BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB TINJAUAN PUSTAKA.1 Sifat Dasar Neutron Neutron yang dihasilan dari reator nulir biasanya merupaan neutron berenergi rendah. Secara umum, neutron energi rendah dapat dilasifiasian dalam tiga enis yaitu neutron dingin (cold neutron), neutron thermal (thermal neutron), dan neutron panas (hot neutron) (G.L. Squires, 1978). Selain itu, ada pula yang menglasifiasiannya e dalam empat enis yaitu neutron dingin (cold neutron), neutron thermal (thermal neutron), neutron panas (hot neutron), dan neutron epithermal (epithermal neutron) (S.W. Lovesey, 1987). Perbedaan antara etiga enis neutron tersebut berdasaran range energi, temperatur, serta panang gelombang. Hal tersebut dapat dilihat dalam tabel.1. Tabel.1. Perbedaan etiga enis neutron Sumber Energi(Mev) Temperatur(K) Panang Gelombang(10-10 m) Cold Thermal Hot Sumber: G.L. Squires 1978, 5 Hamburan neutron merupaan salah satu teni yang bai untu mengamati strutur dan dinamia suatu material (T. Chatteri, 006). Kegunaan teni hamburan ini arena adanya sifat-sifat dasar yang dimilii neutron sebagai salah satu partiel penyusun inti atom seperti dielasan dalam tabel.. Besarnya massa neutron yaitu 1, g. Hal ini menyebaban panang gelombang de Broglie dari neutron thermal bernilai seitar 1,8 Å, memilii orde yang sama dengan ara antar atom dalam suatu material, sehingga memunginan teradinya efe interferensi. Hamburan neutron dalam hal ini dapat memberian informasi mengenai strutur material. Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008 4

2 5 Tabel.. Sifat dasar neutron Sifat Nilai Massa g Muatan 0 Spin Momen Magnet µN Sumber: Tapan Chatteri 007, 3 Energi neutron thermal memilii orde yang sama dengan ebanyaan energi esitasi atom pada material terondensasi. Hamburan tida elasti antara neutron dengan suatu material aan memberian informasi mengenai energi esitasi atom dalam suatu material. Neutron merupaan partiel yang tida memilii muatan listri menyebaban neutron dapat menembus suatu material cuup dalam tanpa mengalami interasi Coulomb. Sehingga neutron dapat berada cuup deat dengan inti atom sebelum ahirnya terhambur oleh gaya inti. Neutron memilii momen magneti sehingga neutron dapat berinterasi dengan eletron tida berpasangan pada suatu atom magneti. Hambu ran neutron inelasti dalam hal ini dapat memberian informasi mengenai energi esitasi magneti. Selain itu, hamburan elasti dari suatu material magneti memberian informasi mengenai strutur magneti dari material tersebut. ½. Teori Hamburan Neutron..1 Definisi Penampang Lintang Hamburan Untu dapat mendisripsian penampang lintang hamburan, maa dapat dimisalan suatu asus seperti ini. Anggap terdapat suatu beras neutron thermal datang menumbu suatu target (gambar.1) dan menyebaban neutron terhambur. Target dalam hal ini merupaan umpulan atom, seperti ristal, amorph, cairan ataupun gas. Target ini biasa disebut uga sebagai sistem hamburan. Hasil hamburan dalam asus seperti ini biasa dinyataan dalam suatu besaran yang disebut penampang lintang (cross-section). Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

3 6 Gambar.1. Geometri Esperimen Hamburan 7 Sumber: Squires 1978, 5 Anggap ita memilii detetor (pencacah neutron) untu menghitung umlah neutron yang terhambur pada suatu arah sebagai fungsi energi. Dalam hal ini, detetor ditempatan cuup auh dari sistem hamburan, sehingga sudut ruang detetor dari sistem penghambur, dω adalah cuup ecil. Misalan arah neutron terhambur dinyataan dalam θ dan φ, maa penampang lintang diferensial sebagian (partial differential cross-section) didefinisian sebagai d d de (umlah neutron yang terhambur per - deti dalam suatu sudut ruang dω pada arah θ, φ dengan energi ahir antara E de) /Φ dω de (.1) dengan Φ merupaan flux dari neutron datang, yang dinyataan sebagai umlah neutron yang menumbu suatu luasan/area per deti. Namun terdapat sumber lain yang menyebut penampang lintang ini sebagai penampang lintang diferensial ganda (double differential cross section) 13. Jia ita hanya ingin mengetahui umlah neutron terhambur dalam suatu sudut ruang dω pada arah θ dan φ tanpa menghitungnya sebagai fungsi energimaa penampang lintang yang berhubungan dengan asus seperti ini disebut penampang lintang diferensial (differential cross-section), dan dinyataan dengan d (umlah neutron terhambur per deti dalam suatu sudut (.) d ruang d pada arah, ) / Φ dω Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

4 7 Penampang lintang hamburan total dapat dinyataan dengan (umlah total partiel terhambur per satuan watu)/ (.3) tot Jumlah total yang dimasud merupaan umlah neutron terhambur e segala arah. Dari etiga definisi penampang lintang hamburan di atas, maa etiganya dapat dihubungan dengan persamaan sebagai beriut d d 0 d de, d de (.4) tot d d d semua arah (.5) Jia hamburan yang teradi simetri, dalam arti dσ/dω hanya bergantung pada θ dan tida pada maa persamaan (.5) menadi tot d sin d. d 0 (.6) Penampang lintang yang diperoleh dalam esperimen biasa dinyataan dalam satuan per atom atau per moleul, sehingga persamaan penampang lintang di atas perlu dibagi oleh umlah atom atau moleul.. Hamburan Neutron Oleh Inti Atom Untu dapat menelasan penampang lintang hamburan secara teoritis, pertama-tama dapat diambil suatu asus sederhana, yaitu hamburan neutron oleh satu inti atom yang berada pada posisi tetap. Perlu diperhatian bahwa pada asus ini diasumsian inti atom berada pada posisi yang tetap, neutron tida dapat memberian energi epada inti, sehingga besar nilai vetor gelombang neutron datang dan neutron terhambur adalah sama. Dengan ata lain hamburan dalam asus ini adalah elasti, energi neutron serta nilai adalah tetap. Setelah menelasan asus yang paling sederhana tersebut, aan dibahas asus yang lebih umum, yaitu asus hamburan oleh Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

5 8 seumpulan partiel. Pada asus ini digunaan dua pendeatan untu memperoleh rumusan teoritis dari penampang lintang hamburannya, yaitu: 1) Pendeatan stati (static approximation). Pada pendeatan stati, dianggap perubahan energi neutron yang teradi dapat diabaian (, dan adalah besar vetor gelombang neutron setelah dan sebelum hamburan), sehingga hamburan yang teradi seolah-olah elasti. Namun demiian, pendeatan ini tidalah sama persis dengan hamburan elasti. Pada hamburan elasti, eadaan sistem hamburan sebelum dan setelah tumbuan adalah sama, sedangan pada pendeatan stati, eadaan sistem hamburan sebelum dan setelah tumbuan dapat berbeda, asalan perubahan energi neutron yang teradi masih dapat diabaian. ) Hamburan hanya bergantung pada besar perubahan vetor gelombang neutron. Artinya, hasil hamburan tida bergantung pada orientasi sampel. Pendeatan ini berlau untu sistem hamburan yang isotropi, contohnya adalah bubu ristalin (crystalline powder), zat cair, dan material amorph. Pada bagian.1 telah disebutan bahwa neutron dapat menembus suatu material cuup dalam, sebelum ahirnya terhambur oleh gaya inti. Gaya inti yang dapat menyebaban teradinya hamburan memilii pengaruh pada ara seitar m. Sementara panang gelombang neutron thermal memilii orde m, auh lebih besar dibandingan range pengaruh gaya inti tersebut. Dalam asus seperti ini, berdasaran teori difrasi, yaitu ia suatu gelombang dihamburan oleh suatu obe yang auh lebih ecil dibandingan panang gelombangnya, maa gelombang tersebut aan terhambur secara simetri bola. Anggap geometri asus tersebut dapat didesripsian seperti gambar.1, inti berada pada pusat oordinat, serta arah vetor gelombang neutron datang berada pada sumbu polar. Fungsi gelombang neutron datang dapat dinyataan dengan persamaan Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

6 9 inc exp( iz). (.7) Seperti telah disebutan sebelumnya bahwa hamburan pada asus ini bersifat simetri bola, maa fungsi gelombang neutron terhambur pada suatu titi r dapat dinyataan dengan persamaan b sc r exp( ir) (.8) dengan b adalah suatu onstanta yang tida bergantung pada θ, anda negatif pada persamaan di atas digunaan agar nilai b positif untu potensial yang menghasilan gaya tola. Besaran b pada ψ sc biasa disebut panang hamburan (scattering length). Nilai panang hamburan b berbeda untu setiap enis atom yang berbeda. Berdasaran panang hamburannya, terdapat dua enis atom, yaitu atom dengan panang hamburan berupa bilangan omples, dan atom dengan panang hamburan berupa bilangan riil. Untu atom-atom dengan panang hamburan omples, nilai panang hamburannya bergantung pada besar energi neutron datang. Bagian imainer dari panang hamburan terait dengan penyerapan energi neutron aibat esitasi. Contoh unsur dengan panang hamburan omples adalah 103 Rh, 113 Cd, 157 Gd, dan 176 Lu. Sebagian besar unsur yang dienal sampai saat ini memilii panang hamburan riil (atau hampir riil, dimana bagian imainernya sangat ecil dan dapat diabaian). Untu unsur enis ini, panang hamburannya tida bergantung pada energi neutron yang datang. Penampang lintang dσ/dω untu asus hamburan oleh satu inti atom pada posisi tetap dapat diturunan dari persamaan (.7) dan (.8). Jia ν merupaan ecepatan neutron (bernilai sama untu neutron datang maupun neutron terhambur), maa umlah neutron yang melewati suatu luasan ds per deti adalah (lihat gambar.1) b ds sc ds b d r (.8) Flus neutron datang dapat dinyataan dengan Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

7 10 inc (.9) Dari definisi penampang lintang, maa diperoleh persamaan untu asus hamburan neutron tersebut sebagai beriut serta d b d d d b (.10) tot 4b (.11) Beriutnya aan dibahas asus yang lebih omples, yaitu asus hamburan neutron oleh suatu sistem/ seumpulan partiel. Kasus ini disederhanaan dengan mengabaian spin dari neutron, sehingga eadaan neutron hanya dipengaruhi oleh momentumnya. Dengan ata lain hanya dipengaruhi oleh vetor gelombangnya saa. Anggap terdapat neutron dengan vetor gelombang datang menuu sistem hamburan dengan eadaan yang ditandai dengan index λ. Fungsi gelombang neutron dapat dinyataan dengan ψ serta fungsi gelombang sistem hamburan dengan χ λ. Anggap pula bahwa neutron berinterasi dengan sistem hamburan melalui suatu potensial V, emudian terhambur. Sehingga vetor gelombang neutron ahir adalah dan eadaan ahir sistem hamburan adalah λ. Pusat oordinat yang digunaan berada pada sembarang titi dalam sistem hamburan. Jia dalam sistem hamburan terdapat N umlah atom, maa vetor posisi inti atom e- dapat dinotasian dengan R ( = 1, N), sedangan vetor posisi neutron dapat dinotasian dengan r. Penampang lintang hamburan diferensial (dσ/dω) dapat mewaili seluruh proses hamburan yang mengubah sistem hamburan dari dari λ e λ, dan vetor gelombang neutron dari e. Penumlahan dilauan untu semua nilai di dalam sudut ruang dω pada arah dimana nilai, λ, dan λ diambil onstan. Dari definisi penampang lintang hamburan diferensial pada (.), maa diperoleh suatu persamaan Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

8 11 d d 1 1 d W,, dlm d (.1) dengan W,λ,λ adalah umlah transisi dari eadaan, λ e eadaan, λ per deti, dan Φ adalah flus neutron datang. Pengeraan suu iri persamaan (.1) menggunaan persamaan yang cuup terenal dalam meania uantum, yaitu aturan emas Fermi ( Fermi s golden rule) yang dinyataan dengan persamaan W dlm d,, V (.13) dimana ρ adalah banyanya eadaan momentum dalam sudut ruang dω per satuan interval energi untu neutron pada eadaan. Elemen matrix dinyataan secara esplisit dengan V * V dr dr * (.14) serta dr dr dr... dr 1 N, (.15) dr i merupaan elemen volume untu inti atom e- dan dr merupaan elemen volume neutron. Integral dieraan untu masing-masing variabel untu semua ruang. Perlu diperhatian bahwa suu pada sisi iri persamaan (.13) diumlahan untu semua nilai dalam dω, namun pada sisi anan persamaan hanya dimasuan satu nilai. Dalam penurunan aturan emas Fermi, penumlahan dieraan untu semua nilai. Dari penurunan tersebut terlihat bahwa untu nilai-nilai, λ, dan λ yang tetap, probabilitas transisi dari eadaan, λ e eadaan, λ dapat diabaian ecuali untu nilai-nilai yang berada dalam suatu interval ecil tertentu. Pusat dari interval ini adalah nilai yang memenuhi eealan energi dari neutron dan sistem hamburan, nilai inilah yang dimasuan e sisi anan persamaan (.13). Untu penurunan lebih lanut, digunaan metode yang umum digunaan dalam meania uantum, yaitu normalisasi ota (box normalisation), dengan Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

9 1 menganggap neutron dan sistem hamburan berada dalam suatu ota yang besar. Metode ini memunginan ita untu menghitung nilai ρ serta onstanta normalisasi fungsi gelombang neutron. Keadaan neutron yang diperbolehan hanya eadaan dimana fungsi gelombang neutron periodi di dalam ota normalisasi tersebut. Vetor gelombang dari eadaan-eadaan tersebut aan membentu isi pada ruang (isi bali). Volume unit sel dari isi tersebut dapat dinyataan dengan ( ) Y, (.16) dengan Y merupaan volume ota normalisasi. Energi ahir neutron adalah 3 serta E m (.17) de d m (.18) Dengan mendefinisian ρ de sebagai banya eadaan dalam dω dengan energi antara E dan E +de, yang merupaan umlah titi vetor gelombang pada elemen volume ddω (gambar.3), maa 1 de d d. Dengan menggabungan persamaan (.16) sampai (.19) maa diperoleh Y m d 3 ( ) (.19) (.0) Fungsi gelombang neutron ψ merupaan gelombang berbentu bidang dan dapat diwaili dengan exp(i.r). Dengan menggunaan metode normalisasi ota dapat diperoleh bahwa terdapat satu neutron dalam ota dengan volume Y tersebut, maa erapatan neutron dalam ota adalah 1/Y, sehingga fungsi gelombang neutron beserta onstanta normalisasinya dapat dinyataan dengan 1 exp( i.r) (.1) Y Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

10 13 Gambar. Perhitungan ρ. Titi-titi pada gambar mewaili nilai yang diperbolehan dalam ota normalisasi Sumber: Squires 1978, 11 Flus neutron datang merupaan hasil ali antara erapatan neutron dengan ecepatannya, yaitu (.) Dengan menggabungan persamaan (.13), (.0), (.) e dalam persamaan (.1), maa diperoleh persamaan untu menghitung penampang lintang diferensial, yaitu (.3) Dengan melauan pendeatan stati, sehingga 1, maa persamaan (.3) dapat ditulis (.4) dengan (.5) m Y 1. V m d d. V m d d r R.r.r r R d d i V i d d V V ) exp( ) exp( * * * Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

11 14 Untu penurunan lebih lanut, perlu dietahui bentu potensial V dalam elemen matris pada persamaan (.5). Untu memodelan potensial tersebut, telah disebutan pada bagian. bahwa neutron berinterasi dengan inti atom melalui gaya inti. Gaya inti tersebut menimbulan gangguan/ peturbasi pada neutron sehingga menyebaban neutron terhambur. Oleh arena itu, potensial tersebut dapat dimodelan dengan suatu potensial yang disebut Fermi pseudopotential yang dinyataan dengan persamaan V ( r) m b ( r) (.6) Namun arena elemen matrix harus dievaluasi dengan mengintegralan potensial terhadap r, posisi neutron, maa potensial yang dialami neutron arena suatu inti atom yang berada pada posisi R adalah V ( r) m b ( r R) (.7) Delta Dirac dalam persamaan tersebut muncul arena potensial antara neutron dan inti atom beera pada ara yang sangat deat. Karena sistem hamburan adalah umpulan atom, maa potensial interasi antara neutron dengan sistem hamburan ditulis dalam persamaan (.8) Dengan mensubstitusian persamaan (.8) e dalam persamaan (.4) dapat diperoleh dengan (.9). Setelah mengevaluasi elemen matris dalam braet pada persamaan (.9), dan dengan asumsi panang hamburan setiap inti atom adalah riil maa diperoleh d d V ( r) b V m exp( i R b ( r R b exp( i r) ( r R )exp( i r) drdr ) Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

12 15 d d b b exp( i R ) exp( i R ) (.30) Namun pada asus yang sesungguhnya, dalam hal ini pada esperimen, besaran penampang lintang yang diperoleh buan merupaan penampang lintang dari suatu proses yang mengubah eadaan suatu sistem dari λ e λ, namun penampang lintang yang sesuai dengan definisi pada persamaan (.). Untu memperoleh penampang lintang sesuai dengan definisi pada persamaan (.), maa persamaan (.30) harus diumlahan pada seluruh eadaan ahir λ, lalu emudian dilauan rata-rata terhadap eadaan awal λ. Langah pertama dapat dilauan dengan menggunaan suatu hubungan yang disebut closure relation yang dinyataan dengan sehingga persamaan (.30) dapat disederhanaan menadi d d (.31) (.3) Langah beriutnya, yaitu melauan rata-rata terhadap λ dapat dilauan dengan mengalian persamaan (.3) dengan eadaan λ, lalu diumlahan untu semua eadaan λ. Boltzmann yang dinyataan dengan A B AB b b exp( i R p, probabilitas sistem hamburan berada pada p diperoleh dari distribusi dengan Z merupaan fungsi partisi (dimasuan untu menamin p 1) 1 p exp( E ) Z ) (.33) Z exp( E ) (.34) Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

13 16 Untu mempersingat penulisan, rata-rata thermal besaran A pada temperatur T, p A ditulisan sebagai A. Sehingga rata-rata persamaan (.3) terhadap λ dapat ditulis dalam persamaan sebagai beriut d d b b p b b exp( i R exp( i R ) (.35) Untu menunuan rata-rata terhadap variasi isotop dan spin, maa persamaan (.35) dinyataan dengan ) d b b exp( i R d ) (.36).3 Fungsi Distribusi Pasangan (Pair Distribution Function) Pada material ristalin, semua posisi atom dapat didefinisian apabila telah ditetapan beberapa parameter seperti posisi dan ara antar atom, namun hal tersebut tida mungin dilauan pada material amorph, cairan ataupun gas (Y. Waseda, 1980). Oleh arena itu, perlu cara lain untu dapat menelasan strutur pada sistem buan ristal. Penelasan mengenai distribusi atom pada material buan ristal biasanya memenuhi suatu fungsi distribusi, dalam hal ini fungsi distribusi pasangan (pair distribution function), yang merupaan rata-rata erapatan atom lain pada ara r dari atom acuan (pada r = 0)..4 Hubungan Fungsi Distribusi Pasangan Dengan Hamburan Neutron Beraitan dengan asus hamburan neutron, maa persamaan (.36) perlu sediit diubah agar diperoleh suatu hubungan antara penampang lintang hamburan dan fungsi distribusi pasangan. Persamaan (.36) bisa diubah menadi d b b exp( i R ) d (.37) I I 1 Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

14 I1 N c b 17 dengan (.38) (.39) I 1 dienal dengan hamburan tida oheren (incoherent scattering) serta I dienal dengan hamburan oheren (coherent scattering). Dimisalan umlah atom dalam sistem hamburan adalah N dan umlah enis atom dalam sistem ini adalah n. Indes dan aan digunaan untu menunuan individu atom, dan indes dan untu menunuan enis atom. Jadi, indes aan menunuan atom e- dari atom enis e-, sedangan N μ menunuan umlah total atom berenis. Konsentrasi atom enis ditulis sebagai N c N. Untu mempermudah perhitungan pada sistem multiomponen, dimana terdapat lebih dari satu enis atom, persamaan (.38) dan (.39) dapat disederhanaan dengan menggunaan menadi b N b serta N Nc. Persamaan (.38) I I b 1 b b exp( i R ; ( ) ( ) ( ) ) I 1 N c b (.39) dengan menggunaan serta beberapa perubahan, maa persamaan (.39) menadi I b b exp( i R ( ) ( ) ) (.41) dimana tanda asen menunuan bahwa saat maa sumasi = dapat diabaian. Untu mempermudah perhitungan beriutnya, besaran esponensial dalam matris elemen bisa diubah menadi Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

15 18 exp( i R ) dr exp( i r) ( r R ( ) ( )) (.4) setelah dilauan penurunan, maa persamaan (.41) menadi I dr exp( i r) b b ( r R ( ) ( ) ) ( ) ( ) (.43) Dengan asumsi bahwa distribusi atom yang terbentu isotropi, maa dapat didefinisian suatu fungsi distribusi g V ( r) ( r R ( ) ( ) ). N N (.44) ( ) ( ) Persamaan (.44) belum memilii mana fisis arena r ) untu ( R ( ) ( ) r R ( ) ( ) V 4 R 3 / 3 rdr. Namun setelah diintegralan terhadap r, maa persamaan (.44) menadi serta dengan menggunaan 3 R n ( r) g ( r) 3 N r dr (.45) dengan n ( r) rdr r ( ) ( ) ( r R N ( ) ( ) ) dr (.46) n (r) merupaan rata-rata umlah inti atom enis ν pada ara antara r dan r+dr dari inti atom enis μ. Besaran ini biasa disebut bilangan oordinasi (coordination number) sebagai fungsi ara. 3 Dengan menggunaan N 4 R / 3, maa persamaan (.45) bisa dinyataan dengan bentu lain menadi g ( r) Persamaan (.47) menyataan bahwa g (r) n ( r) 4 r dr (.47) merupaan perbandingan antara umlah Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

16 19 rata-rata erapatan inti atom enis ν pada ara antara r dan r+dr di seitar suatu inti atom enis μ, dengan erapatan rata-rata inti atom enis ν dalam sampel. Persamaan (.47) dienal dengan fungsi distribusi pasangan (D.A. Keen, 001) atau fungsi distribusi radial (S.W. Lovesey, 1987). Dengan mensubstitusi persamaan (.45) e dalam persamaan (.41) serta dengan melauan beberapa penurunan, maa diperoleh hubungan antara hamburan oheren dengan fungsi distribusi pasangan, yaitu 3 I N b b c c 0[( ) ( ) dr exp( i r){ g ( r) 1}] (.48) Namun, suu ( ) merupaan asus tida teradi hamburan sama seali, sehingga suu pertama dalam urung siu dapat diabaian, sehingga persamaan (.48) menadi I N b b c c dr exp( i r){ g ( ) 1} 0 r (.49) Setelah beberapa penurunan, dengan asumsi bahwa g (r) bersifat isotropi dan dengan menggunaan fator strutur parsial Faber-Ziman (T. Faber & J.M. Ziman, 1965) A (Q), maa diperoleh suatu hubungan atau A 0 sin( Qr) g ( r) 1 dr ( Q) r (.50) Qr (.51) Persamaan (.50) merupaan hubungan transformasi Fourier yang menghubungan fator strutur parsial dengan fungsi distribusi pasangan parsial. Namun arena hasil difrasi yang diperoleh merupaan hasil hamburan total, maa perlu didefinisian fungsi strutur serta fungsi distribusi pasangan total. Jia fator strutur total, F(Q) serta fungsi distribusi pasangan total, G(r) didefinisian sebagai I Nb b c c ( A ( Q) 1) F ( Q) b b c c A ( Q) 1 Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

17 0 (.5) (.53) maa sesuai dengan persamaan (.50) aan diperoleh suatu hubungan transformasi Fourier sebagai beriut serta transformasi balinya G( r) b b c c g ( r) 1 F( Q) 0 1 G( r) ( ) sin( Qr) 4 r G( r) dr Qr sin( Qr) 4 Q F( Q) dq Qr (.54) (.55).5 Optimasi Global dengan Algoritma Evolusi Differensial Evolusi diferensial (differential evolution) merupaan salah satu algoritma optimasi global yang berbasis evolusi. Algoritma ini diperenalan oleh Price dan Storn pada tahun 1996 (R. Storn & K. Price, n.d). Dasar pemiiran dari algoritma ini adalah menganggap individu sebagai vetor, modifiasi individu pada mutasi dan reombinasi dilauan dengan operasi penumlahan dan pengurangan vetor. Optimasi yang dieraan dengan evolusi diferensial adalah minimalisasi. Pada banya asus, evolusi diferensial terbuti lebih handal dibanding algoritma -algoritma evolusi lainnya, namun sampai saat ini evolusi diferensial belum dap at dibutian eonvergenannya. Untu menggambaran proses algoritma evolusi diferensial, dimisalan fungsi obetif yang ingin dieraan adalah f(c), dimana C adalah argumen yang berupa array satu dimensi (vetor) dengan panang np. Untu evolusi diferensial, C dan f(c) harus bernilai riil. Dimisalan uga umlah individu dalam populasi adalah nc, nc harus lebih atau sama dengan empat. Dalam proses mutasi evolusi diferensial aan dibutuhan suatu onstanta yang disebut fator mutasi (mutation factor). Fator mutasi biasa dilambangan dengan F dan bernilai [0,]. Selanutnya dalam proses reombinasi uga dibutuhan suatu onstanta yang dinamaan probabilitas reombinasi. Probabilitas reombinasi ini biasa dilambangan dengan cr dan bernilai Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

18 1 [0,1]. Nilai edua parameter ini dimasuan di awal program dan biasanya selalu tetap selama program dialanan. Secara umum, proses-proses dalam evolusi diferensial sama seperti algoritma evolusi lainnya, yaitu: 1) inisialisasi ) mutasi Pada proses ini, dibuat populasi awal secara aca. Dimisalan masing-masing parameter dalam suatu individu dilambangan dengan p, bentu individu yang dibuat adalah: Ci,1 p1, i,1, p, i,1,, p np, i,1 i 1,..., nc Indes pertama dari C menunuan urutan individu di dalam populasi, dan indes edua menunuan generasi. Indes pertama pada p menunuan urutan parameter dalam individu, indes edua menunuan urutan individu penampung parameter di dalam populasi, dan indes etiga menyataan generasi. Setiap individu yang dibuat harus berada dalam domain fungsi obetif yang dieraan. Pada proses ini, untu setiap individu dalam C dibentu suatu individu baru, individu baru ini disebut vetor donor (donor vector). Langah-langah proses mutasi adalah: a) untu setiap individu C i,g, pilih 3 indes lain secara aca, dimisalan indes-indes tersebut adalah r 1, r, dan r 3. Indes i, r 1, r, dan r 3 tida boleh ada yang sama. Di, G 1 b) untu setiap individu C i,g, vetor donor didefinisian dengan alabar vetor sebagai beriut: D C F C C i, G 1 r1, G r, G r3, G dimana: Di, G1 D1, i, G 1, D, i, G 1,, D np, i, G1 i 1,, nc Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

19 3) reombinasi Pada proses ini, dibentu individu-individu baru yang disebut vetor percobaan (trial vector). Langah-langah pembentuan vetor-vetor ini adalah: a) pilih satu indes parameter yang aan selalu direombinasi. Hal ini dieraan agar vetor percobaan yang terbentu tida persis sama dengan vetor dalam populasi. Misalan indes ini adalah I rand. Ei, G 1 b) notasian vetor percobaan yang terbentu dengan, dimana: Ei, G1 E1, i, G 1, E, i, G 1,, E np, i, G1 i 1,, nc emudian definisian: E, i, G1 D ia rand cr atau I p ia rand > cr dan I, i, G1, i rand, i, G1, i rand dimana rand,i adalah bilangan aca dalam [0,1] yang didefinisian untu setiap pasangan i,. Ei, G 1 c) perisa embali apaah masu dalam domain fungsi obetif. 4) selesi E Ei, G 1 berada di luar domain, gantian dengan individu i, G 1 Jia yang dibuat secara aca. Pada proses ini dilauan pemilihan individu-individu yang aan masu e dalam generasi selanutnya. Langah-langah proses ini adalah: a) bandingan setiap vetor percobaan dengan setiap individu yang berindes sama dalam populasi searang. b) vetor yang menghasilan nilai fungsi obetif lebih rendah masu e C i, G1 populasi generasi selanutnya: E ia f E f C C ia f E f C i, G1 i, G 1 i, G i, G i, G 1 i, G Setelah selesi, diperisa apaah solusi yang didapat telah memehuhi riteria panghenti, ia belum memenuhi, proses aan dilanutan embali e proses mutasi. Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008

20 3 Proses-proses ini terus dieraan sampai riteria penghenti terpenuhi. Kriteria penghenti dapat berupa toleransi tertentu pada nilai fungsi obetif, atau umlah generasi masimum. Studi Difrasi..., Resta Agung Susilo, FMIPA UI, 008