KENNETH CHRISTIAN NATHANAEL

Transkripsi

1 KENNETH CHRISTIAN NATHANAEL. Sistem Bilang Real. Fungsi dan Grafi. Limit dan Keontinuan 4. Limit Ta Hingga 5. Turunan Fungsi 6. Turunan Fungsi Trigonometri 7. Teorema Rantai 8. Turunan Tingat Tinggi 9. Fungsi Implisit. Kemotonan Kurva. Nilai Estrim. Dalil L Hopital. Integral Ta Tentu 4. Notasi Sigma 5. Integral Tentu 6. Luas Daerah 7. Volume Benda Putar 8. Panjang Kurva 9. Fungsi Invers. Fungsi Logaritma Esponen. Fungsi Invers Trogonometri. Fungsi Hiperboli. Fungsi Invers Hiperboli 4. Limit Bentu Ta Tentu 5. Integral Ta Wajar 6. Barisan Bilangan 7. Deret Ta Hingga 8. Deret Berganti Tanda 9. Konvergen Mutla dan Bersyarat. Deret Kuasa. Deret Taylor Maclaurin. Turunan Integral Deret Kuasa. Order Persamaan Differensial 4. Persamaan Differensial Orde Satu 5. Peubah Terpisah 6. Persamaan Differensial dengan Koefisien Terpisah 7. Persamaan Differensial Orde Dua 8. Persamaan Differensial Orde Dua Tida Homogen 9. Permuaan 4. Integral Rangap 4. Integral Rangap 4. Volume Pusat Massa 4. Koordinat Tabung Bola 44. Medan Vetor 45. Integral Garis 46. Integral Permuaan

2 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real, dinotasian dengan R memainan peranan yang sangat penting dalam Kalulus. Untu itu, pertama ali aan diberian beberapa fata dan terminologi dari bilangan real. Secara geometri, bilangan real R dapat digambaran sebagai garis bilangan, dinotasian dengan R = ( -, ). Sedangan himpunan bagian dari garis bilangan berupa segmen garis atau interval dinotasian dengan himpunan sebagai beriut. Garis bilangan : Interval dan himpunan a b = { } ( a, b) = { a < < b} [ a, b] a b = { < } ( a, b] = { a< b} = { > } [ b, ) = { b} [ a, b) a b ( b, ) b a { a } (, a] = { a } (, ) = < Pertidasamaan Permasalahan Matematia yang beraitan dengan interval terleta pada pertidasamaan aljabar. Himpunan jawab atau solusi dari pertidasamaan aljabar merupaan salah satu dari bentu interval di atas. Adapun penjelasannya diberian beriut. Bentu umum pertidasamaan aljabar : A( ) C( ) <, A(), B(), C() dan D() : suu banya. ( tanda < dapat B( ) D( ) digantian oleh,, > ). Himpunan semua bilangan real yang memenuhi pertidasamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi pertidasamaan.

3 Cara mencari solusi pertidasamaan aljabar sebagai beriut :. Nyataan pertidasamaan tersebut sehingga didapatan salah satu ruasnya menjadi nol, A( ) C( ) <. Kemudian sederhanaan bentu ruas iri, misal P ( ) B( ) D( ) Q( ) <.. Cari dan gambaran pada garis bilangan semua pembuat nol dari P() dan Q().. Tentuan setiap tanda ( + atau - ) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Interval dengan tanda ( - ) merupaan solusi pertidasamaan. Contoh : Tentuan himpunan solusi dari pertidasamaan beriut :.. + > + + Jawab : ( + )( ) + Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah dan. Pada garis bilangan didapatan nilai dari tiap selang, yaitu : Himpunan solusi pertidasamaan, { } U (, )

4 Pertasamaan dengan Nilai Mutla Secara geometris, nilai mutla atau nilai absolut dari bilangan real didefinisian sebagai jara dari terhadap, sehingga nilai mutla dari setiap bilangan selalu bernilai positif. Notasi yang digunaan adalah :, =, < Sifat-sifat nilai mutla :. =. < a -a < < a. > a < -a atau > a 4. + y < + y ( etidasamaan segitiga ) 5. y = y 6. y = y 7. < y < y Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan himpunan penyelesaian pertidasamaan. 4-7 < + 5. < 5 + < < 4. 5 < 4 5 < < < > 6. + < 4

5 . 7 >. < < ( ) 8. ( ) ( + ) < ( Nomor 6 sd 7 ) Tentuan nilai yang mungin agar beriut menghasilan bilangan real : Selesaian : 4 =

6

7 FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A e himpunan B disebut fungsi bila mengaitan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() = y Himpunan A disebut Domain / daerah asal dari f(), dinotasian D f, sedang { ( ), } y f = y A B disebut Range / daerah hasil dari f() dinotasian R f. Beberapa macam fungsi dan sifat-sifat yang dimilii aan dibahas beriut. Fungsi Polinom Bentu umum fungsi polinom order atau pangat n ( n bilangan bulat positif ) dinyataan oleh f ( ) = a + a + a an n dengan a. Beriut bentu husus dari fungsi polinom, yaitu : n Fungsi onstan : f() = a. Fungsi Linear : f ( ) = a + a. ( f() = : fungsi identitas ) Fungsi Kuadrat : f ( ) = a + a + a Misal f() merupaan fungsi polinom order n maa aan mempunyai paling banya n buah pembuat nol yang berbeda. Untu mendapatan pembuat nol fungsi polinom dapat digunaan aturan horner. Fungsi Rasional p( ) Bentu umum fungsi rasional adalah f ( ) = dengan p() dan q() merupaan fungsi q( ) polinom. Fungsi rasional f() tida terdefinisi pada nilai yang menyebaban penyebut sama dengan nol atau q() =. Sedangan pembuat nol dari pembilang atau p() tetapi buan pembuat nol penyebut merupaan pembuat nol dari fungsi rasional f().

8 Contoh: Tentuan nilai yang menyebaban fungsi Jawab : + f ( ) = sama dengan nol 4 Permbuat nol pembilang, = dan =. Pembuat nol penyebut, = - dan =. Jadi nilai yang memenuhi adalah = -. Fungsi bernilai mutla Bentu dasar fungsi bernilai mutla dinyataan oleh f() =. Grafi fungsi f() simetris terhadap sumbu Y dan terleta di atasdan atau pada sumbu X. Secara umum fungsi bernilai mutla dapat dinyataan oleh : g( ), A f ( ) = g( ) = C ; g( ), A D f = A A C Contoh : Tentuan nilai agar grafi fungsi f ( ) = + terleta di bawah garis y =. Jawab : Dicari nilai yang memenuhi pertidasamaan, f ( ) = + <. Menggunaan sifat pertidasamaan nilai mutla + < ( + ) < 4 didapatan ( + )( ) <. Sebab + definit positif yaitu selalu bernilai positif untu setiap real maa <. Sehingga nilai yang memenuhi adalah < < atau <. Fungsi banya aturan Fungsi ini merupaan bentu pengembangan dari fungsi bernilai mutla, untu fungsi dengan dua aturan dinyataan oleh: f( ), A C f ( ) = C ; A A = D f( ), A Fungsi banya aturan dapat diembangan sampai n buah fungsi f j () dengan j =,,,n. f

9 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f() disebut fungsi genap bila f() = f(-) untu setiap di domain f() [ grafi f() simetris terhadap sumbu y ]. Fungsi f() disebut fungsi ganjil bila f() = - f(-) untu setiap di domain f() [ grafi f() simetris terhadap titi pusat atau pusat sumbu ]. Bila suatu fungsi buan merupaan fungsi genap maa belum tentu merupaan fungsi ganjil. Contoh : Manaah diantara fungsi beriut yang merupaan fungsi genap, ganjil atau buan eduanya. f ( ) =. f ( ) =. f ( ) = + Jawab :. Fungsi genap sebab f ( ) = ( ) = = f ( ). Fungsi ganjil sebab f ( ) =. Buan eduanya ( ) = = f ( ) Fungsi Trigonometri Bentu dasar dari fungsi trigonometri diberian beriut f() = sin ; f() = csc f() = cos ; f() = sec f() = tan ; f() = cot Sedangan beberapa persamaan atau identitas yang berlau pada fungsi trigonometri diberian :. sin (- ) = - sin 6. cot ( - ) = cot. cos ( - ) = cos. tan ( - ) = - tan 4. csc ( - ) = - csc 5. sec ( - ) = sec 7. sin ( π/ - ) = cos 8. cos ( π/ - ) = sin 9. tan ( π/ - ) = cot. sin ( + y ) = sin cos y + sin y cos

10 . cos ( + y ) = cos cos y sin sin y. tan( + y) tan + tan y = tan tan y. sin ( - y ) = sin cos y sin y cos 4. cos ( - y ) = cos cos y + sin sin y 5. tan( y) tan tan y = tan tan y 6. sin = sin cos 7. cos = cos = sin tan 8. tan = tan 9. sin + cos = y y cos cos y = sin sin + y y sin + sin y = sin cos + y y cos + cos y = cos cos sin sin y = cos sin sin cos y = cos cos cos y = ( y) cos( + y ) ( + y) + sin ( y) ( + y) + cos( y ) Fungsi Periodi Fungsi f() disebut fungsi periodi jia ada bilangan real positif p sehingga berlau f(+p) = f() untu setiap di domain f(). Nilai p terecil disebut periode dari f(). Fungsi dasar trigonometri merupaan fungsi periodi dengan periode, f() = sin = sin ( + π ) = f( + π ) f() = cos = cos ( + π ) = f( + π ) f() = tan = tan ( + π ) = f( + π ) Translasi ( Pergeseran ) Bila grafi fungsi f( ) digeser e anan ( searah atau sejajar sumbu ) sepanjang maa hasil pergeseran merupaan grafi dari fungsi f( - ). Bila grafi fungsi f() digeser e atas ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a maa hasil pergeseran merupaan grafi fungsi f() + a. Fungsi Komposisi Komposisi dari fungsi f() dan g() didefinisian sebagai ( g o f ) ( ) = g ( f () )

11 Sebagai catatan bahwa tida semua fungsi dapat dilauan omposisi. Agar dapat dilauan omposisi antara fungsi f dan g yaitu g o f maa syarat yang harus dipenuhi adalah Rf I Dg Contoh : Dietahui fungsi f ( ) = dan g( ) =.. Tentuan domain dan range dari fungsi f() dan g().. Apaah g o f terdefinisi? Bila ya tentuan rumusannya.. Apaah f o g terdefinisi? Bila ya, tentuan rumusannya. Jawab :. Domain, D f = (,) ; Dg = (, ) (, ). Range, R f = (, ) ; Rg = R. Sebab R f I D g = (, ) maa g o f terdefinisi dan rumusannya yaitu: ( gof )( ) = g( f ( ) ) = g( ) =. Sebab, Rg I D f = (, ) maa f o g terdefinsi dan rumusannya yaitu : ( fog) ( ) = f ( g( ) ) = f = Sifat-sifat :. f o g g o f. ( f o g ) o h = f o ( g o h ). Dg o f Df dan Dg R f 4. Bila D g = R f maa D gof = D f Soal Latihan. Dietahui : f, > ( ) =,. Hitung : a. f( -4)

12 b. f() c. f( t + 5 ). Nyataan fungsi beriut tida dalam nilai mutla. a. f() = + + b. f() = c. f( ) = Tentuan domain dan range dari : a. f ( ) = + e. g(u) = u + b. g( ) = 4 c. h( ) = ( + ) 4 f. h( y) = 65 y g. f ( ) = cos( + ) + d. f ( t) = t 4 4. Gambaran grafi dari fungsi beriut : a. f() = - b. f ( ) = ( ) d. f [ ] ( ) = + e. f() = - + c. f ( ) = ( ) 5. Tentuan ( fog ) () dan ( gof ) () bila terdefinisi dari :

13 a. f ( ) = ; g( ) = b. f ( ) = 6 ; g( ) = c. f ( ) = ; g( ) = + d. f ( ) = 4 ; g( ) = 6. Tentuan domain dan range dari soal di atas. 5, 7. Hitung ( fog ) (). bila f ( ) =, < 8, > 8 ; g( ) = 8. Carilah f(), bila : a. f ( + ) = b. f ( ) = + c. g( ) = dan ( gof )( ) = d. g( ) = + 5 dan ( gof )( ) = g( ) = + ; fog ( ) = 4 e. 5 ( ) F. g( ) = ; ( fog)( ) = a + b

14 LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari limit suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberian secara intuitif beriut. Bila nilai f() mendeati L untu nilai mendeati a dari arah anan maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a dari anan sama dengan L dan dinotasian lim f ( ) L a + = () Bila nilai f() mendeati l untu nilai mendeati a dari arah iri maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a dari arah iri sama dengan l dan dinotasian lim f ( ) l a = () Bila L = l maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a sama dengan L dan dinotasian lim ( ) a f = L () Sedangan bila L l maa diataan bahwa limit fungsi f() untu mendeati a tida ada. Bentu () dan () disebut limit sepiha,. Sedangan bentu () mengisyaratan bahwa nilai limit fungsi pada suatu titi diataan ada bila nilai limit sepihanya sama atau nilai limit anan ( ) sama dengan nilai limit iri ( ). Sifat-sifat limit: Misal lim f ( ) = L dan lim g( ) = G. Maa : a a. lim [ ( ) ( )] a f + g = L + G. lim [ ( ) ( )] a f g = L G. lim [ ( ) ( )] a f g = LG f 4. lim ( ) L =, a g( ) G bila G

15 5. lim n f ( ) = n lim f ( ) = n L untu L > bila n genap. a a Sebagai catatan bahwa sifat-sifat di atas juga berlau untu limit sepiha. Contoh : Selesaian limit fungsi +, f ( ) = bila ada, <. lim f ( ) +. lim f ( ). lim f ( ) Jawab :. lim f ( ) = lim ( + ) = + +. lim f ( ) = lim =. Sebab limit iri sama dengan limit anan maa limit fungsi ada dan lim f ( ) = Contoh : Selesaian Jawab : lim lim = 4 lim 4 ( + )( + ) + = lim = ( + )( ) 4 Fungsi f() diataan ontinu pada suatu titi = a bila nilai limit f() pada mendeati a sama dengan nilai fungsi di = a atau f(a). Secara lebih jelas, f() diataan ontinu di = a bila berlau :. f( a ) terdefinisi atau f(a) R.

16 . lim ( ) a f ada, yani : lim f ( ) = lim f ( ) + a a. lim ( ) ( ) a f = f a Bila minimal salah satu dari persyaratan di atas tida dipenuhi maa f() diataan tida ontinu atau disontinu di = a dan titi = a disebut titi disontinu. Secara geometris, grafi fungsi ontinu tida ada loncatan atau tida terputus. Bilamana ita menggambaran suatu grafi fungsi sembarang dengan mengeraan pensil ita di ertas dan tanpa pernah mengangat pensil tersebut sebelum selesai maa aan ita dapatan fungsi ontinu. Fungsi f() diataan ontinu pada interval bua ( a,b ) bila f() ontinu pada setiap titi di dalam interval tersebut. Sedangan f() diataan ontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :. f() ontinu pada ( a,b ). f() ontinu anan di = a lim f ( ) = f ( a) a +. f() ontinu iri di = b lim f ( ) = f ( b) b Bila f() ontinu untu setiap nilai R maa diataan f() ontinu atau ontinu dimana-mana. Contoh : Tentuan nilai agar fungsi Jawab : Nilai fungsi di = -, f( - ) =. + + f ( ), < = + ontinu di = -. +,

17 Sebab nilai limit anan sama dengan maa nilai limit iri juga sama dengan. Untu itu pembilang dari bentu melauan pembagian pembilang oleh penyebut didapatan, + + harus mempunyai fator +. Dengan = + +. Dari sisa pembagian ( - + ) sama dengan nol + + maa didapatan =. Soal Latihan. Dietahui : f() = +, +, > lim ( ) a. Hitung lim f ( ) dan f + b. Selidii apaah lim f ( ) ada, jia limit ini ada tentuan nilainya.. Dietahui g() =, hitung ( bila ada ) : a. c. lim g( ) b. lim ( ) g lim ( ) g +. Dietahui f() = a., hitung ( bila ada ) : lim f ( ) b. lim f ( ) c. + lim ( ) f a, < 4. Dietahui f() = a + b,, tentuan nilai a dan b agar b 5, > lim f ( ) ada. lim f ( ) dan 5. Dietahui f() =,, selidii eontinuan fungsi f() di = - +, >

18 +, < 6. Agar fungsi f() = a + b, <, ontinu pada R, maa a + b =, a + b 4 7. Tentuan a dan b agar fungsi f() =, <, ontinu di = 4, 8. Tentuan nilai a, b dan c agar fungsi beriut ontinu di =. a ; > f ( ) = b ; = + c ; < 9. Tentuan nilai agar membuat fungsi beriut ontinu : 7, a. f ( ) =, >, b. f ( ) = +, > 7 ; < c. f ( ) = 6 ; >. Carilah titi disontinu dari fungsi a. f ( ) = + + b. f ( ) = c. f ( ) = 4 8

19 LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA Dalam sub bab ini pengertian limit ta hingga dan limit di ta hingga secara formal tida diberian seperti halnya pada pengertian limit di suatu titi pada pembahasan terdahulu. Secara intuisi diberian melalui contoh beriut. Misal diberian fungsi f ( ) =. Maa nilai fungsi f() menuju ta hingga ( ) untu mendeati dari anan, sedangan menuju minus ta hingga ( - ) untu mendeati dari iri. Pengertian tersebut dapat dinotasian dengan limit sebagai beriut : lim f ( ) = dan lim f ( ) = + Bila f ( ) = ( ) maa didapatan lim f ( ) = dan lim f ( ) = + atau ditulisan lim f ( ) =. Bentu limit tersebut dinamaan limit ta hingga, yaitu nilai fungsi f() untu mendeati sama dengan ta hingga ( ). Sedangan bentu limit di titi mendeati ta hingga diilustrasian beriut. Misal diberian fungsi f ( ) menuju ta hingga atau minus ta hingga, dinotasian : =. Maa nilai fungsi aan mendeati nol bila nilai lim f ( ) = dan lim f ( ) = Secara umum, limit fungsi dari f ( ) hingga atau minus ta hingga sama dengan nol, ditulisan : lim n = atau lim n = = n B n, + untu mendeati ta

20 p( ) Bila f() merupaan fungsi rasional, misal f ( ) = dengan p() dan q() q( ) merupaan polinom maa untu menyelesaian limit di ta hingga dilauan dengan membagi pembilang, p() dan penyebut, q() dengan pangat tertinggi yang terjadi. Contoh : + Hitung lim + Jawab : Nilai dari pembilang untu mendeati dari arah anan adalah mendeati 6, sedangan nilai penyebut aan mendeati negatif bilangan yang sangat ecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negatif ecil seali aan menghasilan bilangan yang sangat ecil. Jadi lim + + = Soal Latihan Hitung limit beriut ( bila ada ) : +. lim +. lim. lim lim 4 5. lim 6. lim + 7. lim lim + 9. lim +. lim +. lim +. lim +

21 TURUNAN FUNGSI Misal diberian grafi fungsi y = f() dengan P ( a, b ) terleta pada urva f(). Bila Q (,y) merupaan titi sembarang pada urva f() maa gradien garis PQ dapat dinyataan dengan : y b f f a mpq = a = ( ) ( ) a Bila titi Q berimpit dengan dengan titi P maa garis PQ aan merupaan garis singgung urva f() di P sehingga gradien : f f a m = lim ( ) ( ) a a Turunan dari fungsi f() di titi = a didefinisian sebagai gradien dari garis singgung urva f() di = a dan diberian: f f f a ' ( a) lim ( ) = ( ) a a Bila nilai limit ada maa f() diataan diferensiabel atau dapat diturunan di = a. Misal h = - a. Maa turunan f() di = a dapat ditulisan : f '( f a h f a a ) lim ( + ) = ( ) h h df ( a) dy( a) Notasi lain : f ' ( a) = = = d d y'( a) Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f() di titi = a dinyataan sebagai ecepatan, V() benda yang bergera dengan lintasan f() pada saat = a. Oleh arena itu, didapatan hubungan V ( a) = f '( a) dan percepatan, A(), A( a) = dv ( a) d

22 Bila y = f() diferensiabel di = a maa ontinu di = a. Sifat tersebut tida berlau sebalinya. Hal ini, ditunjuan oleh contoh beriut. Contoh Tunjuan bahwa f ( ) = ontinu di = tetapi tida diferensiabel di = Jawab : Fungsi f ( ) ontinu di =, sebab f ( ) = lim f ( ) = Turunan f ( ) di = dicari menggunaan rumus beriut : f h f h f ' ( ) lim ( + ) ( = ) = lim h h h h Karena = lim h lim h = maa f() = tida diferensiabel di =. + h h h h Untu menentuan turunan suatu fungsi diberian rumus sebagai beriut : r ( ) d d = r r ; r R ( ( ) + g( ) ) d( f ( ) ) d( g( ) ) d f d = + d d ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) d f g d = g( ) d f + f ( ) d g d d f d( ( ) g ( )) g( ) d( f ( ) ) f ( ) d( g( ) ) d = g ( ) Soal latihan ( Nomor sd ) Tentuan dy d dari :. y = 6

23 . y =. y = ( + ) 4 4. y = ( + )( + + ) 4 5. y = ( + )( + ) 6. y = 7. y = 8. y = y = +. y = ( Nomor sd ) Tentuan nilai a dan b agar fungsi beriut diferensiabel di nilai yang diberian. a + ; <. f ( ) = ; = b ; a b ; <. f ( ) = ; = ; ; <. f ( ) = a + b ; ; =

24 TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupaan fungsi ontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titi sama dengan nilai fungsinya, yaitu : lim sin = sin a dan lim cos = cos a a a Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu : h h a d( sin a) ( a h) a lim sin sin sin cos + = = lim + d h h h h h sin d( sin a) lim Karena cos a h a h = maa d = Sedangan untu turunan fungsi cosinus diperoleh beriut: d ( cos a) ( ) d a h a lim cos + = cos = lim h h h h h sin sin a + h = sin a Untu turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapan rumus perhitungan turunan : d. sin ( tan ) d( cos ) d d cot. d d. = = sec d cos ( ) d( sin ) = = csc d ( ) d sec ( cos ) d = = sec tan d

25 d 4. ( ) d csc ( sin ) d = = csc d cot Untu menentuan / menghitung limit fungsi trigonometri di ta hingga dan limit ta hingga, digunaan sifat atau teorema yang diberian tanpa buti beriut. Teorema Misal f() g() h() berlau untu setiap di dalam domainnya. Bila lim f ( ) = lim h( ) = L maa lim g( ) = L Contoh Hitung limit beriut ( bila ada ). lim sin + cos a. lim + sin Jawab : sin a. Misal f ( ) =. Dari - sin maa lim lim = = maa lim sin =. sin. Karena b. Bila mendeati nol dari arah anan maa - cos mendeati, sedangan nilai sin aan mengecil atau mendeati nol. Oleh arena itu, bila dibagi dengan bilangan positif ecil seali ( mendeati nol ) maa aan menghasilan bilangan yang sangat + cos besar ( mendeati ta hingga ). Jadi lim = + sin Soal latihan ( Nomor sd 7 ) Hitung limit fungsi beriut ( bila ada )

26 + cos. lim sin. lim cos. lim sin 4. lim sin 5. lim sin π lim sin + sin 7. lim cos ( Nomor 8 sd ) Tentuan turunan pertama dari: 8. y 9. y. y = = sin cos = cos tan sin cos. Persamaan garis singgung urva y = f() di titi ( a,b ) dengan gradien m dinyataan dengan : y - b = m ( - a ). Sedangan persamaan garis normal dari y = f (,y ) ( garis yang tega lurus terhadap suatu garis singgung ) yang melalui titi ( a,b ) mempunyai persamaaan : y - b = -/m ( - a ). Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva beriut di titi yang dietahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu. a. y = - di (, ) b. y = tan di = ¼ π

27 . Tentuan nilai a agar fungsi beriut ontinu di = sin, a. f ( ) = a = tan a, < b. f ( ) = + a,

28 TEOREMA RANTAI Untu mendapatan turunan dari fungsi omposisi dapat dilauan dengan cara mencari bentu eplisit dari hasil omposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunaan metode atau aturan rantai. Misal diberian fungsi : y f ( u ) = ( ). Maa turunan pertama terhadap yaitu : dy d d( f ( u) ) d( u( ) ) = = f '( u) u' ( ) du d Bila y = f(u ) dengan u = v() maa turunan pertama dari y terhadap dicari : dy d d( f ( u) ) d ( u( v) ) d( v( ) ) = = f '( u) u' ( v) v' ( ) du dv d Metode penurunan di atas dienal dengan teorema rantai. Contoh Cari turunan dari fungsi f ( ) = sin ( ) Jawab: Misal u() =. Maa fungsi f() dapat dinyataan dengan f ) sin ( u) df d terhadap yaitu = f '( u) u' ( ) = cos( ) ( =. Turunan Contoh Cari nilai turunan pertama di = dari fungsi f ( ) = tan π Jawab :

29 Misal v() = π dan u ( v) = v,. Maa fungsi dapat ditulisan dengan f ( ) = tan u. df π =. Nilai turunan di =, d π Turunan terhadap, f '( u) u' ( v) v' ( ) = sec π π yaitu f '() = Soal latihan ( Nomor sd 7 ) Tentuan turunan pertama dari. y = ( ). y = sin. y = cos( 4 ) + 4. y = 5. y = cos y = sin tan [ + ] 7. y = sin [ cos ( sin ) ] + 8. Hitung f ( ) bila f ( ) = + 9. Hitung g ( ½ ) bila g( t) = cos πt sin πt. Tentuan ( ) ( ). Tentuan ( ) ( ) fog ' bila f() = cos π dan g( ) = fog ' bila f ( ) = dan g( ) = 4 4 di titi. Tentuan persamaan garis singgung dan normal urva y = ( + ) ( + ) dengan absis =.

30 TURUNAN TINGKAT TINGGI Turunan edua dari fungsi f( ) didapatan dengan menurunan seali lagi bentu turunan pertama. Demiian seterusnya untu turunan e-n didapatan dari penurunan bentu turunan e-(n-). Turunan pertama Turunan edua Turunan etiga Turunan e-n f ' ( ) = df ( ) d d f ( ) f "( ) = d f "'( ) = d f ( ) d n ( ) d f ( ) f n ( ) = d n Contoh : Tentuan turunan edua dan etiga dari fungsi Jawab : Turunan pertama, f '( ) = + f ( ) = + Turunan edua digunaan rumus turunan dari fungsi hasilbagi, f "( ) = Turunan etiga, f "'( ) = + = 5 ( ) ( + )

31 Gera Partiel Lintasan gera partiel P dinyataan dengan fungsi parameter s(t). Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gera P diberian oleh Kecepatan, v ( t) = s'( t) Percepatan, a ( t) = s"( t) Contoh : Lintasan gera partiel P ditentuan oleh persamaan : s ( t) = t t + t Tentuan : a. Kapan partiel P berhenti? b. Besar percepatan P pada saat t = Jawab : a. Kecepatan, v ( t) = s'( t) = t 4t +. Partiel P berhenti berarti ecepatan sama dengan nol, sehingga t = / dan t =. b. Percetapan, a ( t) = s"( t) = 6t 4. Untu t =, maa a( ) = 8 Soal Latihan Tentuan turunan edua dari. y = sin( ). y = ( ) 4. y = + 4. y = cos ( π ) 5. Tentuan nilai c dari f "( c) = bila f ( ) =

32 6. Tentuan nilai a, b dan c dari fungsig( ) = a + b + c dan g () = - 4 bila g () = 5, g ( ) = 7. Tentuan besar ecepatan sebuah obye yang bergera pada saat percepatannya nol bila lintasan obye dinyataan dengan persamaan : a. s = ½ t 4-5 t + t. b. s = ( t 4 4t + 6t ) 8. Dua buah partiel bergera sepanjang garis oordinat. Pada saat watu t jara berarah dari titi pusat diberian dengan s dan s. Bilamana edua partiel mempunyai ecepatan sama bila : a. s = 4 t - t dan s = t - t b. s = t - t + 8 t + 5 dan s = -t + 9 t - t

33 FUNGSI IMPLISIT Fungsi dengan notasi y = f() disebut fungsi esplisit, yaitu antara peubah bebas dan ta bebasnya ditulisan dalam ruas yang berbeda. Bila tida demiian maa diataan fungsi implisit. Dalam menentuan turunan fungsi implisit bila mungin dan mudah untu dierjaan dapat dinyataan secara esplisit terlebih dahulu emudian ditentuan turunannya. Namun tida semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentu esplisit, oleh arena itu aan dibahas cara menurunan fungsi dalam bentu implisit beriut. Contoh : Tentuan dy bila y 4 + y = 5 d Jawab : Bentu fungsi dapat diubah menjadi bentu esplisit, penurunan didapatan, dy d = 6 ( + ) y =. Digunaan aturan + Contoh : Tentuan nilai dy di (, ) bila 4 y + y = d Jawab : Bentu fungsi dapat diubah menjadi fungsi esplisit dalam y, y + =. 4 y Menggunaan aturan penurunan didapatan, d dy y = + y + 4 ( 4 y )

34 Karena dy ( 4 y ) = maa = dy d d dy d y. Nilai turunan di (, ) atau y =, + y + 4 dy d = Contoh : Tentuan nilai dy di = bila 4 y + y = d Jawab : Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunaan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari dan y berturut-turut dinyataan dengan d dan dy. Bila dalam satu suu terdapat dua peubah ( dan y ) maa ita lauan scara bergantian, bisa terhadap dahulu baru terhadap y atau sebalinya. Hasil turunan masing-masing ruas dibagi oleh d. dy aan nampa bila d y 4 + y = dy 4d + 4dy + 4 y dy = dy y d dy d 4 4 y = + 4 y + 4 dy y d = ( ruas iri dan ruas anan dibagi dengan d ) Substitusi = e fungsi didapatan y + y = atau y = ½ dan y = -. dy Untu (, - ), = d dy Untu (, ½ ), = d Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan turunan pertama dari. - y =

35 . y + - y =. y ( y) + sin = 4. y + y = 5. tan ( y ) - y = 6. Dietahui urva yang dinyataan secara implisit : + y + y - y =. Tentuan a. Turunan pertama di = b. Persamaan garis singgung dan normal di = 7. Tentuan persamaan garis singgung dan normal dari urva beriut di titi yang diberian. a. y + y = ; (, ) b. y + y = ; (, ) c. y + y = y ; (, ) d. sin ( y ) = y ; ( ½ π, ) e. y + cos ( y ) + = 4 ; (, ) 8. Sebuah urva dinyataan dalam persamaan implisit : ( ) Tentuan : a. dy d + y + y =. b. Persamaan garis singgung urva di titi potongnya dengan garis + y =.

36 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA Pada bagian ini penggunaan turunan aan di titi beratan untu mengetahui sifat-sifat yang dimilii suatu urva antara lain emonotonan, eceungan, nilai estrim, titi belo dan asymtot. Hal ini diteanan agar ita mudah dalam menganalisa dan menggambaran grafi fungsi. Pada bagian ahir dari sub bab penggunaan turunan ini, aan dijelasan tentang dalil De lhospital untu menghitung limit fungsi bai limit di suatu titi, limit di ta hingga maupun limit ta hingga. Definisi : Fungsi Monoton Grafi fungsi f() diataan nai pada selang I bila f ( ) f ( ) > untu > ;, I. Sedangan f() diataan turun pada selang I bila ( ) f ( ) f < untu > ;, I. Fungsi nai atau turun disebut fungsi monoton. Dalam menentuan selang fungsi monoton nai atau turun digunaan pengertian beriut. Gradien dari suatu garis didefinisian sebagai tangen sudut ( α ) yang dibentu oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α. Bila sudut lancip (α < ½ π ) maa m > dan m < untu α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu urva y = f() di titi (,y ) diberian dengan m = f ( ) dan selang fungsi nai atau turun berturut-turut ditentuan dari nilai gradiennya, maa selang atau selang dimana fungsi monoton diberian beriut :. Fungsi f() nai bila f ' ( )>. Fungsi f() turun bila f ' ( )< Contoh : Tentuan selang fungsi nai dan fungsi turun dari fungsi f ( ) = Jawab : 4 Turunan pertama, f '( ) = Untu f '( ) = >, maa fungsi nai pada < < - ½ atau > dan fungsi turun pada < - atau ½ < <.

37 Secara geometris, grafi fungsi y = f() ceung e bawah di suatu titi bila urva terleta di bawah garis singgung urva di titi tersebut. Sedangan garfi fungsi y = f ( ) ceung e atas di suatu titi bila urva terleta di atas garis singgung yang melalui titi tersebut. Definisi : Keceungan Fungsi Fungsi f() diataan ceung e atas pada selang I bila f selang I, sedang f() diataan ceung e bawah bila f Oleh arena itu dapat disimpulan :. Bila f "( ) >, I maa f() ceung e atas pada I dan. Bila f "( ) <, I maa f() ceung e bawah pada I. '( )nai pada '( ) turun pada selang I. Contoh : + Tentuan selang eceungan dari fungsi : f ( ) = + Jawab : Turunan pertama, f '( ) = Turunan edua, f "( ) = + ( + ) 4 ( + ) Ceung e atas, f "( ) > pada selang > - dan ceung e bawah pada selang < -. Soal Latihan Tentuan selang emonotonan dan eceungan dari urva beriut. f ( ) = ( ). f ( ) = + 9. f ( ) = f ( ) = f ( ) = 6 4

38 6. f ( ) = 7. f ( ) = +

39 NILAI EKSTRIM Misal diberian urva f( ) dan titi ( a,b ) merupaan titi punca ( titi masimum atau minimum ). Maa garis singgung urva di titi ( a,b ) aan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien m = f '( a) =. Titi ( a, b ) disebut titi estrim, nilai = a disebut nilai stasioner, sedangan nilai y = b disebut nilai estrim. Definisi : Nilai Masimum dan Nilai Minimum Nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) masimum pada selang I bila f(a) > f() untu setiap I. Sedangan nilai f(a) disebut nilai ( estrim ) minimum pada selang I bila f(a) < f() untu setiap I. Untu menentuan jenis nilai estrim ( masimum atau minimum ) dari fungsi f() dapat dilauan dengan Uji turunan edua sebagai beriut :. Tentuan turunan pertama dan edua, f '( )dan f "( ). Tentuan titi stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f '( ) = ), misalan nilai stasioner adalah = a. Nilai f(a) merupaan nilai masimum bila f "( a) <, sedangan nilai f (a) merupaan nilai minimum bila f "( a) >. Contoh : Tentuan nilai estrim dan jenisnya dari fungsi f ( ) = Jawab : Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatan nilai stasioner fungsi adalah = -, = - ½ dan =. Turunan edua, f "( ) = + +. Untu = -, f "( ) = dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( - ) = -5. Untu = - ½, f "( ) = dan fungsi mencapai masimum dengan nilai masimum f ( ) = Untu =, f "() = dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( ) = -5 4

40 Definisi : Titi Belo Misal f() ontinu di = b. Maa ( b, f(b) ) disebut titi belo dari urva f() bila terjadi perubahan eceungan di = b, yaitu di satu sisi dari = b ceung e atas dan disisi lain ceung e bawah atau sebalinya. Syarat perlu = b merupaan absis dari titi belo bila berlau f "( b) = atau f() tida diferensiabel dua ali di = b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan ata calon, masudnya bahwa untu nilai = b yang dipenuhi oleh salah satu dari edua syarat itu memunginan untu menjadi absis titi belo bergantung apaah dipenuhi syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi. Contoh Carilah titi belo ( bila ada ) dari fungsi beriut : a. f ( ) = b. f ( ) = 4 c. f ( ) = + Jawab : a. Dari f ( ) = Bila f maa f "( ) =. "( ) = maa = merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah = merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < maa f "( ) <, sedangan untu > maa f "( ) >. Oleh arena itu, di = terjadi perubahan eceungan. Jadi (,- ) merupaan titi belo. b. Dari f ( ) = 4 maa f "( ) =. Bila f "( ) = maa = merupaan calon dari titi belo, sehingga untu menguji apaah = merupaan titi belo dilauan beriut. Untu < dan > maa f eceungan. Jadi (, ) buan merupaan titi belo. c. Dari f ( ) = + maa f "( ) = ali di =. Untu < maa f "( ) >. Oleh arena itu, di = tida terjadi perubahan 9 5. Terlihat bahwa f() tida dapat diturunan dua "( ) >, sedangan untu > maa f "( ) <. Oleh arena itu, di = terjadi perubahan eceungan. Jadi (, ) merupaan titi belo

41 Asymtot Asymtot suatu grafi fungsi didefinisian sebagai garis yang dideati oleh suatu urva. Asymtot dibedaan menjadi tiga yaitu :. Asymtot mendatar. Asymtot tega. Asymtot miring Misal diberian urva y = f ( ). Maa garis y = b disebut asymtot mendatar dari y = f ( ) bila : lim f ( ) = b atau lim f ( ) = b. Sedangan garis = a disebut asymtot tega bila berlau salah satu dari :. lim f ( ) = a. lim f ( ) = a. lim f ( ) = a 4. lim f ( ) = a Contoh : Carilah asymtot datar dan asymtot tega dari fungsi f ( ) = Jawab : Asymtot datar, y = - sebab lim f ( ) = lim = atau lim f ( ) = Asymtot tega, = - dan = sebab lim f ( ) = lim = + + dan lim f ( ) = lim + + = Garis y = a + b diataan sebagai asymtot miring dari y = f ( ) bila berlau lim [ f ( ) ( a + b) ] = atau lim [ f ( ) ( a + b) ] =. Untu mendapatan asymtot

42 P( ) miring dari fungsi rasional f ( ) = [ pangat P() = + pangat Q() ] dilauan Q( ) dengan cara membagi P() dengan Q() sehingga hasilbagi yang didapatan merupaan asymtot miring dari f(). Contoh : Carilah asymtot dari fungsi f ( ) = Jawab : Asymtot datar tida ada sebab lim f ( ) = atau lim f ( ) =. Asymtot tega, = sebab lim f ( ) = lim =. 4 Asymtot miring, y = sebab lim ( ) = lim = Grafi Fungsi Dalam mengambaran grafi suatu urva dapat dilauan dengan menentuan terlebih dahulu : selang emonotongan, selang eceungan, titi estrim dan jenisnya, titi potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titi belo ( bila ada ), semua asymtot ( bila ada ) dan titi lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahan menggambaran grafi. Soal latihan ( Nomor sd 6 ) Tentuan nilai estrim dan jenisnya dari urva dengan persamaan beriut :. f ( ) = +. f ( ) = + 4. f ( ) = sin, ( < < π ) 4. f ( ) = cos π, < < π

43 4 5. f ( ) = f ( ) = 4 4 ( Nomor 7 sd ) Tentuan titi belo dari urva beriut ( bila ada ) 7. f ( ) = 6 8. f ( ) = + 9. f ( ) = f ( ) = ( Nomor sd ) Cari semua asymtot dari fungsi beriut :. f ( ) =. f ( ) =. f ( ) = 4. f ( ) = ( ) 5. f ( ) = 6. f ( ) = 4 7. f ( ) = + 8. f ( ) = 9. f ( ) = + ( ). f ( ) =

44 . f ( ) = 4 ( Nomor sd 8 ) Gambaran grafi urva beriut :. f ( ) =. f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = + 8. f ( ) = ( + 8)

45

46 DALIL DELHOSPITAL yaitu : Dalam perhitungan limit fungsi seringali dijumpai bentu ta tentu dari limit,,. oleh Delhospital. dan. Untu menyelesaiannya digunaan cara yang dienalan Bentu dan Misal lim f() = lim g() = atau lim f() = lim g() =. Maa f lim ( ) lim ' ( ) g( ) = f g ' ( ). Bila masih dijumpai ruas anan merupaan bentu atau maa dilauan penurunan lagi sehingga didapatan nilai yang buan merupaan bentu ta tentu tersebut. Penulisan lim mengandung masud lim, lim, lim, lim atau lim. a a+ a Contoh : Hitung limit beriut cos a. lim + b. lim 4 + Jawab : cos a. lim lim sin 4 lim cos = = = b. lim = lim = lim = lim = Bentu.

47 Misal lim f() = dan lim g() =. Maa lim f() g() merupaan bentu.. Untu menyelesaiannya ita ubah menjadi bentu atau yaitu : f lim ( ) ( ) lim ( ) g lim ( f g = ) =. Selanjutnya solusi dari limit tersebut g( ) f ( ) diselesaian dengan cara seperti bentu sebelumnya. Contoh : Hitung limit beriut π a. lim sec π/ b. lim csc Jawab : π π a. lim sec = lim = lim π/ π / cos π / sin b. lim csc = lim lim sin = cos = = Bentu - Misal lim f() = lim g() =. Maa untu menyelesaian lim [ f() - g() ] dilauan dengan menyederhanaan bentu [ f() - g() ] sehingga dapat dierjaan menggunaan cara yang telah dienal sebelumnya. Contoh Hitung lim ( csc cot ) Jawab :

48 cos cos lim ( csc cot ) = lim lim lim sin sin = = = sin sin cos Sebagai catatan bahwa tida semua bentu limit ta tentu dapat diselesaian menggunaan dalil Delhospital. Hal ini seringali terjadi di dalam menyelesaian limit fungsi f() dengan f() buan merupaan fungsi rasional. Untu lebih jelasnya diberian contoh beriut. Contoh Hitung limit beriut : a. lim b. lim Jawab: + + a. lim = lim ( ) = b. lim + + = lim = Soal latihan Hitung limit beriut ( bila ada ). lim lim

49 5. lim lim lim lim + 7. lim csc 8. lim cot ( cos ) 9. lim +. lim +. lim +. lim l i m lim sin( a ) a 5. lim tan 5 sin 6. lim sin ( 5 ) 7. lim sin cos

50 sin 8. lim cos 9. lim cos cos 5. lim cos

51 NOTASI SIGMA ( S ) Notasi untu sigma ( jumlah ) diberian beriut : n i i= a = a + a a n dan n i= = = n n suu Beberapa sifat dan rumus sigma diberian beriut : n. ( a + lb ) = a + l i i i i i= i= i= linear ) n. ( a a ). i= n i+ i = an+ n [( i + ) i ] = ( n + ) i = n 4. i = n( n + ) i= a n b ( sifat n 5. i i= n 6. i i= n( n + )(n + ) = 6 n( n + ) = n 4 n( n + ) ( 6n + 9n + n ) 7. i = i= Soal Latihan ( Nomor sd ) Hitung nilai sigma beriut : 6. i i= 6 i=. ( i + ). 4 i ( ) i= i( i + ) 7 4. cos iπ i= = 6. ( ) = 7. ( ) = + 4 i= 8. [( i )( i + )] 9. 5 ( + 4) =

52 n. ( i ) i=

53 ( Nomor sd 6 ) Nyataan dalam notasi sigma deret beriut: ½ + / + + / ½ + / - ¼ + - /5 5. f ( c ) + f ( c ) f ( c n ) 6. f ( w ) + f ( w) f ( wn)

54 INTEGRAL TENTU Pengertian atau onsep integral tentu pertama ali dienalan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dienalan oleh Riemann. Materi pembahasan terdahulu yani tentang integral ta tentu dan notasi sigma aan ita gunaan untu mendefinisian tentang integral tentu. Pandang suatu fungsi f() yang didefinisian pada suatu selang tutup [ a,b ]. Pada tahap awal aan lebih mudah untu dapat dimengerti bilamana f() diambil selalu bernilai positif, ontinu dan grafinya sederhana. Pandang suatu partisi P pada selang [ a,b ] yang dibagi menjadi n sub selang ( dalam hal ini diambil yang panjangnya sama walaupun hal ini tidalah mutla ), misal a = < <... < n < n = b dan = =. Pada setiap sub selang [ ], ita ambil suatu titi ( titi sembarang namun untu memudahan penjelasan dipilih titi tengah selang ) yaitu =. Partisi yang terbentu merupaan segiempat dengan uuran dan f ( ) sebagai panjang dan lebarnya, sehingga luas tiap partisi adalah f ( ) didapatan jumlah luas partisi pada selang [ a,b ] yaitu : f ( ) n =. Oleh arena itu. Jumlah tersebut dinamaan jumlah Riemann untu f() yang bersesuaian dengan partisi P. Maa luas daerah yang dibatasi oleh y = f(), garis = a, garis = b dan sumbu X aan dideati oleh jumlah Riemaan di atas bila diambil n. Dari sini dapat didefinisian suatu integral tentu yaitu integral dari f() pada suatu selang [ a,b ] beriut. Definisi : Integral Riemann b a Misal fungsi f() ontinu pada selang [ a,b ], = = lebar partisi dari n [ a,b ], a =, b = n, = sebagai limit jumlah Riemann yaitu :. Maa integral dari f() atas [ a,b ] didefinisian

55 b n n f ( ) d = lim f ( ) = lim f ( ) a = n = Bila limit ada maa f() diataan integrabel ( dapat diintegralan ) pada [ a,b ]. Integral ini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu. Teorema. Misal f() fungsi terbatas pada [ a,b ] ( yaitu terdapat M R sehingga f() M untu setiap [ a,b ]) dan ontinu ecuali pada sejumlah hingga titi pada [ a,b ]. Maa f() integrabel pada [ a,b ].. Bila f() ontinu pada [ a,b ] maa f() integrabel pada [ a,b ]. Contoh Fungsi beriut tida integrabel pada [ -, ] :, f ( ) =, = Tunjuan ( dengan membuat grafi ) bahwa f() tida terbatas pada [ -, ]! Teorema Dasar Kalulus ( Pertama ) Misal f() ontinu pada [ a,b ] dan F() adalah anti turunan dari f(). Maa b f ( ) d = F ( b) F ( a) a Contoh : Selesaian integral tentu beriut : π a. sin( ) d π b. + d

56 Jawab : a. Misal u =. Maa du = d. Untu = ½ π dan = π maa u = π dan u = π. π π π sin( ) d = sinu du cosu ( cos cos ) π = = π π = π π b. Misal u = +. Maa du = d. Dari bentu integral ta tentu didapatan : + d = u du = u u + C Jadi : + d = ( + ) + = ( ) Teorema Dasar Kalulus ( Kedua ) Misal f() ontinu pada [ a,b ]. Maa terdapat c ( a,b ) sehingga : b f ( ) d = f ( c) ( b a) a Teorema ini disebut juga Teorema Nilai Rata-rata Integral dengan f( c ) merupaan nilai rata-rata integral dari f( ). Contoh : Tentuan nilai rata-rata fungsi f ( ) = + pada selang [, ]. Jawab : Misal u = +. Maa du = 4 d. Bila = dan = maa berturut-turut u = dan u = 9. Jadi : Rata rata = + d = u du = u u = = 8 4 6

57 Sifat-sifat lain yang beraitan dengan integral tentu diberian beriut : b b b p f ( ) + q g( ) d = p f ( ) d + q g( ) d a a a ( sifat linear ). [ ]. Misal f() dan g() integrabel pada [ a,b ] dan f() g() untu setiap [ a,b ]. Maa b b f ( ) d g( ) d ( sifat perbandingan ) a a. Misal f() integrabel pada [ a,b ] dan m f() M untu setiap [ a,b ]. Maa b m( b a) f ( ) d M( b a) a c b c 4. f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d a a b a b a 5. f ( ) d = dan f ( ) d = f ( ) d a a b a 6. Bila f() fungsi ganjil maa f ( ) d = a a a 7. Bila f() fungsi genap maa f ( ) d = f ( ) d a b+ p b 8. Bila f() fungsi periodi dengan periode p maa f ( ) d = f ( ) d a+ p a b g( b) f g( ) g'( ) d = f ( u) du a g( a) 9. ( ) v( ) D f ( t) dt f v( ) v' ( ) f w( ) w'( ) = w( ). ( ) ( )

58 Contoh : 5 Hitung integral Jawab : f ( ) d bila, < f ( ) = +, < <, > 5 ( + ) d + d = f ( ) d = 5 Contoh : Tentuan turunan pertama dari G( ) = t + dt Jawab : G'( ) = Soal Latihan 5 ( Nomor sd 5 ) Hitung nilai integral dari f ( ) d, bila :. f ( ) = 4 + 4/ /. f ( ) =. f ( ) = , < 4. f ( ) = 6, 5, < 5. f ( ) =, 4, < 5

59 ( Nomor 6 sd ) Hitung nilai integral tentu beriut : 4 4 s 8 6. ds s π / 7. sin t dt π / d 9. 8t 7 + t dt +. d + π /. sin cos d 5. d. d ( Nomor 4 sd 7 ) Tentuan G () dari : 4. G( ) = dt t + 5. G( ) = 6. G( ) = dt t + dt t G( ) = + sint dt

60 ( Nomor 8 sd ) Misal f() = f(-), f(), g(-) = - g(), f ( ) d =, g( ) d = 5. Hitung : 8. f ( ) d 9. f ( ) d. g( ) d. [ ( ) + ( ) ] f g d f f d. [ ( ) + ( )]. g( ) d ( 4 sd 6 ) Tentuan nilai rata-rata dari fungsi beriut pada selang yang dietahui: 4. f() = 4, [, ] 5. f ( ) =,[, ] f() = sin cos, [, π/ ]

61 LUAS DAERAH Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafi fungsi y = f(), garis = a, garis = b dan sumbu X telah ita bahas dalam pembahasan integral tentu. Namun untu daerah yang lebih omples aan ita bahas secara detil pada perhitungan luas daerah dengan menggunaan integral tentu. Selain dari itu, integral tentu aan ita gunaan juga untu menghitung volume benda pejal yaitu benda yang dihasilan bila suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar. Panjang urva aan ita bahas pada bagian ahir dari bab ini. Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(), = a, = b dan sumbu X. Maa luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai beriut : b L = f ( ) d a Bila f() maa integral dari f() pada selang [ a,b ] aan bernilai negatif atau nol. Oleh arena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(), garis = a, = b dan sumbu X, ditulisan sebagai beriut : b L = f ( ) d a Untu daerah yang dibatasi oleh grafi fungsi yang dinyataan secara esplisit dalam peubah y, yani = v(y), garis y = c, y = d dan sumbu Y, maa luas daerah : d L = v( y) dy c

62 Contoh : Tentuan luas daerah yang dibatasi oleh f() = - - +, sumbu X, garis = dan =. Jawab : Kita lihat bahwa f() pada selang [, ] dan f() pada selang [, ]. Luas daerah : 5 4 ( + ) d ( + ) L = f ( ) d f ( ) d = = d Bila suatu daerah dibatasi oleh dua buah grafi fungsi, misal y = f() dan y = g() diberian sebagai beriut : () Misal daerah dibatasi oleh grafi y = f(), y = g(), = a dan = b dengan f() g() untu [a,b]. Maa luas daerah : b L = [ f ( ) g( ) ] d a () Misal daerah dibatasi oleh grafi = w(y), = v(y), y = c dan y = d dengan w(y) v(y) untu y [c,d]. Maa luas daerah : d L = [ w( y) v( y) ] dy c Contoh : Tentuan luas daerah yang dibatasi oleh y = 4 dan garis 4 - y = 4. Jawab :

63 Langah pertama yang dilauan adalah mencari titi potong edua urva. Didapatan titi potong eduanya yaitu ( ¼,- ) dan ( 4,4 ). Pada selang [ -,4 ], 4 4 y + y 4 5. Maa luas daerah y + y L = = 4 4 dy 4 4 Soal Latihan Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafi beriut :. y = - 4 +, y = =, =. = y - 4y, =, y =, y = 4. = y, y = + 4. y =, y = -, y = 8 5. y = -, y = - 6, y = -, y = 4 6. y =, y = 4, y = y = -, y = -, =, = 8. y = sin, y = cos, =, = π.

64 VOLUME BENDA PUTAR Benda putar yang sederhana dapat ita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilali luas alas ( luas lingaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas ita nyataan dengan A() dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maa volume benda putar dapat dihitung menggunaan integral tentu sebagai beriut : b V = A( ) d a Untu mendapatan volume benda putar yang terjadi arena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilauan dengan menggunaan dua buah metode yaitu metode caram dan ulit tabung. Metode Caram Misal daerah dibatasi oleh y = f(), y =, = a dan = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupaan jumlah ta berhingga caram yang berpusat di titi-titi pada selang [a,b]. Misal pusat caram ( o, ) dan jari-jari r = f( o ). Maa luas caram dinyataan : A( o ) = π f ( o ). Oleh arena itu, volume benda putar : b V = π [ f ( ) ] d a Sedang bila grafi fungsi dinyataan dengan = w(y), =, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maa volume benda putar :

65 d V = π [ w ( y ) ] dy c Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(), y = g() { f() g() untu setiap [a,b] }, = a dan = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maa volume : ([ ] [ ] ) b V = π f g d a Bila daerah yang dibatasi oleh = w(y), = v(y) { w(y) v(y) untu setiap y [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maa volume : ([ ] [ ] ) d V = π w y v y dy c Contoh : Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = dan y = 8 diputar mengelilingi a. Sumbu X. b. Sumbu Y Jawab : Kedua urva berpotongan di (, ) dan (,4 ). a. Pada selang [, ], 8. Volume benda putar = 48 ( 8 ) ( ) = π V = π d y b. Pada selang [,4 ], y. Volume benda putar = 8 5

66 V 4 = π dy 8 7 ( ) y y = π 5 Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = -, y = - dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis y = - Jawab : Kedua urva berpotongan di ( -, ) dan (,- ). Pada selang [ -, ] berlau - -. Jara urva y = - dan y = - terhadap sumbu putar ( garis y = - ) dapat dipandang sebagai jari-jari dari caram, berturut-turut adalah ( 4 - ) dan ( - ). Oleh arena itu, volume benda putar : V = π 6 ( 4 ) ( ) d = π 5 Metode Kulit Tabung Metode beriut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungin lebih mudah diterapan bila ita bandingan dengan metode caram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari ulit luar dan dalamnya berbeda, maa volume yang aan dihitung adalah volume dari ulit tabung. Untu lebih memperjelas ita lihat uraian beriut. Pandang tabung dengan jari-jari ulit dalam dan ulit luar berturut-turut r dan r, tinggi tabung h. Maa volume ulit tabung adalah : ( ) V = πr πr h = πrh r dengan : r r = r (rata rata jari jari ), r r = r Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(), y =, = a dan = b diputar mengelilingi sumbu Y maa ita dapat memandang bahwa jari-jari r =, r = dan tinggi tabung h = f(). Oleh arena itu volume benda putar =

67 b V = π f ( ) d a Misal daerah dibatasi oleh urva y = f(), y = g() { f() g(), [a,b] }, = a dan = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maa volume benda putar = b V = π [ f ( ) g ( ) ] d a Bila daerah dibatasi oleh grafi yang dinyataan dengan = w(y), =, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X, maa volume = d V = π y w ( y ) dy c Sedang untu daerah yang dibatasi oleh = w(y), = v(y) { w(y) v(y), y [ c,d ]}, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maa volume benda putar = d V = π y [ w ( y ) v ( y ) ] dy c Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah yang terleta di uadran pertama dibawah parabola y = - dan di atas parabola y = diputar mengelilingi sumbu Y. Jawab : Kedua parabola berpotongan di ( -, ) dan (, ). Pada selang [, ],. Bila digunaan metode ulit tabung, volume = [( ) ] π V = π d =

68 Bila ita gunaan metode caram, maa daerah ita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang y dibatasi = y dan sumbu Y sedang pada selang y dibatasi = y dan sumbu Y. Oleh arena itu volume = V ( y ) dy + π ( y ) dy π = π = Contoh : Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = -, sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis = Jawab : Misal di ambil sembarang nilai pada daerah D maa didapatan tinggi benda pejal, ( - ) dan jari-jari ( jara terhadap sumbu putar / garis = ), ( + ). Oleh arena itu, volume benda putar : V = π 5 6 ( + )( ) d = π Soal Latihan ( Nomor sd 8 ) Hitung volume benda putar bila daerah beriut diputar dengan sumbu putar sumbu X.. y =, =, =, y = 5. y = sin, y = cos, =, = π/4. y = /, =, = 4, y = 6. y = +, y = +. y = 9 -, y = 7. y =, y = 4. y =, y = 4 8. y =, y =. ( Nomor 9 sd 5 ). Hitung volume benda putar bila daerah beriut diputar mengelilingi sumbu Y. 9. = -y, = π. = cos y, y =, y =, =. y = /, y =, y =, =

69 . y = -, =, y =. y =, = y. 4. = y, = y + 5. = - y, = + y, y = -, y = 6. Hitung volume benda putar dari daerah yang terleta di uadran pertama yang dibatasi oleh y =, garis = 4 dan sumbu X. Bila diputar mengelilingi a. Garis = 4 b. Garis y = 8 7. Hitung volume benda putar dari daerah yang terleta di uadran pertama yang dibatasi oleh y =, garis y = 8 dan sumbu Y. Bila diputar mengelilingi a. Garis = 4 b. Garis y = 8 ( Nomor 8 sd ) Hitung volume benda putar dengan sumbu putar sumbu Y untu daerah yang dibatasi oleh: 8. y = cos, y =, =, = ½ π,. = y, y =. 9. y = -, y = - +, =. y = -, y = ( Nomor sd 5 ) Hitung volume benda putar dengan sumbu putar sumbu X untu daerah yang dibatasi oleh: 6. y =, y =, = 7. = y, y =, y =, = 8. y =, =, y = 9. y = 4, + y = 5

70 ( Nomor 6 sd 9 ) Gambar dan arsir daerah D dan hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah D dan sumbu putarnya diberian beriut : 6. y =, = 4, y = ; garis = 4 7. y = - ( ), =, y = ; garis = 8. = y, y =, = ; garis y = 9. = y +, y =, =, y = ; garis y =

71 PANJANG KURVA Persamaan urva seringali dinyataan dengan peubah dan y. Namun adaalanya dinyataan dengan parameter. Kita dapat mengambil contoh beriut. Persamaan lingaran: + y = a dapat juga ditulisan dengan = a cos t dan y = a sin t dengan t π. t disebut parameter. Dalam perhitungan panjang urva bidang yang dinyataan dalam parameter, ita membatasi untu urva bidang yang smooth atau mulus. Untu itu diberian definisi beriut : Definisi : Kurva Mulus Kurva yang ditentuan oleh pasangan persamaan parameter, = f(t), y = g(t), a t b diataan smooth ( mulus ) bila turunan pertama f dan g ada dan ontinu pada selang [ a,b ], f dan g tida secara bersama-sama bernilai nol pada selang [ a,b ]. Misal f() ontinu pada [a,b]. Maa untu menghitung panjang urva f() sepanjang selang [a,b] dilauan sebagai beriut : Bagi selang [a,b] menjadi n sub selang sama panjang dengan panjang sub selang. Pada sub selang e-, [ -, ] didapatan nilai fungsi pada ujung sub selang yaitu f( - ) dab f( ). Misal L merupaan panjang ruas garis dari titi ( ) Maa : ( f ) e( f ( )),,. [ ] L = ( ) + f ( ) f ( ) Dari teorema nilai rata-rata, ( ) f ( ) f ( ) = f ' *, * [, ] maa didapatan: * [ ( )] L = + f '

72 Jadi panjang urva f() sepanjang selang [a,b] dideati oleh : * [ ( )] n n L f = + ' untu n. = = Atau b a L = + [ f '( ) ] d Bila urva dinyataan sebagai = w(y), maa panjang urva pada selang [ c,d ] : d L = + [ w' ( y) ] dy c Sedangan bila persamaan dinyataan dengan persamaan parameter, = f(t), y = g(t), a t b maa panjang urva = b L = [ f '( t) ] + [ g' ( t) ] dt a b d dy L = dt dt a dt atau Contoh : Hitung panjang urva y Jawab : = dari titi (, ) sampai titi ( 4,8 )! 4 4 dy L = + d = + d = + = d

73 Contoh : Hitung panjang eliling lingaran + y = a Jawab : Persamaan + y = a diubah menjadi persamaan parameter : = a cos t dan y = a sin t dengan t π. Substitusian : d/dt = - a sin t dan dy/dt = a cos t e dalam : π L = dy dt d + dt dt = π a Catatan : Bandingan hasil di atas dengan hasil yang diperoleh bila ita gunaan rumus untu mencari eliling lingaran dengan jari-jari r = a. Soal Latihan ( Nomor sd 7 ) Hitung panjang urva beriut :. y = / dari (,) e (, ). y = / dari = e = 4. y = + 6 dari = e = y = y dari y = e y = 4 4 y y 5. = + dari y = e y = = ( y + ) / dari y = e y = 7. y = u du,

74 ( Nomor 8 sd ) Set grafi dari persamaan parameter yang diberian dan tentuan panjangnya. 8. = t, y = t ; t = t +, y = t - ; t.. = 4 cos t + 5, y = 4 sin t - ; t π.. = t - sin t, y = - cos t, t 4π.. Daerah D merupaan daerah tertutup yang dibatasi oleh y =, y = dan = 4. a. Gambar dan arsir daerah D b. Hitung luas daerah D c. Hitung eliling daerah D d. Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah D diputar terhadap garis =.

75 FUNGSI INVERS Definisi : Misal dua fungsi f dan g berlau omposisi beriut : (i) f ( g() ) =, untu setiap D g. (ii) g ( f(y) ) = y, untu setiap y D f. Maa f disebut invers dari g ( notasi f = g - ) atau g disebut invers dari f ( g = f - ). Sehingga diperoleh hubungan, = f o f f o f = I I merupaan fungsi identitas, yaitu fungsi yang memetaan e dirinya sendiri. Beriut merupaan contoh fungsi dan inversnya. Fungsi f() = + mempunyai invers ( ) = f, sebab ( f o f )( ) = f ( f ( ) ) = f ( ) = + ( ) = = I ( ) Satu hal yang menari bagi ita, apaah setiap fungsi punya invers? Bagaimana cara mendapatan invers dari suatu fungsi? Beberapa sifat beriut dapat digunaan untu menjawab pertanyaan ini.. Sifat-sifat :. Sifat antara fungsi dan inversnya. (i) Grafi fungsi f dan f - simetri terhadap garis y =. (ii) Domain f sama dengan range f - atau range f sama dengan domain f -.. Sifat Keberadaan fungsi invers (i) Fungsi f() punya invers bila dan hanya bila tida ada garis mendatar yang memotong grafi f() lebih dari satu titi. (ii) Fungsi f() punya invers bila dan hanya bila f() berorespondensi satu-satu [ yaitu bila f( ) f( ) maa ]. (iii) Misal interval I merupaan domain f() dan f() nai atau f() turun pada I. Maa f() punya invers pada I.

76 Misal y = f - ( ). Maa didapatan = f ( y ). Hal ini memotivasi epada ita suatu cara untu menentuan invers dari fungsi y = f ( ). Untu menentuan invers dari suatu fungsi y = f ( ) dilauan dengan cara mensubstitusian peubah y e dalam, sehingga fungsi dinyataan secara esplisit dalam peubah y. Tulisan f ( y ) = dan nyataan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi esplisit dalam peubah. Hasil terahir merupaan invers dari y = f ( ). Contoh : Tentuan invers dari fungsi f ( ) = + Jawab : y y f ( y) = = y = f ( ) = y + y + Soal Latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan fungsi invers ( bila ada ) dari. f ( ) = +, >. f ( ) =. f ( ) = f ( ) =, + 5. f ( ) = + 6. Tentuan range dari invers fungsi di atas ( nomor sd 5 )

77 FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN Fungsi logaritma dan fungsi esponen merupaan dua fungsi yang saling invers dan dinyataan sebagai : b y= log = b ;, b > y Sifat-sifat logaritma :. b log =. b log b =. b log ac = b log a + b log c 4. b log a/c = b log a - b log c 5. b log a r = r b log a 6. b log a = c c log a log b Bilangan Natural Bilangan natural dinotasian dengan e dan didefinsian sebagai : e = lim + = lim + =, ( ) ( ) Fungsi logaritma natural didefinisian sebagai : ln =, t dt > ln = e log

78 Turunan fungsi logaritma natural : D [ ] Jadi secara umum : D [ ln u] ln = = du u d u du = ln u + C. Esponen Natural dinotasian : Fungsi esponen natural didefinisian sebagai inverse dari logaritma natural dan y = e = ln y Sifat yang dapat diturunan langsung dari definisi adalah :. e ln y = y, y >. ln e =, R Turunan dan integral dari esponen natural: ( ) u u D e e du u u = e du = e + C d ln a Misal a > dan R. Didefinisian : a = e. Maa : u (i) [ ] u D a = (ln a) a du d (ii) a u du = a a u + ln C Misal y= a log = ln ln a. Maa D ( a log ) =. ln a

79 Jadi secara umum D ( a log u) = u ln a du d Soal Latihan ( Nomor sd 7 ) Tentuan turunan pertama dari :. y = ln( ). y = ln. y = ln 4. y = + ( 4) + 5. y = / ( + ) ( + ) 6. y = ln( sin ) 7. y + ln ( y ) = + ( Nomor 8 sd ) Selesaian integral beriut : d d ( ln ) d.. 4 d 4 ( + ) d. d + ( Nomor 4 sd 6 ) Carilah y dari : 4 4. y = 4 5. y= log ( + 9) 6. y = log

80 ( Nomor 7 sd ) Selesaian integral ta tentu beriut : 7. d 8. 5 d ( + ) e d. sec ( ) e e d. (cos ) e sin d ln. e d ( Nomor sd 9 ) Hitung nilai integral tentu : ln. e d e d 4. + e 5. ( ) e d ln e 6. d ln e + 4 ln5 7. ( 4 ) + 8. e d 9. e e d e d

81 FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI Fungsi Trigonometri merupaan fungsi periodi sehingga pada daerah R buan merupaan fungsi satu-satu. Oleh arena itu untu mendapatan fungsi inversnya maa domain dari fungsi trigonometri harus dibatasi. Misal f() = sin. Maa agar f() = sin merupaan fungsi satu-satu maa domainnya diambil : π π ; f ( ) Pada daerah di atas f( ) = sin merupaan fungsi satu-satu dan oleh arena itu mempunyai invers. Notasi invers : = sin f ( ) = arc sin f ( ) Turunan fungsi invers Trigonometri Misal y = sin π π u u y ; dengan u merupaan fungsi dy dalam. Maa turunan y' = didapatan sebagai beriut : d dy y = sin u u = sin y = du cos y Bila sin y = u maa cos y Jadi : y' = u' u. = u dy. Oleh arena itu, du = u. Dengan menggunaan anti turunan dari invers sinus didapatan rumus integral : du = sin u + C u

82 Untu fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama :. y = cos u [ u ; y π ] y' = u' du u u = cos u + C u. y = tan π π u < u < < y < y ; ' = ' + u u. y = cot π π u u < y < < y y ; ' = ' + u du + u tan u + C = cot u + C u 4. y = sec π π u u y < < y y ; ' = ' π u u u 5. y = u u y < < y y = csc π π ' ; ' u u 6. du u u sec u + C = csc u + C Soal Latihan ( Nomor sd ) Carilah turunan dari :. y = cos ( + ). y = cot ( ). y = cos ( cos ) 4. y = tan 5. y = ( sin )

83 6. y = ( + sec ) 7. y = sin ( e ) 8. y = csc + 9. y = tan ( e ). y = sin ( ln ) ( Nomor sd 7 ) Hitung integral beriut :. d 4. d t dt t 4 + sec d tan d ( ln ) 6. ln ln e d e d 7. ( + )

84 FUNGSI HIPERBOLIK Fungsi sinus hiperboli dan cosinus hiperboli didefinisian sebagai beriut : sinh = e e e + e dan cosh = Untu fungsi hiperboli yang lain : sinh e e. tanh = = cosh e + e cosh e + e. coth = = sinh e e. sech = = cosh e e 4. csch = = sinh e + e Beriut beberapa identitas yang berlau pada fungsi hiperboli :. cosh - sinh =. - tanh = sech. coth - = csch 4. sinh ( + y ) = sinh cosh y + cosh sinh y 5. cosh ( + y ) = cosh cosh y + sinh sinh y 6. cosh + sinh = e. 7. cosh - sinh = e sinh = sinh cosh 9. cosh = cosh + sinh = sinh + = cosh -. cosh ( - ) = cosh. sinh ( - ) = - sinh. sinh ( - y ) = sinh cosh y - cosh sinh y

85 . cosh ( - y ) = cosh cosh y - sinh sinh y 4. tanh( y) 5. tanh( y) tanh + tanh y + = + tanh tanh y tanh tanh y = tanh tanh y tanh 6. tanh = + tanh 7. cosh = ( cosh + ) 8. sinh = ± ( cosh ) + y y 9. sinh + sinh y = sinh cosh + y y. cosh + cosh y = cosh cosh Turunan dan Integral Fungsi Hiperboli Misal y = sinh u. Maa y D e u e u e u e u ' = u' cosh u u' = + =. Jadi : cosh u du = sinh u + C Untu fungsi hiperboli yang lain:. y = cosh u y' = sinh u u' sinh u du = cosh u + C. y = tanh u y' = sec h u u' sech u du = tanh u + C. y = coth u y' = csc h u u' csch u du = cothu + C

86 4. y = sec h u y' = sech u tanh u u' sech u tanh u du = sec h u + C 5. y = csc h u y' = csch u coth u u' csch u coth u du = csc h u + C Soal Latihan ( Nomor sd 5 )Tentuan turunan pertama ( y ) dari :. y = cosh 4.. y = ln ( tanh ). y = cosh ( / ) 4. y = sinh ( ) 5. y = 4 + cosh ( 5) ( Nomor 6 sd ) Hitung integral beriut : 6. cosh( ) d 7. csc h ( ) d 8. coth csch d 9. tanh d. sinh 6 cosh d

87 FUNGSI INVERS HIPERBOLIK Tida semua fungsi hiperboli pada domainnya merupaan fungsi satu-satu sehingga tida mempunyai invers. Oleh arena itu, agar didapatan fungsi invers hiperboli maa ita batasi domain fungsinya. Sedangan untu mencari turunan dari fungsi invers hiperboli dilauan terlebih dahulu cara sebagai beriut. Misal y = sinh - u. Maa u = sinh y [ u, y ]. Jadi : u = y e y e e y u e y = e y ue y = ( : y, ) e y = u ± u + = u + u + sebab e > y y = ln u + u + Turunan Fungsi invers Hiperboli. Misal y = sinh u = ln u + u +. Maa : u u' y' = + u' = u + u + u + u + Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperboli, didapatan : du = sinh u + C u + Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperboli, sebagai beriut :. y = u = cosh ln u + u, { u }

88 u' du y' = = cosh u + C u u + u u. y = tanh u = ln, { u < } u' du y' = = tanh u C, bila u + < u u u + y = coth u = ln, { u > } u u' du y' = = coth u + C, bila u > u u + u y = sech u = ln, { < u } u y' = u u' du u u u + u y = h u = csc ln + u u y' = u u' du + u u + u = sec h u + C, { u } = csc h u + C Soal Latihan ( Nomor sd ) Tentuan dy/d dari :. y = cosh ( + ). y = coth ( ). y = csch ( e ) 4. y = tanh 5. y = sinh 6. y = cosh ( cosh ) 7. y = ln( cosh ) 8. y = coth

89 9. y = sinh ( tanh ). y = e sech. y = ( + csc h ). y = tanh + ( Nomor sd ) Hitung integral beriut :. d d d d 9 5 d e 9.. / / 4 dt t + dt t t 7. sin d + cos

90 LIMIT BENTUK TAK TENTU, dan Dalam menentuan turunan dari fungsi berpangat fungsi dapat digunaan sifat logaritma natural. Misal y = f ( ) g( ). Maa didapatan :ln y = g( ) ln f ( ). Oleh arena itu, turunan dari y, yaitu : g( ) y' = g ' ( )ln f ( ) + f ( ) f '( ) f ( ) g( ) Sedangan limit dari fungsi berpangat fungsi, lim y = lim f ( ) g ( ) aan a a memunculan bentu ta tentu beriut :, dan. Untu menyelesaiannya dihitung: lim ln y = lim [ g( ) ln f ( ) ] a a Misal nilai dari lim ln y = A. Maa lim y = e A. a a Contoh Hitung limit beriut a. lim ( + ) b. lim ( tan ) π c. lim + Jawab : cos

91 a. Limit mempunyai bentu ta tentu. Misal y = ( + ). Maa lim ln lim ln ( + y = ) dan mempunyai bentu ta tentu lhospital didapatan : lim ln y = lim =. Jadi lim ( ) + + = e b. Limit mempunyai bentu ta tentu. Misal y = ( tan ). Menggunaan cos. Maa ln tan lim ln y = lim cosln( tan ) = lim lim sec = sec tan = π π π π cos Jadi lim ( tan ) = π c. Limit mempunyai bentu ta tentu. Misal y =. Maa lim ln y = lim ln = lim ln lim = =. Jadi lim = + + Soal Latihan Hitung limit beriut. lim ( ) +. lim ( sin ). lim cos 4. lim ( e ) + ln

92 + ln 5. lim ( ) 6. lim ( ln ) 7. lim ( + 5 ) + 8. lim +

93 INTEGRAL TAK WAJAR b Bentu integral f ( ) d disebut Integral Ta Wajar, jia a a. Paling sediit satu batas integrasinya ta berhingga, atau b. Integran f() mempunyai titi ta ontinu pada [ a, b ] Paling sediit satu batas integrasinya ta hingga b b A. f ( ) d = lim f ( ) d a a b B. f ( ) d = lim f ( ) d a b a c b C. f ( ) d = lim f ( ) d + lim f ( ) d a a b c Bila limit pada ruas anan ada dan bernilai hingga, maa integralnya disebut Konvergen e nilai limit tersebut. Sedang bila limit tida ada atau nilainya menuju ta hingga maa disebut Divergen Contoh + d b d = lim + 9 b + = lim tan b + 9 b + b = lim tan tan b + π = 6 ( onvergen). Integran mempunyai titi disontinu pada [ a, b ] Seolah Tinggi Tenologi Telom, Bandung

94 a. Jia f() tida ontinu di = a tetapi ontinu pada ( a, b ] dan lim b b = ± maa f ( ) d = lim f ( ) d a t a + t b. Jia f() tida ontinu di = b tetapi ontinu pada [ a, b ) dan lim b t maa f ( ) d = lim f ( ) d a t b a c. Jia f() ontinu pada [ a, b ] ecuali di = c, a < c < b dan lim f ( ) = + maa : c b t b f ( ) d = lim f ( ) d + lim f ( ) d a t c a s c s f() a + f() = ± b Contoh d ( ) ( integran ta ontinu di = ) d t d = li m + li m t t + ( ) ( ) t ( ) d Gabungan eduanya Misal f ( ) disontinu di = c dengan c [ a, ). Maa integral ta wajar dari f ( ) atas interval [ a, ) ditulisan beriut : + c + f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d a a c Seolah Tinggi Tenologi Telom, Bandung

95 Contoh + d (Batas atas ta hingga dan f() ta ontinu di = ) + d d s d = li m + li m t t s + + Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Tentuan onvergensi integral ta wajar beriut : d e d ln. d d 4. ( ln ) 5. cosh d d 6. + ( ) 7. e cos d 7 d ln d ln. d d. 9 Seolah Tinggi Tenologi Telom, Bandung

96 .. π d 9 + d 4. csc d d d 6. + ( Nomor 7 sd 9 ) Hitung luas daerah D yang diberian beriut. 7. Antara urva y = ( 8) / dan y = untu < Antara urva y = dan y = < untu + 9. Di uadran pertama, di bawah urva y = / dan di iri =. Seolah Tinggi Tenologi Telom, Bandung

97 BARISAN BILANGAN Barisan bilangan ta hingga didefinisian sebagai fungsi dengan domain merupaan bilangan bulat positif. Notasi yang biasa digunaan adalah: a : n { an} = a a n=,,..., n B +. a n R merupaan suu barisan e-n dan tiga buah titi setelah suu e- menunjuan bahwa suu-suu barisan tersebut sampai ta hingga. Contoh : a. =,,,...,,... n n= n n n b. =,,...,,... n + n= n + c. {( ) + n ( n + ) } =, 4, 5,..., ( ) n+ ( n + ),... n= lim n an a n disebut barisan onvergen e L R bila n= = L, sedangan bila limit tida ada atau nilainya ta hingga maa barisan Barisan bilangan ta hingga { } bilangan ta hingga { } Sifat limit barisan. lim C C n =. ( ) a n disebut barisan divergen. n= lim Can + Dbn = C lim an + D lim b n n n n. lim an bn = lim an lim bn n n n 4. lim a n b n = lim a n lim b n ; lim b n n n n n a n n= (i) Monoton Nai bila an an+ (ii) Monoton Turun bila an an+ Barisan bilangan ta hingga { } disebut barisan :

98 Soal Latihan ( Nomor sd ) Tentuan onvergensi barisan beriut! n. n + n = ( ) + n. n n= π n. 4 n n = n n + 4. n + n = n 5. n n = n 6. n n= ,,,, ,,,, ,,, ( ) ( 4) ( 4 5),,,...

99 DERET TAK HINGGA Bentu deret ta hingga dinyataan dengan notasi sigma sebagai beriut : a = a + a a +... a disebut suu-suu deret. = Jumlah Deret Misal S n menyataan jumlah parsial n suu pertama deret S = a S = a + a n Sn = a + a an = a = Barisan { S n } n= disebut barisan jumlah parsial deret a. = a =. Maa Misal { S n } n= merupaan barisan jumlah parsial deret a dan barisan = { S n } n= onvergen e S. Maa deret a diataan deret onvergen e S dan S = disebut jumlah dari deret a, dinotasian dengan : S = a. Sedangan bila = = barisan { S n } n= divergen maa deret a diataan deret divergen dan tida ada = jumlah.

100 Deret Geometri Bentu deret geometri yaitu : a r a ar ar = dengan a = dan r merupaan rasio. Pandang jumlah parsial n suu deret geometri beriut : Sn = a + a r a r n r S n = a r a r n + a r n... a Sn = ( r n) r Bila r = maa S n tida terdefinisi. Sedang untu r > maa lim r n =, sehingga n lim S n = atau barisan { S n } divergen. Oleh arena itu, deret a r n n= = divergen.. Untu r < maa lim n a r = sehingga lim S n = atau barisan n n r a { S n } onvergen e ( a ). Jadi deret a r n= onvergen e r = a ( a ) atau a r a = ( a ). r r = Deret Harmonis Bentu deret harmonis yaitu : = = Pandang jumlah parsial n suu pertama deret : Sn = n > n = n

101 Untu n maa ( + ½ + ½ + + /n ), sehingga lim itu, deret harmonis = divergen. S n n =. Oleh arena Tes Konvergensi Misal a = merupaan deret positif ( a ). Maa lim a = bila deret a onvergen. Hal ini menunjuan bahwa bila lim a maa deret a = = divergen. Untu mengetahui lebih jauh tentang onvergensi suatu deret dilauan tes onvergensi sebagai beriut :. Tes Integral Misal a merupaan deret positif. Maa : = (i) Deret onvergen bila a d onvergen (ii) Deret divergen bila a d divergen Contoh : Selidii eonvergenan deret e = Jawab : b b a d d e = = = lim lim lim b e e a b b e b =

102 Karena integral ta wajar di atas onvergen e e e dan e = e. = maa deret e onvergen e =. Tes Deret-p Bentu deret-p atau deret hiperharmonis : = p dengan p >. Menggunaan tes integral didapatan : p d = lim p b b p Bila p > maa lim b b p =, sehingga p d = ( onvergen ). Oleh p arena itu, deret = p untu p > onvergen e. Untu < p < maa p lim b b p = sehingga p d divergen. Sedang untu p = didapatan deret harmonis. Oleh arena itu, deret = p untu < p divergen.. Tes Perbandingan Misal a dan b merupaan deret positif dan berlau a b,. = = Maa: (i) Bila deret b onvergen maa deret a onvergen = = (ii) Bila deret b divergen maa deret a divergen = = Contoh : Tentuan onvergensi deret beriut

103 a. = b. = + Jawab : a. Pandang : < dan arena deret harmonis = divergen maa deret = juga divergen. b. Pandang : + < dan arena deret-p = onvergen maa deret juga onvergen. = + 4. Tes Ratio a Misal a deret positif dan lim + = r. Maa : = a (i) Bila r < maa deret a onvergen = (ii) Bila r > maa deret a divergen = (iii) Bila r = maa tes gagal melauan esimpulan ( dilauan dengan tes lain ). Contoh : Selidii eonvergenan deret! = Jawab : Misal a = a. Maa lim + =! lim a + =. Jadi deret onvergen! =

104 5. Tes Aar Misal a deret positif dan lim a = a. Maa : = (i) Bila a < maa deret a onvergen = (ii) Bila a > atau a = maa deret a divergen = (iii) Bila a = maa tes gagal melauan esimpulan ( dilauan dengan tes lain ). Contoh : + Tentuan eonvergenan deret = Jawab : + Misal a =. Maa lim + a lim = = + onvergen. =. Jadi deret 6. Tes Limit Perbandingan a Misal a dan b merupaan deret positif dan lim = = b deret onvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < dan l. = l. Maa edua Contoh : Tentuan onvergensi deret = Jawab : Pandang deret-p, = onvergen. Misal a = b = dan. Maa a lim = lim =. Jadi deret b = onvergen.

105 Soal Latihan ( Nomor sd ) Tentuan onvergensi deret beriut ( + ). =. + 5 ( + )( + )( + 5) =. = =. 5. = + = ( + ) 7 5 sin 4.! 6. = = = = 6. = 8. 4 = = / 5 = ( + ) + 8. ln =. = = = +. = + sin. = ( + ) = =! 5. = +

106 DERET BERGANTI TANDA Bentu deret berganti tanda : ( ) = a atau ( ) + a dengan a. = Pengujian onvergensi deret berganti tanda dilauan dengan cara beriut : Deret berganti tanda ( ) a atau ( ) + a onvergen bila dipenuhi dua = = syarat (i) a a + (ii) lim a = Contoh : Tentuan onvergensi deret : a. ( ) = + b. ( ) + = + Jawab : a. Misal a = a. Maa + = = + >. Oleh arena itu, a a + a +. Sedangan lim a = lim =. Jadi deret ( ) = onvergen. b. Misal a = +. Maa + a + ( ) = + + ( + ) a+ + + = = + >. Oleh arena itu, a a +. Sedangan lim a = lim =. Jadi deret ( ) = + onvergen.

107 Soal Latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan onvergensi deret beriut. ( ) + = +. ( ) + 4 = +. 5 = 4. ( ) ln = 5. ( ) + e =

108 KONVERGEN MUTLAK DAN BERSYARAT Deret u disebut onvergen mutla bila deret u onvergen. Bila = = deret onvergen mutla maa onvergen. Sedang deret u disebut onvergen = bersyarat bila deret u onvergen tetapi deret u divergen. = = Pengujian eonvergenan ( mutla ) deret u dilauan dengan tes ratio. = Misal u + u dengan u dan lim = u = r. Maa (i) Bila r < maa deret u onvergen absolut = (ii) Bila r > maa deret u divergen = (iii) Bila r = maa tes gagal melauan esimpulan Contoh : Selidii deret beriut onvergen mutla / bersyarat / divergen : a. ( ) = 5 ( ) b. 4 = ( ) c. = Jawab :

109 a. Misal u ( ) u =. Maa lim = lim 5 u + =. Jadi deret 5 5 ( ) = 5 onvergen mutla. ( ) b. Misal u = 4. Maa lim u + u = lim + ( 4) ( + ) ( 4) = 4. Jadi deret ( ) 4 divergen. = c. Bila dilauan pengujian di atas maa didapatan r = ( gagal ). Dari contoh ( ) sebelumnya, deret ( ) onvergen tetapi deret = divergen = = = ( ) ( deret harmonis ). Jadi deret onvergen bersyarat. = Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Selidii eonvergenan ( mutla, bersyarat dan divergen ) deret beriut. ( ) ln =. ( ) +! =. ( ) +! = ( ) = 5. ( ) = 5 cos π 6.! =

110 DERET KUASA = Bentu umum deret uasa dalam ( - b ) yaitu : a ( b) = a + a ( b) + a ( b) +... (*) Sedang untu b = maa bentu deret sebagai beriut : a = a + a + a +... (**) = Deret uasa bentu (*) onvergen untu = b dan bentu (**) onvergen untu = ( yaitu onvergen e a ). Pengujian apaah ada nilai yang lain yang menyebaban deret onvergen dilauan sebagai beriut : Misal diberian deret a ( b) a ( ) dan lim + b + = L = a ( b) Maa : () L <, deret a ( b) onvergen ( mutla ) = () L >, deret a ( b) divergen. = Untu L = tida dapat disimpulan, pengujian onvergensi deret dilauan dengan mensubstitusian nilai yang bersesuaian dengan L = sehingga didapatan bentu deret bilangan. Pengujian onvergensi deret bilangan dilauan dengan berbagai uji ( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) bai deret positif maupun deret berganti tanda. Nilai yang didapatan dari pengujian di atas disebut radius onvergensi atau selang onvergensi deret. Contoh : Tentuan selang onvergensi deret uasa : = ( + ) + + ( + ) + Jawab : L = lim ( + ) = lim + = Deret onvergen bila L <. Oleh arena itu, < atau < <. ( ) Bila = - / maa didapatan deret berganti tanda onvergen = ( + ) ( Tunjuan : menggunaan tes deret berganti tanda ). Sedang untu = /

111 didapatan deret = ( + ) divergen ( Tunjuan : menggunaan tes perbandingan ). Jadi radius onvergensi deret uasa adalah <. Soal Latihan ( Nomor sd 9 ) Tentuan semua nilai yang menyebaban deret onvergen. ( ) = ( + ) +.! ( ) 7. ( )!. +! 8. ( ) ( ) 4. ( + )! ( + ) 9. ( ) + 5 ( Ln ) 5. ( Nomor sd 8 ) Tentuan selang eonvergenan dari deret: ( ). ( ) ( ) 5. ( ) 4 + n= ( + ) ( ). ( + )! 6. ( ) ( + ). ( Ln )( ) 7.! ( ). 5 ( ) 8. 4 ( + ) 4. ( ) +

112 DERET TAYLOR DAN MAC LAURIN Misal f() dapat diturunan sampai ali pada = b. Maa f() dapat diperderetan menjadi menjadi deret uasa dalam bentu (.) yaitu: ( ) f ( b) f ( b) f "( a) ( ) = = f ( b) + f '( b)( b) + ( b ) +...!! = Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat = b atau disebut dengan polinomial Taylor pada = b. Bila b = maa disebut Deret Mac Laurin, yaitu berbentu : f ( ) ( ) f ( ) f "( ) = = f ( ) + f '( ) !! = Contoh : Perderetan fungsi beriut e dalam deret Mac Laurin a. f ( ) = e b. f ( ) = Jawab : a. Bila f ( ) = e maa f ( n) ( ) = e dan f ( n ) ( ) =. Oleh arena itu, deret Mac Laurin dari f ( ) = e, yaitu : e =. Dari perderetan tersebut terlihat bahwa =! deret onvergen untu setiap nilai riil atau selang / radius onvergensi deret adalah R. b. Bila f ( ) = maa f ( n) n! ( ) = ( ) n dan f ( n ) ( ) = n!. Oleh arena itu, deret Mac Laurin : =. Selang onvergensi deret yaitu < atau ( -, ). = Kedua bentu deret di atas dapat digunaan untu membantu memperderetan fungsi e dalam deret Mac Laurin atau Taylor tanpa harus menghitung turunannya terlebih dahulu, dengan syarat bahwa radius atau selang onvergensinya sebanding. Contoh : Perderetan fungsi beriut e dalam deret taylor dengan pusat diberian beriut a. f ( ) = e ; = Jawab : b. f ( ) = ; =

113 a. Karena f ( ) = e mempunyai turunan e-n untu setiap nilai riil maa selang onvergensinya adalah R. Oleh arena itu, dengan membandingan pola perderetan e = maa didapatan perderetan dari f ( ) = e ( ) yaitu e = =!. =! b. Karena f ( ) = tida diferensiabel di = dan fungsi aan diperderetan e dalam deret taylor dengan pusat di = maa tempat eduduan titi-titi - < merupaan selang onvergensinya. Oleh arena itu, perderetan fungsi f ( ) = dalam deret taylor dengan pusat di = : f ( ) = = = ( ) ( ) + (. ) = Soal Latihan ( Nomor sd ) Perderetan fungsi beriut dalam deret Mac Laurin. f ( ) = e 5. f ( ) = +. f ( ) = + 6. f ( ) = +. f ( ) = 7. f() = sinh + 8. f() = sin 4. f ( ) = 9. f() = cos +. f() = sec ( Nomor sd 6 ) Carilah polinomial Taylor pada = b, bila :. f() = Ln ; b = 4. f() = cos ; b = ½ π 5. f() = sinh ; b = Ln 4. f ( ) = ; b = 6. f() = sin π ; b = ½. f ( ) = ; b = +

114 TURUNAN DAN INTEGRAL DERET KUASA Misal deret a ( b) f ( ) = a ( b) (i) f '( ) = a ( b) =. Maa : = = f t dt a t b ( ) = dt C = C (ii) ( ) mempunyai radius onvergensi R dan Contoh : Perderetan dalam Mac Laurin fungsi a. f() = tan -. b. f() = ln ( - ) c. f ( ) = ( ) Jawab : a. Pandang : tan dt = + dan = ( ) t + = ( ) Maa tan = +. = + dt + b. Pandang : ln( ) =. Maa ln( ) = t = + c. Karena f ( ) = ( ) merupaan hasil penurunan terhadap dari f ( ) = = ( ) =, maa Soal Latihan ( Nomor sd ) Tentuan perderetan mac Laurin dari :. f() = ln ( + )

115 . f ( ) = ln +. f() = ln ( + ) 4. f ( ) = ( ) 5. f ( ) = ( + ) 6. f ( ) = ln( + t ) dt 7. f ( ) = tan t dt

116 ORDER PERSAMAAN DIFERENSIAL Banya permasalahan dalam bidang reayasa yang beraitan dengan persamaaan diferensial. Satu contoh yang ditampilan disini, misal dalam rangaian listri seri, RL, besar uat arus I ( Ampere ) dalam satuan watu ( t ) yang melalui rangaian tersebut dihitung menggunaan rumus beriut : L di + R I = E( t ) atau L I ' + R I = E( t ) dt Bentu rumus di atas merupaan persamaan diferensial dengan t merupaan satusatunya peubah bebas. Sedangan besaran Tahanan R ( Ohm ) dan Indusi L ( Henry) diberian. Fungsi E ( t ) merupaan besaran gaya eletromagneti / voltase ( Volt ). Dalam notasi implisit, bentu persamaan diferensial di atas dapat ditulisan : ( I t) f I ',, = Persamaan diferensial merupaan persamaan yang beraitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suu-suu dari fungsi tersebut dan atau turunannya. Bila fungsi tersebut tergantung pada satu peubah bebas riil maa disebut Persamaan Diferensial Biasa ( PDB ). Sedangan bila fungsi fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maa disebut Persamaan Diferensial Parsial ( PDP ). Untu lebih memperjelas pengertian PDB dan PDP diberian beberapa contoh beriut.. d y y d = [ Persamaan Airy ]. dy + y = y [ Persamaan Bernoulli ] d. d y dy ( ) y d = [ Persamaan Bessel ] d d y dy 4. ( y ) y d + = [ Persamaan Van Der Pol ] d 5. u u + = [ Persamaan Flu ] y 6. u u = [ Persamaan Panas ] t 7. u u = [ Persamaan Gelombang ] t 8. u u + = [ Persamaan Laplace ] y

117 Persamaan sd 4 merupaan PDB dengan peubah bebas, dan peubah ta bebas, y, sedangan persamaan 5 sd 8 merupaan PDP. Mengawali pembahasan tentang PDB dienalan suatu istilah dalam persamaan diferensial yaitu order. Order dari PD adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai order sedangan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorder. Berdasaran sifat elinieran ( pangat satu ) dari peubah ta bebasnya, persamaan diferensial dapat dibedaan menjadi PD Linier dan PD tida linier. Bentu umum PD linier order n diberian : a ( ) y ( n) n a ( ) y ' + a ( ) y = f ( ) dengan an( ) an ( ),..., a ( ) disebut oefisien PD. Bila f() = maa disebut PD Linier Homogen sedang bila f() maa disebut PD Linier ta Homogen. Bila tida dapat dinyataan seperti bentu di atas diataan PD tida Linier. Dari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupaan PD Linier ( Homogen ) sedangan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupaan PD tida linier. Misal diberian fungsi : y = sin - cos +. Bila dilauan penurunan sampai duaali: y' = cos + sin dan y" = sin + cos, didapatan hubungan : y"+ y = Bentu di atas merupaan PD Linier ta Homogen order dengan oefisien onstan. Sedangan fungsi y = sin - cos + disebut solusi PD. Yang menjadi permasalahan disini, Bila diberian suatu PD bagaimana cara mendapatan solusinya? Beberapa cara mendapatan solusi PD aan dibahas pada sub bab beriut. Untu mempermudah dalam mempelajari cara mendapatan solusi PD aan dimulai dengan pembahasan dari bentu PD order satu. Soal Latihan ( Nomor sd 7 ) Klasifiasian PD beriut menurut : order, linier atau tida linier, homogen atau tida homogen.. dy + y = d 5. d y. d y d + y = sin d y dy y d + d + + = d y d 6. ( ). d u t du d + sin + y = sin u t dt + + = dt 7. d y 4. d v d + y = t v dt =

118 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDER SATU Bentu umum PD linier order satu : y ' + p( ) y = f ( ). Untu menentuan solusi PD dilauan sebagai beriut : ( ) y' + p( ) y = f ( ) u( ) y' + p( ) y = u( ) f ( ) Pandang [ ] didapatan: [ u y] u( ) y' + u( ) p( ) y = u( ) p( ) [ ] [ ] u( ) y' + u'( ) y u'( ) y u( ) p( ) y = u( ) f ( ) u( ) y ' = u( ) y ' + u'( ) y. Misal u'( ) y u( ) p( ) y =. Maa ( ) ' = u( ) f ( ). Dengan mengintegralan edua ruas terhadap didapatan solusi PD Linier order satu, yaitu : y = u f d u( ) ( ) ( ) Karena bentu di atas merupaan integral ta tentu maa solusi masih mengandung onstanta C dan disebut Solusi Umum PD. Fungsi u() disebut fator integrasi dan dicari dari : u'( ) u( ) p( ) = atau u( ) = e p ( ) d Solusi husus PD dapat ditentuan mensubstitusian nilai awal - y(a) = b yang diberian - e dalam solusi umum untu menghitung besar nilai C. Contoh Dietahui PD : y ' y = e. Tentuan : a. Solusi umum PD b. Solusi husus PD bila nilai awal, y ( ) = - Jawab : a. Dari PD didapatan p() = - dan f() = e. Fator integrasi, u( ) = e p( ) d = e d = e Solusi umum, y = u f d = e ( + C) u( ) ( ) ( ) b. Dari solusi umum, didapatan C = -. Jadi solusi husus PD, y = e ( ) Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan solusi umum PD beriut:. y '+ y = e. y' y = e. dy + y = sin d

119 4. dy d 5. dy d + y = + y = ( Nomor 6 sd ) Tentuan solusi husus PD beriut : 6. y ' y = ; y( ) = 7. y' + y = 4 ; y( ) = 8. dy + y = ; y ( ) = d 9. dy y = ; y( ) = d. dy d y = ; y ( ) = 4. ( + e dy ) + e y = ; y() = d. Dari rangaian listri, RL dietahui indusi L = Henry, tahanan R = 6 Ohm dan gaya eletromagneti / voltase E = Volt. Tentuan besar uat arus ( I dalam ampere ) yang melalui rangaian tersebut dalam fungsi t, bila pada saat t =, maa uat arus I =. Hitung pula besar uat arus, I setelah watu t =. Rangaian listri, RC, dinyataan oleh rumus : R dq Q + = dt C E ( t ) dengan muatan Q ( Coulomb ), Kapasitor C ( Farads ) dan gaya eletromagneti / Voltase E(t) ( Volt ). ( Nomor dan 4 ) Menggunaan rumusan di atas hitunglah besarnya muatan ( Q ) pada watu t = bila pada watu t = besar muatan Q =.. R = 5, C =, dan E(t) = 4. R =, C = dan E(t) = e.

120 PEUBAH TERPISAH Seringali dijumpai pada PD order satu, peubah dan y dapat dipisahan sehingga peubah dapat dielompoan dengan d dan peubah y dapat dielompoan dengan dy pada ruas yang berbeda. Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dicari tanpa harus menentuan fator integrasi, dengan mengintegralan edua ruas. Bentu umum PD peubah terpisah diberian beriut : dy M( ) y' = = atau N ( y) dy = M( ) d. Solusi umum PD didapatan dari d N( y) penyelesaian integral beriut : N ( y) dy = M( ) d. Contoh y Dietahui PD : y ' =. Tentuan : + a. Solusi umum PD. b. Solusi husus PD bila diberian y ( ) =. Jawab : a. PD dapat ditulisan dalam bentu : dy d = y + dy d Sehingga = ln y = ln ( + ) + ln C = ln C( + ). y + Solusi umum, y = C ( + ) b. Dari solusi umum didapatan C =. Solusi husus, y = +. Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Tentuan solusi umum PD beriut.. y '= y. dy y cos = d + y. dy d 4. dy = + y = d 5. dy d 6. dy d = e + y y sin = cos ( Nomor 7 sd ) Tentuan solusi husus PD beriut. 7. dy = y ; y( ) = d

121 8. dy d 9. dy d y = ; y( ) = + = y 4 ; y( ) = 6. dy y = + ; y( ) = d 4y. dy y = y ; y( ) = e d. sin d + cos y dy = ; y ( π/ ) = π/ y ' = + + y ; y( ) =. ( ) ( )

122 PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN HOMOGEN Fungsi F(,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n R sehingga berlau F(, y) = n F (, y). n disebut order dari fungsi homogen F(,y). Beberapa bentu PD ta linier order satu dengan peubah ta terpisah namun oefisiennya merupaan fungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya menggunaan metode substitusi sehingga didapatan bentu PD peubah terpisah. Bentu PD order satu dengan oefisien onstan dapat ditulisan sebagai : M(, y) dy = N (, y) d dengan M(,y) dan N(,y) merupaan fungsi homogen dy dengan order sama atau = F (, y) dengan F(,y) merupaan fungsi homogen d order nol. Maa solusi PD dicari dengan mensubstitusian : y = v dan dy = v d + dv e dalam PD sehingga didapatan bentu PD dengan peubah terpisah. Contoh Dietahui PD : ( ) + y dy y d =. Tentuan : a. Solusi umum PD b. Solusi husus PD bila y() = Jawab : a. Substitusian y = v dan dy = v d + dv e dalam PD, didapatan : + v v d + dv v d = ( )( ) ( )( ) + v v d + dv v d = ( v ) d + dv = v v ln = ln v ln C atau Cv = e v y Solusi umum PD, C y = e y b. Solusi husus PD, y = e

123 Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan solusi umum PD beriut.. dy y + y = d. dy y = + d. dy y = + d y 4. y d - dy = + y + y d dy = 5. ( ) Dalam Matematia terapan, seringali dijumpai permasalahan untu mendapatan eluarga urva yang tega lurus terhadap suatu eluarga urva yang diberian. Masalah ini disebut Trayetori Ortogonal. Pengertian dari ortogonal / tega lurus dari dua eluarga urva adalah pada titi potongnya edua garis singgung urva saling tega lurus. Misal diberian eluarga urva f(,y) = C dengan C merupaan parameter. Maa untu mendapatan trayetori ortogonal dilauan langah sebagai beriut : (i) Turunan f(,y) = C secara implisit terhadap, misal Df(,y). (ii) Menggunaan fata bahwa gradien dari dua buah garis ( m dan m ) yang tega lurus berlau : m =. Keluarga urva yang tega lurus dengan f(,y) = C m mempunyai turunan pertama,. Bila dari turunan pertama tersebut masih Df (, y) mengandung parameter C maa nyataan C sebagai fungsi dalam atau y. (iii)trayetori ortogonal dari f(,y) = C didapatan dengan mencari solusi PD : y ' =. Df (, y) ( Nomor 6 sd 5 ) Tentuan trayetori ortogonal dari eluarga urva yang diberian beriut. 6. y = C 7. y = C 8. y = C. 9. y = C.. - y = C. + y = C. 4 + y = C. = 4 c y. + y C = C 4. ( ) 5. y = + C

124 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDER DUA HOMOGEN Bentu umum PD linear order dua dengan oefisien onstan adalah : a y" + b y ' + c y = f ( ) dengan a, b dan c onstanta. Bila f() = maa a y" + b y ' + c y = disebut PD linear order dua homogen, sedang bila f() maa disebut PD linear order dua ta homogen. Solusi PD homogen ditentuan dengan memperenalan pengertian ebebasan linear dan Wronian dari dua fungsi beriut terlebih dahulu. Dua buah fungsi f() dan g() diataan bebas linear pada interval I bila persamaan ombinasi linear dari dua fungsi tersebut, m f() + n g() = untu setiap I hanya dipenuhi oleh m = n =. Bila tida demiian maa diataan f() dan g() bergantung linear. Misal diberian dua fungsi f() dan g() yang diferensiabel untu setiap R. Maa Wronian dari f() dan g( ) didefinisian : f ( ) g( ) W( f ( ), g( ) ) = f '( ) g '( ) Sifat dari ebebasan linear dan wronian dari dua fungsi f() dan g() diberian beriut. Dua fungsi f() dan g() diataan bebas linear pada I bila dan hanya bila wronian dari dua fungsi tersebut, W [ f(),g()] untu setiap I. Dari PD order satu didapatan sebuah solusi sedangan PD order dua homogen didapatan dua buah solusi yang bebas linear. Misal y () dan y () merupaan solusi PD homogen dan eduanya bebas linear. Maa ombinasi linear dari eduanya merupaan solusi umum PD homogen, yaitu y = C y () + C y (). Selanjutnya dalam menentuan solusi PD homogen dilauan hal beriut. Misal y = e m merupaan solusi PD homogen : a y" + b y ' + c y =. Dengan mensubstitusian solusi tersebut dan turunannya e dalam PD didapatan : a e m " b e m ' + + ce m = ( ) ( ) m ( ) e am + bm + c = Sebab e m, R, maa am + bm + c = dan disebut persamaan arateristi dari PD. Aar persamaan arateristi dari PD adalah : b b 4ac b D b b 4ac b D m = + = + dan m = = a a a a Kemunginan nilai m dan m bergantung dari nilai D, yaitu :. Bila D > maa m m ( Aar real dan berbeda ). Bila D = maa m = m ( Aar real dan sama ). Bila D < maa m, m merupaan bilangan omples ( imajiner )

125 . Aar Karateristi Real dan Berbeda. Misal persamaan arateristi dari PD : a y" + b y ' + c y = merupaan bilangan real dan berbeda, m m. Maa y = e m dan y = e m merupaan solusi bebas linear dari PD homogen tersebut. Solusi umum PD ditulisan : y = C y + C y = C e m + C e m Sedangan solusi husus PD dapat ditentuan dengan mencari nilai dari C dan C dari nilai awal yang diberian. Contoh Dietahui PD : y" 5y' + 6y =. Tentuan : a. Solusi umum PD b. Solusi husus PD bila nilai awal y() = dan y ( ) =. Jawab : a. Persamaan arateristi PD : m - 5 m + 6 = = mempunyai aar m = dan m =. Solusi umum PD, y = C e + C e b. Substitusi nilai awal e dalam solusi umum, y = C e + C e dan turunan pertamanya, y'= C e + C e didapatan C = - dan C =. Jadi solusi husus PD, y = e + e. Aar Karateristi Real dan Sama. Misal persamaan arateristi dari PD : a y" + b y ' + c y = merupaan b a b bilangan real dan sama, m =. Maa salah satu solusi PD : y e m = = e. a Untu menentuan solusi yang lain, solusi edua PD, didapatan dengan memisalan : y v y v e b a = ( ) = ( ). Fungsi v() dicari dengan mensubstitusian solusi edua dan turunannya e dalam PD : y = v( ) e b a b a b a y ' b = v'( ) e a v ( ) e b y v a v b = + 4a v " "( ) '( ) ( ) e b a

126 b a v a v b a v b e b v b b b "( ) ' ( ) + ( ) a '( ) a v ( ) e a cv ( ) e a + + = 4 b a v a v b a v b v b "( ) ' ( ) + ( ) '( ) a v ( ) cv ( ) + + = 4 b av"( ) c 4a v( ) = Sebab D = b 4a c =, maa av"( ) =. Oleh arena itu, v() dapat dinyataan sebagai fungsi linear yaitu v() = p + q. b a Ambil p = dan q =, didapatan v() = dan solusi edua : y = e Solusi pertama dan edua PD, y dan y merupaan solusi bebas linear, sehingga solusi umum PD bila aar araterisiti dimisalan m, yaitu : y = C e m + C e m Cara untu mendapatan solusi edua di atas dienal dengan nama metode urutan teredusi. Contoh Dietahui PD : y" y =. Tentuan : a. Solusi umum PD b. Solusi husus PD bila y() = dan y () = - Jawab : a. Aar persamaan arateristi PD, m =. Solusi umum, y = C e + C e b. Solusi husus PD, y = e e. Aar Karateristi Komples Misal aar arateristi PD : a y" + b y ' + c y = omples : b m p i q dan m p i q dengan i p a dan q D = + = : =, = = a Maa solusi umum PD ditulisan : ( + ) ( ) y = C e m + C e m = C e p iq + C e p iq Menggunaan rumus Euler : e i y = cos y + i sin y, didapatan : y = C e p( q i q) C e p cos + sin + ( cos q i sinq) = ( C + C ) e p q + i( C C ) e p cos sinq Karena solusi PD yang diharapan dalam fungsi bernilai real, maa dapat diambil C = C + C dan C4 = i( C C). Sehingga didapatan solusi umum PD : y = e p( C cos q + C4 sin q)

127 Hal ini dapat dilauan arena terlihat bahwa solusi pertama dan solusi edua PD, y e p q y e p = cos dan = sin q merupaan solusi bebas linear. Contoh Dietahui PD, y"+ 4y =. Tentuan : a. Solusi umum PD b. Solusi husus PD bila y() = dan y () = - Jawab : a. Aar persamaan arateristi PD, m = ± i. Didapatan p = dan q =. Solusi umum PD, y = C cos + C4 sin. b. Substitusian nilai awal e dalam solusi umum dan turunannya, didapatan C = dan C 4 = -. Solusi husus PD, y = cos sin Soal latihan ( Nomor sd 5 ) Tentuan solusi umum PD beriut.. y" + 5y' 6y =. y" + 4 y' + 4 y =. y" + y' + 5y = 4. y" + y' + 8y= 5. y" + 4y ' + 9y = ( Nomor 6 sd ) Tentuan solusi husus PD beriut. 6. y" 4 y' 5y = ; y( ) =, y '( ) = 7. y" y = ; y( ) =, y' ( ) = 8. y" + 4 y = ; y( ) =, y'( ) = 9. y" 6y ' + 9y = ; y( ) =, y '( ) =. y" 4 y' + 7y = ; y( ) =, y '( ) =

128 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDER DUA TAK HOMOGEN Solusi umum PD linear orde dua ta homogen merupaan jumlah dari solusi PD homogen, y h dan solusi pelengap, y p ditulisan : y = yh + yp Solusi homogen dicari seperti penjelasan terdahulu, sedangan solusi pelengap dicari menggunaan dua metode yaitu : metode oefisien ta tentu dan metode variasi parameter.. Metode Koefisien Ta Tentu Misal f() merupaan fungsi polinom, esponen, sinus atau cosinus. Maa solusi pelengap, y p dimisalan sebagai jumlah dari f() dan semua turunannya ( lihat tabel ). Selanjutnya yp, y ' p dan y " p disubstitusian e dalam PD untu menghitung nilai dari oefisiennya. f() n An + A n n A + A e a A e a e a A e a + B e a sin a A sin a + B cos a cos a A sin a + B cos a y p Contoh Tentuan solusi umum dari PD : a. y - y = - e. b. y + y = 6 sin Jawab : a. Aar arateristi PD, m = ±. Solusi homogen, y h = C e + C e -. Solusi pelengap, y p = Ae. Substitusian solusi pelengap dan turunan eduanya e dalam PD : 4 A e - A e = - e, didapatan A = - sehingga solusi pelengap, y p = - e. Solusi umum PD, y = C e + C e - - e. b. Aar arateristi PD, m = ± i. Solusi homogen, y h = C cos + C sin. Solusi pelengap, y p = A cos + B sin. Substitusian solusi pelengap dan turunan eduanya e dalam PD didapatan : A = dan B = -, sehingga solusi pelengap, y p = - sin. Solusi umum PD, y = C cos + C sin - sin. Bila f() merupaan suu-suu dari solusi homogen, maa solusi pelengap diambil sebagai peralian dari s dan f() dengan s terecil ( s =,,, ) sehingga buan merupaan suu-suu dari solusi homogennya.

129 Contoh Tentuan solusi husus PD : y" 6y ' + 9y = e ; y() = - dan y () =. Jawab : Aar arateristi PD, m =. Solusi homogen, y h = C e + C e. Karena e dan e merupaan suu-suu dari solusi homogen maa diambil solusi pelengap, y p = A e. Substitusian solusi pelengap dan turunannya e dalam PD didapatan A = ½. Solusi umum PD, y = C e + C e + ½ e. Substitusi nilai awal e dalam solusi umum dan turunannya, didapatan C = - dan C = 4. Solusi husus PD, y = - e + 4 e + ½ e.. Metode Variasi Parameter. Seringali dijumpai pada pembahasan terdahulu, metode oefisien ta tentu bentu solusi pelengap tida bisa ditentuan. Hal ini disebaban fungsi f() mempunyai bentu turunan sebanya ta hingga, misal f() = sec. Kadang pula terjadi terlalu banya oefisien yang harus dicari, sehingga dirasa metode pengerjaan tersebut urang pratis. Metode beriut aan membahas cara yang lebih umum tanpa memperhatian bentu fungsi f(). Misal yh = C y + C y merupaan solusi homogen PD : y" + p y' + q y = f ( ). Maa solusi pelengap dimisalan : y p = v y + v y Fungsi v () dan v () merupaan fungsi parameter. Bila solusi pelengap diatas diturunan seali maa y ' p = ( v ' y v ' y ) ( v y ' v y ' ) v ' y + v ' y =, sehingga didapatan turunan eduanya : y " p = v ' y ' + v ' y ' + v y " + v y ". Substitusian y p, y ' p dan y " p e dalam PD didapatan : v ' y ' + v ' y ' = f ( ). Fungsi paramater v () dan v () didapatan dari solusi dari sistem persamaan linear dalam v ' dan v ' beriut : v ' y + v ' y = v ' y ' + v ' y ' = f ( ). Menggunaan metode Crammer didapatan : v ' = y f ( ) y ' y f ( ) v y y = ' ' ( y y y y) y ' y ' d y ' y f v ' ( ) y f v ( ) = y y = y ' y ' ( y y ' y y ' ) d

130 Contoh Tentuan solusi umum PD : y + y = sec Jawab : Aar arateristi PD, m = ± i. Solusi homogen, y h = C cos + C sin. Solusi pelengap, y p = v ( ) cos + v ( ) sin. Fungsi parameter v ( ) dan v ( ) diselesaian dari sistem persamaan beriut : v ( ) cos + v ( ) sin = - v ( ) sin + v ( ) cos = sec Didapatan : v ( ) = ln ( cos ) dan v ( ) =, sehingga solusi pelengap, y p = ln ( cos ) cos + sin. Solusi umum PD, y = C cos + C sin + ln ( cos ) cos + sin Soal latihan ( Nomor sd ) Tentuan solusi umum PD beriut :. y" + y' + y = e 7. y" + y = sec. y" 4 y' + y = 8. y" + y' + y = e ln. y" y' + y = sin 9. y" + y = sec tan 4. y" y' 4 y = e. y" y ' + y = 5. y" y' + y = e + e. y" + y' + y = e ln 6. y" + y' y = f ( ) a. f ( ) = e +. y" y' + y = b. f() = sin + cos + e c. f() = e. ( Nomor sd 5 ) Tentuan solusi husus PD beriut :. y" + y = ; y( ) =, y '( ) = 4. y" 4 y' + 4y = e ; y( ) = y '( ) = 5. y" + y' + y = cos ; y ( ) = -, y ( ) = Pada rangaian listri seri, RCL, berdasaran huum Kirchoff dirumusan sebagai beriut : L Q " + R Q ' + Q = C E( t) dengan Indusi L (Henry ), Tahanan R ( Ohm ), Muatan Q ( Coulomb ), Kapasitor C ( Farads ) dan gaya eletromagneti E(t) ( volt ). Karena I = Q' maa dapat ditulisan : L I " + I R I ' + C = E '( t). Dengan menggunaan rumus di atas hitunglah muatan ( Q ) dan uat arus ( I ) dalam fungsi t dari rangaian RCL tersebut bila R = 6, L =,, C = -4 dan E =. Anggap bahwa nilai Q = dan I = pada saat t =.

131 PERMUKAAN Z c (a,b,c) O b Y a X Posisi suatu titi ( a,b,c) di dalam oordinat ruang / oordinat artesius ( sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z ) dalam aturan tangan anan digambaran disamping. Grafi fungsi dua peubah f(,y) merupaan bidang atau permuaan. Bentu umum bidang ditulisan : a + b y + c z = d dengan a,b,c,d R. Bila b = dan c = maa a = d merupaan bidang sejajar bidang YOZ, sedangan b y = d merupaan bidang sejajar bidang XOZ dan a z = d merupaan bidang sejajar bidang XOY. Beberapa bentu permuaan diberian beriut :. Bola pusat di O dan jari-jari a >, + y + z = a. Ellipsoida pusat O, y z a + b + c = ; a, b, c >. Hiperboloida berdaun satu pusat di O, y z a + b c = ; a, b, c > 4. Hiperboloida berdaun dua pusat di O, y z = a b c ; a, b, c > 5. Parabolida ellipti pusat di O, y z + = a b c ; a, b, c > 6. Paraboloida Hiperboli pusat di O, y z = a b c ; a, b, c > 7. Kerucut pusat di O, y z + = a b c ; a, b, c > 8. Tabung, + y = a, y + z = a atau + z = a Secara umum perpotongan antara dua buah grafi fungsi dua peubah aan merupaan garis atau lengungan. Bila urva z = f(,y) dipotongan dengan bidang horisontal z = ( onstanta ) maa aan didapatan suatu eluarga garis atau lengungan dan disebut lengungan Ketinggian dari z = f(,y). Soal latihan ( Nomor sd 8 ) Tentuan bentu urva dan gambar grafi dari :

132 . 4 9y 6z = y + z + 8 8y 4z = 9. 4 y + 9z = y y 6z + = 5. 6y + 4z y + 6z = y z + 8y 5 = y z 9 4y + 8z 9 = 8. + y + z 6 6y + 4z + 4 = ( Nomor 9 sd 6 ) Tentuan lengungan etinggian dari : 9. f (, y) = 4 + 9y. f (, y) = y. z = + y. z = 4 9y. z = y 4. z = 6 y y + 4z = ( ) + 9y 6( z ) = 6

133 Misal INTEGRAL RANGKAP DUA diberian daerah di bidang XOY yang berbentu persegi panjang, {( ) } D =, y a b, c y d dan fungsi dua peubah z = f (,y ) >. Maa untu menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh urva z = f (,y ) dan di bawah oleh D dilauan sebagai beriut. Bagi daerah D menjadi sub Y d y i c a i b X persegi panjang yang beruuran i dan y i. Ambil sebuah titi pada sub persegi panjang, misal titi potong diagonal ( i,y i ), sehingga ita dapatan bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f (,y ) dan di bawah oleh sub persegi panjang. Bangun ruang ( partisi ) tersebut aan mendeati bangun balo dengan tinggi f ( i,y i ). Maa ita dapatan volume tiap-tiap partisi adalah hasilali luas alas ( A i = i y i ) dan tinggi ( f ( i,y i ) ), yani V i = f ( i,y i ) A i. Bila tiap-tiap partisi ita jumlahan maa dapat ditulisan dalam n n bentu : Vi = f ( i, yi) Ai. Jumlah volume partisi tersebut aan merupaan i= i= volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f (,y ) dan di bawah oleh D bila diambil sebanya ta hingga partisi atau n, yani : n V = lim f ( i, yi ) Ai n i = Integral rangap dua dari z = f (,y ) atas daerah D didefinisian sebagai beriut: n f (, y) da = lim f ( i, yi ) Ai D n i= Sifat-sifat dari integral rangap dua diberian beriut : [, +, ] = (, ) + (, ). ( ) ( ) a f y bg y da a f y da b g y da D D D. Bila D = B C dan B C = maa (, ) = (, ) + (, ) f y da f y da f y da D B C

134 Iterasi Integral Untu menghitung integral rangap dua dari z = f (,y ) atas daerah berbentu persegi panjang D ita lauan sebagai beriut. Luas penampang benda yang tega lurus terhadap sumbu Y dengan Z c y d, misal A(y i ) adalah b z A( yi) = f (, y) d. a Volume bangun ruang merupaan n c d jumlah volume : A( yi) y untu a Y i= n. Oleh arena itu, integral rangap dua b dari z = f (,y ) atas daerah D dapat X y diselesaian dengan cara beriut : d f (, y) da = A( y) dy = f (, y) dy d. D c d b c a Dengan menggunaan pendeatan yang sama seperti di atas, integral rangap dua dari z = f (,y ) atas daerah D dapat diselesaian dengan cara sebagai beriut : D (, ) = (, ) f y da b d a c f y d dy Metode penyelesaian integral rangap dua di atas dinamaan Iterasi Integrasi. Contoh Hitung integral f (, y) da bila D a. f (, y) = y dan D = {(, y) < <, < y < } b. f (, y) = dan D daerah tertutup yang dibatasi oleh garis = -, =, y =, y =. Jawab : a. f (, y) da = y dy d = y dy d = 6 D

135 b. f (, y) da = d dy = d dy = D Integral Rangap atas Daerah Sembarang Misal R merupaan daerah sembarang. Maa untu menghitung integral rangap dua dari z = f (,y ) atas daerah R dilauan beriut. Dibentu daerah persegi panjang D yang melingupi daerah R dan didefinisian suatu fungsi baru, g (, y ) yaitu: (, ) g y (, ) ; (, ) ; (, ) f y y R = y D R Nilai integral rangap dua dari g (,y ) atas D sama dengan integral rangap dua dari f (,y ) atas R, ditulisan : R (, ) = (, ) f y da g y da D Hal ini menunjuan bahwa untu menghitung integral rangap dua atas suatu daerah sembarang dapat dicari dengan menggunaan pendeatan yang sama seperti menghitung integral rangap atas daerah berbentu persegi panjang. Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedaan menjadi dua tipe yaitu :. Tipe I, ( ) {,, ( ) ( )} R = y a b v y w Integral rangap dua dari z = f (,y ) atas R ditulisan dengan : R (, ) = (, ) f y da b a. Tiep II, ( ) w( ) f y dy d v( ) {, ( ) ( ), } R = y g y h y c y d Integral rangap dua dari z = f (,y ) atas R ditlusian dengan : R (, ) = (, ) f y da d c h( y) f y d dy g( y)

136 Y Y g(y) w() d h(y) v() c O a b X Tipe I O Tipe II X Contoh Hitung integral f (, y) da bila R a. f (, y) = dan R = {(, y) < <, < y < + } b. f(,y) = y dan R merupaan daerah tertutup yang dibatasi oleh =, y =, sumbu X. Jawab : + + a. f (, y) da = dy d = dy d = R 6 b. Daerah R dapat ditulisan menjadi : i. R = { y y } (, ), atau ii. R = {(, y) y, y 4} Untu R, f (, y) da = y dy d = y dy d = R 4 4 Untu R, f (, y) da = y d dy = y d dy = R y y 5 5 Perubahan Urutan Integrasi Seringali dijumpai dalam perhitungan integral rangap dua, ita dihadapan epada bentu iterasi yang diberian tida dapat dilauan secara langsung seperti apa yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangap dua beriut tida dapat

137 dilauan dengan iterasi yang diberian ( dengan mengintegralan terhadap y emudian terhadap ). 4 e y dy d Untu menyelesaian integral di atas ita harus merubah urutan integrasi. Bila integral ditulisan dalam bentu : e y R da R =, y 4, y. Daerah R digambaran beriut : maa ( ) Y Daerah R dapat juga dinyataan dengan : {(, ), } R = y y y Oleh arena itu, nilai integral dari : R 4 e y y dy d e y = d dy O 4 X Contoh Ubahlah urutan integrasi dari integral rangap beriut y a. f (, y) d dy b. f (, y) dy d Jawab :

138 a. Misal R = {(, y) y, y } Matematia Dasar y 4 Jadi f (, y) d dy = f (, y) dy d.. b. Misal R = {(, y), y }. Maa R = {(, y), y } 4. Maa R = {(, y) y, y } { (, y) y, y } y y Jadi f (, y) dy d = f (, y) d dy + f (, y) d dy Koordinat Kutub Kadang-adang perhitungan integral rangap dua dalam oordinat cartesius ( dan y ) membutuhan perhitungan yang rumit. Untu lebih menyederhanaan perhitungan ita enalan oordinat utub ( polar ). Misal (,y ) merupaan titi pada oordinat cartesius. Maa dalam oordinat utub didapatan hubungan : = r cos θ (,y) dan y = r sin θ. r y Integral rangap dua dari f (,y ) atas daerah R dapat ditulisan : f (, y) da = f ( r cos θ, r sinθ) da R R (, θ) θ = F r da O Sumbu Polar R Dalam oordinat cartesius, da = d dy atau da = dy d, sedangan dalam dalam oordinat utub : da = J(r,θ) dr dθ atau da = J(r,θ) dθ dr dengan J( r, θ) = r y θ y = r θ cos θ sinθ r sinθ r cosθ = r disebut determinan Jacobi dari r dan θ. Sehingga bentu integral dalam oordinat utub ditulisan beriut : f (, y) da = F( r, θ) J( r, θ) drdθ = F( r, θ) r dr dθ R R R

139 Contoh 4 Gunaan oordinat utub untu menyelesaian Jawab : Misal R = {(, y), y } setengah lingaran dengan r dan π π θ. Jadi π/ dy d. Maa R merupaan daerah π/ π/ dy d = r cosθ dθ dr = r cosθ dθ dr = π/ Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Hitung nilai integral rangap dua beriut :. ( ) ( ) { } + 8y da ; D =, y, y D 4 y da ; D = {, y, y } D y da D D y ; = + +, y, y. ( ) ( ). ( ) 4. ( ) ( ) { } π sin y y sin da ; D =, y, y D π y d dy π cos y dy d π 5. ( ) 6. ( ) ( Nomor 7 sd 6 ) Hitung integral rangap dua beriut : 7. y dy d

140 9 y 8. y d dy 9. π sin y dy d π π. ( y ) dy d y. e y d dy ; R daerah dibatasi oleh y =, = dan y =.. 6y da R. y da ; R merupaan trapesium dengan titi sudut (, ), ( 5, ), (, ) dan ( R 4, ). y da ; R daerah dibatasi oleh =, =, y = ½ π dan y = π /. R 5. ( + y) da ; R daerah dibatasi oleh y = dan y = R 6. y da ; R daerah dibatasi oleh y =, y =, = dan y =. R 4. cos( ) ( Nomor 7 sd ) Hitung integral rangap dua beriut dengan merubah urutan integrasinya terlebih dahulu e y dy d 4 8. cos( ) d dy y 4 9. e d dy y ln. dy d

141 cos. dy d π. sec ( cos ) sin d dy ( Nomor sd 9 ) Selesaian integral rangap dua beriut ( Gunaan oordinat utub ). e + y da R ; R daerah di dalam lingaran + y = y da ; R daerah di uadran pertama yang dibatasi oleh : + y = 4, R y = dan y =. 5. R y da ; R daerah di uadran pertama yang dibatasi oleh : + y = 4, y = dan y =. 6. y da ; R daerah di dalam + y = 4 dan di luar + y = yang terleta di R uadran pertama. y dy d 7. ( 4 ) y 8. ( + ) sin y d dy y dy d 9. ( + )

142 INTEGRAL RANGKAP TIGA Misal diberian fungsi tiga peubah, w = f (,y,z ). Maa untu menentuan integral rangap tiga dari w = f (,y,z ) terhadap suatu balo, B dilauan sebagai beriut. bagi balo, B menjadi sejumlah n sub balo, B i ; i =,,,n. Didapatan volume sub balo Vi = i yi zi, sehingga volume balo, B yaitu : V n = V i i= Integral rangap tiga dari w = f (,y,z ) terhadap B didefinisian sebagai beriut: n f (, y, z) dv = lim f ( i, yi, zi) Vi B n i= Syarat yang harus dipenuhi untu integral rangap tiga di atas adalah w = f (,y,z ) ontinu pada B. Misal G merupaan benda ruang sembarang. Maa untu menghitung integral rangap tiga dari w = f (,y,z ) atas G dilauan dengan cara mendefinsian fungsi g (,y,z ) beriut : f (, y, z) ; (, y, z) G g(, y, z) = ; (, y, z) B G B merupaan balo yang melingupi benda ruang, G. Sehingga didapatan : G f (, y, z) dv = g(, y, z) dv B Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh G z - batas bawah dan batas atas dari G z berturut-turut z = u(, y) dan z = v(, y) atau dalam notasi himpunan, Gz = { z u(, y) z v(, y) } - dan G y yang merupaan proyesi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentu integral rangap tiga dari w = f (,y,z ) atas G ditulisan : G v(, y) f (, y, z) dv = f (, y, z) dz da G y u(, y)

143 Bentu dari G y dapat dibedaan menjadi dua yaitu : { }. G (, y) a b, h( ) y g( ) y = Gy v(, y) u(, y) b g( ) v(, y) f (, y, z) dz da = f (, y, z) dz dy d a h( ) u(, y). ( ) {, ( ) ( ), } Gy = y h y g c y d Gy v(, y) u(, y) d g( y) v(, y) f (, y, z) dz da = f (, y, z) dz d dy c h( y) u(, y) Urutan integrasi sangat mungin bergantung dari bentu bangun ruang G, sehingga selain merupaan gabungan dari G z dan G y. Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara G dan G yz atau G y dan G z. Sedangan G yz dan G z berturutturut merupaan proyesi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ. Contoh 7 Hitung integral yz dy d dz z / z Jawab : z z z yz dy d dz = z y dy d dz / z / = Contoh 8 Hitung integral dv bila G a. G = (, y, z) y, y 4, z b. G merupaan daerah di otan pertama yang dibatasi oleh tabung y + z =, bidang = dan = 4. Jawab :

144 4 y / 4 y / 65 a. dv = dz ddy = dz d dy = G 4 b. G ditulisan, G = (, y, z) 4, y z, z. 4 z 4 z Jadi dv = dy dzd = dy dz d 4 G = π. Secara geometris nilai integral rangap tiga dari w = f (,y,z ) atas bangun ruang G merupaan volume dari bangun ruang G bila f (,y,z ) =. Contoh 9 Hitung volume bangun ruang, G yang terleta di otan pertama dibatasi oleh y = dan y + 4z = 8. Jawab : y G ditulisan, G = 8 ( y z) y z,,,,. 4 ( 8 y) / 4 ( 8 y) / 4 Volume, V = dv = dz dy d = dz dy d = G 4 Soal Latihan ( Nomor sd 5 ) Hitung nilai integral rangap tiga beriut dz dy d y π z y. sin( + y + z) d dy dz 4 y+. dz dyd y yz dz dy d

145 π yz 5. sin y sin z d dy dz ( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral yz dv bila : G 6. G = (, y, z), y, z ( y) 6 7. ( ) G =, y, z 4 y, y, z {,,, 4, } 8. ( ) 9. ( ) G = y z z y z z {,,,, } G = y z y y z z ( Nomor sd ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh :. y =, y + 4z = 8 dan terleta di otan pertama.. y + 4z = 4, y =, y = dan terleta di otan pertama. =y, z = y dan y =. y = +, y = 4, z = dan y - 4z =

146 VOLUME DAN PUSAT MASSA Sebagaimana dijelasan di awal bahwa pengertian integral rangap dua diturunan dari menghitung volume benda ruang yang dibatasi oleh dua buah permuaan. Misal z = f (,y ) dan R merupaan daerah terleta pada bidang XOY yang diberian atau bisa merupaan proyesi dari permuaan z = f (,y ). Maa volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh permuaaan z = f (,y ) dan dibatasi di bawah oleh R ditulisan: V = f (, y) da R Contoh 5 Hitung volume bangun ruang yang terleta di otan pertama yang dibatasi oleh bidang + y + z - 6 =. Jawab : X Z 6 O R Y Dari + y + z - 6 = didapatan, f (, y ) = - - y + 6. Misal R daerah di otan pertama (, y dan z ) merupaan proyesi f(,y) di bidang XOY. Maa R = 6 ( y) y,, atau 6 R = ( y),, y Jadi volume bangun ruang : ( ) V = f (, y) da = y + 6 da R Dalam fisia, integral rangap dua dapat digunaan untu menghitung massa, pusat massa dan momen dari suatu lamina ( lempengan ) yang mempunyai massa jenis yang dinyataan sebagai fungsi dari dan y. Misal suatu lamina f(,y) dengan massa jenis δ (,y ) yang proyesinya pada bidang XOY adalah R. Maa massa lamina : m = δ(, y) da R Sedangan momen dari lamina terhadap sumbu Y dan sumbu X : R

147 Momen dari lamina terhadap sumbu Y = M y = δ(, y) da R Momen dari lamina terhadap sumbu X = M = y δ(, y) da R My M Pusat massa dari lamina (,y ) dengan : = dan y =. m m Contoh 6 Tentuan massa dan pusat massa dari lamina yang dinyataan oleh f(,y) = - y + 4 dengan massa jenis δ (,y ) = - y. Jawab : Proyesi f(,y) = - y + 4 pada bidang XOY, ( ) m y da y dy d = 8 Massa, = δ(, ) = ( ) R + 4 Momen terhadap sumbu Y, = δ(, ) = ( ) {,, } R = y y + 4. M y y da y dy d = R + 4 M y y da y y dy d = Momen terhadap sumbu X, = δ(, ) = ( ) M Pusat massa, m y R M, = 4, m Soal latihan ( Nomor sd 6 ) Hitung volume benda ruang beriut :. Terleta di bawah z = + y dan di atas persegi panjang {(, ), } R = y 5 y.,, dibatasi oleh : =, z =, z - y =, = 5 dan z = = -y Terleta di otan pertama dibatasi oleh bidang oordinat ( =, y = dan z = ) dan bidang z = y.. Terleta di otan pertama [ y z ] 4. Dibatasi oleh tabung + y = 9 dan bidang z = dan z = Dibatasi di atas oleh z = + y + dan di bawah oleh bidang XOY antara y = dan y = Dibatasi di atas oleh z = 9 - dan di bawah oleh z = dan y =.

148 ( Nomor 7 sd 9 ) Tentuan massa dan pusat massa dari lamina dengan massa jenis δ (,y ) bila lamina diberian beriut : 7. Sumbu X, garis = dan urva y = ; δ (,y ) = y 8. y = sin, y =, = dan = π. ; δ (,y ) = + y 9. y = dan y = - ; δ (,y ) =

149 KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA Dalam perhitungan integral rangap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringali dijumpai beberapa esulitan dalam pengintegralan. Untu itu, dilauan tarsnformasi dari ordinat cartesius e dalam oordinat tabung dan oordinat bola. Hubungan antara oordinat cartesius dengan oordinat tabung dan oordinat bola dijelasan dari gambar beriut. Z Z z z X (r,θ,z) y O θ r Koordinat Tabung Y X (ρ,θ,φ) φ ρ O y Y θ r Koordinat Bola Bila dalam oordinat cartesius P(,y,z ) dan dalam oordinat tabung P( r,θ,z ) maa diperoleh hubungan beriut : + y = r = r cos θ y = r sin θ z = z Bila dalam oordinat cartesius P (,y,z ) dan dalam oordinat bola P ( ρ,θ,φ ) maa didapatan hubungan beriut : ρ = + y + z = ρsinφ cosθ y = ρ sinφ sinθ z = ρ cos φ Untu mentransformasian integral dari oordinat cartesius e dalam oordinat tabung atau oordinat bola digunaan metode determinan jacobi.

150 Koordinat Tabung (, θ, z) J r r θ z y y z = = r θ z z z z r θ z cos θ sinθ r sinθ r cosθ = r θ r ( θ ) v ( r, θ) f (, y, z) dv = f ( r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ G θ r ( θ) v ( r, θ) Koordinat Bola J( ρ, θ, φ) ρ θ φ = y y z = ρ θ φ z z z ρ θ φ sinφ cos θ ρsin φ sinθ ρcos φ cosθ sinφsinθ ρsin φcosθ ρcos φ sinθ cos φ ρ sinφ = ρ sinφ G θ ρ ( θ) v ( ρθ, ) ( ) f (, y, z) dv = F ρ, θ, φ ρ sinφ dφ dρdθ θ ρ ( θ) v( ρθ, ) Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maa digunaan oordinat tabung. Sedangan oordinat bola digunaan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titi. Contoh 9 Gunaan oordinat tabung untu menghitung integral Jawab : y Misal G = 8 ( y z) y z,,,,. 4 Maa G = ( r, θ, z) r, θ π, z + y dz dy d

151 Jadi, 9 π/ π/ + y dz dy d = r dz dθ dr = r dz dθ dr = 9π Contoh 4 4 y Gunaan oordinat bola untu menghitung z dz dy d Jawab : Misal ( ) G =, y, z, y 4, z 4 y G = ρ, θ, φ ρ, θ π, φ π Maa ( ) 4 4 y z dz dy d = ρ cosφρ sinφdφ dθ dρ π/ π/ π/ π/ = ρ cosφ sin φdφ dθ dρ = π Soal latihan 9 9 y. Hitung dz dy d 9. Tentuan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : a. Bagian atas : z = 5 y, bagian bawah : z = dan selimut : + y = 5 b. Bagian atas dan bawah : + y + z = 9 dan selimut : + y = 4 c. z = + y dan z = 9. Gunaan oordinat Bola untu menghitung integral beriut: 4 4 y a. z y z + + dz dy d 4.

152 9 9 z y z dy dz d 9 9 z 4 y 4 b. ( + + ) c. z 4 y dz dy d 4. Hitung volume bangun ruang G yang dibatasi di atas oleh + y + z = 6 dan di bawah oleh : z = + y

153 MEDAN VEKTOR Di Dalam bab ini aan dibahas tentang diferensial dan integral dari fungsi bernilai vetor atau fungsi vetor. Bila fungsi dengan domain R n dan range R aan menghasilan fungsi bernilai riil ( salar ) atau lebih dienal dengan fungsi peubah banya. Diferensial dan integral dari fungsi dua peubah dan tiga peubah telah dibahas pada bab sebelumnya. Sedangan bila domain R dan range R n aan didapatan fungsi yang dinyataan dalam notasi vetor. Untu membedaan dengan fungsi salar maa digunaan huruf apital yang diceta tebal untu menyataan fungsi vetor. Pembahasan tentang diferensial dan integral fungsi vetor hanya terbatas untu fungsi vetor di bidang (R ) dan di ruang (R ). Misal A R dan B R atau B R. Maa ita dapat mendefinisian suatu fungsi vetor dari A e B, F : A B dengan F(t) = ( (t), y(t) ) = (t) i + y(t) j bila B R atau F(t) = ( (t), y(t), z(t) ) = (t) i + y(t) j + z(t) bila B R. Fungsi vetor F disebut Medan / Lapangan Vetor. Bentu parametri (t), y(t) dan z(t) merupaan fungsi bernilai riil dan disebut omponen dari F. Seringali dalam menyataan medan vetor F tida menggunaan parameter t, namun menggunaan peubah dan y untu R dan peubah,y dan z untu R yaitu : F(, y) = f (, y) i + g(, y) j F(, y, z) = f (, y, z) i + g(, y, z) j + h(, y, z) f(,y ), g(,y ), f(,y,z ), g (,y,z ) dan h (.y,z ) disebut Medan Salar. Misal C merupaan urva / lintasan di R yang menghubungan dari titi A menuju titi B dan P (,y ) merupaan titi sembarang yang terleta pada C. Maa vetor posisi untu lintasan C dapat dinyataan dengan : r( t) = ( t) i + y( t) j ; a t b dengan t merupaan parameter, r(a) = A dan r(b) = B. Secara fisis, turunan dari r(t) yaitu r (t) menunjuan ecepatan partiel di titi P yang bergera, sedangan medan vetor F(t) = (t) i + y(t) j atau F(,y) = f(,y) i + g(,y) j menunjuan (vetor) gaya yang beerja di titi P. Misal diberian medan salar f (,y ) di R yang mempunyai turunan parsial pertama. Maa gradien dari f didefinisian : f f grad ( f ) = ( f ) = i + y j Dari definisi di atas, didapatan suatu operator diferensial vetor, ( baca : del atau nabla ), yaitu :

154 = i + j y Sedang untu medan salar di R didapatan operator, yaitu : = + + i y j z Diberian medan vetor F di R yang terdefinisi dalam domain D dengan medan salar f (,y,z ), g (,y,z ) dan h (,y,z ) yang mempunyai turunan parsial pertama pada D. Didefinisian suatu Divergensi dari medan vetor F beriut : div f g h F = F = + + y z Sifat-sifat dasar dari divergensi dari suatu medan vetor, yaitu sifat linier : ( ) div af + bg = adiv F + bdiv G Bila hasilali titi dari dua vetor operator gradien dengan medan vetor menghasilan salar ( divergensi ) maa hasilali silang antara operator gradien dan medan vetor F yang mempunyai medan salar f, g dan h menghasilan suatu vetor, Rotasi : i j h g f h g f rot F = F = = i + j + y z y z z y f g h Rotasi dari medan vetor F disebut juga dengan curl dan dinotasian dengan curl F. Contoh Tentuan divergensi dan curl dari medan vetor F = z i y j + y z Jawab : f f (, y, z) = z = z g, g(, y, z) = y = h h(, y, z) = y z = y. f g h div F = F = + + = z + y y z dan

155 curl F = i j y z z y y z ( 4yz) ( z) ( y) = i j + Soal Latihan ( Nomor sd 6 ) Tentuan divergensi dan curl dari medan vetor beriut.. F = yi z j + yz. G = yz i yj + z. F = yi z j + z 4. F = sinyi y cos j + yz 5. F = e y i e z j + z 6. F = ln( y) i ln ( z) j + yz

156 INTEGRAL GARIS Misal urva C dari titi A sampai titi B di R ditentuan oleh persamaan parameter = (s), y = y(s) dan z = z(s) dengan s merupaan panjang busur dari C yang diuur dari sebuah titi (,y,z ) pada C. Maa didapatan ( ds) ( d) = + ( dy) + ( dz). Bila r = i + y j + z merupaan vetor posisi dari titi (,y,z ) maa d r merupaan ds vetor satuan # yang menyinggung urva C. Hal ini ditunjuan beriut : dr ds d dy dz = i + j + = ds ds ds = ( ) ( ) ( ) d + dy + dz ( ds) Bila gaya yang beerja di titi (,y,z ) dinyataan dengan medan vetor, F (,y,z ) = f (,y,z ) i + g (,y,z ) j + h (,y,z ) dengan medan salar f, g dan h ontinu, maa besarnya erja atau usaha, W yang dilauan oleh F untu menggeraan partiel dari titi A e titi B sepanjang urva C dicari sebagai beriut. dr Misal = T. Maa besar usaha, W yang dilauan oleh F untu ds menggeraan partiel dari titi P (,y,z ) sejauh s sepanjang urva C adalah : W = F T s Oleh arena itu, usaha yang dilauan oleh F untu menggeraan partiel dari titi A sampai titi B sepanjang urva C diberian : d W = F T ds = F r = F r ds ds d Z C C C Bentu integral di atas dinamaan integral garis dari medan vetor F atas urva C. P(,y,z) F Dari r = i + y j + z C T didapatan dr = d i + dy j + dz. r B Maa besar usaha, W yang dilauan A oleh gaya F sepanjang C adalah : O Y X ( (,, ) (,, ) (,, ) ) W = F dr = f y z d + g y z dy + h y z dz C C Bila urva C yang dinyataan dengan persamaan parameter ( t ), = (t), y = y (t) dan z = z (t) dengan a t b maa besar usaha : # vetor satuan adalah vetor yang mempunyai norm atau panjang satu

157 ( f (, y, z) d g(, y, z) dy h(, y, z) dz) W = + + C b d dy = f t y t z t + + dt dt a ( ( ), ( ), ( )) g( ( t), y( t), z( t) ) h( ( t), y( t), z( t) ) dz dt dt Untu medan vetor di R, F (,y ) = f (,y ) i + g (,y ) j, maa besar usaha yang dilauan gaya F (,y ) sepanjang urva C yang dinyataan oleh persamaan : = (t) dan y = y(t) dengan a t b ditulisan : ( (, ) (, ) ) W = f y d + g y dy C b d = f t + dt a ( ( ), y( t) ) g( ( t), y( t) ) dy dt dt Bila urva C dinyataan dalam bentu y = v() dengan a b maa dapat dipandang sebagai parameter, menggantian parameter t. Sehinggga urva C diberian dengan persamaan : =, y = v() ; a b Besar usaha, W yang dilauan oleh gaya F sepanjang urva C adalah : b W = ( f (, v( ) ) + g(, v( ) ) v'( ) ) d a Contoh Tentuan besarnya usaha yang dilauan medan vetor ( gaya ), F (,y ) = ( + y ) i + ( - y ) j untu memindahan partiel sepanjang urva / lintasan C yang diberian π dengan persamaan : = cos t, y = 4 sin t dengan t. 4 Jawab : [( ) ( ) ] W = F dr = + y d + y dy C π 4 C [( cos sin )( )sin ( cos sin ) cos ] = t + 8 t t + t 4 t 4 t dt = π

158 Contoh Hitung integral garis : ( yzd z dy + y dz) bila C merupaan urva yang dinyataan C dengan persamaan : = e t, y = e t dan z = e t ; t. Jawab : t ( yz d z dy + y dz) = e dt = e C Contoh 4 Tentuan besar usaha yang dilauan oleh gaya F (,y ) = y i + j untu memindahan partiel sepanjang urva y = dari titi ( -,4 ) e titi (,4 ). Jawab : ( ) ( ) W = y d + dy = + d = C 6 Teorema Green Suatu urva C dari titi A (,y ) sampai titi B (,y ) dinyataan dengan persamaan = (t) dan y = y(t) ; a t b diataan urva tutup bila ujung-ujungnya saling berimpit, yaitu A = B atau (a) = (b) dan y (a) = y (b). Kurva tutup C diataan urva tutup sederhana bila urva tida berpotongan ecuali pada ujungujungnya. Misal diberian medan vetor di R, F (,y ) = f (,y ) i + g (,y ) j dengan medan salar f (,y ) dan g (,y ) ontinu dan mempunyai turunan parsial pertama ontinu pada R ( Daerah R merupaan daerah yang dibatasi atau dilingupi oleh urva tutup sederhana C ). Maa integral garis dari medan vetor F atas urva tutup sederhana C dengan arah positif ( arah positif dari lintasan tutup sederhana dapat dietahui bila ita berjalan mengiuti larah lintasan tersebut daerah R selalu terleta di sebelah iri ita ) dapat diselesaian menggunaan integral rangap dua beriut : C g f + = y da R ( f (, y) d g(, y) dy) Bentu di atas dinamaan Teorema Green ( di Bidang ).

159 Contoh 5 Hitung integral garis ( y d y dy) C (,) e (, ) dan berahir di (, ). Jawab :, urva C merupaan segmen garis dari titi C = C UC U C dengan : C segmen garis dari (, ) e (, ) C segmen garis dari (, ) e (, ) C segmen garis dari (, ) e (, ) Oleh arena itu, Bilamana integral garis diselesaian secara langsung didapatan perhitungan beriut : ( y d y dy) = ( y d y dy) + ( y d y dy) + ( y d y dy) C C C C Sedangan bila digunaan teorema Green maa didapatan : f g f (, y) = y = y ; g(, y) = y = y y R = (, y), y C ( ) y d y dy = 4 y da = 4y dy d = 8 R / Dari bentu teorema green di bidang, misal f (,y ) = -y dan g (,y ) =. Maa : ( y d + dy) = ( ) ( ) = y da y da. Hal ini dapat disimpulan bahwa C R R luas daerah yang dilingupi lintasan tutup sederhana C yaitu daerah R mempunyai luas : Luas R = + C ( y d dy) Contoh 6 Hitung luas Ellips yang dinyataan dengan : = a cos t, y = b sin t Jawab : Y C R C C X

160 π Luas = ( y d + dy) = [( a cos t)( b cos t) ( bsin t)( asin t) ] dt = π ab C Kebebasan Lintasan Secara umum, integral garis dari medan vetor F sangat bergantung dari bentu urva C yang diberian walaupun ujung-ujung dari urva sama. Beriut aan dibahas syarat perlu dan cuup agar integral garis dari suatu medan vetor F atas urva C bernilai sama walaupun bentu urva berbeda asal ujung-ujungnya tetap. Hal ini, ita ataan integral garis bebas urva / lintasan / tapa. Misal D merupaan daerah pada bidang XOY dan F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j dengan medan salar f (,y ) dan g (,y ) ontinu pada D. Maa integral garis : ( f (, y) d + g(, y) dy) C bebas lintasan di D bila terdapat fungsi P (,y ) ( disebut fungsi potensial ) sehingga berlau: P (, y) P (, y) = f (, y) dan = g(, y) y Syarat di atas dapat juga ditulisan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlau : f (, y) g (, y) = y P(, y) P(, y) Dari deferensial total fungsi P (,y ), dp(, y) = d + dy. Maa y didapatan : dp(,y ) = f (,y ) d + g (,y ) dy. Bila urva C mempunyai arah dari titi (, y ) e titi (, y ) maa : (, y) ( f (, y) d + g(, y) dy) = ( f (, y) d + g(, y) dy) C (, y) (, y ) = d P(, y) (, y ) = P(, y ) P(, y ) Medan vetor F sehingga integral garis dari F atas lintasan C bebas lintasan dinamaan Konservatif. Untu medan vetor di R, F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j onservatif bila dan hanya bila f (, y) g (, y) =. Sedangan untu medan vetor di y

161 R, F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) onservatif bila dan hanya bila rot F = curl F = F = atau g(, y, ) h y z z = (,, ) y, f (, y, ) h(, y, z) = dan z g (, y, ) f (, y, z) =. y Bila C merupaan urva tutup dan medan vetor F ( di R atau R ) onservatif maa ( f (, y) d + g(, y) dy) = C atau ( f (, y, z) d + g(, y, z) dy + h(, y, z) dz) =. C Permasalahan yang dihadapi disini adalah bagaimana menentuan fungsi Potensial P bila F onservatif. Misal F(,y ) = f(,y ) i + g(,y ) j onservatif. Maa untu menentuan fungsi P(,y ) sehingga berlau P (, y) P (, y) = f (, y) dan = g(, y) dilauan beriut. y P(, y) Dari = f (, y), misal P(, y) = f (, y) d = f (, y) + ( y). Maa P (, y) f (, y) = + ' ( y) = g(, y). Sehingga diperoleh bentu (y) beriut : y y f (, y) ( y) = g(, y) dy. Dengan cara sama dapat ditentuan fungsi potensial, P y dari medan vetor, F onservatif di R. Contoh 7 Selidii apaah medan vetor F onservatif. Bila ya, tentuan P ( fungsi potensial ) a. F (,y ) = y i + j F, y, z = e cos y + yz i + z e sin y j + y b. ( ) ( ) ( ) Jawab : a. f (,y ) = y dan g (,y ) =. Karena f g = = maa F onservatif. y Misal P (,y ) fungsi potensial. Maa :

162 ( ) P, y = f (, y) d = y d = y + C( y) P(, y) y = g(, y) + C '( y) = C( y) = C Jadi P(, y) = y + C b. f y z e f y yz e f (,, ) = cos + = sin y + z dan = y y z g y z z e g g y z e (,, ) = sin = sin y dan = z h h h(, y, z) = y = y dan = y Jadi F onservatif. Misal P (,y,z ) fungsi potensial. Maa P(, y, z) = e cos y + yz d = e sin y + yz + C( y, z) P y P z Jadi ( ) g y z e C = (,, ) sin y + z + = e sin y + z C( y, z) = L( z) y = h(, y, z) y + L ' ( z) = y L( z) = C P(, y, z) = e sin y + yz + C Soal latihan [ y d y dy] ( Nomor sd ) Hitung integral ( ) + ( ) dengan lintasan C C menghubungan titi (,) e titi (, ) berbentu :. Garis lurus.. Garis lurus dari (, ) e (, ) emudian dari (, ) e (, ).. Parabola = t dan y = t +. ( Nomor 4 sd 6 ) Dietahui (, y, z) = ( 6yz) + ( y + z) + ( 4yz ) F i j. Hitung F dr dari titi (,, ) sampai titi (,, ) melalui lintasan C C 4. = t, y = t, z = t. 5. Garis lurus. 6. Garis lurus dari (,, ) sampai (,, ) emudian menuju (,, ) seterusnya menuju (,, ).

163 [ y d y dy] ( Nomor 7 sd 8 ) Hitung integral ( ) + ( + ).Lintasan C berupa C lengung tertutup merupaan batas dari daerah yang dibatasi oleh y = dan y =. 7. Perhitungan langsung. 8. Gunaan teorema Green. ( Nomor 9 sd 4 ) Hitung integral garis beriut : ; C merupaan segiempat dibatasi oleh y =, y =, = -, = 4. C [ y d + dy] ; C + y = 9 C 9. ( y d + y dy). ( ) ; C ubus dengan titi sudut (, ), (, ½ π ), ( ½ π,½. ( cos y d y sin dy) C π ) dan ( ½ π, ). [ y d + dy] ; C + y = 4 C [ e + y d + e y + dy] ; C y = dan y = C [ e y d + cos y + dy] ; C + y = C. ( ). ( ) ( ) 4. ( ) ( ) ( Nomor 5 sd 9 ) Hitung integral beriut dengan mencari potensialnya terlebih dahulu. (, π / ) 5. [ e sin y d e + cos y dy] (,) (,) 6. [ e y d e y + dy] (,) (,, ) 7. [( 6y + z ) d + 9 y dy + ( 4z + ) dz] (,, (,, ) 8. [( yz + ) d + ( z + ) dy + ( y + ) dz] (,,) (,, π ) 9. [( y + z) d + ( + z) dy + ( + y) dz] (,,)

164 INTEGRAL PERMUKAAN Misal S suatu permuaan yang dinyataan dengan persamaan z = f(,y ) dan D merupaan proyesi S pada bidang XOY. Bila diberian lapangan vetor F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) dan vetor n merupaan vetor normal dari S. Maa integral dari lapangan vetor F atas permuaan S dinyataan dengan : F n da = F n da S D Untu S permuaan tertutup, dinotasian dengan : F n da. Bentu integral tersebut disebut Integral Permuaan. Vetor posisi ( posisi suatu titi, misal (,y,z ) yang terleta pada permuaan S yang dinyataan sebagai besaran vetor ) dari S, dinyataan dengan : r (,y ) = i + y j + z = i + y j + f (,y ) Normal n dari permuaan S diberian, i j r r n = = f = f i f y j + y f y yang mempunyai arah e atas, sedangan normal yang mempunyai arah e bawah diberian, i j r r n = = fy = f i + f y j y f Oleh arena itu, integral permuaan dengan vetor normal n mempunyai arah e atas dapat ditulisan : S ( (,, ) (,, ) (,, ) ) ( y ) F n da = f y z i + g y z j + h y z f i f j + da D ( y ) = f f g f + h da D Bentu da = d dy atau da = dy d. S Contoh 8 Hitung F n da S bila F(,y,z ) = 8z i - j + y dan S merupaan bagian dari bidang + y + 6z = yang terleta di otan pertama. Jawab : Dari + y + 6z = didapatan z = f (,y ) = - / - ½ y dan vetor posisi dari sembarang titi pada permuaan S, r (,y ) = i + y j + z = i + y j + ( - / - ½ r r y ). Normal bidang, n = = i + j +. y

165 Proyesi dari S pada bidang XOY, ( ) y D = (, y), y 4 Jadi D =, y 6, y F n = ( ) da 8z + y dy d S 6 ( ) 6 ( ) = ( ) 8 y + y dy d 6 ( ) = ( 6 ) dy d = 4 atau Seringali dijumpai bentu permuaan S bermua dua ( mempunyai dua mua / sisi), secara fisis ita dapat menghitung besarnya garis gaya ( flus ) dari gaya / lapangan vetor F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) yang menembus permuaan S menggunaan integral permuaan. Misal S merupaan permuaan yang mempunyai dua sisi yang dinyataan dengan z = f (,y ). Maa besar garis gaya ( flus ) dari gaya F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) menembus permuaan S dinyataan oleh : ( y ) flus F = F n da = f f g f + h da S D Contoh 9 Hitung besar garis gaya ( flus ) dari F (,y,z ) = -y i + j yang menembus permuaan S yang merupaan bagian dari bidang z = 8-4y - 5 yang terleta di atas segitiga dengan titi sudut (,, ), (,, ) dan (,, ). Jawab: Proyesi S pada bidang XOY, ( ) D = {, y, y + }. + ( y ) ( )( ) ( ) ( ) flus F = F n da = f f g f + g da = y 8 4 dy d = S D Satu cara dienalan untu menentuan besar garis gaya ( flus ) dari gaya F yang menembus permuaan S. Bila permuaan S bermua dua yang tertutup dan menutupi volume V maa besar flus dari F dicari menggunaan teorema divergensi. Teorema Divergensi Misal S merupaan permuaan padat yang menutupi volume V. Maa integral permuaan dari lapangan vetor F(,y,z ) = f(,y,z ) i + g(,y,z ) j + h (,y,z ) atas

166 permuaan S atau besarnya flus dari F yang menembus permuaan S dapat diselesaian menggunaan integral rangap tiga, yaitu : S F n da = div F S dv Vetor normal n diambil yang mengarah eluar. Teorema di atas lebih dienal dengan Teorema Divergensi Gauss ( Teorema Gauss ). Contoh 9 Hitung F n da bila S a. F(,y,z ) = ( - z) i + y j - z dan S merupaan daerah yang dibatasi oleh =, =, y =, y =, z = dan z = Jawab : div F = f + g + h = + z y z S S = {, y, z, y, z } ( ), ( ) F n da = div F dv = + z d dy dz = S Contoh Hitung besar flus dari gaya F(,y,z ) = 4 i - y j + z yang menembus permuaan S yang dibatasi oleh + y = 4, z = dan z =. Jawab : div F = f + g + h = 4 4y + z, y z {(,, ), 4 4, } S = y z y z S ( y ) ( ) F n da = div F dv = y + z dy d dz S = z dy d dz = π 8 6 Teorema Stoes Misal S permuaan terbua bermua dua dinyataan oleh z = f(,y) yang dibatasi oleh lengungan / lintasan tutup sederhana C. Maa integral dari F(,y,z ) = f(,y,z ) i +

167 g(,y,z ) j + h (,y,z ) atas lengungan / lintasan C dalam arah positif $ dapat dinyataan sebagai integral permuaan dari curl F atas S beriut. C F dr = curl F n da S Normal n ditentuan dari normalisasi gradien dari permuaan S yang dinyataan secara f (,y,z) implisit, f (,y,z ) =, yaitu n =. f,y,z ( ) Contoh Dietahui lapangan vetor F(,y,z ) = y i - z j + y z dan S permuaan paraboloida z = + y dibatasi oleh z = dengan lintasan C merupaan elilingnya. Gunaan teorema Stoes untu menghtiung S curl F n da Jawab : Lintasan C, + y = 4, z = atau = cos t, y = sin t, z = dengan t π. π ( ) ( sin ) ( sin ) ( cos )( ) ( ) curl F n da = F dr = y d z dy + yz dz = t t t dt S C C = π Soal Latihan ( Nomor sd ) Selesaian integral F n da bila S. F(,y,z ) = i + j + y z dan permuaan S dinyataan oleh daerah yang dibatasi z = y, y dan y. F(,y,z ) = cosh i + sinh y dan permuaan S dinyataan oleh daerah yang dibatasi z = + y, y dan.. F(,y,z ) = i - j + y z dan permuaan S dinyataan oleh daerah yang dibatasi z = + y, y dan y. ( Nomor 4 sd 6 ) Hitung besar flus dari gaya F yang menembus permuaan S bila 4. F(,y,z ) = ( 9 - ) j dan permuaan S merupaan bagian bidang + y + 6z = 6 yang terleta di otan pertama. 5. F(,y,z ) = y i - j + dan permuaan S ditentuan oleh z = y 5, $ Lintasan C mempunyai arah positif bila seseorang berjalan menyusuri lintasan tersebut maa permuaan S selalu terleta di sebelah irinya.

168 6. F(,y,z ) = i + 5 j + dan permuaan S adalah bagian dari z = ( + y ) terleta di dalam tabung + y =. ( Nomor 7 sd ) Gunaan teorema divergensi gauss untu menghitung F n da bila S / yang 7. F(,y,z ) = z i + j + y dan permuaan S ditentuan oleh z 9 y 8. F(,y,z ) = i + y j + z dan permuaan S berupa ubus, y, z 9. F(,y,z ) = i - y j + 4z dan permuaan S dinyataan oleh + y + z 9. F(,y,z ) = yz dan permuaan S merupaan tetrahedron yang dibatasi oleh bidang =, y =, z = dan + y + z = ( Nomor sd ) Gunaan teorema Stoes untu menghitung curl F n da. F(,y,z ) = y i + yz j + z dan S merupaan segitiga dengan titi sudut (,, ), (,, ) dan (,, ). F(,y,z ) = yz i + z j + z dan S merupaan bagian bola + y + z = 6 yang terleta di bawah bidang z =.. F(,y,z ) = ( z -y ) i + ( z + ) j - ( + y ) dan S merupaan bagian paraboloida z = - - y yang terleta di atas bidang XOY. S