Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang

Transkripsi

1 Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang Iwan Setiawan dan Muhammad Farchani osyid Kelompo iset Kosmologi, Astrofisia, dan Fisia Matematia Jurusan Fisia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyaarta Diterima Februari 010, diterima untu dipubliasian 1 April 010 Abstra Konfigurasi esetimbangan meanis bintang-bintang berotasi ditelaah melalui model oche. Pada ajian ini rotasi bintang diperlauan sebagai rotasi benda tegar, sedangan geometrinya ditentuan berdasaran persamaan equipotensial. Kedaan ritis suatu bintang ditentuan berdasaran etiadaan gaya gravitasi total yang mengimbangi teanan termodinamis. Dalam hal ini terdapat dua emunginan, percepatan gravitasi efetifnya lenyap atau batas Edington-nya terlampui. Telah ditentuan penampang membujur bintang-bintang berotasi dari berbagai massa dan ecepatan sudut. Kata unci: Bintang berotasi, Keadaan ritis, Kecepatan ritis, Gaya gravitasi efetif Abstract The mechanical equilibrium configuration of rotating stars is discussed through oche model. In our study, the stars are assumed to rotate rigidly, while their geometry are determined by the use of their equipotential surfaces. The critical state is achieved by a rotating star, when its total gravitational force vanishes. There are two posibilities for a star to be in its critical state: either its effective gravitational force vanishes or it exceeds the Eddington limit. The meridional section of rotating stars of various masses and angular velocity are determined. Keywords: otating stars, Critical state, Critical velocity, Effective gravitational force 1. Pendahuluan banya digunaan arena lebih mendeati enyataan yang ada. Pada maalah ini, pengaruh rotasi pada geometri bintang aan dipelajari, terutama bintangbintang yang mencapai ambang ecepatan rotasi yang pertama. Bentu tampang bujur bintang-bintang berotasi sebagai fungsi ecepatan rotasi aan ditentuan. Seperti halnya Bumi, bintang-bintang juga mengalami rotasi. Seperti telah dietahui, aibat adanya rotasi, jejari equatorial Bumi 1,4 m lebih panjang daripada jejari utubnya (Maeder, 009). Untu bintang yang berotasi ecepatan sudut yang tinggi, jejari atulistiwanya bahan dapat mencapai 1,5 jejari utub (Estrom d, 008). Hal ini menunjuan bahwa rotasi cuup berpengaruh pada bintang. Meanisme esetimbangan pada bintang yang berotasi sudah dipelajari seja lama. Beberapa model telah diembangan, semisal model Mclaurin, yang menganggap erapatan bintang tetap dan model oche yang beranggapan sebalinya (erapatan yang tida tetap). Terdapat perbedaan yang cuup mencolo antara edua model ini. Dalam model Mclaurin, perubahan meanisme esetimbangan terjadi pada rotasi yang tinggi. Nilai masimum ecepatan sudut (dianggap rotasi benda tegar) adalah max= 0,4494Gπρ (Maeder, 009). Pada enyataan, etidastabilan aan terjadi sebelum mencapai batas ecepatan sudut ini. Pada model oche seragam (bintang dianggap sebagai rotasi benda tegar), perubahan esetimbangan juga aan terjadi, dan didapatan bahwa perbandingan antara jejari utub dan jejari equatorial aan mencapai / pada ecepatan sudut masimum, yaitu 0,715Gπ ρ, ρ adalah erapatan rata-rata. Pendeatan model oche biasanya lebih. Kesetimbangan Hidrostati Pada otasi Benda Tegar Jia ditinjau dari eranga acuan yang berotasi bersama bintang, persamaan Navier-Stoes untu material bintang berbentu dv dv 1 = P + v v ( r) dt dt ρ (1) d r v, dt v visositas, P teanan, dan ecepatan sudut. Jia sistem dianggap berada dalam esetimbangan hidrostati, dan visositas diabaian (dianggap sangat ecil), serta ecepatan sudut setiap bagian bintang dianggap seragam (rotasi benda tegar), maa aan didapatan persamaan, 1 0 = Φ P ( r ) v, () ρ - percepatan gravitasi sendiri. Jia V s didefinisian sebagai potensial setrifugal, 107

2 Setiawan dan osyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang V = ϖ, () dan ϖ = r sin θ jara titi yang ditinjau dari sumbu rotasi maa didapat persamaan 1 P = Ψ = g ef, (4) ρ Ψ( r, θ ) = Φ( r) + V ( r, θ ) = GM r 1 (5) r sin θ r adalah potensial efetif yang memenuhi persamaan Poisson Ψ = 4πG ρ, M r massa bagian bintang yang berada di dalam bola berjejari r yang berpusat di pusat bintang. Karena berlaunya persamaan (4), bintang diataan berada dalam eadaan barotropi (Maeder, 009), yani, daerah nilai potensial yang sama (equipotensial) memilii teanan yang sama, P = P(Ψ). Permuaan bintang adalah daerah eipotensial, yani Ψ = tetapan. Andaian ita tinjau sebuah bintang massa total M dan (θ) jejari bintang itu pada olatitud θ. Karena gaya sentrifugal di daerah utub bernilai nol, maa potensial pada utub bintang itu adalah GM/ p, p jejari utub bintang. Oleh arenanya, nilai potensial di berbagai tempat di permuaan bintang itu adalah GM GM 1 = ( θ ) sin θ. (6) p ( θ ) Jia e r dan e θ merupaan vetor satuan dalam arah radial dan arah bujur, maa vetor percepatan gravitasi efetif pada permuaan bintang dari persamaan (5) dapat ditulisan sebagai g ef GM = ( θ ) + + ( θ )sin θ e [ ( θ )sinθ cosθ ] e. θ r (7). Teorema Von Zeipel dan Fator Edington Teorema von Zeipel menyataan hubungan antara flus radiasi pada olatitud θ di permuaan bintang yang berotasi percepatan gravitasi efetif loal (Maeder dan Meynet, 000). Jia ita tinjau bintang yang berotasi seperti rotasi benda tegar, flus radiasi dapat ditulisan sebagai F (, θ ) = χ T (, θ ), (8) 4acT χ =. (9) κρ Karena bintang berada dalam eadaan barotropi, maa dt dt F(, θ ) = P(, θ ) = ρχ gef. (10) dp dp Dengan demiian, dari hubungan antara luminositas bintang dan flus radiasi, didapatan L F (, θ ) = gef (, θ ), (11) 4πGM * M * = M 1, (1) πgρ m dan ρ m rapat massa rata-rata bahan pada permuaan bintang itu. Pada bintang yang berotasi, percepatan gravitasi total bintang merupaan penjumlahan beberapa percepatan : percepatan gravitasi murni, percepatan sentrifugal, dan percepatan oleh teanan radiasi (Maeder dan Meynet, 000). Hal ini dinyataan dalam persamaan beriut g = g + g = g + g + g, (1) tot ef rad g rad diberian oleh 1 κ( θ ) F g rad = P rad =. (14) ρ c Fator κ(θ) adalah eedapan bahan pada olatitud θ. Dengan memanfaatan persamaan (11) dan (1), persamaan beriut didapatan κ( θ ) L( P) g = 1 tot gef. (15) 4πcGM * Pada persamaan ini, efe rotasi muncul pada g ef dan pada ungapan di dalam urung. Jia ita tinjau batas flus secara loal, yaitu eadaan g tot = 0 [Maeder dan Meynet, 000], maa g rad = - g ef. Batas flus, oleh arena itu, diberian oleh c Flim ( θ ) = gef ( θ ). (16) κ( θ ) Dari persamaan ini, jia fator Edington loal Γ (θ) didefinisian sebagai nisbah (rasio) antara besarnya flus sebenarnya besarnya flus batas loal, maa didapatan κ( θ ) L( P) Γ ( θ ) =. (17) 4πcGM 1 πgρ m Jia tida, bintang tida mengalami rotasi (yani jia bernilai 0), maa Γ (θ) aan sama fator Edington Global Γ. Persamaan (15), selanjutnya, dapat ditulis sebagai g g [ 1 Γ ( θ )]. (18) tot = ef Persamaan ini mengungapan bahwa pada bintang yang berotasi, percepatan gravitasi total dipengaruhi oleh percepatan gravitasi efetif g ef (yang melibatan gr rot rad

3 109 JUNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBE 010, VOL. 15 NOMO ungapan tentang ecepatan rotasi bintang) dan oleh luminositas bintang. 4. Keadaan Ambang Pertama Melalui ungapan persamaan (18), eadaan ambang (ritis) dapat diperiraan. Pada eadaan ritis ini percepatan gravitasi total lenyap sehingga tida ada lagi percepatan atau gaya yang mengimbangi teanan termal dari dalam bintang. Aibatnya, bahan-bahan bintang aan lari (buyar). Hal ini tentu saja mengaibatan persamaan (18) aan mempunyai dua aar, yaitu g ef = 0 atau Γ (θ) = 1. Keadaan ini mengaibatan adanya batas (limit) tertentu pada ecepatan rotasi bintang, selain bergantung pada beberapa parameter lain seperti massa bintang dan jejari bintang. Keadaan g tot = 0 juga aan memberian adanya batas pada luminositas bintang sebagaimana dijelasan di atas, yang disebut sebagai Batas Eddington (Meynet, 008). Keadaan ambang g ef = 0 aan dinamaan eadaan ambang pertama, sedangan eadaan pada Γ (θ) = 1, disebut eadaan ambang edua. Tentang aibat fisis ataupun geometris eadaan ambang edua ini buan merupaan bahasan dalam maalah ini. Masalah tersebut telah didisusian secara rinci dalam (Maeder dan Meynet, 000). Kedaan ambang g tot = 0 menurut persamaan (7) diperoleh hanya pada wilayah atulistiwa (θ=π/)). Keadaan ini memberian ungapan GM rit =, (19) e, rit e,rit jeari-jari bintang di euator etia eadaan ritis itu. Jia fator f didefinisian sebagai nisbah e / p antara jari-jari euator dan jari-jari utub untu sembarang ecepatan sudut, maa secara umum didapat rit = / p, rit p / ( 1) f f 1/. (0) Dengan pendeatan p,rit = p, yani tida ada perubahan pada jari-jari utub, didapat rit = / ( 1) f f 1/. (1) Dari persamaan terahir ini tampa bahwa f = / pada saat = rit. Jia v ecepatan singgung di euator, maa v v rit = ( 1) f rit 1/. () 5. Geometri Bintang Pada Berbagai Nilai Kecepatan Sudut Henda ditinjau embali persaman permuaan bintang sebagai daerah equipotensial, yani persamaan (6). Persamaan tersebut dapat ditulisan sebagai GM ( θ ) ( θ ) p sin θ () GM + = 0. sin θ Persamaan ini memperlihatan bahwa jejari bintang yang berotasi, sebagai fungsi sudut olatitud, memenuhi persamaan polinom pangat tiga yang bergantung epada berbagai hal : tetapan gravitasi (G), massa bintang (M), jejari polar (p), serta parameter ecepatan rotasi bintang itu sendiri (). Jia jejari bintang ((θ)) dievaluasi pada semua sudut olatitud maa aan didapatan bentu penampang bintang yang berotasi. Memanfaatan beberapa data yang menyebutan tentang parameter-parameter di atas, penampang membujur sebuah bintang ecepatan rotasi tertentu aan dapat digambaran terlebih dahulu menyelesaian persamaan pangat tiga untu jejari bintang, persaman (). Persamaan () dapat ditulis dalam bentu ( θ ) A( θ ) + B = 0, (4) dan A = GM p sin GM B =. sin θ θ Tabel 1. Parameter-parameter Bintang Berotasi Massa 1 M [oxburg, 004] Persamaan ini merupaan persamaan polinom pangat tiga paramater yang lebih sederhana, yang jia diselesaian metode Newton- aphson dan menggunaan data pada Tabel 1, aan didapatan jejari bintang (θ) pada olatitud θ. Dalam Table 1 itu, α = e /GM, s adalah jara dari pusat bintang e permuaan eipotensial, dan adalah bilangan pada polinom Legendre. Perhitungan cara itu menghasilan Tabel, G =, M s.

4 Setiawan dan osyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang 110 Tabel. Jejari Bintang 1 M 10 4 rad/s. Dari tabel diperoleh tampang bujur bintang tersebut, sebagaimana diperlihatan pada Gambar 1 Gambar. Penampang Bintang 1 M beberapa nilai untu Gambar. Penampang bintang 5 M beberapa untu Gambar 1. Tampang bujur Bintang berotasi 1 M = 10 4 rad/s. Hasil perhitungan untu bintang bermassa 1 M dalam berbagai ecepatan sudut rotasi diberian oleh Gambar. Untu bintang bermassa 1 M ecepatan sudut rotasi = 4,6 x 10 4 rad/s didapatan bentu penampang bujur yang melancip sepanjang lingar atulistiwa. Kecepatan rotasi ini merupaan ecepatan yang mendeati ecepatan sudut ritis. Terlihat bahwa peningatan ecepatan sudut rotasi aan menyebaban terjadinya perubahan tampang bujur bintang, sebagaimana diperlihatan pada Gambar. Untu bintang berotasi massa yang yang lain didapatan bentu tampang bujur sebagaimana pada gambar dan gambar 4. Gambar 4. Penampang bintang 10 M beberapa nilai untu Dari beberapa gambar diatas terlihat bahwa, meningatnya ecepatan rotasi aan merubah esetimbangan bintang, yang ditandai penurunan jejari polar dan meningatnya jejari atulistiwa. Pada Gambar () dan (4), didapatan bentu penampang bujur bintang yang semain melancip di atulistiwa arena seiring peningatan

5 111 JUNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBE 010, VOL. 15 NOMO ecepatan sudut rotasi. Penampang bintang yang paling melancip pada ujung-ujungnya ini merupaan penampang bintang ecepatan rotasi yang sudah mencapai ecepatan ritis, ini dapat dibutian nilai perbandingan antara jejari equatorial dan jejari polar yang telah mencapai /. 6. Geometri Bintang pada Kecepatan Sudut Ambang Meningatnya ecepatan rotasi aan memengaruhi esetimbangan bintang. Jia ecepatan rotasi mencapai nilai ambang, maa jejari bintang diataan juga pada eadaan ambang. Persamaan jejari bintang pada ecepatan ambang dapat ditulisan menjadi ( θ ) GM sin p, GM + = 0, sin θ θ ( θ ) (5) (θ) jejari jejari bintang pada eadaan ritis, ecepatan sudut bintang pada eadaan ambang, serta p, jejari polar pada eadaan ambang. Jia ita gunaan ungapan pada persamaan (19), maa persamaan (5), dapat ditulisan menjadi, 7 7 p p ( θ ) ( θ ) + = 0. (6) 4sin θ 4sin θ Persamaan ini diselesaian metode yang sama yang sebelumnya, terlebih dahulu menentuan nilai p,. Ungapan untu p, didapatan dari persamaan (19) dan bantuan datadata yang diperoleh dari (Meynet and Maeder, 1996). Hasil-hasil perhitungan untu beberapa variasi massa bintang diperlihatan pada Gambar 5, 6, dan 7., Gambar 6. Penampang bintang 0 M = 1,8 x 10 4 rad/s Gambar 7. Penampang bintang 60 M = 8,6 x 10 5 rad/s Gambar 5. Penampang bintang 9 M 1,684 x 10 4 rad/s = Dari beberapa gambar terlihat bahwa pada eadaan ritis, ecepatan rotasi bintang yang juga berada pada ecepatan ambang, bentu penampang bintang aan memipih, ujungujung pada daerah hatulistiwa berbentu lancip. Keadaan seperti ini disebaban pada eadaan ambang di daerah atulistiwa gravitasi efetif bernilai nol, sehingga material dalam bintang yang sebelumnya berada dalam esetimbangan hidrostati (teanan hidrostati diimbangi oleh gravitasi), aan menuju eluar, arena tida ada lagi gravitasi yang menahannya. 7. Simpulan Kecepatan sudut rotasi bintang sangat berpengaruh pada bentu tampang bujur bintang itu. Tampang bujur bintang pada ecepatan ambang pertama sangat has. Jia ecepatan sudut rotasi bintang melampaui ecepatan ambang pertama, maa

6 Setiawan dan osyid, Geometri Bintang Berotasi Pada Keadaan Ambang 11 esetimbangan hidrostatis pada bintang aan dilanggar, yani tida ada lagi esetimbangan hidrostati sehingga material dalam bintang yang sebelumnya berada dalam esetimbangan hidrostati (teanan hidrostati diimbangi oleh gravitasi), aan menuju eluar, arena tida ada lagi gravitasi yang menahannya. Daftar Pustaa Estrom, S., G. Meynet, A. Maeder, and F. Barblan, 008, Evolution Towards the Critical Limit and the Origin of Be Stars, arxiv: v1. Maeder, A., 009, Physics, Formation and Evolution of otating Stars, Springer, Verlag Berlin Heidelberg, Germany, -80. Maeder, A. and G. Meynet, 000, The Eddington and -Limits, the rotational mass loss for OB and LBV stars, Astronomy & Astrophysics, 61, Meynet, G. and A. Maeder, 1996, The Computational Method and Inhibiting Effect of the µ- Gradient, Astronomy & Astrophysics, 1, Meynet, G., 008, Physics of otation in Stellar Models, arxiv: v1. oxburgh, I.W, 004, -Dimensional Models of apidly otating Stars, Uniformly otating Zero Age Main Sequence Stars, Astronomy & Astrophysics, 48,