STUDI PENYELESAIAN PROBLEMA MIXED INTEGER LINIER PROGRAMMING DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT OLEH : RISTA RIDA SINURAT

Transkripsi

1 TUGAS AKHIR STUDI PENYELESAIAN PROBLEMA MIXED INTEGER LINIER PROGRAMMING DENGAN MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND CUT OLEH : RISTA RIDA SINURAT DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

2 ABSTRAK Metode Branch And Cut adalah teni yang terbai untu menyelesaian berbagai enis masalah Integer Programming hususnya Mixed Integer Programming, dan metode ini dapat membutian aminan eoptimalannya. Dalam tulisan ini aan ditunuan bagaimana metode Branch And Cut digunaan untu menyelesaian masalah Mixed Integer Linier Programming, dan bagaimana metode Cutting Plane dapat digunaan untu menyelesaian berbagai macam masalah. Algoritma ini terdiri dari ombinasi metode Cutting Plane dengan algoritma Branch And Bound. 1

3 DAFTAR ISI Halaman udul Persetuuan Pernyataan Abstra Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belaang Perumusan Masalah Tuuan Penelitian Manfaat Penelitian Tinauan Pustaa Metodologi Penelitian 4 Bab II Landasan Teori 2.1 Program Linier Karateristi-arateristi dalam Program Linier Asumsi dalam Program Linier Klasifiasi Integer Programming Metode Penyelesaian Masalah Mixed Integer linier Programming Metode Cutting Plane Metode Enumerasi Metode Branch-And-Bound Himpunan Konves, Kombinasi Konves Fungsi onves dan Fungsi onaf 55 Bab III Pembahasan 3.1 Bentu Umum Masalah Mixed Integer Linier Programming Algoritma Branch-And-Cut Contoh Persoalan 59 Bab IV Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan Saran 73 2

4 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang Banya masalah dalam bidang eonomi, industri, teni dan militer yang dapat dinyataan sebagai model matematia. Masalah-masalah ini antara lain dapat diformulasian sebagai model program linier. Pada masalah masimum atau minimum, setiap model variabel dapat bernilai real. Dalam beberapa ondisi sering mendeati atau mempunyai penyelesaian pecahan. Sebagai contoh, etebalan bidang 2,66 mm pada strutur bangunan, watu era 3,34 am pada suatu proye dan penggunaan 1,78 g pupu utu menambah esuburan tanah. Walaupun demiian, ada uga masalah dimana nilai pecahan dari model variabel tida berarti secara fisi. Sebagai contoh sebuah pabri yang ingin memprodusi paaian yang ingin memperbesar produsinya. Pabri ini tida dapat membeli mesin pembuat ain delapan setengah unit, walaupun anggaran belana yang dimilii oleh pabri tersebut memunginan,atau tida mungin menggunaan 1,6 etel pada pembangit tenaga listri, umlah tenaga era 1,9 orang pada suatu proye dan 2,76 mesin bubut pada suatu too. Walaupun demiian dalam banya asus optimisasi, sangat sulit membulatan penyelesaian tanpa melangggar beberapa dari endala. Sering teradi ia mempredisi variabel yang tepat, perlu mengganti nilai dari beberapa variabel untu memenuhi semua endala. Aibatnya ia membulatan penyelesaian bisa saa memberian suatu nilai fungsi obetif yang sangat auh dari nilai optimal awal. Semua esulitan-esulitan ini dapat dihindari ia masalah optimisasi dimodelan dan diselesaian sebagai masalah program linier. Pada problema optimisasi dengan adanya endala linier dan terdapat beberapa variabel yang dibatasi bernilai integer, maa masalah optimisasi ini 3

5 dinyataan sebagai masalah mixed integer programming. Mixed Integer Linier Programming (MILP) sering uga disebut mixed integer programming. Relasasi linier programming adalah suatu program linier yang dihasilan dari program integer linier programming dengan menghilangan persyaratan bilangan bulat untu variabel eputusannya. Banya metode yang bisa digunaan untu menyelesaian masalah Mixed Integer Linier Programming (MILP) yang masing-masing mempunyai elebihan dan elemahan. Memperhatian hal ini maa penulis mencoba mempelaari metode Branch-And-Cut dalam menyelesaian masalah Mixed Integer Linier Programming (MILP). Perhatian model Mixed integer linier programming (MILP), yaitu : Optimisasian : Z = n = 1 c x + p = 1 d y Dengan endala : x n = 1 y a i x p + g = 1 i (,, = ) i = 1, 2, 3,, m 0, dan int eger = 1, 2, 3,, n 0 = 1, 2, 3,, p y b i 1.2 Perumusan Masalah Poo permasalahan dalam arya tulis ini adalah bagaimana mencari atau menyelesaian masalah Mixed Integer Linier Programming (MILP) dengan menggunaan metode Branch And Cut. 4

6 1.3 Tuuan Penelitian Tuuan dari penulisan ini adalah mencari penyelesaian (solusi optimal) dari masalah Mixed integer linier programming dengan menggunaan metode Branch-And-Cut. 1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini adalah untu memperaya literature dan menambah pengetahuan bagi penulis dan pembaca hususnya dalam menyelesaian masalah Mixed integer linier programming. 1.5 Tinauan Pustaa Karena penelitian ini merupaan studi literature maa tinauan pustaa adalah titi tola yang utama dalam tulisan ini. Penulis melauan tinauan pustaa dari : Rao S. S. dalam buunya menelasan bahwa pada problema optimisasi dengan adanya endala linier dan terdapat beberapa variabel yang dibatasi bernilai integer, masalah optimisasi ini dinyataan sebagai masalah mixed integer programming. Nasendi B. D. dalam buunya menelasan bahwa program integer (PI) terbagi dua yaitu program integer asli (PIA) dan program integer tercampur (PIT). PIA adalah suatu program linier yang semua peubahnya adalah integer, sedangan PIT adalah suatu program linier yang sebahagian peubahnya integer dan sebahagian lagi adalah peubah ontinu atau peubah divisible (nonintegre). Dalam bahasa Inggris program integer asli biasa dienal sebagai Pure integer programming, sedangan program integer tercampur sebagai Mixed integer linier programming. Fitri Maya Puspita dalam urnalnya menelasan bahwa masalah Mixed Integer Linier Programming muncul etia beberapa variabel dalam masalah linier programming hanya berupa bilangan integer yang tida dapat dibagi umlahnya 5

7 seperti : umlah manusia, mesin, botol, ota dan lain-lain. Terdapat dua pendeatan untu menyelesaian Mixed Integer Linier Programming (MILP) yaitu metode exact dan metode heuristic. Teni exact meliputi metode Branch-And-Cut dan metode Branch-And-Bound. 1.6 Metodologi Penelitian Tulisan ini disusun atas eranga pemiiran yang langah-langahnya adalah sebagai beriut : 1. Diberian pengertian dan definisi dari integer linier programming. 2. Diberian pengertian dan definisi dari mixed integer linier programming. 3. Diberian pengertian dan definisi dasar dari metode Cutting Plane beserta contohnya. 4. Diberian pengertian dan definisi dasar dari metode Branch-And-Bound beserta contohnya. 5. Diberian pengertian dan definisi dasar dari metode Branch-And-Cut dan memodelan sebuah permasalahan sebagai apliasinya. 6. Kesimpulan. 6