REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT

Transkripsi

1 Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal ISSN : c Jurusan Matematika FMIPA UNAND REALISASI POSITIF STABIL ASIMTOTIK DARI SISTEM LINIER DISKRIT NOVITA ASWAN Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, novitaaswan9@gmail.com Abstrak. Diberikan sistem kontrol linier diskrit berikut x(t + ) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) dimana A R n n, B R n m, C R p n dan D R p m. Dalam sistem diatas, x(t) R n menyatakan vektor keadaan (state), u(t) R m menyatakan vektor input (kontrol), y(t) R p menyatakan vektor output, dan t Z +. Dalam tulisan akan dikaji masalah realisasi positif stabil asimtotik dari suatu fungsi transfer dengan pole riil positif untuk sistem SISO. Beberapa contoh disajikan untuk mengilustrasikan hasil utama dalam tulisan ini. Kata Kunci: Sistem Linier Diskrit, Realisasi Positif, Realisasi Positif Stabil Asimtotik, SISO. Pendahuluan Jika diberikan suatu sistem kontrol linier, maka dapat ditentukan fungsi transfer yang berkaitan dengan sistem tersebut. Fungsi transfer suatu sistem linier merepresentasikan hubungan antara input dan output sistem tersebut. Akan tetapi, akan menjadi berbeda jika yang terjadi adalah sebaliknya. Jika diberikan suatu fungsi transfer, bagaimanakah bentuk matriks A, B, C dan D yang bersesuaian dengan sistem linier tersebut. Masalah inilah yang disebut realisasi. Menentukan realisasi dari suatu fungsi transfer bukan hal yang mudah, diantaranya pada sistem linier diskrit dengan Single Input dan Single Output (SISO). 2. Sistem Linier Diskrit Sistem linier diskrit ditulis sebagai berikut x(t + ) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.) dimana A R n n, B R n m, C R p n dan D R p m. Dalam sistem (2.), x(t) R n menyatakan vektor keadaan (state), u(t) R m menyatakan vektor input (kontrol), y(t) R p menyatakan vektor output, dan t Z +. Fungsi transfer dari sistem (2.) adalah T (z) = C[I n z A] B + D. 35

2 36 Novita Aswan Definisi 2.. [2, 5] Sistem (2.) dikatakan positif jika untuk setiap x() R n + dan untuk setiap u(t) R m +, t, berlaku x(t) R n + dan y(t) R p +. Teorema 2.2. [2, 5] Sistem (2.) adalah positif jika dan hanya jika A R n n +, B R n m +, C R p n +, D R p m +. Teorema 2.3. [5] Sistem positif (2.) adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika semua nilai eigen z, z 2,..., z n dari matriks A R n n + mempunyai modulo yang kurang dari, yaitu z i < untuk i =, 2,..., n. Teorema 2.4. [2, 5] Sistem positif (2.) adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika semua koefisien dari polinomial p n (z) = det[i n (z + ) A] adalah positif, yaitu a i > ; i =,,..., n. = z n + a n z n a z + a (2.2) Untuk sistem dengan single input single output (SISO), fungsi transfer didefinisikan sebagai fungsi T (z) yang memenuhi hubungan T (z) = Y (z) U(z), dimana Y (z) adalah transformasi-z dari sistem output dan U(z) adalah transformasi-z dari sistem input. Selanjutnya, dalam [6] dijelaskan bahwa suatu fungsi transfer T (z) dikatakan proper jika lim z T (z) = K, K R p m, dan dikatakan strictly proper jika K =. 3. Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Fungsi Transfer Lema 3.. [6] Matriks-matriks A k = P A k P R n n +, B k = P B k R n m +, C k = C k P R p n +, D k = D k R p m +, k =,..., q. (3.) adalah realisasi positif stabil asimtotik dari fungsi transfer proper T (z) R p m + (z) untuk sebarang matriks monomial P R p m + jika dan hanya jika matriks A k R n n +, B k R n m +, C k R p n +, D k R p m +, k =,..., q adalah realisasi positif stabil asimtotik dari T (z). Diberikan fungsi transfer proper berikut T (z) = n(z) d(z) = b nz n + b n z n b z + b z n + a n a z + a (3.2) yang hanya memiliki pole riil positif dan tidak perlu berbeda, sebutlah α, α 2,..., α n. Dari (3.2) diketahui d n (z) = (z α )(z α 2 )... (z α n ) = z n + a n z n a z + a

3 Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit 37 dimana a n = (α + α α n ), a n 2 = α (α 2 + α α n ) α 2 (α3 + α α n )... α n α n,,. =. a = ( ) n α α 2... α n. Lema 3.2. [6] Jika polinomial p n (z) = z n + ( ) ã n z n + ( ) 2 ã n 2 z n ( ) n ã hanya memiliki akar riil positif α k >, k =, 2,..., n maka Teorema 3.3. [6] Polinomial ã n k > untuk k =, 2,..., n. (3.3) d n (z) = z n + a n z n a z + a hanya memiliki akar riil positif yang memenuhi z k < untuk k =, 2,..., n jika dan hanya jika semua koefisien polinomial dimana d n (z) = d n (z + ) = (z + ) n + a n (z + ) n a (z + ) + a adalah positif, yaitu = z n + ā n z n ā z + ā, (3.4) ā n = n + a n,..., ā = + a + a a n ā k > untuk k =,,..., n. (3.5) Teorema 3.4. [6] Terdapat realisasi positif stabil asimtotik A k = P A k P R n n +, B k = P B k R n +, C k = C k P R n +, D k = D k R +, k =, 2 (3.6) untuk sebarang matriks monomial P R n n + dengan A k, B k, C k dan D k berbentuk α... α 2... A = , B =.,... α n b a b n â 2 c 2 â 3 c 3... â n, c n C T =. b n 2 a n 2 b n â n,n 2 c n, D = [b n ] (3.7) b n a n b n

4 38 Novita Aswan atau A 2 = A T, B 2 = C T, C 2 = B T, D 2 = D, (3.8) dari fungsi transfer (3.2) dengan pole riil positif α, α 2,..., α n jika dan hanya jika C T, dimana â 2 = α, â 3 = α α 2 â n, = ( ) n α α 2... α n,..., â 3 = (α α 2 ),..., â n,n 2 = (α + α 2 + α α n ). (3.9) Bukti. Matriks A R n n + adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika nilai-nilai eigennya, yaitu z k = α k, k =, 2,..., n hanya riil positif dan memenuhi syarat (3.4). Matriks D = lim T (z) = [b n ] R + z jika dan hanya jika b n. Fungsi transfer stricly proper berbentuk T sp (z) = T (z) D = bn z n b z + b z n + a n z n a z + a, (3.) dimana b k = b k a k b n untuk k =,,..., n. Dengan mengasumsikan B =.. Rn +, diperoleh T sp (z) = C [I n z A ] B z α... = [ ] z α 2... c... c n z α n p (z) = [ ] p 2 (z) c... c n d n (z). p n (z). = c p (z) + c 2 p 2 (z) c n p n (z), (3.) d n (z)

5 Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit 39 dimana d n (z) = (z α )(z α 2 )... (z α k ) = z n + ( ) ã n z n + ( ) 2 ã n 2 z n ( ) n ã. p (z) =, p 2 (z) = z α = z + ã 2, dimana ã 2 = α p 3 (z) = (z α )(z α 2 ) = z 2 + ã 3 z + ã 3, dimana ã 3 = (α + α 2 ), ã 3 = α α 2,. =. p n (z) = (z α )(z α 2 )... (z α n ) = z n + ã n,n 2 z n ã n, z + ã n,, dimana ã n,n 2 = (α + α α n ),..., ã n, = ( ) n α α 2... α n. Dengan membandingkan persamaan (3.) dan (3.) diperoleh c n = b n = b n a n b n, c n = b n 2 ã n,n 2 c n = b n 2 a n 2 b n ã n,n 2 c n,. c = b ã 2 c 2 ã 3 c 3... ã n, c n = b a b n ã 2 c 2 ã 3 c 3... ã n, c n. (3.2) Dari persamaan (3.2) diperoleh bahwa C R n + jika dan hanya jika C dimana (3.9) terpenuhi. Dengan menggunakan kesamaan T (z) = [T (z)] T = [ C [I n z A ] B + D ] T = C T [I n z A T ] B T + D = B T [I n z A T ] C T + D = C 2 [I n z A 2 ] B 2 + D 2. diperoleh matriks-matriks (3.8). Berdasarkan Lema 3., matriks-matriks (3.6) adalah suatu realisasi positif stabil asimtotik untuk sebarang matriks monomial P R n n + jika dan hanya jika (3.7) atau (3.8) adalah realisasi positif stabil asimtotik dari T (z). 4. Contoh Menentukan Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit Tentukan realisasi dari fungsi transfer berikut. T (z) =.z 3 + z 2 + 2z + 3 z 3.z z.25.

6 4 Novita Aswan Dari fungsi transfer T (z) di atas diketahui bahwa d 3 (z) = z 3.z z.25, = (z.)(z 2 z +.25), = (z.)(z.5)(z.5), dengan ã 2 =. >, ã =.35 > dan ã =.25 >. Selanjutnya, d 3 (z) = d 3 (z + ), = (z + ) 3.(z + ) (z + ).25, = (z + )(z 2 + 2z + ).z 2 2.2z. +.35z , = z 3 + 3z 2 + 3z +.z 2.85z.775, = z 3 +.9z 2 +.5z +.225, sehingga semua koefisien dari d3 (z) adalah positif, yaitu ā =.225 >, ā =.5 >, ā 2 =.9 > dan ā 3 = >. Berikutnya, diperoleh c 3 = b 2 a 2 b 3 = +. =. >, c 2 = b a b 3 â 3 c 3 = = 3.75 >, dimana â 3 = (α + α 2 ) = (.5 +.5) = dan c 3 = b a b 3 â 2 c 2 â 3 c 3 = = >, dimana â 2 = α =.5 dan â 3 = α α 2 =.25. Dengan demikian,.5 A =.5, B =, C = [ ], D = [.].. Selanjutnya, matriks realisasi positif stabil asimtotik dari T (z) adalah.5 A = P.5 P, B = P, C = [ ] P, D = [.].

7 Realisasi Positif Stabil Asimtotik dari Sistem Linier Diskrit Misalkan terdapat P = dengan P =. Maka, A = = =.5,. 2 B = =, C = [ ].5 = [ ], D = [.]. Perhatikan bahwa T (z) = C [I 3 z A ] B + D = [ ].5 2 z.5 + [.] z z. [ ] = z 3.z z.25 2 z.5 z 2 z [.] =.z z z 3.z z.25 z 3.z z.25.z 3 + z 2 + 2z + 3 = z 3.z z Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan, Bapak Mahdhivan Syafwan, Bapak Syafrizal Sy, Bapak Admi Nazra, dan Ibu Yanita yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik.

8 42 Novita Aswan Daftar Pustaka [] Anton, H. 99. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan-Jilid. Erlangga, Jakarta [2] Farina, L and Rinaldi, S. 2. Positive Linear Systems. John Wiley and Sons, New York [3] Kaczorek, T. 99. Linear Control System. Vol.. Research Studies Press, England [4] Kaczorek, T. 22. Positive D and 2D Systems. Springer-Verlag, London [5] Kaczorek, T. 22. Positive Stable Realizations of Discrete-time Linear System. Buletin of the Polish Academy of Sciences, Vol. 6, No. 3 [6] Ogata, K Discrete-Time Control Systems. Prentice Hall, New Jersey