, ) yang bersifat ontinu, nai, dan onves, dengan M() dan M(x) > untu x >.