BAB 2 TEORI PENUNJANG

Transkripsi

1 BAB EORI PENUNJANG.1 Konsep Dasar odel Predictive ontrol odel Predictive ontrol P atau sistem endali preditif termasu dalam onsep perancangan pengendali berbasis model proses, dimana model proses digunaan secara esplisit untu merancang pengendali dengan cara meminimuman suatu fungsi riteria. Ide ang mendasari pada setiap jenis P adalah [4]: 1. Penggunaan model proses secara esplisit untu mempredisi eluaran proses ang aan datang dalam rentang watu tertentu horizon.. Perhitungan rangaian sinal endali dengan meminimasi suatu fungsi riteria. 3. Strategi surut; pada setiap watu pencuplian pada watu horizon dipindahan menuju watu pencuplian beriutna pada watu 1 dengan melibatan pemaaian sinal endali pertama aitu u untu mengendalian proses, dan edua prosedur di atas diulang dengan menggunaan informasi terahir. etode P memilii beberapa eunggulan dibandingan dengan metode pengendali lainna, di antarana adalah[4] : 1. Konsepna sangat intuitif serta penalaanna mudah.. Dapat digunaan untu mengendalian proses ang beragam, mulai dari proses ang sederhana, hingga proses ang omples, memilii watu tunda ang besar, non-minimum phase atau proses ang tida stabil. 3. Dapat menangani sistem multivariable. 4. empunai ompensasi terhadap watu tunda. 5. empunai emampuan dari pengendali feed forward untu mengompensasi gangguan ang teruur. 6. udah untu mengimplementasian pengendali ang diperoleh. 7. Dapat memperhitungan batasan atau constraint dalam merancang pengendali. 4 Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

2 5 8. Sangat berguna jia sinal acuan untu masa ang aan datang dietahui. Selain beragam euntungan ang dimilii, metode P juga mempunai elemahan, aitu masalah penurunan aturan sinal endali ang cuup omples dan eperluan aan model proses ang bai. Strutur dasar dari pengendali P dapat dilihat pada Gambar.1. etodologi semua jenis pengendali ang termasu edalam ategori P dapat dienali oleh strategi beriut [4]: 1. Keluaran proses ang aan datang untu rentang horizon H p ang ditentuan ang dinamaan sebagai prediction horizon, dipredisi pada setiap watu pencuplian dengan menggunaan model proses. Keluaran proses terpredisi ini i untu i 1 bergantung pada nilai masuan dan eluaran lampau dan epada sinal endali ang aan datang ui, i -1, ang aan digunaan sistem dan harus dihitung.. Serangaian sinal endali dihitung dengan mengoptimasi suatu fungsi riteria ang ditetapan sebelumna, dengan tujuan untu menjaga proses sedeat mungin terhadap traetori acuan ri. Fungsi riteria tersebut umumna berupa suatu fungsi uadrati dari esalahan antara sinal eluaran terpredisi dengan traetori acuan. Solusi esplisit dapat diperoleh jia fungsi riteria adalah uadrati, model linier, dan tida ada constraint, jia tida, optimasi iteratif harus digunaan untu memecahanna. angah pertama dan edua dapat diilustrasian pada Gambar.. 3. Sinal endali u diirim e proses, sedangan sinal endali terpredisi beriutna dibuang, arena pada pencuplian beriutna 1 sudah dietahui nilaina. aa langah pertama diulang dengan nilai eluaran proses ang baru dan semua prosedur perhitungan ang diperluan diperbaii. Sinal endali ang baru u11 nilaina berbeda dengan u1 dihitung dengan menggunaan onsep receding horizon. Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

3 6 Gambar.1. Strutur pengendali P 1 Gambar. Kalulasi eluaran proses dan pengendali terpredisi. Fungsi Kriteria pada odel Predictive ontrol Seperti ang telah dinataan sebelumna bahwa perhitungan sinal endali pada P dilauan dengan meminimuman suatu fungsi riteria. Fungsi riteria ang digunaan dalam algoritma P berbentu uadrati seperti beriut: Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

4 7 V i 1 i r i 1 i uˆ i i R i.1 dengan : i eluaran terpredisi untu i-langah edepan saat watu r i nilai traetori acuan reference trajector u ˆ i perubahan nilai sinal endali terpredisi untu i-langah edepan saat watu i dan Ri fator bobot H p prediction horizon H u control horizon Dari persamaan fungsi riteria tersebut, selalu dibuat asumsi bahwa nilai < dan u ˆ i untu i, sehingga nilai masuan terpredisi u i u i untu semua i seperti ang terlihat pada Gambar.. Bentu dari fungsi riteria pada persamaan.1 menataan bahwa vetor esalahan i r i dibebanan pada setiap rentang prediction horizon. Walaupun demiian tetap ada emunginan untu menghitung vetor esalahan pada titi-titi tertentu saja dengan cara mengatur matris fator bobot i bernilai nol pada langah ang diinginan. Selain vetor esalahan, fungsi riteria pada persamaan.1 juga memperhitungan perubahan vetor masuan dalam rentang control horizon. Pemilihan penggunaan u ˆ i ang pada fungsi riteria bertujuan untu meminimuman perubahan sinal endali ang masu e plant.. odel Proses Pada pembahasan ini, model proses ang digunaan berupa model ruang eadaan disrit linier seperti beriut : Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

5 8 dengan : x 1 Ax Bu. x.3 u vetor masuan berdimensi-l x 1 x vetor eadaan berdimensi-n x 1 vetor eluaran berdimensi-m x 1 A matris eadaan berdimensi n x n B matris masuan berdimensi n x l matris eluaran berdimensi m x n odel ruang eadaan pada persamaan. dan.3 adalah model ruang eadaan untu ondisi ideal..3 Predisi Sinal masuan ang digunaan dalam perhitungan predisi eluaran adalah perubahan nilai sinal masuan u pada setiap watu pencuplian. Dimana perubahan tersebut merupaan selisih antara sinal masuan saat atau u dan sinal masuan satu langah sebelumna u 1. Dalam menelesaian masalah pengendali preditif, nilai eluaran terpredisi ˆ i harus dapat dihitung dengan menggunaan estimasi terbai dari variabel eadaan saat ini x, nilai masuan ang lampau u 1, dan nilai periraan dari perubahan masuan ang aan datang u ˆ i. Sebelum melangah lebih jauh, hal pertama ang harus dilauan adalah mempredisi nilai variabel eadaan dengan melauan iterasi model ruang eadaan pada persamaan. dan.3. Perhitungan predisi variabel eadaan adalah sebagai beriut x ˆ 1 Ax Buˆ.4 x ˆ Axˆ 1 Buˆ 1 A x ABuˆ Buˆ 1.5 Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

6 9 xˆ Axˆ 1 Buˆ 1 A x A 1 Buˆ K Buˆ 1.6 Pada setiap langah predisi digunaan u ˆ buan u, arena besarna nilai u belum dietahui etia menghitung predisi. Searang, diasumsian bahwa nilai masuan hana berubah pada watu, 1,, 1, dan setelah itu menjadi onstan, sehingga didapatan bahwa u ˆ i uˆ 1 untu i -1. Selanjutna, perhitungan predisi diubah sehingga mengandung u ˆ i daripada u ˆ i, dengan uˆ i uˆ i uˆ i 1.7 dan pada setiap watu pencuplian nilai ang sudah dietahui hana u-1, maa uˆ uˆ u 1.8 uˆ 1 uˆ 1 uˆ u 1.9 uˆ 1 uˆ 1 K uˆ u 1.1 Dengan mensubstitusian persamaan.8.1 e persamaan.4.6, diperoleh persamaan: [ uˆ u 1 ] xˆ 1 Ax B.11 xˆ A x AB[ uˆ u 1 ] [ uˆ 1 uˆ u 1 ] B uˆ 1 A I B uˆ B uˆ 1 A I Bu 1 A x.1 xˆ A x B uˆ 1 A K A I B uˆ K 1 1 A K A I Bu 1.13 Dengan mengacu pada persamaan u i u i untu i>h u, maa perhitungan predisi untu i>h u adalah Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

7 xˆ 1 A xˆ A 1 x A K A I B uˆ K A I B uˆ 1 A K A I Bu 1 1 x A K A I A K A I B uˆ 1 A K A I Bu 1 B uˆ K Ahirna, persamaan dapat disusun e dalam bentu vetor matris sebagai beriut xˆ 1 B A i 1 A B xˆ H u A i x i u 1 1 xˆ H u 1 A A B i 1 xˆ H u A i A B i Ψ Γ Pr edisi lampau B nxl AB B nxl O uˆ 1 i A B B i.16 i A B AB B uˆ 1 i 1 i i A B A B i i Θ Selain itu, persamaan predisi eluaran ˆ i dapat ditulis seperti beriut ini ˆ 1 xˆ 1.17 ˆ xˆ.18 1 Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

8 11 ˆ ˆ x.19 Persamaan emudian dapat ditulis edalam vetor matris sebagai beriut: ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ x x mxn mxn mxn mxn mxn mxn O..4 Strategi Pengendali odel Predictive ontrol tanpa onstraint Fungsi riteria ang aan diminimuman sama seperti pada persamaan.1 dan dapat ditulis sebagai beriut: R U V.1 Dengan ˆ 1 ˆ, 1 r r, 1 ˆ ˆ u u U dan matris fator bobot dan R adalah sebagai beriut 1 O. 1 R R R O.3 Berdasaran pada persamaan ruang eadaan.16 dan., maa matris dapat ditulis dalam bentu 1 U u x Θ Γ Ψ.4 Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

9 1 Selain matris-matris di atas, didefinisian juga suatu matris penjejaan esalahan E, aitu selisih antara nilai traetori acuan ang aan datang dengan tanggapan bebas dari sistem. anggapan bebas adalah tanggapan ang aan terjadi pada rentang prediction horizon jia tida ada perubahan nilai masuan ΔU. Persamaan matematis dari matris E adalah sebagai beriut E Ψ x Γ u 1.5 Persamaan.1 emudian dapat ditulis embali dalam bentu ang mengandung matris E dan ΔU sebagai beriut V Θ U U R E.6 [ U Θ ] [ Θ U ] U R U E U Θ E U [ Θ Θ R] U E E.7 E c G H 1.8 Pada persamaan.8, bagian E E tida mengandung unsur ΔU sehingga bagian tersebut bisa dianggap onstan sehingga bagian tersebut tida diiutsertaan dalam proses optimasi untu menghitung nilai ΔU. Persamaan.8 emudian dapat ditulis embali menjadi V c1 U G U H U.9 dengan dan G Θ E.3 H Θ Θ R.31 Nilai optimal ΔU dapat dihitung dengan membuat gradien dari V bernilai nol. Gradien V dari persamaan.9 adalah V G H U.3 U Dengan membuat nol nilai V pada persamaan.3, maa U didapatan nilai optimal dari perubahan sinal endali sebagai beriut: Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

10 13 1 U H 1 opt G.33 1 Θ E.34 Θ Θ R 1 Θ Θ R Θ E K P.35 Setelah nilai matris ΔU didapatan, maa nilai ang digunaan untu mengubah sinal endali hana nilai dari baris pertama matris ΔU sedangan nilai dari baris ang lain dari matris ΔU dibuang..4 Full-Order State Observer [6] Observer adalah sebuah perangat sistem dinami ang mengestimasi eadaan sistem berdasaran masuan dan eluaranna. Dalam bana asus pratial, hana sediit variabel state ang teruur dan sisana adalah state ang tida dapat teruur oleh sensor. Oleh arena itu, variabel state ang tida teruur dapat di estimasi dan hal ini sering disebut dengan proses observasi. Observer dapat digunaan untu menelesaian suatu sistem ang mempunai state vetor ang tida lengap, selain itu observer dapat digunaan dalam sistem ang menggunaan sensor atau tanpa sensor. Diagram blo observer dapat dilihat pada Gambar.3. Jia variabel state pada sistem/plant semua diestimasi maa disebut fullorder state observer. Orde dari plant dan observer mempunai tingat ang sama, full order observer disebut juga identit observer atau asmtotic state estimator. odel sistem dinataan dalam bentu state variabel dan eluaranna sebagai beriut: x 1 Ax Bu.36 x.37 Dengan u masuan, eluaran dan x adalah state. Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

11 14 Gambar.3 Diagram blo observer Persamaan variabel state sistem ang dimodelan untu ondisi ang diestimasi dinataan dalam persamaan: x ˆ 1 Axˆ Bu.38 xˆ.39 anda topi menunjuan parameter estimasi, sedangan ang tida menggunaan topi menunjuan nilai atual dari sistem. State observer hana dapat dirancang jia dan jia ondisi observabilit dari sistem memuasan. odel sistem dengan observer adalah sebagai beriut: ˆ xˆ 1 Axˆ Bu.4 ˆ xˆ.41 Dengan matris adalah gain observer ang merupaan fator pengali error antara nilai eluaran atual dengan estimasi. Dengan mensubtitusi persamaan.37 dan.41 e persamaan.4, maa diperoleh persamaan: xˆ 1 Axˆ Bu x xˆ A xˆ Bu x ˆ 1.4 atris A- searang menjadi matris sistem observer. Kestabilan dan unju erja observer bergantung pada matis ini. Harga A dan adalah tetap arena sistem time invariant. Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1

12 15 Jadi, variabel eadaan ang diubah-ubah adalah matris. Untu pemilihan matris menggunaan formula Acermann, dengan persamaan sebagai beriut: Φ z N 1 A N [ 1] x n Φ 1 Persamaan arateristi Observer ang diinginan atris observabilit.43 Perancangan pengendali..., urie Dwianiti, F UI, 1