BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Tinjauan Pustaa Untu menacapai tujuan penulisan sripsi, diperluan beberapa pengertian dan teori yang relevan dengan pembahasan. Karena itu, dalam subbab ini aan diberian beberapa teori yang berupa definisi maupun teorema yang relevan dengan pembahasan Grup Silis Sebelum diberian definisi tentang grup silis, terlebih dahulu diemuaan mengenai pengertian grup, grup omutatif dan order dari grup. Definisi 2.1 [Stallings, 2003:105] Grup ( G ) adalah sebuah sistem aljabar yang terdiri dari suatu himpunan ta osong G dan suatu operasi biner (*) yang didefinisian dalam G serta memenuhi asioma-asioma beriut (A1) Tertutup, yaitu jia a,b G maa a * b G. (A2) Assosiatif, yaitu a*(b*c) = (a*b)*c, untu setiap a,b,c G. (A3) Elemen identitas, yaitu terdapat elemen identitas 0 dalam G sedemiian sehingga a * 0 = 0 * a = a, untu setiap a G. (A4) Elemen invers. Untu setiap a dalam G, terdapat a elemen G sedemiian sehingga a * a = a * a = 0. Definisi 2.2 [Stallings, 2003:105] Sebuah Grup G disebut sebagai grup omutatif jia memenuhi asioma beriut (A5) Komutatif, yaitu a * b = b * a, untu setiap a,b dalam G. Definisi 2.3 [Stallings,2003:105] Jia sebuah grup G memilii jumlah elemen yang berhingga maa disebut grup berhingga (finite group) dan jia jumlah elemen dari suatu grup G ta berhingga maa disebut grup ta berhingga (infinite group). Order dari sebuah grup G sama dengan banyanya elemen dalam grup G. ElGamal ECC beerja dalam operasi aritmetia yang didefinisian dalam suatu grup tertentu. Grup yang digunaan merupaan grup omutatif dan 5

2 6 berhingga. Sifat omutatif harus dipenuhi untu menjamin bahwa plaintext yang dienripsi dapat diembalian lagi atau dapat dideripsi. Selain itu juga perlu dietahui definisi dari grup silis dan elemen pembangunnya, yaitu Definisi 2.4 [Stallings,2003:106] Sebuah grup G dan sebuah unsur g G, jia G={ g n / n Z } maa G disebut sebagai grup silis (cyclic group). Elemen g disebut elemen pembangun dari grup G. Algortima ElGamal ECC memerluan beberapa parameter domain yang aan digunaan dalam proses enripsi dan deripsi. Salah satu parameter tersebut adalah elemen pembangun dari grup silis yang digunaan dalam ElGamal ECC. Karena itu Definisi 2.4 diperluan sebagai dasar teori dalam penulisan sripsi ini Lapangan Berhingga Sebelum diberian definisi tentang lapangan berhingga, terlebih dahulu diberian definisi tentang gelanggang, gelanggang omutatif, daerah integral dan lapangan. Definisi 2.5 [Stallings, 2003: 106] Gelanggang (R ) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentu oleh suatu himpunan ta osong R, dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan peralian (.) yang didefinisian dalam R, dan memenuhi asioma-asioma beriut (A1 A5) R adalah grup omutatif terhadap operasi penjumlahan. (M1) Tertutup terhadap peralian, yaitu jia a,b R maa a.b dalam R. (M2) Assosiatif terhadap peralian, yaitu a.( b.c ) = ( a.b ).c, untu setiap a,b,c dalam R. (M3) Distributif, yaitu a.(b+c) = a.b + a.c, untu setiap a,b,c dalam R, (a+b).c = a.c + b.c, untu setiap a,b,c dalam R. Definisi 2.6 [Stallings, 2003: 106] Sebuah gelanggang R disebut sebagai gelanggang omutatif jia memenuhi asioma beriut (M4) Komutatif terhadap peralian, yaitu a.b = b.a, untu setiap a,b dalam R. Definisi 2.7 [Stallings, 2003: 107] Daerah integral merupaan suatu gelanggang omutatif R yang memenuhi asioma-asioma beriut (M5) Identitas peralian, yaitu terdapat 1 R sedemiian sehingga untu setiap a

3 7 anggota berlau 1.a = a.1 = a. (M6) Tida memuat pembagi nol, yaitu jia a, b dalam R dan a.b = 0 maa a=0 atau b=0, dimana 0 merupaan identitas penjumlahan. Berdasaran Definisi 2.7, dapat dibentu suatu lapangan dengan menambahan satu asioma, yaitu invers peralian. Beriut ini, definisi dari lapangan dan lapangan berhingga. Definisi 2.8 [Stallings, 2003: 107] Lapangan ( F ) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentu oleh suatu himpunan ta osong F dan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan peralian (.) yang didefinisian dalam F serta memenuhi asioma-asioma beriut (A1 M6) F merupaan daerah integral. (M7) Invers peralian, yaitu untu setiap a dalam F dan a 0, terdapat a -1 F sedemiian sehingga a. a -1 = a -1.a = 1, dengan 0 merupaan identitas dari penjumlahan dan 1 merupaan identitas peralian. Definisi 2.9 [Certicom, 2000, SEC2: 3] Jia sebuah lapangan F memilii jumlah elemen yang berhingga maa F disebut lapangan berhingga (finite field) dan jia banyanya elemen dalam lapangan F ta berhingga maa F disebut lapangan ta berhingga (infinite field). Proses perhitungan dalam ElGamal ECC menggunaan operasi aritmetia yang berlau dalam suatu lapangan berhingga. Berdasaran batasan masalah, lapangan yang digunaan dalam penulisan sripsi ini adalah lapangan berhiingga prima (F p ). Karena itu perlu dietahui pengertian dari lapangan F p Lapangan Berhingga Prima (F p ) Operasi aritmetia dalam F p merupaan operasi modulo p. Sehingga perlu dietahui definisi dari modulo p. Definisi 2.10 [Stinson, 1995: 3] Misalan s dan t bilangan bulat, dan p bilangan bulat positif. Maa dapat ditulisan s t (mod p) jia p membagi t s. s t (mod p) dibaca s ongruen t modulo p. Bilangan bulat positif p disebut modulus.

4 8 Setelah dietahui berbagai definisi yang diperluan, termasu definisi modulo p, berarti telah dimilii dasar yang cuup untu mendefinisian lapangan berhingga prima (F p ). Definisi 2.11 [Certicom, 2000, SEC1: 3] Lapangan berhingga prima F p adalah suatu lapangan berhingga yang berisi p elemen. Anggota-anggota dari F p direpresentasian sebagai himpunan bilangan bulat dari 0 sampai p-1 atau ditulis {0,1,2, p-1} dengan operasi penjumlahan dan peralian yang didefinisian sebagai beriut a. Operasi penjumlahan, yaitu jia a,b F p, maa a + b = r dalam F p, dengan r [0,p-1] adalah sisa pembagian dari bilangan bulat a+b dibagi dengan p. Operasi tersebut dinamaan operasi penjumlahan modulo p dan ditulis: a + b = r (mod p). b. Operasi peralian, yaitu jia a,b F p, maa a.b = s dalam F p, dengan s [0,p-1] adalah sisa pembagian dari bilangan bulat a.b dibagi dengan p. Operasi ini disebut sebagai operasi peralian modulo p dan ditulis: a.b = s (mod p). c. Invers penjumlahan, yaitu jia a F p, maa b invers dari a dalam F p adalah solusi uni untu persamaan a + b = 0 (mod p). d. Operasi peralian, yaitu jia a F p, maa b invers dari a dalam F p adalah solusi uni untu persamaan a.b = 1 (mod p). Dalam representasi dari F p ini, elemen identitas penjumlahan adalah 0 dan elemen identitas peralian adalah Grup Elliptic atas F p ElGamal ECC merupaan algoritma riptografi yang menggunaan permasalahan matematis ECDLP. Kurva elliptic dapat dipandang sebagai suatu himpunan yang terdiri dari titi-titi urva elliptic atas F p. Beriut ini, definisi tentang urva elliptic atas F p. Definisi 2.12 [Certicom, 2000, SEC1: 6] Misalan F p adalah sebuah lapangan berhingga prima sedemiian sehingga p adalah bilangan prima ganjil, dan A,B F p yang memenuhi 4A 3 +27B 2 0 ( mod p ). Kurva elliptic E(A,B) atas

5 9 F p didefinisian dengan parameter-parameter A,B F p yang berisi himpunan titi-titi (x,y) dengan x,y F p dan merupaan himpunan penyelesaian dari persamaan y 2 x 3 +Ax+B ( mod p ), termasu titi O (point at infinity). Persamaan y 2 x 3 +Ax+B ( mod p ) disebut sebagai definisi persamaan dari Kurva Elliptic E(F p ) atau sering ditulis E(A,B). Definisi 2.13 [Stinson, 1995: 184] Misalan p > 3 adalah prima. Kurva elliptic y 2 =x 3 +Ax+B atas F p adalah himpunan penyelesaian (x,y) F p x F p dari y 2 x 3 +Ax+B ( mod p ) dengan A,B F p adalah onstan, sedemiian sehingga 4A 3 +27B 2 0 ( mod p ), termasu titi husus O yang disebut sebagai point at infinity. Berdasaran Definisi 2.12 dan 2.13, dapat dibentu suatu grup elliptic atas F p. Sebagai dasar teori dalam grup elliptic, terlebih dahulu diberian definisi tentang quadratic residue modulo p. Definisi 2.14 [Stinson, 1995: 313] Misalan p adalah bilangan prima ganjil dan x bilangan bulat, 0 x p-1. Bilangan x didefinisian sebagai suatu quadratic residue modulo p (QR p ), jia ongruensi y 2 x ( mod p ) mempunyai suatu penyelesaian y F p. Jia x 0 (mod p) dan x buan quadratic residue modulo p maa x didefinisian sebagai quadratic non-residue modulo p. Sehingga dapat didefinisian grup elliptic atas F p sebagai beriut Definisi 2.15 [Chouinard, 2002: 1] Sebuah grup elliptic E p (A,B) atas F p diperoleh dengan menghitung penyelesaian persamaan y 2 x 3 +Ax+B ( mod p ) untu 0 x p-1, A dan B F p, p bilangan prima, sehingga memenuhi syarat : 4A B 2 0 (mod p) dan y 2 merupaan anggota himpunan quadratic residue modulo p ( QR p ) termasu didalamnya titi O (point at infinity). Sebagaimana dijelasan sebelumnya bahwa ElGamal ECC beerja dalam suatu grup tertentu. Grup yang dimasud adalah grup elliptic E p (A,B) atas F p dan operasi aritmetia yang berlau didalamnya Public Key Cryptosystem ElGamal ECC merupaan salah satu jenis public ey cryptosystem. Karena itu, perlu dietahui terlebih dahulu tentang pengertian cryptosystem dan public ey

6 10 cryptosystem. Definisi 2.16 [Stinson, 1995: 1] Cryptosystem terdiri atas 5-tuple, yaitu (M, C, K, E, D ) yang memenuhi pengertian sebagai beriut a. M adalah himpunan berhingga dari plaintext. b. C adalah himpunan berhingga dari chipertext. c. K adalah himpunan berhingga dari unci. d. Untu setiap K terdapat aturan unci enripsi e E dan berorespondensi dengan aturan unci deripsi d D. Untu setiap e : M C dan d : C M adalah suatu fungsi sedemiian sehingga d (e (x)) = x, untu setiap x dalam M. Definisi 2.17 [Stallings, 2003: 260] Sema enripsi pada public ey cryptosystem mempunyai 6 unsur, yaitu: a. Plaintext adalah data atau pesan yang dapat dibaca. b. Algoritma enripsi adalah algoritma untu membuat plaintext menjadi odeode tertentu (chipertext). c. Public ey adalah unci yang digunaan untu enripsi. d. Private ey adalah unci yang digunaan untu deripsi. e. Chipertext adalah data atau pesan hasil enripsi dari plaintext. f. Algoritma deripsi adalah algoritma untu membuat chipertext menjadi plaintext Keranga Pemiiran Berdasaran latar belaang masalah dan landasan teori yang telah diberian, dapat disusun suatu eranga pemiiran penulisan sripsi ini. Dengan alasan erahasiaan, sebuah informasi (plaintext) yang disampaian dari sumber berita perlu disandian agar tida dapat dietahui atau dibaca oleh orang-orang yang tida berha atau tida bertanggungjawab. Kriptografi dapat digunaan untu mengenripsi plaintext menjadi tes yang disandian (ciphertext). Langah pertama adalah menentuan private ey V< NG 1, dengan adalah order dari basic point G E (elemen pembangun dalam grup elliptic), N G

7 11 sehingga β = VG E N G.G E = O (point at infinity). Selanjutnya, menghitung public ey, dengan G E adalah basic point dan G E anggota grup elliptic E (, ) p A B atas F p. Sebelum melauan enripsi, plaintext direpresentasian terlebih dahulu menjadi titi urva elliptic (P M ) yang merupaan elemen dalam E p (A,B). Misalan Bob ingin mengirim epada Iwan sebuah plaintext yang telah direpresentasian sebagai titi urva elliptic P M. Bob memilih sebuah bilangan bulat secara random dan menghitung chipertext pair of points P C ( P 1,P 2 ) menggunaan public ey Iwan ( β ). P 1 =. G E dan P 2 = P M +. β. Setelah menerima chipertext tersebut, Iwan perlu menderipsi chipertext pair of points (P C ) untu mendapatan plaintext. Untu menderipsi chipertext, Iwan mengalian titi pertama pada chipertext pair of points (P 1 ) dengan private ey milinya (V). Kemudian mengurangi titi edua chipertext pair of points (P 2 ) dengan hasil peralian antara titi pertama dan private ey. Sehingga diperoleh pesan aslinya yang berupa titi P M seperti beriut ( P M + β ) [V ( G E )] = ( P M + V G E ) [V ( G E )] = P M Kemudian titi urva elliptic P M dionversi menjadi plaintext, sehingga Iwan dapat mengerti pesan yang diirim oleh Bob.