Kontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Transkripsi

1 Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

2 Outline Masalah kontrol optimum Prinsip maksimum Pontryagin 1 Teorema 2 Bukti Fungsi adjoin tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

3 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubah kontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehingga memenuhi beberapa kendala fisik dan dalam waktu yang sama mengoptimumkan kriteria tertentu. Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan: 1 program dinamik (Bellman, 1957) 2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962) Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimum melalui pendekatan prinsip maksimum. Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalam kalkulus variasi. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

4 MKV vs MKO Perbedaan MKV dan MKO: Masalah Kalkulus Variasi: opt J(x(t)) = Masalah Kontrol Optimum: opt J(x(t)) = T T f (x(t), ẋ(t), t) dt. f (x(t), u(t), t) dt ẋ(t) = g(x(t), u(t)), baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. Dengan kata lain, MKV merupakan bentuk khusus dari MKO, yaitu ketika g(x, u) = u. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

5 Masalah Pemasaran melalui Iklan Sumber: Sethi & Thompson (26) Fungsional objektif: max c (π(g ) c(t))e rt dt. Fungsi kendala: Ġ (t) = c(t) δg (t), G () = G, dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citra perusahaan (goodwill) G, c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi. Masalah: menentukan besarnya biaya u(t) := c(t) yang dikeluarkan untuk iklan sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

6 Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan Sumber: Sydsæter et al. (28) Fungsional objektif: max u Fungsi kendala: ( T ) x(t )P(T, x(t ))e rt cx(t)u(t)e rt dt. ẋ(t) = x(t)g(t, u(t)), x() = x, dengan x(t) berat ikan pada saat t, P(t, x) harga ikan dengan berat x pada saat t, u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > biaya pakan ikan. Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u(t) sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

7 Example Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = ẏ(t) sehingga mencapai level yang diinginkan ŷ dalam periode [, T ]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional J(y) = T Definisikan x := y ŷ sehingga Masalah kalkulus variasi: ẋ = ẏ = u, [ (y ŷ) 2 + cu 2] dt. x(t ) = y(t ) ŷ = ŷ ŷ =. min J(x) = T (x 2 + cẋ 2 ) dt, x() = x, x(t ) =. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

8 Solution Persamaan Euler memberikan: 2x 2cẍ = ẍ 1 c x = Syarat batas menghasilkan: sehingga x (t) = x(t) = Ae rt + Be rt, r = 1 c. x [ e rt e rt e r (T t) e r (T t)], y (t) = x (t) + ŷ, u (t) = ẋ (t). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

9 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible control u (t) yang dapat mengendalikan sistem dinamik ẋ(t) = g(x(t), u(t), t), sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x (t) dalam interval waktu [, T ] dan mengoptimumkan fungsional objektif J = S(x(T ), T ) + T f (x(t), u(t), t) dt. Fungsi u (t) disebut kontrol optimum dan x (t) trajektori optimum. Problem MKO: opt J = S(x(T ), T ) + T f (x(t), u(t), t) dt s.t. ẋ(t) = g(x(t), u(t), t) tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

10 Prinsip Maksimum Pontryagin Masalah kontrol optimum merupakan perluasan masalah kalkulus variasi. Masalah kalkulus variasi muncul sejak zaman Euler dengan Persamaan Euler sebagai syarat perlu optimalitas (1744). Teori kontrol optimum berkembang di tahun enampuluhan ketika sekelompok matematikawan Rusia, yaitu Pontryagin, Boltyanskii, Gamkrelidze, Mischenko (1962), merumuskan syarat perlu optimalitas bagi masalah kontrol optimum. (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

11 Prinsip Maksimum Pontryagin (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

12 Prinsip Maksimum Pontryagin Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin) Perhatikan masalah kontrol optimum berikut: opt J = S(x(T ), T ) + T f (x(t), u(t), t) dt s.t. ẋ(t) = g(x(t), u(t), t) x() = x, Definisikan fungsi hamilton (hamiltonian): T dan x(t ) belum ditentukan. H(x, u, p, t) := f (x, u, t) + pg(x, u, t), dengan p merupakan "pengali lagrange" atau costate variable. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

13 Theorem (Prinsip Maksimum Pontryagin) Syarat perlu optimalitas diberikan oleh: 1 u(t) memaksimumkan H, yaitu H u = H u =. 2 x(t) dan p(t) memenuhi sistem persamaan diferensial berikut: 3 Syarat batas terpenuhi. ẋ = H p ẋ = g(x, u, t), ṗ = H x ṗ = H x. 4 Syarat transversalitas berikut terpenuhi: (S x p)δx T + (H + S t )δt T =. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

14 Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin) Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus dapat ditulis: sehingga S(x(T ), T ) = S(x, ) + T J = S(x, ) + T = S(x, ) + T d S(x(t), t) dt, dt [ ] ds(x, t) f (x, u, t) + dt dt [ f + S x ẋ + S ] dt. t Karena S(x, ) konstan maka suku tersebut dapat diabaikan dalam proses pengoptimuman, sehingga J = [ T f + S x ẋ + S ] dt. t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

15 Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin) Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented): dengan J a = T F (x, ẋ, p, u, t) dt, F = [ f + S x ẋ + S ] + p(g ẋ) t = f + pg + S x ẋ + S t pẋ = H + S x ẋ + S t pẋ. Ingat kembali syarat perlu masalah Kalkulus variasi dengan T dan x(t ) tidak ditentukan: δj = T (f x d dt f ẋ )h dt + (fẋ δx + (f ẋfẋ )δt T =. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

16 Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin) Terapkan pada δj a : δj a = T [ (Fx d dt F ẋ )δx + F u δu + F p δp ] dt + (Fẋ δx + (F ẋfẋ )δt T =. Dengan demikian syarat perlu optimalitas diberikan oleh: 1 F x d dt F ẋ = (persamaan Euler) 2 F u = 3 F p = 4 (Fẋ δx + (F ẋfẋ )δt T = (syarat transversalitas) Perhatikan bahwa: F x d dt F ẋ = [ H x + ] x (S x ẋ + S t ) d dt (S x p) = (H x + S xx ẋ + S tx ) (S xt + S xx ẋ ṗ) = H x + ṗ. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

17 Bukti (Prinsip Maksimum Pontryagin) Dengan demikian 1 F x d dt F ẋ = H x + ṗ = ṗ = H x. 2 F u = H u =. 3 F p = H p ẋ = ẋ = g(x, u, t) 4 Karena Fẋ = S x p F ẋfẋ = (H + S x ẋ + S t pẋ) ẋ (S x p) = H + S t, maka syarat transversalitas (Fẋ δx + (F ẋfẋ )δt T = menjadi (S x p)δx T + (H + S t )δt T =. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

18 Prinsip Maksimum Pontryagin Kondisi H(x, u, p, t) H(x, u, p, t) disebut "Prinsip Maksimum Pontryagin" dan dipenuhi oleh: H u =, H uu <. Dalam masalah maksimisasi dengan kontrol berbatas u min u u max, jika H = H(u) fungsi naik maka u = u max dan jika H = H(u) fungsi turun maka u = u min. H H u min u max u u min u max u tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

19 Prinsip Maksimum Pontryagin Fungsi p disebut sebagai fungsi adjoin (mirip pengali lagrange) dan merupakan shadow price atau nilai marjinal dari J jika terjadi perubahan pada x. dh dt = H t. Bukti: H = f (x, u, t) + pg(x, u, t) dh dt = f x ẋ + f u u + f t + p(g x ẋ + g u u + g t ) + ṗg = (f x + pg x )ẋ + (f u + pg u ) u + (f t + pg t ) + ṗg = H x ẋ + H u u + H t H x ẋ = H t. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

20 Prinsip Maksimum Pontryagin Jika S = maka syarat transversalitas (S x p)δx T + (H + S t )δt T = berubah menjadi p(t )δx(t ) + H(T )δt =. Jika t dan x(t ) juga tidak ditentukan maka syarat transversalitas harus juga dievaluasi di t = t, yaitu (S x p)δx t,t + (H + S t )δt t,t =. Beberapa kasus khusus syarat transversalitas akan dibahas kemudian. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

21 Prinsip Maksimum Pontryagin Example Selesaikan MKO berikut: min J = 1 (x + u2 ) dt s.t. ẋ = u x() = x(1) bebas. Solution MKO di atas dapat diubah menjadi MKV berikut: min J = 1 (x + ẋ 2 ) dt x() = x(1) bebas. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

22 Prinsip Maksimum Pontryagin Solution (Pendekatan KV) Persamaan Euler f x d dt f ẋ = memberikan 1 2ẍ = x(t) = 1 4 t2 + At + B. Dari syarat batas x() = diperoleh B = sehingga x(t) = 1 4 t2 + At. Syarat batas alamiah fẋ t=1 = memberikan ẋ t=1 = ( 1 2 t + A t=1 = A = 1 2, sehingga x (t) = 1 4 t2 1 2 t u (t) = ẋ = 1 2 t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

23 Prinsip Maksimum Pontryagin Solution (Pendekatan KO) Fungsi hamilton MKO di atas ialah H = (x + u 2 ) + p( u) = x + u 2 pu. Syarat perlu optimalitas H u = memberikan 2u p = u(t) = 1 2 p(t). Syarat perlu optimalitas ṗ = H x = 1 memberikan p(t) = t + A. Syarat transversalitas p(t )δx(t ) + H(T )δt = memberikan p(1) = A = 1 p (t) = t + 1. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

24 Prinsip Maksimum Pontryagin Diperoleh u (t) = 1 2 t + 1 2, x (t) = ( 1 2 t )dt = 1 4 t2 1 2 t + B. Dengan memasukkan syarat batas x() = diperoleh B = sehingga x (t) = 1 4 t2 1 2 t. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25

25 Fungsi Adjoin Jika suatu MKO memiliki solusi optimal (x, u ) yang berpadanan dengan fungsi adjoin p maka nilai fungsional objektif optimal J bergantung pada t, x, T, x T dan dinotasikan sebagai J (t, x, T, x T ) = T t f (x, u, t) dt. (Jika x(t ) bebas maka J tidak bergantung pada x T ). Jika x berubah maka pada umumnya x dan u juga berubah sepanjang interval [t, T ]. Jika J terturunkan, maka berlaku J (t, x, T, x T ) x = p(t ). Dari contoh sebelumnya dengan x() = x diperoleh J = 1 (x + u 2 ) dt = 1 ( 1 4 t2 1 2 t + x + ( 1 2 t )2 ) dt = x sehingga J x = 1 = p(). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 25