KENNETH CHRISTIAN NATHANAEL

Transkripsi

1 KENNETH CHRISTIAN NATHANAEL. Sistem Bilang Real. Fungsi dan Grafi. Limit dan Keontinuan 4. Limit Ta Hingga 5. Turunan Fungsi 6. Turunan Fungsi Trigonometri 7. Teorema Rantai 8. Turunan Tingat Tinggi 9. Fungsi Implisit. Kemotonan Kurva. Nilai Estrim. Dalil L Hopital. Integral Ta Tentu 4. Notasi Sigma 5. Integral Tentu 6. Luas Daerah 7. Volume Benda Putar 8. Panjang Kurva 9. Fungsi Invers. Fungsi Logaritma Esponen. Fungsi Invers Trogonometri. Fungsi Hiperboli. Fungsi Invers Hiperboli 4. Limit Bentu Ta Tentu 5. Integral Ta Wajar 6. Barisan Bilangan 7. Deret Ta Hingga 8. Deret Berganti Tanda 9. Konvergen Mutla dan Bersyarat. Deret Kuasa. Deret Taylor Maclaurin. Turunan Integral Deret Kuasa. Order Persamaan Differensial 4. Persamaan Differensial Orde Satu 5. Peubah Terpisah 6. Persamaan Differensial dengan Koefisien Terpisah 7. Persamaan Differensial Orde Dua 8. Persamaan Differensial Orde Dua Tida Homogen 9. Permuaan 4. Integral Rangap 4. Integral Rangap 4. Volume Pusat Massa 4. Koordinat Tabung Bola 44. Medan Vetor 45. Integral Garis 46. Integral Permuaan

2 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real, dinotasian dengan R memainan peranan yang sangat penting dalam Kalulus. Untu itu, pertama ali aan diberian beberapa fata dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real R dapat digambaran sebagai garis bilangan, dinotasian dengan R = ( -, ). Sedangan himpunan bagian dari garis bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasian dengan himpunan sebagai beriut. Garis bilangan : Interval dan himpunan a b = { } ( a, b) = { a < < b} [ a, b] a b = { < } ( a, b] = { a< b} = { > } [ b, ) = { b} [ a, b) a b ( b, ) b a { a } (, a] = { a } (, ) = < Pertidasamaan Permasalahan Matematia yang beraitan dengan interval terleta pada pertidasamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidasamaan aljabar merupaan salah satu dari bentu interval di atas. Adapun penjelasannya diberian beriut. Bentu umum pertidasamaan aljabar : A( ) C( ) <, A(), B(), C() dan D() : suu banya. ( tanda < dapat B( ) D( ) digantian oleh,, > ). Himpunan semua bilangan real yang memenuhi pertidasamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi pertidasamaan.

3 Cara mencari solusi pertidasamaan aljabar sebagai beriut :. Nyataan pertidasamaan tersebut sehingga didapatan salah satu ruasnya menjadi nol, A( ) C( ) <. Kemudian sederhanaan bentu ruas iri, misal P ( ) B( ) D( ) Q( ) <.. Cari dan gambaran pada garis bilangan semua pembuat nol dari P() dan Q().. Tentuan setiap tanda ( + atau - ) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Interval dengan tanda ( - ) merupaan solusi pertidasamaan. Contoh : Tentuan himpunan solusi dari pertidasamaan beriut :.. + > + + Jawab : ( + )( ) + Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah dan. Pada garis bilangan didapatan nilai dari tiap selang, yaitu : Himpunan solusi pertidasamaan, { } U (, )

4 Pertasamaan dengan Nilai Mutla Secara geometris, nilai mutla atau nilai absolut dari bilangan real didefinisian sebagai jara dari terhadap, sehingga nilai mutla dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Notasi yang digunaan adalah :, =, < Sifat-sifat nilai mutla :. =. < a -a < < a. > a < -a atau > a 4. + y < + y ( etidasamaan segitiga ) 5. y = y 6. y = y 7. < y < y Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan himpunan penyelesaian pertidasamaan. 4-7 < + 5. < 5 + < < 4. 5 < 4 5 < < < > 6. + < 4

5 . 7 >. < < ( ) 8. ( ) ( + ) < ( Nomor 6 sd 7 ) Tentuan nilai yang mungin agar beriut menghasilan bilangan real : Selesaian : 4 =

6

7 FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A e himpunan B disebut fungsi bila mengaitan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() = y Himpunan A disebut Domain / daerah asal dari f(), dinotasian D f, sedang { ( ), } y f = y A B disebut Range / daerah hasil dari f() dinotasian R f. Beberapa macam fungsi dan sifat-sifat yang dimilii aan dibahas beriut. Fungsi Polinom Bentu umum fungsi polinom order atau pangat n ( n bilangan bulat positif ) dinyataan oleh f ( ) = a + a + a an n dengan a. Beriut bentu husus dari fungsi polinom, yaitu : n Fungsi onstan : f() = a. Fungsi Linear : f ( ) = a + a. ( f() = : fungsi identitas ) Fungsi Kuadrat : f ( ) = a + a + a Misal f() merupaan fungsi polinom order n maa aan mempunyai paling banya n buah pembuat nol yang berbeda. Untu mendapatan pembuat nol fungsi polinom dapat digunaan aturan horner. Fungsi Rasional p( ) Bentu umum fungsi rasional adalah f ( ) = dengan p() dan q() merupaan fungsi q( ) polinom. Fungsi rasional f() tida terdefinisi pada nilai yang menyebaban penyebut sama dengan nol atau q() =. Sedangan pembuat nol dari pembilang atau p() tetapi buan pembuat nol penyebut merupaan pembuat nol dari fungsi rasional f().

8 Contoh: Tentuan nilai yang menyebaban fungsi Jawab : + f ( ) = sama dengan nol 4 Permbuat nol pembilang, = dan =. Pembuat nol penyebut, = - dan =. Jadi nilai yang memenuhi adalah = -. Fungsi bernilai mutla Bentu dasar fungsi bernilai mutla dinyataan oleh f() =. Grafi fungsi f() simetris terhadap sumbu Y dan terleta di atasdan atau pada sumbu X. Secara umum fungsi bernilai mutla dapat dinyataan oleh : g( ), A f ( ) = g( ) = C ; g( ), A D f = A A C Contoh : Tentuan nilai agar grafi fungsi f ( ) = + terleta di bawah garis y =. Jawab : Dicari nilai yang memenuhi pertidasamaan, f ( ) = + <. Menggunaan sifat pertidasamaan nilai mutla + < ( + ) < 4 didapatan ( + )( ) <. Sebab + definit positif yaitu selalu bernilai positif untu setiap real maa <. Sehingga nilai yang memenuhi adalah < < atau <. Fungsi banya aturan Fungsi ini merupaan bentu pengembangan dari fungsi bernilai mutla, untu fungsi dengan dua aturan dinyataan oleh: f( ), A C f ( ) = C ; A A = D f( ), A Fungsi banya aturan dapat diembangan sampai n buah fungsi f j () dengan j =,,,n. f

9 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f() disebut fungsi genap bila f() = f(-) untu setiap di domain f() [ grafi f() simetris terhadap sumbu y ]. Fungsi f() disebut fungsi ganjil bila f() = - f(-) untu setiap di domain f() [ grafi f() simetris terhadap titi pusat atau pusat sumbu ]. Bila suatu fungsi buan merupaan fungsi genap maa belum tentu merupaan fungsi ganjil. Contoh : Manaah diantara fungsi beriut yang merupaan fungsi genap, ganjil atau buan eduanya. f ( ) =. f ( ) =. f ( ) = + Jawab :. Fungsi genap sebab f ( ) = ( ) = = f ( ). Fungsi ganjil sebab f ( ) =. Buan eduanya ( ) = = f ( ) Fungsi Trigonometri Bentu dasar dari fungsi trigonometri diberian beriut f() = sin ; f() = csc f() = cos ; f() = sec f() = tan ; f() = cot Sedangan beberapa persamaan atau identitas yang berlau pada fungsi trigonometri diberian :. sin (- ) = - sin 6. cot ( - ) = cot. cos ( - ) = cos. tan ( - ) = - tan 4. csc ( - ) = - csc 5. sec ( - ) = sec 7. sin ( π/ - ) = cos 8. cos ( π/ - ) = sin 9. tan ( π/ - ) = cot. sin ( + y ) = sin cos y + sin y cos

10 . cos ( + y ) = cos cos y sin sin y. tan( + y) tan + tan y = tan tan y. sin ( - y ) = sin cos y sin y cos 4. cos ( - y ) = cos cos y + sin sin y 5. tan( y) tan tan y = tan tan y 6. sin = sin cos 7. cos = cos = sin tan 8. tan = tan 9. sin + cos = y y cos cos y = sin sin + y y sin + sin y = sin cos + y y cos + cos y = cos cos sin sin y = cos sin sin cos y = cos cos cos y = ( y) cos( + y ) ( + y) + sin ( y) ( + y) + cos( y ) Fungsi Periodi Fungsi f() disebut fungsi periodi jia ada bilangan real positif p sehingga berlau f(+p) = f() untu setiap di domain f(). Nilai p terecil disebut periode dari f(). Fungsi dasar trigonometri merupaan fungsi periodi dengan periode, f() = sin = sin ( + π ) = f( + π ) f() = cos = cos ( + π ) = f( + π ) f() = tan = tan ( + π ) = f( + π ) Translasi ( Pergeseran ) Bila grafi fungsi f( ) digeser e anan ( searah atau sejajar sumbu ) sepanjang maa hasil pergeseran merupaan grafi dari fungsi f( - ). Bila grafi fungsi f() digeser e atas ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a maa hasil pergeseran merupaan grafi fungsi f() + a. Fungsi Komposisi Komposisi dari fungsi f() dan g() didefinisian sebagai ( g o f ) ( ) = g ( f () )

11 Sebagai catatan bahwa tida semua fungsi dapat dilauan omposisi. Agar dapat dilauan omposisi antara fungsi f dan g yaitu g o f maa syarat yang harus dipenuhi adalah Rf I Dg Contoh : Dietahui fungsi f ( ) = dan g( ) =.. Tentuan domain dan range dari fungsi f() dan g().. Apaah g o f terdefinisi? Bila ya tentuan rumusannya.. Apaah f o g terdefinisi? Bila ya, tentuan rumusannya. Jawab :. Domain, D f = (,) ; Dg = (, ) (, ). Range, R f = (, ) ; Rg = R. Sebab R f I D g = (, ) maa g o f terdefinisi dan rumusannya yaitu: ( gof )( ) = g( f ( ) ) = g( ) =. Sebab, Rg I D f = (, ) maa f o g terdefinsi dan rumusannya yaitu : ( fog) ( ) = f ( g( ) ) = f = Sifat-sifat :. f o g g o f. ( f o g ) o h = f o ( g o h ). Dg o f Df dan Dg R f 4. Bila D g = R f maa D gof = D f Soal Latihan. Dietahui : f, > ( ) =,. Hitung : a. f( -4)

12 b. f() c. f( t + 5 ). Nyataan fungsi beriut tida dalam nilai mutla. a. f() = + + b. f() = c. f( ) = Tentuan domain dan range dari : a. f ( ) = + e. g(u) = u + b. g( ) = 4 c. h( ) = ( + ) 4 f. h( y) = 65 y g. f ( ) = cos( + ) + d. f ( t) = t 4 4. Gambaran grafi dari fungsi beriut : a. f() = - b. f ( ) = ( ) d. f [ ] ( ) = + e. f() = - + c. f ( ) = ( ) 5. Tentuan ( fog ) () dan ( gof ) () bila terdefinisi dari :

13 a. f ( ) = ; g( ) = b. f ( ) = 6 ; g( ) = c. f ( ) = ; g( ) = + d. f ( ) = 4 ; g( ) = 6. Tentuan domain dan range dari soal di atas. 5, 7. Hitung ( fog ) (). bila f ( ) =, < 8, > 8 ; g( ) = 8. Carilah f(), bila : a. f ( + ) = b. f ( ) = + c. g( ) = dan ( gof )( ) = d. g( ) = + 5 dan ( gof )( ) = g( ) = + ; fog ( ) = 4 e. 5 ( ) F. g( ) = ; ( fog)( ) = a + b

14 LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari limit suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberian secara intuitif beriut. Bila nilai f() mendeati L untu nilai mendeati a dari arah anan maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a dari anan sama dengan L dan dinotasian lim f ( ) L a + = () Bila nilai f() mendeati l untu nilai mendeati a dari arah iri maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a dari arah iri sama dengan l dan dinotasian lim f ( ) l a = () Bila L = l maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a sama dengan L dan dinotasian lim ( ) a f = L () Sedangan bila L l maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a tida ada. Bentu () dan () disebut limit sepiha,. Sedangan bentu () mengisyaratan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titi diataan ada bila nilai limit sepihanya sama atau nilai limit anan ( ) sama dengan nilai limit iri ( ). Sifat-sifat limit: Misal lim f ( ) = L dan lim g( ) = G. Maa : a a. lim [ ( ) ( )] a f + g = L + G. lim [ ( ) ( )] a f g = L G. lim [ ( ) ( )] a f g = LG f 4. lim ( ) L =, a g( ) G bila G

15 5. lim n f ( ) = n lim f ( ) = n L untu L > bila n genap. a a Sebagai catatan bahwa sifat-sifat di atas juga berlau untu limit sepiha. Contoh : Selesaian limit fungsi +, f ( ) = bila ada, <. lim f ( ) +. lim f ( ). lim f ( ) Jawab :. lim f ( ) = lim ( + ) = + +. lim f ( ) = lim =. Sebab limit iri sama dengan limit anan maa limit fungsi ada dan lim f ( ) = Contoh : Selesaian Jawab : lim lim = 4 lim 4 ( + )( + ) + = lim = ( + )( ) 4 Fungsi f() diataan ontinu pada suatu titi = a bila nilai limit f() pada mendeati a sama dengan nilai fungsi di = a atau f(a). Secara lebih jelas, f() diataan ontinu di = a bila berlau :. f( a ) terdefinisi atau f(a) R.

16 . lim ( ) a f ada, yani : lim f ( ) = lim f ( ) + a a. lim ( ) ( ) a f = f a Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tida dipenuhi maa f() diataan tida ontinu atau disontinu di = a dan titi = a disebut titi disontinu. Secara geometris, grafi fungsi ontinu tida ada loncatan atau tida terputus. Bilamana ita menggambaran suatu grafi fungsi sembarang dengan mengeraan pensil ita di ertas dan tanpa pernah mengangat pensil tersebut sebelum selesai maa aan ita dapatan fungsi ontinu. Fungsi f() diataan ontinu pada interval bua ( a,b ) bila f() ontinu pada setiap titi di dalam interval tersebut. Sedangan f() diataan ontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :. f() ontinu pada ( a,b ). f() ontinu anan di = a lim f ( ) = f ( a) a +. f() ontinu iri di = b lim f ( ) = f ( b) b Bila f() ontinu untu setiap nilai R maa diataan f() ontinu atau ontinu dimana-mana. Contoh : Tentuan nilai agar fungsi Jawab : Nilai fungsi di = -, f( - ) =. + + f ( ), < = + ontinu di = -. +,

17 Sebab nilai limit anan sama dengan maa nilai limit iri juga sama dengan. Untu itu pembilang dari bentu melauan pembagian pembilang oleh penyebut didapatan, + + harus mempunyai fator +. Dengan = + +. Dari sisa pembagian ( - + ) sama dengan nol + + maa didapatan =. Soal Latihan. Dietahui : f() = +, +, > lim ( ) a. Hitung lim f ( ) dan f + b. Selidii apaah lim f ( ) ada, jia limit ini ada tentuan nilainya.. Dietahui g() =, hitung ( bila ada ) : a. c. lim g( ) b. lim ( ) g lim ( ) g +. Dietahui f() = a., hitung ( bila ada ) : lim f ( ) b. lim f ( ) c. + lim ( ) f a, < 4. Dietahui f() = a + b,, tentuan nilai a dan b agar b 5, > lim f ( ) ada. lim f ( ) dan 5. Dietahui f() =,, selidii eontinuan fungsi f() di = - +, >

18 +, < 6. Agar fungsi f() = a + b, <, ontinu pada R, maa a + b =, a + b 4 7. Tentuan a dan b agar fungsi f() =, <, ontinu di = 4, 8. Tentuan nilai a, b dan c agar fungsi beriut ontinu di =. a ; > f ( ) = b ; = + c ; < 9. Tentuan nilai agar membuat fungsi beriut ontinu : 7, a. f ( ) =, >, b. f ( ) = +, > 7 ; < c. f ( ) = 6 ; >. Carilah titi disontinu dari fungsi a. f ( ) = + + b. f ( ) = c. f ( ) = 4 8

19 LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA Dalam sub bab ini pengertian limit ta hingga dan limit di ta hingga secara formal tida diberian seperti halnya pada pengertian limit di suatu titi pada pembahasan terdahulu. Secara intuisi diberian melalui contoh beriut. Misal diberian fungsi f ( ) =. Maa nilai fungsi f() menuju ta hingga ( ) untu mendeati dari anan, sedangan menuju minus ta hingga ( - ) untu mendeati dari iri. Pengertian tersebut dapat dinotasian dengan limit sebagai beriut : lim f ( ) = dan lim f ( ) = + Bila f ( ) = ( ) maa didapatan lim f ( ) = dan lim f ( ) = + atau ditulisan lim f ( ) =. Bentu limit tersebut dinamaan limit ta hingga, yaitu nilai fungsi f() untu mendeati sama dengan ta hingga ( ). Sedangan bentu limit di titi mendeati ta hingga diilustrasian beriut. Misal diberian fungsi f ( ) menuju ta hingga atau minus ta hingga, dinotasian : =. Maa nilai fungsi aan mendeati nol bila nilai lim f ( ) = dan lim f ( ) = Secara umum, limit fungsi dari f ( ) hingga atau minus ta hingga sama dengan nol, ditulisan : lim n = atau lim n = = n B n, + untu mendeati ta

20 p( ) Bila f() merupaan fungsi rasional, misal f ( ) = dengan p() dan q() q( ) merupaan polinom maa untu menyelesaian limit di ta hingga dilauan dengan membagi pembilang, p() dan penyebut, q() dengan pangat tertinggi yang terjadi. Contoh : + Hitung lim + Jawab : Nilai dari pembilang untu mendeati dari arah anan adalah mendeati 6, sedangan nilai penyebut aan mendeati negatif bilangan yang sangat ecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negatif ecil seali aan menghasilan bilangan yang sangat ecil. Jadi lim + + = Soal Latihan Hitung limit beriut ( bila ada ) : +. lim +. lim. lim lim 4 5. lim 6. lim + 7. lim lim + 9. lim +. lim +. lim +. lim +

21 TURUNAN FUNGSI Misal diberian grafi fungsi y = f() dengan P ( a, b ) terleta pada urva f(). Bila Q (,y) merupaan titi sembarang pada urva f() maa gradien garis PQ dapat dinyataan dengan : y b f f a mpq = a = ( ) ( ) a Bila titi Q berimpit dengan dengan titi P maa garis PQ aan merupaan garis singgung urva f() di P sehingga gradien : f f a m = lim ( ) ( ) a a Turunan dari fungsi f() di titi = a didefinisian sebagai gradien dari garis singgung urva f() di = a dan diberian: f f f a ' ( a) lim ( ) = ( ) a a Bila nilai limit ada maa f() diataan diferensiabel atau dapat diturunan di = a. Misal h = - a. Maa turunan f() di = a dapat ditulisan : f '( f a h f a a ) lim ( + ) = ( ) h h df ( a) dy( a) Notasi lain : f ' ( a) = = = d d y'( a) Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f() di titi = a dinyataan sebagai ecepatan, V() benda yang bergera dengan lintasan f() pada saat = a. Oleh arena itu, didapatan hubungan V ( a) = f '( a) dan percepatan, A(), A( a) = dv ( a) d

22 Bila y = f() diferensiabel di = a maa ontinu di = a. Sifat tersebut tida berlau sebalinya. Hal ini, ditunjuan oleh contoh beriut. Contoh Tunjuan bahwa f ( ) = ontinu di = tetapi tida diferensiabel di = Jawab : Fungsi f ( ) ontinu di =, sebab f ( ) = lim f ( ) = Turunan f ( ) di = dicari menggunaan rumus beriut : f h f h f ' ( ) lim ( + ) ( = ) = lim h h h h Karena = lim h lim h = maa f() = tida diferensiabel di =. + h h h h Untu menentuan turunan suatu fungsi diberian rumus sebagai beriut : r ( ) d d = r r ; r R ( ( ) + g( ) ) d( f ( ) ) d( g( ) ) d f d = + d d ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) d f g d = g( ) d f + f ( ) d g d d f d( ( ) g ( )) g( ) d( f ( ) ) f ( ) d( g( ) ) d = g ( ) Soal latihan ( Nomor sd ) Tentuan dy d dari :. y = 6

23 . y =. y = ( + ) 4 4. y = ( + )( + + ) 4 5. y = ( + )( + ) 6. y = 7. y = 8. y = y = +. y = ( Nomor sd ) Tentuan nilai a dan b agar fungsi beriut diferensiabel di nilai yang diberian. a + ; <. f ( ) = ; = b ; a b ; <. f ( ) = ; = ; ; <. f ( ) = a + b ; ; =

24 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupaan fungsi ontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titi sama dengan nilai fungsinya, yaitu : lim sin = sin a dan lim cos = cos a a a Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu : h h a d( sin a) ( a h) a lim sin sin sin cos + = = lim + d h h h h h sin d( sin a) lim Karena cos a h a h = maa d = Sedangan untu turunan fungsi cosinus diperoleh beriut: d ( cos a) ( ) d a h a lim cos + = cos = lim h h h h h sin sin a + h = sin a Untu turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapan rumus perhitungan turunan : d. sin ( tan ) d( cos ) d d cot. d d. = = sec d cos ( ) d( sin ) = = csc d ( ) d sec ( cos ) d = = sec tan d

25 d 4. ( ) d csc ( sin ) d = = csc d cot Untu menentuan / menghitung limit fungsi trigonometri di ta hingga dan limit ta hingga, digunaan sifat atau teorema yang diberian tanpa buti beriut. Teorema Misal f() g() h() berlau untu setiap di dalam domainnya. Bila lim f ( ) = lim h( ) = L maa lim g( ) = L Contoh Hitung limit beriut ( bila ada ). lim sin + cos a. lim + sin Jawab : sin a. Misal f ( ) =. Dari - sin maa lim lim = = maa lim sin =. sin. Karena b. Bila mendeati nol dari arah anan maa - cos mendeati, sedangan nilai sin aan mengecil atau mendeati nol. Oleh arena itu, bila dibagi dengan bilangan positif ecil seali ( mendeati nol ) maa aan menghasilan bilangan yang sangat + cos besar ( mendeati ta hingga ). Jadi lim = + sin Soal latihan ( Nomor sd 7 ) Hitung limit fungsi beriut ( bila ada )

26 + cos. lim sin. lim cos. lim sin 4. lim sin 5. lim sin π lim sin + sin 7. lim cos ( Nomor 8 sd ) Tentuan turunan pertama dari: 8. y 9. y. y = = sin cos = cos tan sin cos. Persamaan garis singgung urva y = f() di titi ( a,b ) dengan gradien m dinyataan dengan : y - b = m ( - a ). Sedangan persamaan garis normal dari y = f (,y ) ( garis yang tega lurus terhadap suatu garis singgung ) yang melalui titi ( a,b ) mempunyai persamaaan : y - b = -/m ( - a ). Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva beriut di titi yang dietahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu. a. y = - di (, ) b. y = tan di = ¼ π

27 . Tentuan nilai a agar fungsi beriut ontinu di = sin, a. f ( ) = a = tan a, < b. f ( ) = + a,

28 TEOREMA RANTAI Untu mendapatan turunan dari fungsi omposisi dapat dilauan dengan cara mencari bentu eplisit dari hasil omposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunaan metode atau aturan rantai. Misal diberian fungsi : y f ( u ) = ( ). Maa turunan pertama terhadap yaitu : dy d d( f ( u) ) d( u( ) ) = = f '( u) u' ( ) du d Bila y = f(u ) dengan u = v() maa turunan pertama dari y terhadap dicari : dy d d( f ( u) ) d ( u( v) ) d( v( ) ) = = f '( u) u' ( v) v' ( ) du dv d Metode penurunan di atas dienal dengan teorema rantai. Contoh Cari turunan dari fungsi f ( ) = sin ( ) Jawab: Misal u() =. Maa fungsi f() dapat dinyataan dengan f ) sin ( u) df d terhadap yaitu = f '( u) u' ( ) = cos( ) ( =. Turunan Contoh Cari nilai turunan pertama di = dari fungsi f ( ) = tan π Jawab :

29 Misal v() = π dan u ( v) = v,. Maa fungsi dapat ditulisan dengan f ( ) = tan u. df π =. Nilai turunan di =, d π Turunan terhadap, f '( u) u' ( v) v' ( ) = sec π π yaitu f '() = Soal latihan ( Nomor sd 7 ) Tentuan turunan pertama dari. y = ( ). y = sin. y = cos( 4 ) + 4. y = 5. y = cos y = sin tan [ + ] 7. y = sin [ cos ( sin ) ] + 8. Hitung f ( ) bila f ( ) = + 9. Hitung g ( ½ ) bila g( t) = cos πt sin πt. Tentuan ( ) ( ). Tentuan ( ) ( ) fog ' bila f() = cos π dan g( ) = fog ' bila f ( ) = dan g( ) = 4 4 di titi. Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva y = ( + ) ( + ) dengan absis =.

30 TURUNAN TINGKAT TINGGI Turunan edua dari fungsi f( ) didapatan dengan menurunan seali lagi bentu turunan pertama. Demiian seterusnya untu turunan e-n didapatan dari penurunan bentu turunan e-(n-). Turunan pertama Turunan edua Turunan etiga Turunan e-n f ' ( ) = df ( ) d d f ( ) f "( ) = d f "'( ) = d f ( ) d n ( ) d f ( ) f n ( ) = d n Contoh : Tentuan turunan edua dan etiga dari fungsi Jawab : Turunan pertama, f '( ) = + f ( ) = + Turunan edua digunaan rumus turunan dari fungsi hasilbagi, f "( ) = Turunan etiga, f "'( ) = + = 5 ( ) ( + )

31 Gera Partiel Lintasan gera partiel P dinyataan dengan fungsi parameter s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gera P diberian oleh Kecepatan, v ( t) = s'( t) Percepatan, a ( t) = s"( t) Contoh : Lintasan gera partiel P ditentuan oleh persamaan : s ( t) = t t + t Tentuan : a. Kapan partiel P berhenti? b. Besar percepatan P pada saat t = Jawab : a. Kecepatan, v ( t) = s'( t) = t 4t +. Partiel P berhenti berarti ecepatan sama dengan nol, sehingga t = / dan t =. b. Percetapan, a ( t) = s"( t) = 6t 4. Untu t =, maa a( ) = 8 Soal Latihan Tentuan turunan edua dari. y = sin( ). y = ( ) 4. y = + 4. y = cos ( π ) 5. Tentuan nilai c dari f "( c) = bila f ( ) =

32 6. Tentuan nilai a, b dan c dari fungsig( ) = a + b + c dan g () = - 4 bila g () = 5, g ( ) = 7. Tentuan besar ecepatan sebuah obye yang bergera pada saat percepatannya nol bila lintasan obye dinyataan dengan persamaan : a. s = ½ t 4-5 t + t. b. s = ( t 4 4t + 6t ) 8. Dua buah partiel bergera sepanjang garis oordinat. Pada saat watu t jara berarah dari titi pusat diberian dengan s dan s. Bilamana edua partiel mempunyai ecepatan sama bila : a. s = 4 t - t dan s = t - t b. s = t - t + 8 t + 5 dan s = -t + 9 t - t

33 FUNGSI IMPLISIT Fungsi dengan notasi y = f() disebut fungsi esplisit, yaitu antara peubah bebas dan ta bebasnya ditulisan dalam ruas yang berbeda. Bila tida demiian maa diataan fungsi implisit. Dalam menentuan turunan fungsi implisit bila mungin dan mudah untu dierjaan dapat dinyataan secara esplisit terlebih dahulu emudian ditentuan turunannya. Namun tida semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentu esplisit, oleh arena itu aan dibahas cara menurunan fungsi dalam bentu implisit beriut. Contoh : Tentuan dy bila y 4 + y = 5 d Jawab : Bentu fungsi dapat diubah menjadi bentu esplisit, penurunan didapatan, dy d = 6 ( + ) y =. Digunaan aturan + Contoh : Tentuan nilai dy di (, ) bila 4 y + y = d Jawab : Bentu fungsi dapat diubah menjadi fungsi esplisit dalam y, y + =. 4 y Menggunaan aturan penurunan didapatan, d dy y = + y + 4 ( 4 y )

34 Karena dy ( 4 y ) = maa = dy d d dy d y. Nilai turunan di (, ) atau y =, + y + 4 dy d = Contoh : Tentuan nilai dy di = bila 4 y + y = d Jawab : Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunaan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari dan y berturut-turut dinyataan dengan d dan dy. Bila dalam satu suu terdapat dua peubah ( dan y ) maa ita lauan scara bergantian, bisa terhadap dahulu baru terhadap y atau sebalinya. Hasil turunan masing-masing ruas dibagi oleh d. dy aan nampa bila d y 4 + y = dy 4d + 4dy + 4 y dy = dy y d dy d 4 4 y = + 4 y + 4 dy y d = ( ruas iri dan ruas anan dibagi dengan d ) Substitusi = e fungsi didapatan y + y = atau y = ½ dan y = -. dy Untu (, - ), = d dy Untu (, ½ ), = d Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan turunan pertama dari. - y =

35 . y + - y =. y ( y) + sin = 4. y + y = 5. tan ( y ) - y = 6. Dietahui urva yang dinyataan secara implisit : + y + y - y =. Tentuan a. Turunan pertama di = b. Persamaan garis singgung dan normal di = 7. Tentuan persamaan garis singgung dan normal dari urva beriut di titi yang diberian. a. y + y = ; (, ) b. y + y = ; (, ) c. y + y = y ; (, ) d. sin ( y ) = y ; ( ½ π, ) e. y + cos ( y ) + = 4 ; (, ) 8. Sebuah urva dinyataan dalam persamaan implisit : ( ) Tentuan : a. dy d + y + y =. b. Persamaan garis singgung urva di titi potongnya dengan garis + y =.

36 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA Pada bagian ini penggunaan turunan aan di titi beratan untu mengetahui sifat-sifat yang dimilii suatu urva antara lain emonotonan, eceungan, nilai estrim, titi belo dan asymtot. Hal ini diteanan agar ita mudah dalam menganalisa dan menggambaran grafi fungsi. Pada bagian ahir dari sub bab penggunaan turunan ini, aan dijelasan tentang dalil De lhospital untu menghitung limit fungsi bai limit di suatu titi, limit di ta hingga maupun limit ta hingga. Definisi : Fungsi Monoton Grafi fungsi f() diataan nai pada selang I bila f ( ) f ( ) > untu > ;, I. Sedangan f() diataan turun pada selang I bila ( ) f ( ) f < untu > ;, I. Fungsi nai atau turun disebut fungsi monoton. Dalam menentuan selang fungsi monoton nai atau turun digunaan pengertian beriut. Gradien dari suatu garis didefinisian sebagai tangen sudut ( α ) yang dibentu oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α. Bila sudut lancip (α < ½ π ) maa m > dan m < untu α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu urva y = f() di titi (,y ) diberian dengan m = f ( ) dan selang fungsi nai atau turun berturut-turut ditentuan dari nilai gradiennya, maa selang atau selang dimana fungsi monoton diberian beriut :. Fungsi f() nai bila f ' ( )>. Fungsi f() turun bila f ' ( )< Contoh : Tentuan selang fungsi nai dan fungsi turun dari fungsi f ( ) = Jawab : 4 Turunan pertama, f '( ) = Untu f '( ) = >, maa fungsi nai pada < < - ½ atau > dan fungsi turun pada < - atau ½ < <.

37 Secara geometris, grafi fungsi y = f() ceung e bawah di suatu titi bila urva terleta di bawah garis singgung urva di titi tersebut. Sedangan garfi fungsi y = f ( ) ceung e atas di suatu titi bila urva terleta di atas garis singgung yang melalui titi tersebut. Definisi : Keceungan Fungsi Fungsi f() diataan ceung e atas pada selang I bila f selang I, sedang f() diataan ceung e bawah bila f Oleh arena itu dapat disimpulan :. Bila f "( ) >, I maa f() ceung e atas pada I dan. Bila f "( ) <, I maa f() ceung e bawah pada I. '( )nai pada '( ) turun pada selang I. Contoh : + Tentuan selang eceungan dari fungsi : f ( ) = + Jawab : Turunan pertama, f '( ) = Turunan edua, f "( ) = + ( + ) 4 ( + ) Ceung e atas, f "( ) > pada selang > - dan ceung e bawah pada selang < -. Soal Latihan Tentuan selang emonotonan dan eceungan dari urva beriut. f ( ) = ( ). f ( ) = + 9. f ( ) = f ( ) = f ( ) = 6 4

38 6. f ( ) = 7. f ( ) = +

39 NILAI EKSTRIM Misal diberian urva f( ) dan titi ( a,b ) merupaan titi punca ( titi masimum atau minimum ). Maa garis singgung urva di titi ( a,b ) aan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien m = f '( a) =. Titi ( a, b ) disebut titi estrim, nilai = a disebut nilai stasioner, sedangan nilai y = b disebut nilai estrim. Definisi : Nilai Masimum dan Nilai Minimum Nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) masimum pada selang I bila f(a) > f() untu setiap I. Sedangan nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f() untu setiap I. Untu menentuan jenis nilai estrim ( masimum atau minimum ) dari fungsi f() dapat dilauan dengan Uji turunan edua sebagai beriut :. Tentuan turunan pertama dan edua, f '( )dan f "( ). Tentuan titi stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f '( ) = ), misalan nilai stasioner adalah = a. Nilai f(a) merupaan nilai masimum bila f "( a) <, sedangan nilai f (a) merupaan nilai minimum bila f "( a) >. Contoh : Tentuan nilai estrim dan jenisnya dari fungsi f ( ) = Jawab : Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatan nilai stasioner fungsi adalah = -, = - ½ dan =. Turunan edua, f "( ) = + +. Untu = -, f "( ) = dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( - ) = -5. Untu = - ½, f "( ) = dan fungsi mencapai masimum dengan nilai masimum f ( ) = Untu =, f "() = dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( ) = -5 4

40 Definisi : Titi Belo Misal f() ontinu di = b. Maa ( b, f(b) ) disebut titi belo dari urva f() bila terjadi perubahan eceungan di = b, yaitu di satu sisi dari = b ceung e atas dan disisi lain ceung e bawah atau sebalinya. Syarat perlu = b merupaan absis dari titi belo bila berlau f "( b) = atau f() tida diferensiabel dua ali di = b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan ata calon, masudnya bahwa untu nilai = b yang dipenuhi oleh salah satu dari edua syarat itu memunginan untu menjadi absis titi belo bergantung apaah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi. Contoh Carilah titi belo ( bila ada ) dari fungsi beriut : a. f ( ) = b. f ( ) = 4 c. f ( ) = + Jawab : a. Dari f ( ) = Bila f maa f "( ) =. "( ) = maa = merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah = merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < maa f "( ) <, sedangan untu > maa f "( ) >. Oleh arena itu, di = terjadi perubahan eceungan. Jadi (,- ) merupaan titi belo. b. Dari f ( ) = 4 maa f "( ) =. Bila f "( ) = maa = merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah = merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < dan > maa f eceungan. Jadi (, ) buan merupaan titi belo. c. Dari f ( ) = + maa f "( ) = ali di =. Untu < maa f "( ) >. Oleh arena itu, di = tida terjadi perubahan 9 5. Terlihat bahwa f() tida dapat diturunan dua "( ) >, sedangan untu > maa f "( ) <. Oleh arena itu, di = terjadi perubahan eceungan. Jadi (, ) merupaan titi belo

41 Asymtot Asymtot suatu grafi fungsi didefinisian sebagai garis yang dideati oleh suatu urva. Asymtot dibedaan menjadi tiga yaitu :. Asymtot mendatar. Asymtot tega. Asymtot miring Misal diberian urva y = f ( ). Maa garis y = b disebut asymtot mendatar dari y = f ( ) bila : lim f ( ) = b atau lim f ( ) = b. Sedangan garis = a disebut asymtot tega bila berlau salah satu dari :. lim f ( ) = a. lim f ( ) = a. lim f ( ) = a 4. lim f ( ) = a Contoh : Carilah asymtot datar dan asymtot tega dari fungsi f ( ) = Jawab : Asymtot datar, y = - sebab lim f ( ) = lim = atau lim f ( ) = Asymtot tega, = - dan = sebab lim f ( ) = lim = + + dan lim f ( ) = lim + + = Garis y = a + b diataan sebagai asymtot miring dari y = f ( ) bila berlau lim [ f ( ) ( a + b) ] = atau lim [ f ( ) ( a + b) ] =. Untu mendapatan asymtot

42 P( ) miring dari fungsi rasional f ( ) = [ pangat P() = + pangat Q() ] dilauan Q( ) dengan cara membagi P() dengan Q() sehingga hasilbagi yang didapatan merupaan asymtot miring dari f(). Contoh : Carilah asymtot dari fungsi f ( ) = Jawab : Asymtot datar tida ada sebab lim f ( ) = atau lim f ( ) =. Asymtot tega, = sebab lim f ( ) = lim =. 4 Asymtot miring, y = sebab lim ( ) = lim = Grafi Fungsi Dalam mengambaran grafi suatu urva dapat dilauan dengan menentuan terlebih dahulu : selang emonotongan, selang eceungan, titi estrim dan jenisnya, titi potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titi belo ( bila ada ), semua asymtot ( bila ada ) dan titi lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahan menggambaran grafi. Soal latihan ( Nomor sd 6 ) Tentuan nilai estrim dan jenisnya dari urva dengan persamaan beriut :. f ( ) = +. f ( ) = + 4. f ( ) = sin, ( < < π ) 4. f ( ) = cos π, < < π

43 4 5. f ( ) = f ( ) = 4 4 ( Nomor 7 sd ) Tentuan titi belo dari urva beriut ( bila ada ) 7. f ( ) = 6 8. f ( ) = + 9. f ( ) = f ( ) = ( Nomor sd ) Cari semua asymtot dari fungsi beriut :. f ( ) =. f ( ) =. f ( ) = 4. f ( ) = ( ) 5. f ( ) = 6. f ( ) = 4 7. f ( ) = + 8. f ( ) = 9. f ( ) = + ( ). f ( ) =

44 . f ( ) = 4 ( Nomor sd 8 ) Gambaran grafi urva beriut :. f ( ) =. f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = + 8. f ( ) = ( + 8)

45

46 DALIL DELHOSPITAL yaitu : Dalam perhitungan limit fungsi seringali dijumpai bentu ta tentu dari limit,,. oleh Delhospital. dan. Untu menyelesaiannya digunaan cara yang dienalan Bentu dan Misal lim f() = lim g() = atau lim f() = lim g() =. Maa f lim ( ) lim ' ( ) g( ) = f g ' ( ). Bila masih dijumpai ruas anan merupaan bentu atau maa dilauan penurunan lagi sehingga didapatan nilai yang buan merupaan bentu ta tentu tersebut. Penulisan lim mengandung masud lim, lim, lim, lim atau lim. a a+ a Contoh : Hitung limit beriut cos a. lim + b. lim 4 + Jawab : cos a. lim lim sin 4 lim cos = = = b. lim = lim = lim = lim = Bentu.

47 Misal lim f() = dan lim g() =. Maa lim f() g() merupaan bentu.. Untu menyelesaiannya ita ubah menjadi bentu atau yaitu : f lim ( ) ( ) lim ( ) g lim ( f g = ) =. Selanjutnya solusi dari limit tersebut g( ) f ( ) diselesaian dengan cara seperti bentu sebelumnya. Contoh : Hitung limit beriut π a. lim sec π/ b. lim csc Jawab : π π a. lim sec = lim = lim π/ π / cos π / sin b. lim csc = lim lim sin = cos = = Bentu - Misal lim f() = lim g() =. Maa untu menyelesaian lim [ f() - g() ] dilauan dengan menyederhanaan bentu [ f() - g() ] sehingga dapat dierjaan menggunaan cara yang telah dienal sebelumnya. Contoh Hitung lim ( csc cot ) Jawab :

48 cos cos lim ( csc cot ) = lim lim lim sin sin = = = sin sin cos Sebagai catatan bahwa tida semua bentu limit ta tentu dapat diselesaian menggunaan dalil Delhospital. Hal ini seringali terjadi di dalam menyelesaian limit fungsi f() dengan f() buan merupaan fungsi rasional. Untu lebih jelasnya diberian contoh beriut. Contoh Hitung limit beriut : a. lim b. lim Jawab: + + a. lim = lim ( ) = b. lim + + = lim = Soal latihan Hitung limit beriut ( bila ada ). lim lim

49 5. lim lim lim lim + 7. lim csc 8. lim cot ( cos ) 9. lim +. lim +. lim +. lim l i m lim sin( a ) a 5. lim tan 5 sin 6. lim sin ( 5 ) 7. lim sin cos

50 sin 8. lim cos 9. lim cos cos 5. lim cos

51 NOTASI SIGMA ( S ) Notasi untu sigma ( jumlah ) diberian beriut : n i i= a = a + a a n dan n i= = = n n suu Beberapa sifat dan rumus sigma diberian beriut : n. ( a + lb ) = a + l i i i i i= i= i= linear ) n. ( a a ). i= n i+ i = an+ n [( i + ) i ] = ( n + ) i = n 4. i = n( n + ) i= a n b ( sifat n 5. i i= n 6. i i= n( n + )(n + ) = 6 n( n + ) = n 4 n( n + ) ( 6n + 9n + n ) 7. i = i= Soal Latihan ( Nomor sd ) Hitung nilai sigma beriut : 6. i i= 6 i=. ( i + ). 4 i ( ) i= i( i + ) 7 4. cos iπ i= = 6. ( ) = 7. ( ) = + 4 i= 8. [( i )( i + )] 9. 5 ( + 4) =

52 n. ( i ) i=

53 ( Nomor sd 6 ) Nyataan dalam notasi sigma deret beriut: ½ + / + + / ½ + / - ¼ + - /5 5. f ( c ) + f ( c ) f ( c n ) 6. f ( w ) + f ( w) f ( wn)

54 INTEGRAL TENTU Pengertian atau onsep integral tentu pertama ali dienalan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dienalan oleh Riemann. Materi pembahasan terdahulu yani tentang integral ta tentu dan notasi sigma aan ita gunaan untu mendefinisian tentang integral tentu. Pandang suatu fungsi f() yang didefinisian pada suatu selang tutup [ a,b ]. Pada tahap awal aan lebih mudah untu dapat dimengerti bilamana f() diambil selalu bernilai positif, ontinu dan grafinya sederhana. Pandang suatu partisi P pada selang [ a,b ] yang dibagi menjadi n sub selang ( dalam hal ini diambil yang panjangnya sama walaupun hal ini tidalah mutla ), misal a = < <... < n < n = b dan = =. Pada setiap sub selang [ ], ita ambil suatu titi ( titi sembarang namun untu memudahan penjelasan dipilih titi tengah selang ) yaitu =. Partisi yang terbentu merupaan segiempat dengan uuran dan f ( ) sebagai panjang dan lebarnya, sehingga luas tiap partisi adalah f ( ) didapatan jumlah luas partisi pada selang [ a,b ] yaitu : f ( ) n =. Oleh arena itu. Jumlah tersebut dinamaan jumlah Riemann untu f() yang bersesuaian dengan partisi P. Maa luas daerah yang dibatasi oleh y = f(), garis = a, garis = b dan sumbu X aan dideati oleh jumlah Riemaan di atas bila diambil n. Dari sini dapat didefinisian suatu integral tentu yaitu integral dari f() pada suatu selang [ a,b ] beriut. Definisi : Integral Riemann b a Misal fungsi f() ontinu pada selang [ a,b ], = = lebar partisi dari n [ a,b ], a =, b = n, = sebagai limit jumlah Riemann yaitu :. Maa integral dari f() atas [ a,b ] didefinisian

55 b n n f ( ) d = lim f ( ) = lim f ( ) a = n = Bila limit ada maa f() diataan integrabel ( dapat diintegralan ) pada [ a,b ]. Integral ini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu. Teorema. Misal f() fungsi terbatas pada [ a,b ] ( yaitu terdapat M R sehingga f() M untu setiap [ a,b ]) dan ontinu ecuali pada sejumlah hingga titi pada [ a,b ]. Maa f() integrabel pada [ a,b ].. Bila f() ontinu pada [ a,b ] maa f() integrabel pada [ a,b ]. Contoh Fungsi beriut tida integrabel pada [ -, ] :, f ( ) =, = Tunjuan ( dengan membuat grafi ) bahwa f() tida terbatas pada [ -, ]! Teorema Dasar Kalulus ( Pertama ) Misal f() ontinu pada [ a,b ] dan F() adalah anti turunan dari f(). Maa b f ( ) d = F ( b) F ( a) a Contoh : Selesaian integral tentu beriut : π a. sin( ) d π b. + d

56 Jawab : a. Misal u =. Maa du = d. Untu = ½ π dan = π maa u = π dan u = π. π π π sin( ) d = sinu du cosu ( cos cos ) π = = π π = π π b. Misal u = +. Maa du = d. Dari bentu integral ta tentu didapatan : + d = u du = u u + C Jadi : + d = ( + ) + = ( ) Teorema Dasar Kalulus ( Kedua ) Misal f() ontinu pada [ a,b ]. Maa terdapat c ( a,b ) sehingga : b f ( ) d = f ( c) ( b a) a Teorema ini disebut juga Teorema Nilai Rata-rata Integral dengan f( c ) merupaan nilai rata-rata integral dari f( ). Contoh : Tentuan nilai rata-rata fungsi f ( ) = + pada selang [, ]. Jawab : Misal u = +. Maa du = 4 d. Bila = dan = maa berturut-turut u = dan u = 9. Jadi : Rata rata = + d = u du = u u = = 8 4 6

57 Sifat-sifat lain yang beraitan dengan integral tentu diberian beriut : b b b p f ( ) + q g( ) d = p f ( ) d + q g( ) d a a a ( sifat linear ). [ ]. Misal f() dan g() integrabel pada [ a,b ] dan f() g() untu setiap [ a,b ]. Maa b b f ( ) d g( ) d ( sifat perbandingan ) a a. Misal f() integrabel pada [ a,b ] dan m f() M untu setiap [ a,b ]. Maa b m( b a) f ( ) d M( b a) a c b c 4. f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d a a b a b a 5. f ( ) d = dan f ( ) d = f ( ) d a a b a 6. Bila f() fungsi ganjil maa f ( ) d = a a a 7. Bila f() fungsi genap maa f ( ) d = f ( ) d a b+ p b 8. Bila f() fungsi periodi dengan periode p maa f ( ) d = f ( ) d a+ p a b g( b) f g( ) g'( ) d = f ( u) du a g( a) 9. ( ) v( ) D f ( t) dt f v( ) v' ( ) f w( ) w'( ) = w( ). ( ) ( )

58 Contoh : 5 Hitung integral Jawab : f ( ) d bila, < f ( ) = +, < <, > 5 ( + ) d + d = f ( ) d = 5 Contoh : Tentuan turunan pertama dari G( ) = t + dt Jawab : G'( ) = Soal Latihan 5 ( Nomor sd 5 ) Hitung nilai integral dari f ( ) d, bila :. f ( ) = 4 + 4/ /. f ( ) =. f ( ) = , < 4. f ( ) = 6, 5, < 5. f ( ) =, 4, < 5

59 ( Nomor 6 sd ) Hitung nilai integral tentu beriut : 4 4 s 8 6. ds s π / 7. sin t dt π / d 9. 8t 7 + t dt +. d + π /. sin cos d 5. d. d ( Nomor 4 sd 7 ) Tentuan G () dari : 4. G( ) = dt t + 5. G( ) = 6. G( ) = dt t + dt t G( ) = + sint dt

60 ( Nomor 8 sd ) Misal f() = f(-), f(), g(-) = - g(), f ( ) d =, g( ) d = 5. Hitung : 8. f ( ) d 9. f ( ) d. g( ) d. [ ( ) + ( ) ] f g d f f d. [ ( ) + ( )]. g( ) d ( 4 sd 6 ) Tentuan nilai rata-rata dari fungsi beriut pada selang yang dietahui: 4. f() = 4, [, ] 5. f ( ) =,[, ] f() = sin cos, [, π/ ]

61 LUAS DAERAH Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafi fungsi y = f(), garis = a, garis = b dan sumbu X telah ita bahas dalam pembahasan integral tentu. Namun untu daerah yang lebih omples aan ita bahas secara detil pada perhitungan luas daerah dengan menggunaan integral tentu. Selain dari itu, integral tentu aan ita gunaan juga untu menghitung volume benda pejal yaitu benda yang dihasilan bila suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar. Panjang urva aan ita bahas pada bagian ahir dari bab ini. Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(), = a, = b dan sumbu X. Maa luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai beriut : b L = f ( ) d a Bila f() maa integral dari f() pada selang [ a,b ] aan bernilai negatif atau nol. Oleh arena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(), garis = a, = b dan sumbu X, ditulisan sebagai beriut : b L = f ( ) d a Untu daerah yang dibatasi oleh grafi fungsi yang dinyataan secara esplisit dalam peubah y, yani = v(y), garis y = c, y = d dan sumbu Y, maa luas daerah : d L = v( y) dy c

62 Contoh : Tentuan luas daerah yang dibatasi oleh f() = - - +, sumbu X, garis = dan =. Jawab : Kita lihat bahwa f() pada selang [, ] dan f() pada selang [, ]. Luas daerah : 5 4 ( + ) d ( + ) L = f ( ) d f ( ) d = = d Bila suatu daerah dibatasi oleh dua buah grafi fungsi, misal y = f() dan y = g() diberian sebagai beriut : () Misal daerah dibatasi oleh grafi y = f(), y = g(), = a dan = b dengan f() g() untu [a,b]. Maa luas daerah : b L = [ f ( ) g( ) ] d a () Misal daerah dibatasi oleh grafi = w(y), = v(y), y = c dan y = d dengan w(y) v(y) untu y [c,d]. Maa luas daerah : d L = [ w( y) v( y) ] dy c Contoh : Tentuan luas daerah yang dibatasi oleh y = 4 dan garis 4 - y = 4. Jawab :

63 Langah pertama yang dilauan adalah mencari titi potong edua urva. Didapatan titi potong eduanya yaitu ( ¼,- ) dan ( 4,4 ). Pada selang [ -,4 ], 4 4 y + y 4 5. Maa luas daerah y + y L = = 4 4 dy 4 4 Soal Latihan Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafi beriut :. y = - 4 +, y = =, =. = y - 4y, =, y =, y = 4. = y, y = + 4. y =, y = -, y = 8 5. y = -, y = - 6, y = -, y = 4 6. y =, y = 4, y = y = -, y = -, =, = 8. y = sin, y = cos, =, = π.

64 VOLUME BENDA PUTAR Benda putar yang sederhana dapat ita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilali luas alas ( luas lingaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas ita nyataan dengan A() dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maa volume benda putar dapat dihitung menggunaan integral tentu sebagai beriut : b V = A( ) d a Untu mendapatan volume benda putar yang terjadi arena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilauan dengan menggunaan dua buah metode yaitu metode caram dan ulit tabung. Metode Caram Misal daerah dibatasi oleh y = f(), y =, = a dan = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupaan jumlah ta berhingga caram yang berpusat di titi-titi pada selang [a,b]. Misal pusat caram ( o, ) dan jari-jari r = f( o ). Maa luas caram dinyataan : A( o ) = π f ( o ). Oleh arena itu, volume benda putar : b V = π [ f ( ) ] d a Sedang bila grafi fungsi dinyataan dengan = w(y), =, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maa volume benda putar :

65 d V = π [ w ( y ) ] dy c Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(), y = g() { f() g() untu setiap [a,b] }, = a dan = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maa volume : ([ ] [ ] ) b V = π f g d a Bila daerah yang dibatasi oleh = w(y), = v(y) { w(y) v(y) untu setiap y [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maa volume : ([ ] [ ] ) d V = π w y v y dy c Contoh : Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = dan y = 8 diputar mengelilingi a. Sumbu X. b. Sumbu Y Jawab : Kedua urva berpotongan di (, ) dan (,4 ). a. Pada selang [, ], 8. Volume benda putar = 48 ( 8 ) ( ) = π V = π d y b. Pada selang [,4 ], y. Volume benda putar = 8 5

66 V 4 = π dy 8 7 ( ) y y = π 5 Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = -, y = - dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis y = - Jawab : Kedua urva berpotongan di ( -, ) dan (,- ). Pada selang [ -, ] berlau - -. Jara urva y = - dan y = - terhadap sumbu putar ( garis y = - ) dapat dipandang sebagai jari-jari dari caram, berturut-turut adalah ( 4 - ) dan ( - ). Oleh arena itu, volume benda putar : V = π 6 ( 4 ) ( ) d = π 5 Metode Kulit Tabung Metode beriut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungin lebih mudah diterapan bila ita bandingan dengan metode caram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari ulit luar dan dalamnya berbeda, maa volume yang aan dihitung adalah volume dari ulit tabung. Untu lebih memperjelas ita lihat uraian beriut. Pandang tabung dengan jari-jari ulit dalam dan ulit luar berturut-turut r dan r, tinggi tabung h. Maa volume ulit tabung adalah : ( ) V = πr πr h = πrh r dengan : r r = r (rata rata jari jari ), r r = r Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(), y =, = a dan = b diputar mengelilingi sumbu Y maa ita dapat memandang bahwa jari-jari r =, r = dan tinggi tabung h = f(). Oleh arena itu volume benda putar =

67 b V = π f ( ) d a Misal daerah dibatasi oleh urva y = f(), y = g() { f() g(), [a,b] }, = a dan = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maa volume benda putar = b V = π [ f ( ) g ( ) ] d a Bila daerah dibatasi oleh grafi yang dinyataan dengan = w(y), =, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X, maa volume = d V = π y w ( y ) dy c Sedang untu daerah yang dibatasi oleh = w(y), = v(y) { w(y) v(y), y [ c,d ]}, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maa volume benda putar = d V = π y [ w ( y ) v ( y ) ] dy c Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah yang terleta di uadran pertama dibawah parabola y = - dan di atas parabola y = diputar mengelilingi sumbu Y. Jawab : Kedua parabola berpotongan di ( -, ) dan (, ). Pada selang [, ],. Bila digunaan metode ulit tabung, volume = [( ) ] π V = π d =

68 Bila ita gunaan metode caram, maa daerah ita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang y dibatasi = y dan sumbu Y sedang pada selang y dibatasi = y dan sumbu Y. Oleh arena itu volume = V ( y ) dy + π ( y ) dy π = π = Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = -, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis = Jawab : Misal di ambil sembarang nilai pada daerah D maa didapatan tinggi benda pejal, ( - ) dan jari-jari ( jara terhadap sumbu putar / garis = ), ( + ). Oleh arena itu, volume benda putar : V = π 5 6 ( + )( ) d = π Soal Latihan ( Nomor sd 8 ) Hitung volume benda putar bila daerah beriut diputar dengan sumbu putar sumbu X.. y =, =, =, y = 5. y = sin, y = cos, =, = π/4. y = /, =, = 4, y = 6. y = +, y = +. y = 9 -, y = 7. y =, y = 4. y =, y = 4 8. y =, y =. ( Nomor 9 sd 5 ). Hitung volume benda putar bila daerah beriut diputar mengelilingi sumbu Y. 9. = -y, = π. = cos y, y =, y =, =. y = /, y =, y =, =

69 . y = -, =, y =. y =, = y. 4. = y, = y + 5. = - y, = + y, y = -, y = 6. Hitung volume benda putar dari daerah yang terleta di uadran pertama yang dibatasi oleh y =, garis = 4 dan sumbu X. Bila diputar mengelilingi a. Garis = 4 b. Garis y = 8 7. Hitung volume benda putar dari daerah yang terleta di uadran pertama yang dibatasi oleh y =, garis y = 8 dan sumbu Y. Bila diputar mengelilingi a. Garis = 4 b. Garis y = 8 ( Nomor 8 sd ) Hitung volume benda putar dengan sumbu putar sumbu Y untu daerah yang dibatasi oleh: 8. y = cos, y =, =, = ½ π,. = y, y =. 9. y = -, y = - +, =. y = -, y = ( Nomor sd 5 ) Hitung volume benda putar dengan sumbu putar sumbu X untu daerah yang dibatasi oleh: 6. y =, y =, = 7. = y, y =, y =, = 8. y =, =, y = 9. y = 4, + y = 5

70 ( Nomor 6 sd 9 ) Gambar dan arsir daerah D dan hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah D dan sumbu putarnya diberian beriut : 6. y =, = 4, y = ; garis = 4 7. y = - ( ), =, y = ; garis = 8. = y, y =, = ; garis y = 9. = y +, y =, =, y = ; garis y =

71 PANJANG KURVA Persamaan urva seringali dinyataan dengan peubah dan y. Namun adaalanya dinyataan dengan parameter. Kita dapat mengambil contoh beriut. Persamaan lingaran: + y = a dapat juga ditulisan dengan = a cos t dan y = a sin t dengan t π. t disebut parameter. Dalam perhitungan panjang urva bidang yang dinyataan dalam parameter, ita membatasi untu urva bidang yang smooth atau mulus. Untu itu diberian definisi beriut : Definisi : Kurva Mulus Kurva yang ditentuan oleh pasangan persamaan parameter, = f(t), y = g(t), a t b diataan smooth ( mulus ) bila turunan pertama f dan g ada dan ontinu pada selang [ a,b ], f dan g tida secara bersama-sama bernilai nol pada selang [ a,b ]. Misal f() ontinu pada [a,b]. Maa untu menghitung panjang urva f() sepanjang selang [a,b] dilauan sebagai beriut : Bagi selang [a,b] menjadi n sub selang sama panjang dengan panjang sub selang. Pada sub selang e-, [ -, ] didapatan nilai fungsi pada ujung sub selang yaitu f( - ) dab f( ). Misal L merupaan panjang ruas garis dari titi ( ) Maa : ( f ) e( f ( )),,. [ ] L = ( ) + f ( ) f ( ) Dari teorema nilai rata-rata, ( ) f ( ) f ( ) = f ' *, * [, ] maa didapatan: * [ ( )] L = + f '

72 Jadi panjang urva f() sepanjang selang [a,b] dideati oleh : * [ ( )] n n L f = + ' untu n. = = Atau b a L = + [ f '( ) ] d Bila urva dinyataan sebagai = w(y), maa panjang urva pada selang [ c,d ] : d L = + [ w' ( y) ] dy c Sedangan bila persamaan dinyataan dengan persamaan parameter, = f(t), y = g(t), a t b maa panjang urva = b L = [ f '( t) ] + [ g' ( t) ] dt a b d dy L = dt dt a dt atau Contoh : Hitung panjang urva y Jawab : = dari titi (, ) sampai titi ( 4,8 )! 4 4 dy L = + d = + d = + = d

73 Contoh : Hitung panjang eliling lingaran + y = a Jawab : Persamaan + y = a diubah menjadi persamaan parameter : = a cos t dan y = a sin t dengan t π. Substitusian : d/dt = - a sin t dan dy/dt = a cos t e dalam : π L = dy dt d + dt dt = π a Catatan : Bandingan hasil di atas dengan hasil yang diperoleh bila ita gunaan rumus untu mencari eliling lingaran dengan jari-jari r = a. Soal Latihan ( Nomor sd 7 ) Hitung panjang urva beriut :. y = / dari (,) e (, ). y = / dari = e = 4. y = + 6 dari = e = y = y dari y = e y = 4 4 y y 5. = + dari y = e y = = ( y + ) / dari y = e y = 7. y = u du,