TURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENERAPANNYA DI BIDANG TEKNIK ELEKTRO

Transkripsi

1 Dika Perkuliahan Maemaika Terapan TURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENERAPANNYA DI BIDANG TEKNIK ELEKTRO oleh : Deny Budi Herano, M.Kom. FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA SEMESTER GANJIL TAHUN 9/

2 MATEMATIKA TERAPAN Maeri I. Review Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivaif Beberapa auran pada operasi urunan Laihan Soal Inegral Beberapa sifa pada operasi inegral Beberapa sifa rigonomeri yang perlu diperhaikan Laihan Soal II Persamaan Diferensial Biasa Pengerian persamaan diferensial Pembenukan persamaan diferensial Orde persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial Solusi umum Solusi khusus Masalah nilai awal dan nilai baas Laihan Soal III. Persamaan Diferensial Orde Benuk Sederhana persamaan diferensial orde perama Pemisahan Variabel Conoh Soal Ceria IV. Persamaan Diferensial Linear Orde Ciri-ciri sifa linearias pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Eksak Meode Fakor Penginegralan Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Fakor Peginegaralan V. Persamaan Diferensial Orde Persamaan Diferensial linear Orde Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde dengan Koefisien Konsan (Second Order Homogeneous Linear Differenial Equaions Wih Consan Coefficiens) Akar-akarnya adalah bilangan riil dan sama Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Akar-akarnya adalah bilangan kompleks Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde dengan Koefisien Konsan (Second Order Homogeneous Linear Differenial Equaions Wih Consan Coefficiens) VI. Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elekro

3 Definisi Dasar I. REVIEW Fungsi Secara mudah, fungsi dapa dipandang sebagai auran yang menghubungkan inpu dan oupu. Inpu yang diberikan akan dilewakan ke sebuah blok fungsi, dan menghasilkan oupu sesuai dengan karakerisik blok fungsi. Hal ini dapa diilusrasikan sebagai beriku : inpu auran oupu Gambar. Hubungan anara inpu, oupu, dan blok fungsi Sebuah fungsi pengali inpu dua kali akan menghasilkan nilai oupu dua kali dari nilai inpu. fungsi ersebu apabila diuliskan secara maemais adalah sebagai beriku : f :, aau diulis secara lebih kompak f ( ) dan digambarkan sebagai beriku : inpu Fungsi inpu kalikan oupu f Gambar. Sebuah fungsi dengan blok fungsi inpu kalikan Inpu suau fungsi disebu sebagai argumen. Pada fungsi f ( ), yang menjadi argumen adalah. Jika digani dengan nilai, maka : f (). 6, dengan nilai argumen adalah. Sebuah fungsi dapa digambarkan secara grafik dengan memakai kordina karesius. Fungsi f ( ) dapa digambarkan dengan menguji nilai f( ) unuk beberapa nilai sebagai beriku. =, f( ) = 4 =, f( ) = =, f( ) = = -, f( ) = - = -, f( ) = -4 ds Gambar. koordina karesius fungsi f ( ) Variabel Pada fungsi y f ( ), dan y dapa memiliki kemungkinan sejumlah nilai erenu, sehingga dan y dinamakan sebagai variabel. adalah variabel independen (variabel

4 bebas) dan y adalah variabel dependen (variabel ak-bebas), menginga nilai y dienukan oleh nilai variabel. Conoh I. 4 a. y 5, variabel dependen = y. variabel independen = dq b. 6q, variabel dependen = q. variabel independen = d y c. 9 e, variabel dependen = y, variabel independen =, pada conoh b dan c erliha bahwa pada persamaan differensial, variabel dependen-nya adalah variabel dalam benuk urunannya. TURUNAN/DERIVATIF Beriku ini adalah urunan dari beberapa fungsi. Tabel I.. Beberapa fungsi yang sering digunakan besera urunannya Fungsi, y() Turunan, y Fungsi, y() Turunan, y Konsana sin ( a b) a n n n cos ( a b) ( a b ) a ( a b ) e e an ( a b) a ( a b) e e sinh( a b) acosh( a b) a e a ae cosh( a b) asinh( a b) ln anh( a b) asec h ( a b) sin cos cos ech( a b) acos ech( a b)coh( a b) cos sin sec h( a b) as ech( a b) anh( a b) sin( a b) acos( a b) coh( a b) acos ech ( a b) cos( a b) asin( a b) sinh ( a b) a an( a b) asec ( a b) cosh ( a b) cos ec( a b) acos ec( a b)co( a b) anh ( a b) sec( a b) asec( a b)an( a b) ( a b ) a ( a b ) a ( a b ) 4

5 Beberapa Auran Pada Operasi Turunan Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konsana, maka :. ( u v)' u ' v'. ( uv)' u' v uv '. ( cu)' cu ' u u ' v uv ' 4. ( )' v v 5. Jika y y() z, dan z z( ), maka : * dz d dz d Conoh I. Carilah urunan dari fungsi y beriku ini :. y ( sin ) jawab : d( ) d(sin ) y ' d d y' cos. y sin. misalkan : u, v sin u ', dan v' cos maka y menjadi y uv. y ' ( uv)' y ' u ' v uv ' y sin cos. y cos Jawab : y' sin 4. y. Jawab : Misalkan u dan v. u', dan v' u u u ' v uv ' y ( ), maka y ' ( )' v v v ( ). y ' ( ) 4 ( ) y ' ( ) ( ) ( ) 5. y 6 z, z. Carilah d! 5

6 Jawab : y dz d dz d 6 ( ), * 5 6 z. 5 z. ( ) 5 Laihan Soal I. Temukan urunan dari. y e 7. yan( ). 5 y 4. ysin( ) 5. y 5 6. ycos(4 ) 7. y y cos (4 ) y y sin(5 ) sin ( ) y sin(5 ) e 4. y e. cos5 y 4. 4w w e y 5. y ln( ) 7 4sin( ) 6. y sin ( ) 5cos ( ) 7. an ( ) 4cos y ( ) 5 8. Sebuah fungsi : y( ) 4 (a) enukan (b) jika urunan perama fungsi ersebu adalah nol, berapa nilai? 6

7 Laihan Soal I. Carilah urunan dari fungsi beriku ini :. y sin cos. y e. y e sin cos 4. y e sin cos (nomor -4, gunakan auran perkalian) 5. cos y sin 6. e y 7. 9 y 8. yln( ) 9. y. y sin ( ) INTEGRAL Proses menginegralkan suau fungsi merupakan kebalikan urunan/derivaif. Suau d( f) fungsi f() dapa kia urunkan menjadi :. Apabila kia ingin mencari suau fungsi f() d dari urunan/derivaif-nya, maka dinamakan : inegral Tabel I.. Beberapa fungsi yangs sering digunakan besera inegral fungsi ersebu Fungsi, f() f ( ) d K, Konsana n e Fungsi, f() f ( ) d k c an a ln sec a c a n an( a b) ln sec( a b) cn, c n a e c cos ec ( a b ) ln co sec( a b ) co( a b ) c a e a e e c s ec( a b) a e c a co( a b) ln c a ln sec( a b ) an( a b ) c a ln sin( a b ) c a sin c a 7

8 sin cos c sin a cos a c a sin( a b) cos( a b) c a cos sin c cosa sin a c a cos( a b) sin( a b) c a an ln sec c Conoh I. Temukan fungsi y jika : (a) y' 6 (b) y' 4 (c) y' cos a an c a a jawab :. y 6d y c, dengan c adalah suau konsana sembarang. Perlu diinga, bahwa urunan dari suau konsana adalah nol.. y 4 d 4 () () 4 y, y c. y (cos ) d y sin c Beberapa sifa pada operasi inegral (sifa linearias):. ( f g) d fd gd. Afd A fd. ( Af Bg) d A f d B gd (sifa - dinamakan sifa linearias) 4. uv ' d uv vu ' d 8

9 Beberapa sifa rigonomeri yang perlu diinga :. sin cos cos. cos cos. sin sin 4. an cos 5. sin sin cos 6. cos sin cos cos sin 7. an sec 8. co co sec 9. sin( A B) sin Acos B sin Bcos A. cos( AB) cos Acos B sin Asin B an( A B). an( AB) an Aan B. sin Acos B sin( A B) sin( A B). sin Asin B cos( A B) cos( A B) 4. cos Acos B cos( A B) cos( A B) Laihan Soal I. Temukan fungsi y jika :. ysin( ). y 5.9. y e 4. y 5 nomor 5 ds, gunakan sifa linear inegral 5. y 6. sin cos y 7. y 7cos ec( ) 8. y4cos(9 ) nomor 9 ds. Carilah : 9... cos sin e d. e sin ( ) d sin cos 4 (5 7) d 9

10 II. Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differenial Equaions) II. Pengerian Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi urunan (derivaive aau differenial) sau aau lebih variabel. Persamaan diferensial orde dengan y sebagai variabel independen dan sebagai variabel dependen diulis secara maemais sebagai beriku : f (, y) d. Sedangkan persamaan diferensial dalam orde diulis secara maemais d y sebagai : f (, y, ) dengan caaan, idak semua variabel dari fungsi f harus muncul d d dalam persamaan. Conoh dari persamaan diferensial anara lain: () e sin d ( adalah variabel independen, y adalah variabel dependen yang nilainya erganung ) () y" y' y cos u () u u y (4) d y II Pembenukan persamaan diferensial Persamaan diferensial muncul keika erjadi perubahan pada suau besaran, yang biasanya dinyaakan dalam suau fungsi maemais. Conoh (), (), () dan (4 ) merupakan persamaan diferensial yang secara maemais diekspresikan anpa mengeahui laar belakang pembenukan/erjadinya persamaan diferensial ersebu. Conoh pembenukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial yang erbenuk dari suau objek yang sedang bergerak. Dimisalkan objek ersebu d d bergerak dengan karakerisik persamaan : 6 dengan : menyaakan jarak d (yaiu urunan kedua fungsi jarak) menyaakan percepaan, dan d (urunan perama) menyaakan kecepaan. Conoh yang lain adalah muaan lisrik yang bergerak, dimisalkan memiliki persamaan : dq dq 8q sin dengan q merupakan muaan lisrik, merupakan laju aliran muaan (yang diisilahkan sebagai aliran arus lisrik). Conoh lain pembenukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian lisrik yang erdiri dari komponen RC sebagaimana diperlihakan dalam gambar beriku :

11 R V R Vs + - i C Vc Gambar II. Suau Rangkaian lisrik dengan saklar Berdasarkan hukum kirchof, jumlah egangan pada loop eruup dari suau rangkaian lisrik adalah nol. Jika diuliskan : VS VR VC, aau VR VS VC. Vs = egangan sumber Vc = egangan pada kapasior V R = egangan pada resisor Berdasarkan hukum Ohm, arus yang mengalir pada resisor (pada rangkaian eruup) Vs Vc dapa dicari dengan rumus : i. R dvc Arus yang mengalir pada kapasior adalah : i C. Oleh karena arus yang mengalir pada kapasior = arus yang mengalir pada resisor, maka : Vs Vc dvc C. R dvc Sehingga didapakan : RC Vc Vs.Persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan Vc adalah variabel dependen, dan merupakan variabel independen. Lebih lanju enang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elekro, dapa dipelajari di bagian akhir bab ini. Orde Persamaan Diferensial Orde persamaan diferensial adalah orde eringgi dari urunan yang ada di dalam persamaan diferensial ersebu. dq q R, adalah persamaan diferensial orde perama dalam q C d sin( ), adalah persamaan diferensial orde perama dalam θ '' 4, adalah persamaan diferensial orde kedua dalam d u du 4 u, adalah persamaan diferensial orde keiga dalam u Persamaan Diferensial Biasa Persamaan diferensial yang hanya melibakan sau variabel independen disebu sebagai persamaan diferensial biasa. Sehingga conoh (), (), dan (4) di muka merupakan conoh persamaan diferensial biasa, sedangkan conoh () bukan merupakan persamaan diferensial biasa. Selanjunya, () merupakan persamaan diferensial parsial (parial differenial equaion,pde).

12 Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibakan dua aau lebih variabel independen. Conoh : persamaan diferensial parsial orde dengan variabel y independen : dan diulis dalam benuk : f (,, y), dan bukan f (,, y) d. Solusi Persamaan Diferensial Solusi persamaan differensial adalah suau fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang dimaksudkan. Pada kedua kasus di aas adalah dimaksudkan unuk mencari nilai () dan q(). Solusi persamaan differensial dapa berupa solusi analiis, dimana jawaban dari persamaan differensial ersebu dapa dinyaakan dalam fungsi-fungsi dasar seperi e, sin, cos, ds. Tidak semua persamaan diferensial dapa dicari solusinya secara analiis. Solusi persamaan differensial dapa juga dicari dengan menggunakan meode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai pendekaan. d Conoh II.: Tunjukkan bahwa = adalah solusi dari persamaan diferensial : Jawab : d Unuk membukikan bahwa = adalah solusi dari persamaan diferensial, maka subsiusikan = kedalam persamaan ( ), d. Conoh II. : Tunjukkan bahwa y'' y' y. Jawab : y y'' y' y d., berlaku unuk semua nilai, sehingga = adalah solusi dari y.5 adalah solusi dari persamaan diferensial.5, y', y ''. Subsisusikan ke dalam persamaan diferensial, sehingga : ( ) (.5) Solusi ini berlaku unuk semua nilai. Sehingga persamaan diferensial y'' y' y y.5 merupakan solusi dari Solusi Umum dan Khusus Persamaan diferensial boleh jadi memiliki banyak solusi. Sebagai conoh, persamaan d diferensial dapa memiliki solusi =, = +9, = -6, ds. Solusi solusi ini disebu d sebagai solusi khusus, sedangkan = + C merupakan solusi umum dari.

13 Persamaan differensial dalam bidang eknik umumnya digunakan unuk memodelkan sisem dinamis, yaiu sisem yang berubah erhadap waku. Conoh dari beberapa sisem dinamis anara lain:. Rangkaian lisrik dengan arus/egangan yang merupakan fungsi waku.. Dalam produksi kimia, dimana ekanan, laju aliran, ds selalu berubah erhadap waku.. Peralaan semikondukor, dimana kerapaan hole dan elekron selalu berubah. Masalah Nilai Awal dan Nilai Baas Jika dalam suau persamaan diferensial diberikan suau kondisi ambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independen-nya (baik fungsi maupun urunannya), maka dikaakan bahwa persamaan diferensial ersebu sebagai masalah nilai-awal (iniial-value problem). Jika kondisi ambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independen-nya, maka dikaakan sebagai masalah nilai-baas (boundary-value problem). Conoh II. : Sebuah persamaan diferensial : y y e ; y( ), y( ) merupakan benuk iniial-value problem, karena erdapa dua kondisi ambahan yaiu pada, dengan y (π) = dan y (π) =. Sedangkan pada persamaan diferensial : y y e ; y( ), y( ) merupakan benuk boundary-value problem, karena dua kondisi ambahan diberikan pada nilai yang berbeda, yaiu pada and. Laihan Soal II.:. Tunjukkan bahwa : y sin adalah solusi dari persamaan diferensial : d y 4y d. Jika y Ae adalah solusi umum dari y d, carilah solusi khusus yang memenuhi y() =.. Idenifikasi variabel dependen dan independen dari persamaan diferensial beriku ini. Dan sebukan orde persamaan diferensial ersebu! d y (a) 5 cos d d (b) 9y d (c) ( )( d y ) 9 d d d d y 4. Solusi umum dari : ( ) y adalah : d d khusus yang memenuhi : y() =, () d y Ae Be. Carilah solusi

14 III. Persamaan Diferensial Orde Sebelum membahas persamaan diferensial orde inggi, akan dibahas erlebih dahulu persamaan diferensial orde. Benuk Sederhana Benuk sederhana persamaan diferensial orde adalah : f( ) d. Fungsi y dapa dicari dengan cara menginegralkan f(), yaiu : y f ( ) d. Namun d, kebanyakan pada demikian, persamaan diferensial yang dijumpai dalm soal umumnya idak sesederhana iu benuknya.. Conoh III. 5sin. Unuk mencari fungsi y (), persamaan ersebu diinegralkan : d 5 Maka y 5sin d, y cos C Pemisahan Variabel Jika persamaan diferensial memiliki benuk : f ( ) g( y) d, maka penyelesaian persamaan diferensial ersebu dapa dicari dengan meode pemisahan variabel, yaiu : ( y ) f ( ) d g. Beriku ini adalah conoh penyelesaian persamaan diferensial dengan meode pemisahan variabel. Perhaikan bahwa variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel sejenisnya, yaiu variabel dengan d, variabel y dengan. Conoh III. Temukan solusi persamaan diferensial beriku dengan meode pemisahan variabel : (a) (b) (c) d d y y, y() = d y (d) dm msin, m() 4 Jawab : (a) Persamaan diferensial d menjadi y y d sehingga 4

15 y yd y d C y C, cukup diulis: y C (b) Persamaan diferensial yd y d y menjadi y d sehingga d y ln C y ln C' (c) Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya menjadi : y d, inegralkan kedua ruas : y d y c, Kalikan kedua ruas dengan sehingga menjadi : y c ( seharusnya adalah c, namun karena masih bersifa konsana, cukup diulis c saja). Unuk mencari nilai c, subsiusikan nilai y() =. c, c Sehingga solusi persamaan diferensial adalah : y d y dm (d) msin, m() 4. Pisahkan variabel yang sama sehingga : dm sin m, dm sin m, m dm sin, oleh karena c =, maka Laihan Soal. d. e d. e d y 4. d 9cos 4 m cos c, m cos c m cos 5

16 5. d cos 8sin 4 6. sin, y() = y 7. 6, y() = d y 8. y y d 9. y sin d. emukan solusi umum dari persamaan diferensial : khusus yang memenuhi : () = 5 d ( ). Tenukan solusi Conoh Soal Ceria Conoh III. Laju perumbuhan penduduk suau negara adalah, kali jumlah penduduk saa ini. Jika jumlah penduduk saa ini adalah 8, berapakah jumlah penduduk seelah minues? Jawab : Langkah Pemodelan menjadi persamaan diferensial dn.n Langkah Inegralkan dn. N, ln N. c Langkah Jadikan N sebagai subjek :. c N e Langkah 4 Susun kembali persamaan N dengan konsana yang bersangkuan:. c. N e e, N Ae dengan A = e c Langkah 5 Cari nilai konsana : 8 Ae A 8 (didapa dari N() = 8) Langkah 6 Temukan solusinya :. N 8e 58, N.98 individu Conoh III.4 Jawab : Blok es deng bera kg meleleh dalam lingkungan yang emperaurnya naik. Laju pengurangan bera es per deik adalah sebanding dengan dikurangi bera es yang ersisa. Seelah 6 deik, bera es adalah 9.5 kg. berapa bera es seelah deik? Langkah Susun persamaan diferensialnya : dm k ( M ), M() =, M(6) = 9.5 Langkah Inegralkan : 6

17 dm dm k( M), k M ln M k c Langkah Jadikan M sebagai subjek : k c ln M k c, M e k c, M e Langkah 4 Susun kembali persamaan M dengan konsana yang bersangkuan: k c M e e k, M Ae, dengan A = e c Langkah 5 Cari nilai konsana Gunakan nilai kondisi awal : M() =, M(6) = 9.5 Ae A, 6k 6k 6k 9.5 Ae, e.5, e.5, 6k ln.5, k.8.8 maka M e Langkah 6 Temukan solusinya :.8 M e, M() M() kg.8 e, Conoh III.5 Jawab : Laju perumbuhan suau kulur bakeri adalah sebanding (proporsional) dengan fungsi eksponensial pangka, dengan adalah waku (dalam jam). Disebabkan karena perumbuhan bakeri yang sanga cepa, maka erjadi overcrowding, sehingga laju perumbuhan bakeri juga berbanding erbalik dengan pangka empa dari jumlah bakeri saa iu. Lewa eksperimen dikeahui bahwa konsana proporsionalnya adalah. Jika pada awalnya hanya erdapa bakeria, berapa banyak bakeria dalam waku 5 jam? Solusi : dn e pemodelan maemais :, n (), dianyakan : n (5) =??? 4 n 4 cos c c n 5 n dn e d, n dn e, e c, n 5e c 5 5 5e c 5 c evaluasi nilai c : c 4 n 5 5e 4, n 5 5e 4, n 5 5 (5) 5e 4 4 IV. Persamaan Linear Orde Perama Adakalanya persamaan diferensial memiliki benuk : P( ) y Q( ), maka dikaakan d bahwa persamaan diferensial ersebu dinamakan persamaan diferensial linear orde perama. P() dan Q() merupakan fungsi. Conoh persamaan diferensial linear orde perama adalah 7

18 5y 7, P() = 5 d Q() = 7 y 4e, P() = d Q() = 4 e Meode Fakor Penginegralan Persamaan linear orde perama dapa dicari solusinya dengan meode : fakor penginegralan, yaiu dengan cara mengalikan persamaan diferensial linear ersebu dengan μ sehingga : Py Q, dengan P dan Q merupakan fungsi dengan variabel. d Pd Fakor penginegralan/ μ dapa dicari dengan rumus : e. Ide dari penggunaan fakor penginegaralan ini adalah menjadikan persamaan diferensial ersebu bersifa eksak, yakni d sisi kiri persamaan diferensial Py Q dapa diulis sebagai : ( y) Q( ) d d. Inga bahwa : d ( y) y d ( dari rumus ( uv)' u' v uv ' ). Sehingga : d d d d Py y, disederhanakan menjadi : d d d d y Py d d P, d P d d Pd maka akan didapakan : e kembali ke persamaan diferensial mula-mula : d ( y) Q( ) d, y Qd y Qd Conoh IV. y Tenukan penyelesaian dari : 5 dengan fakor penginegralan d Jawab : y dari persamaan diferensial 5, erliha bahwa P dan Q 5. d Maka : y Qd d ln, dengan e e y 5d 8

19 5, y C 5 y C Laihan Soal :. Bukikan bahwa solusi dari persamaan diferensial d Pd P adalah : e. d. 4y 8, y() d. d 8 4. y 8 d 5. y d Persamaan Diferensial Eksak Sebuah persamaan diferensial dengan benuk : M(, y) d N(, y) dinamakan persamaan diferensial eksak (eac differenial equaion) jika erdapa sebuah fungsi f f sedemikian rupa sehingga M and N f pada daerah erenu. Oleh karenanya, y persamaan di aas dapa diulis kembali menjadi : f d f y. Solusi dari persamaan ini adalah f (, y) k, k adalah nilai konsana erenu. f Apabila M(, y) f dan N(, y) y maka persamaan diferensial dalam benuk M(, y) d N(, y) dikaakan eksak jika dan hanya jika M y N. Conoh IV. jawab : Bukikan bahwa persamaan diferensial beriku bersifa eksak dan enukan solusi persamaan diferensial ersebu : 9 y d 4y (a) (b) sin sin cos cos e y y d e y (a) Unuk persamaan diferensial 9

20 M M(, y) 9 y y N N(, y) 4y oleh karenanya, persamaan diferensial ersebu eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f 9 y f (, y) 9 y d y C ( y) f y 4y f (, y) y y C ( ) dengan membandingkan kedua persamaan di aas maka didapakan : f (, y) y y Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial ersebu adalah : y y k (b) Unuk persamaan diferensial ini : M M(, y) e sin y y sin e cos y sin y N N(, y) e cos y cos e cos y sin adalah merupakan persamaan diferensial bersifa eksak. Fungsi diferensialnya adalah : f f y e siny y sin f (, y) e siny y cos C ( y) e cosy cos f (, y) e siny y cos C ( ) dengan membandingkan kedua persamaan di aas maka didapakan : f (, y) e sin y ycos Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial ersebu adalah : e sin y ycos k Solusi Persamaan Diferensial Non Eksak Dengan Fakor Peginegaralan Apabila persamaan diferensial dalam benuk : M(, y) d N(, y) jika idak eksak, fakor inegralnya dicari erlebih dahulu. Pedoman mencari fakor penginegralannya adalah sebagai beriku :

21 M N a. jika f( ), dengan f() adalah fungsi dalam, maka fakor N y f ( ) d inegralnya adalah : e M N b. jika g( y), dengan g(y) adalah fungsi dalam y, fakor inegralnya N y g( y) adalah e Conoh IV. Temukan fakor penginegralan dari persamaan diferensial biasa beriku dan enukan solusinya : solusi: y y y d y M (, y) y y y M M y dan 6 y y y N N y N(, y) y dan y erliha bahwa M N y N. Oleh karenanya, fakor penginegralannya adalah : ep d e sehingga persamaan diferensial-nya menjadi e y y y d e y fungsi diferensialnya adalah f (, y) f e y y y f y f e y y y C'( ) y e y f (, y) e y C( ) f y e y e y C'( ) dengan membandingkan kedua persamaan di aas, didapakan : C '( ), sehingga C( ) consan solusi umum persamaan diferensial ersebu adalah :

22 f (, y ) e y y k

23 Conoh IV. 4 4 Selesaikan : ( y y y e y y) d ( y e y ) Jawab : Kia periksa erlebih dahulu apakah persamaan diferensial ersebu bersifa eksak aaukah idak. M 4 8 y y y e y e 6y y N 4 y y e y N M persamaannya idak eksak karena. Selanjunya dicari fakor inegralnya : y M N M N y y 4 8y e 8y 4, dan g( y) y N y maka fakor inegralnya adalah : e 4 y 4ln y e 4 4 kalikan persamaan diferensial ( y y y e y y) d ( y e y ) dengan fakor inegralnya, yaiu :, sehingga persamaan diferensialnya berbenuk : 4 y y y (e ) d ( e ) dan persamaan diferensial ini eksak. y y y y 4 y Selanjunya : ambil = Md (e y ) d y y sehingga : y e ( y) y y y e '( y) = N 4 y y y y y e '( y) e 4 4 y y y y sehingga '( y), maka ( y) konsana oleh karenanya, solusi persamaan diferensial 4 4 ( y y y e y y) d ( y e y ) y e adalah : y y C Soal laihan periksalah apakah persamaan diferensial di bawah ini eksak aau idak, kemudian carilah solusinya.. ( y ) d ( y) 4. ( y 4 y y y y) d ( y y )

24 V. Persamaan Diferensial Orde Persamaan Diferensial linear Orde Persamaan diferensial linear orde memiliki benuk umum sebagai beriku : : d y p( ) q( ) r( ) y f ( ) d d dengan p( ), q( ), r( ) dan f( ) adalah fungsi dengan variabel. Apabila f( ) =, maka persamaan diferensial ini dikaakan homogen. Sebaliknya, jika f( ), maka dikaakan sebagai persamaan diferensial linear idak homogen orde. d y p( ) q( ) r( ) y, homogen d d d y p( ) q( ) r( ) y sin, idak homogen d d conoh persamaan diferensial linear orde anara lain : d y y sin d d Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde dengan Koefisien Konsan (Second Order Homogeneous Linear Differenial Equaions Wih Consan Coefficiens) Orde : pangka eringgi dari urunan (derivaif) yang erdapa pada persamaan diferensial : d Conoh : d Homogen : iap elemen mengandung unsur :, d, d d Conoh : homogen d d idak homogen d Linear : iap elemen persamaan mengandung seidaknya sau unsur :, d, dan idak d d erdapa unsur : aau. Persamaan diferensial dikaakan linear jika :. Variabel dependen dan urunannya berpangka sau. Jadi benuk linear (mengapa??) d adalah non d. Tidak ada perkalian anara varibel dependen dan urunannya. Sehingga benuk adalah non-linear (mengapa??). Variabel dependen idak berbenuk fungsi non-linear, seperi fungsi sinus, cosinus, 4

25 eksponensial, ds. d Conoh : 4 d 4 d d Linear, karena syara (),(),() erpenuhi d d, Tidak linear karena menyalahi syara () d y y, Tidak linear karena menyalahi syara () d cos y, Tidak linear karena menyalahi syara () d d Koefisien Konsan : koefisien, d, adalah konsana Solusi Umum Conoh dari persamaan diferensial linear homogen orde dengan koefisien konsan anara lain : d d d : 6, 4, ds Beriku ini conoh dalam mencari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde dengan koefisien konsan Conoh V. Carilah solusi dari persamaan diferensial : d d 4. Jawab : d Misalkan Ce d, maka Ce, dan C e Subsiusikan sehingga menjadi : C e 4Ce Ce, 4 Benuk 4 merupakan persamaan karakerisik. Selanjunya subsiusikan Ce d d ke persaman 4 menghasilkan persamaan 4, dengan = -, -. oleh karenanya erdapa solusi, yaiu Ce dan Ce. Oleh karenanya, d d solusi umum persamaan diferensial 4 adalah : C e Ce Conoh V. Tenukan solusi umum dari persamaan diferensial beriku : 5

26 d d 5 d jawab : misalkan Ce, maka Ce, dan C e C e 5Ae, 5 Didapakan = 5, -. 5 Solusi umum : C e C e d C e Caaan : d d 4 memiliki persamaan karakerisik 4 d d 5 memiliki persamaan karakerisik 5 d d jadi :,, d d maka : Akar-akar persamana karakerisik dapa memiliki kemungkinan :. Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda. Akar-aknya adalah bilangan kompleks dan sama. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks 4. Akar-aknya adalah bilangan riil dan sama Laihan Soal : Tuliskan persamaan karakerisik dari : d d (a) d d (b) d (c) Akar-akarnya adalah bilangan riil dan berbeda Jika akar persamaan karakerisik adalah dan, maka solusi dari persamaan diferensial ersebu adalah : y Ce Ce, jika y adalah variabel dependen dan adalah variabel independen. Conoh V. Temukan solusi dari persamaan diferensial : d d 4 (), () langkah penyelesaian : 6

27 . Tuliskan persamaan karakerisik dan cari nilai. Tuliskan solusi umum. Cari nilai konsana dari solusi umum Jawab : () 4 ( )( ), () C e C e () (i) () C C (ii) Ce Ce, () C C maka dicari nilai C dan C dari persamaan : = C + C dan = -C -C C C, ( C) C C, C d d sehingga solusi dari 4, (), () adalah e e apabila digambar dalam grafik akan erliha seperi gambar beriku : Gambar. Grafik dari e e Conoh V.4 Temukan solusi dari persamaan diferensial : d d 7 () ( ) Jawab : () 7 ( )( 4),4 () C e C e, () C 4C 4 () = C + C dan = C + 4 C C, C 4 d d Jadi solusi selengkapnya dari persamaan diferensial 7 dengan 4 () ( ) adalah : 4 4 e e. Grafik 4 e e diunjukkan pada gambar 7

28 Gambar V. grafik fungsi 4e e 4 Jika akar-akar persamaan karakerisik merupakan bilangan kompleks dan sama. Jika akar persamaan karakerisik adalah, maka solusi dari persamaan diferensial ersebu adalah : y Ccos Csin Perhaikan conoh soal beriku : Conoh V.5 Tenukan solusi dari : Jawab : d y 4y d d y Persamaan karakerisik dari 4y d adalah : 4, 4, maka oleh karenanya, solusi umum yang didapakan adalah : j j y Ce Ce berdasarkan sifa rigonomeri : j e cos jsin j e cos jsin maka didapakan : y C (cos jsin ) C (cos jsin ) jika CC A Cj Cj B maka : y Acos B sin Jika akar-akar persamaan karakerisik merupakan bilangan kompleks Jika akar persamaan krakerisik adalah a bj, maka solusi dari persamaan diferensial ersebu adalah : a y e ( C cos b C sin b) Conoh V.6 Tenukan solusi dari persamaan diferensial : y'' y' 4y 8

29 jawab : Persamaan karakerisik : 4 Akar persamaan dicari dengan menggunakan rumus abc : b b 4ac a , j maka solusi umumnya adalah : y e ( Acos Bsin ) Jika akar persamaan karakerisik berupa bilangan riil dan sama maka solusi umumnya berbenuk : y. e Conoh V.6 y '' 9 Persamaan karakerisik : 9, Solusi dari persamaan diferensial ersebu adalah : y. e Laihan Soal. enukan persamaan karakerisik dari : di di L R i C. enukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde beriku : d y a. 8y d d d y b. y d d d c. 6 d 5d d. 6 d y e. y d d Persamaan Diferensial Linear Non-Homogen Orde dengan Koefisien Konsan (Second Order Homogeneous Linear Differenial Equaions Wih Consan Coefficiens) Dari benuk umum persamaan diferensial linear orde d y p( ) q( ) r( ) y f ( ) d d 9

30 jika f( ), maka solusi khusus persamaan diferensial ersebu dicari dengan mencobanya dengan menggunakan keenuan sebagai beriku : : f() Solusi coba-coba Konsana Konsana Polinomial dengan deraja n Polinomial dengan deraja n cos k acos k b sin k sin k acos k b sin k k ae k ae Solusi oal merupakn penjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum. Solusi_oal = Solusi_Umum + Solusi_Khusus Conoh V.7 Carilah solusi dari persamaan diferensial : d y 6 8y cos d d (). Mencari solusi umum Persamaan karakerisik dari ( 4)( ), 4 d y 6 8y adalah : 6 8 d d 4 Sehingga solusi umumnya adalah : Ce Ce () Mencari solusi khusus Beberapa langkah yang harus dilakukan dalam mengerjakan solusi khusus :. Cari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan abel Berdasarkan abel, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi : y ( ) acos bsin p p. Cari urunan perama dan kedua, kemudian subsiusikan ke dalam persamaan diferensial Turunan peramanya : y ' ( ) asin bcos Turunan keduanya : y'' ( ) acos bsin p p d y Selanjunya subsiusikan ke persamaan diferensial 6 8y cos d d ( y'' ( ) acos bsin ) 6( y ' ( ) asin bcos )+ ( p y ( ) acos bsin ) p = cos. Kelompokkan koefisien- koefisien yangs sejenis, dan cari nilai konsananya Unuk koefisien cos : ( a 6b 8 a)cos ( b 6a 8 b)sin cos ( a 6b 8 a)cos cos (7a6 b)

31 Unuk koefisien sin : ( b 6a 8 b)sin ( b 6a 8 b) (6a7 b) 8 Maka dapa dicari nilai a dan b, yaiu : a, b Subsiusikan nilai konsana yang didapa ke dalam solusi khusus persamaan diferensial Solusi khusus : y ( ) acos bsin adalah : p 8 yp( ) cos sin solusi_oal = Solusi_Umum + Solusi_Khusus 4 8 = Ce Ce + cos sin Laihan Soal : Temukan solusi khusus dari : d y. 6 8y d d LATIHAN SOAL TERPADU y. Tenukan solusi dari persamaan diferensial d y, dengan,,, adalah konsana.. Temukan solusi persamaan diferensial beriku dengan meode pemisahan variabel : (a) y sin d. Pergerakan suau benda yang jauh ke bumi memiliki persamaan : dv g bv d Tenukan kecepaan benda ersebu pada waku, jika v( ). 4. Ini bahan radioakif mengalami peluruhan dengan fungsi peluruhan : dn N N adalah konsenrasi(massa) ini bahan radioakif ersebu and adalah konsana peluruhan. Temukan N( ) dengan kondisi awal N( ) N o. 5. Dari persamaan diferensial beriku, enukan : (a) apakah bersifa linear (b) sebukan orde persamaan diferensial ersebu

32 i. ii. iii. iv. (c) bukikan bahwa fungsi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial ersebu : 4 y, y c y, y c, y d y y 4, y. e 4 d y y 6 y( ), y 6. Temukan solusi dari persamaan diferensial dengan kondisi awal beriku ini : a. 6, y() 6 b. 5y sin( ), y() c. y, y() d. 4 y 4, y() e. 6y sin(5 ) cos(5 ), y() f. y e, y() 7. Temukan fakor penginegralan dari persamaan diferensial biasa beriku dan enukan solusinya : (a) y d y (b) ( y ) d y 8. Bukikan bahwa persamaan diferensial beriku bersifa eksak dan enukan solusi dari persamaan diferensial ersebu : (a) a byd b cy y y y d (b) Aplikasi Persamaan Diferensial Dalam Bidang Teknik Elekro Rangkaian LRC pada gambar dapa dimodelkan ke dalam persamaan diferensial dengan auran-auran sebagai beriku :. Hukum II Kirchoff s enang egangan : jumlah/sigma keseluruhan egangan dalam loop eruup adalah nol (he sum of all he volage drops around any closed loop is zero).. Tegangan pada pada resisor, VR, adalah sebanding dengan arus yang melewainya, yang dirumuskan dengan : V R = ir (Hukum Ohm s ), dengan R adalah resisansi dari resisor.

33 . Tegangan pada kapasior adalah sebanding dengan muaan elekrik pada kapasior, yaiu q, yang dirumuskan dengan : Vc. q, dengan C adalah kapasiansi kapasior (dalam C sauan farad) dan muaan q dalam sauan coulombs. 4. Tegangan pada indukor sebanding dengan laju perubahan arus lisrik yang mengalir di dalam sau sauan waku. Dirumuskan sebagai : V L L, dengan L adalah indukansi indukor yang diukur dalam sauan : henri. Gambar VI. Rangkaian RLC dalam loop eruup. Berdasarkan hukum II Kirchof (KVL II) : di L ir q v(). C dq di d dq d q Oleh karena i (), maka: ( ). Sehingga persamaan di L ir q v() menjadi : L d q R dq q v() C c Conoh VI. Sebuah rangkaian lisrik yang erdiri dari komponen R, C, dan sumber egangan sebagai beriku : Vs + - R i V R C Vc Jika pada saa = swich eruup, egangan pada kapasior adalah Vo, yaiu Vc () = Vo maka :. Bukikan bahwa persamaan diferensial yang erbenuk merupakan persamaan diferensial linear orde perama. Carilah solusi dari persamaan diferensial ersebu menggunakan meode fakor penginegaraln. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial ersebu jika egangan pada kpasior mula-mula adalah Vo =. Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon keadaan nol (zero sae- response) 4. Carilah solusi persamaan diferensial yang erbenuk, jika egangan sumber = (Vs = ). Solusi pada kondisi ini dinamakan : respon inpu nol (zero inpu- response) 5. bukikan bahwa solusi () merupakan penjumlahan anara zero sae- responsedan zero inpu- response

34 Jawab :. berdasark hukum II Kirchof enang egangan : Vs() VR Vc. Arus yang mengalir pada resisor = arus yang mengalir pada kapasior Vs VR dvc C, sehingga persamaan diferensial yang erbenuk adalah : R dvc RC Vc Vs, yang dapa disederhanakan menjadi benuk : dvc Vc Vs (persamaan diferensial orde perama linear) RC RC. dari pembenukan persamaan diferensial di aas erliha bahwa : P = RC, Q = Vs, sehingga fakor penginegralan ( ) diberikan sebagai : RC P e, RC P e, e RC e solusi dapa dicari dengan rumus : Vc Q, dengan Vs V cos. Maka : ( RC) Vc cos e V RC ( RC) e ( RC) ( RC) V Vc e cos. Sedangkan Vc Vc RCe RC. e ( RC) ( RC) R C e cos e cos sin + K. Maka : R C. ( RC) cos V R C e ( RC) ( R C ) ( R C ) sin RC + K. RC VR C cos sin RC + K. ( ) e RC e ( RC) Dengan kondisi pada saa =, Vc = Vo, maka : RC VR C cos Vc sin ( R C ) RC + K. ( ) e dengan menerapkan =, Vc = Vo VR C Vo K ( R C ) RC, sehingga : 4

35 K Vo V ( RC ). Subsiusikan nilai K ke persamaan sehingga : VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ) ( RC) e. Dengan menggani Vo =, maka didapakan :fungsi zero sae- response nya adalah : VR C cos sin V ( RC) ( R C ) RC e ( R C ) Vc 4. Dengan menggani Vs = V =,maka dari persamaan diferensial VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ) fungsi zero inpu- response nya adalah : ( RC) ( RC) e didapakan Vc Vo. e 5. Terliha bahwa solusi persamaan diferensial dari poin () merupakan jumlah anara zero sae- response dan zero inpu- response Laihan soal : ( RC) Voal Vo. e +( VR C cos sin Vc V ( R C ) RC ) ( R C ) yang merupakan solusi yang didapakan dari (), yaiu : VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ). Bukikan bahwa : ( ) ( RC) ( RC) e RC R C e cos e cos sin R C RC Conoh VI. Sebuah rangkaian lisrik yang erdiri dari R, L, n C ersusun paralel seperi pada gambar : Is() R L C Sumber arus adalah Is(), arus yang mengalir adalah I, dengan persamaan : d i L di LC i i () s, unuk R dengan i merupakan arus yang mengalir pada indukor. Jika L = H, R =, dan C =. F, dengan sumber arus i () e. Dengan nilai kondisi di awal i= dan pada saa =. s 5

36 d i L di. Persamaan diferensial benuk apakah LC i i () s? R d i L di. Carilah solusi unuk persamaan diferensial LC i i () s R. Carilah zero inpu- response, yaiu kondisi pada saa is ( ) di 4. Carilah zero sae- response, yaiu saa i= dan unuk = 5. Tunjukkan bahwa solusi () merupakan penjumlahan anara zero inpu- response dan zero sae- response jawab : d i L di d i di. LC i i () s, i e R persamaan karkerisik adalah :. b b 4ac Akar persamaan karkerisik adalah : a 4..,., j solusi umumnya oleh karenanya adalah : / i e ( Acos Bsin ) solusi khusus dicari dengan mencoba-coba, oleh karena f() = e, maka diandaikan i e, i' e, i'' 4 e, subiusikan ke persamaan diferensial : i" i ' e 4 e e + e = e sehingga, sehinggs solusi khususnya adalah : i e solusi keseluruhan =solusi umum + solusi khusus / i e ( Acos Bsin ) + e unuk mencari nilai konsana A dan B, maka digunakan banuan kondisi awal. Saa =, i=, sehingga : i A, A di : 6

37 di / e ( Asin Bcos ) e ( Acos Bsin ) e di saa =,, sehingga B A B ( ) B B B sehingga solusi lengkapnya adalah : / i e ( cos sin ) + e / /. zero inpu- response, yaiu kondisi pada saa is ( ) dari () elah didapakan solusi umumnya, yaiu : / i ( ) e ( Acos Bsin ) s. kerjakan 4. kerjakan MATLAB Solusi persamaan diferensial biasa linear MaLab merupakan perangka lunak yang dapa digunakan unuk mencari solusi persamaan diferensial secara mudah. Sinaks perinah yang digunakan unuk mencari persamaan diferensial adalah perinah dsolve. Sebagai conoh, persamaan diferensial orde sebagai beriku : y'' + y = cos() dengan kondisi y'() = dan y() =, dengan y'' = d y/d dan y' = /d. y=dsolve('dy + y = cos(*)', 'Dy()=', 'y()=') y = -/*cos()^+/+4/*cos() prey(y) - / cos() + / + 4/ cos() 7

38 solusi ersebu dapa disederhanakan : y = simple(y) y = -/*cos(*)+4/*cos() prey(y) - / cos( ) + 4/ cos() conoh : cari solusi persamaan diferensial homogen linear orde dengan koefisien konsan beriku : y'' + y' + 5y =. Jawab : dsolve('dy+*dy+5*y') ans = C*ep(-)*sin(*)+C*ep(-)*cos(*) Apabila persamaan diferensial di aas berbenuk y'' + y' + 5y = -sin(),dengan y'() = and y() =. y = dsolve('dy+*dy+5*y = -sin()', 'Dy()=','y()=') y = /4*sin(*)*cos(*)-/4*sin(*)*sin(*)- /8*sin(*)*cos()+/8*sin(*)*sin()+/8*cos(*)*cos()+/8*c os(*)*sin()-/4*cos(*)*cos(*)- /4*cos(*)*sin(*)+/*ep(-)*sin(*)+9/*ep(- )*cos(*) y = simple(y) y = -/5*sin()+/*cos()+/*ep(-)*sin(*)+9/*ep(- )*cos(*) apabila digambarkan/diplo : fplo(y,[ ]) persamaan diferensial unuk orde keiga : y''' - y'' - y' +y = dengan y''() =, y'() = -5, dan y() = 5 y=dsolve('dy-*dy-dy+*y=*^-6*+4','dy()=','dy()=- 5','y()=5') y = -*++^+ep()-ep(*)+*ep(-) 8

39 fplo(y,[ ]) BAB. TRANSFORMASI LAPLACE. Pengerian Transformasi.. Laar Belakang Penggunaan Transformasi.. Conoh Sederhana Penggunaan Transformasi. Pengerian Transformasi Laplace dan inverse Transformasi Laplace.. Laar Belakang Penggunaan Transformasi Laplace.. Mengubah Persamaan Deferensial ke kawasan S.. Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana. Beberapa Sifa Transformasi Laplace.. Linearias.. Pergeseran dalam s.. Pergeseran dalam S dan inversenya..4 Konvolusi..5 Inegrasi..6 perkalian dengan konsana..7 scaling.4 Menyelesaikan Parial Fracion dari Transformasi Laplace.4.. Meode Cover Up.4.. Meode Subsiusi.4.. Meode Equae Coefficien.5 Transformasi Laplace Unuk Mencari Solusi Persamaan Deferensial Biasa.6 Conoh Soal & Aplikasi Transformasi Laplace.7 Menyelesaikan Transformasi Laplace Dengan Banuan Malab 9

40 BAB. TRANSFORMASI LAPLACE. Pengerian Transformasi Transformasi adalah eknik aau formula maemais yang digunakan unuk mengubah represenasi persamaan maemaika dari sau benuk ke benuk represenasi yang lain. Adanya ransformasi mengharuskan juga adanya inverse ransformasi, yang melakukan hal yang sebaliknya... Laar Belakang Penggunaan Transformasi Transformasi diperlukan sebagai ala banu unuk memecahkan persoalan maemaika yang rumi. Penggunaan ransformasi dan inversenya dapa diilusrasikan pada gambar di bawah ini. Permasalahan dalam benuk asal Transformasi Solusi Transformasi inverse Transformasi Solusi permasalahan dalam benuk asal Gambar. Penggunaan Transformasi dan Inversenya Terdapa beberapa ipe/jenis ransformasi yang digunakan, erganung pada persamaan maemaika yang ingin dicari penyelesaiannya. Beberapa conoh ransformasi yang digunakan dalam bidang eknik anara lain :. Transformasi Laplace. Transformasi Z. Trasnformasi Fourier 4. Trasnformasi Wavele 5. DLL Dalam hal ini, Transformasi Laplace digunakan unuk memecahkan Persamaan Differensial Biasa (ODE, Ordinary Differenial Equaion)... Conoh Sederhana Penggunaan Transformasi Conoh sederhana pemakaian ransformasi dalam maemaika adalah penggunaan logarima dan inverse-nya, yaiu fungsi perpangkaan. Apabila diinginkan unuk menghiung hasil dari : anpa menggunakan kalkulaor, namun dengan menggunakan abel logarima, maka solusi hasil perhiungan dapa dicari dengan mudah. 4

41 Langkah perama adalah mengubah/lakukan ransformasi perhiungan menjadi logarima basis. Langkah ke dua adalah menyelesaikan kalkulasi algorimanya. Langkah erakhir adalah mencari inverse logarima ( ), sehingga hasil akhir dari inverse logarima ini adalah solusi dari Apabila dikerjakan menjadi : Langkah ke-. Ubah/ransformasi ke logarima basis => Log (4 5678) Langkah ke-. Selesaikan kalkulasi algorima. Log (4) + Log (5678) =,9 +,754 = 6,8455 Langkah ke-. Gunakan inverse ransformasi unuk mencari solusi dari Dalam hal ini, inverse ransformasinya adalah :, sehingga : 6,8455 => 6,8455 = Dengan menggunakan kalkulaor, didapakan jawaban eksak dari = Tampak bahwa jawaban yang didapa dengan menggunakan ransformasi logarima (dan inverse logarima) mendekai jawaban eksaknya. Perhiungan menggunakan ransformasi Laplace dapa dilakukan secara langsung melalui penggunaan formula/rumus ransformasi, dan dengan menggunakan banuan abel Tranformasi Laplace. Pada abel elah dicanumkan Transformasi Laplace dari benuk-benuk umum Persamaan Differensial Biasa yang sering digunakan. Penggunaan abel Transformasi Laplace ini memudahkan pencarian solusi, karena idak diperlukan kalkulasi Transformasi Laplace dengan menggunakan rumus ransformasi.. Pengerian Transformasi Laplace Transformasi Laplace Y (s) dari fungsi y(), unuk > adalah : s Y( s) L{ y( )} e y( ) Transformasi Laplace digunakan unuk mengubah fungsi y() yang berada dalam kawasan waku ke kawasan s. Solusi dari persamaan diferensial didapa dengan mengubah persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waku) dari kawasan waku ke kawasan s dengan menggunakan ransformasi laplace, sebagaimana diunjukkan pada gambar di bawah. 4

42 Permasalahan dalam kawasan waku Transformasi Laplace Solusi Transformasi Laplace Inverse Transformasi Laplace Solusi permasalahan dalam kawasan waku Gambar. Penggunaan Transformasi Laplace dan Inversenya Rumus Tranformasi Laplace di aas, apabila digunakan secara langsung pada permasalahan. maka akan seringkali dijumpai kesulian dalam kalkulasinya, sehingga dianjurkan unuk menggunakan banuan abel ransformasi laplace. Penggunaan abel ransformasi laplace menghindarkan dari ruminya perhiungan ransformasi... Laar Belakang Penggunaan Transformasi Laplace Adapun Laar belakang penggunaan Transformasi Laplace adalah :. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear Homogen melibakan benuk eksponensial yang relaif cukup suli unuk dikerjakan. Transformasi Laplace dapa digunakan unuk mengubah persamaan diferensial menjadi benuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi kerumian penggunaan benuk eksponensial menjadi benuk ekspresi persamaan aljabar. Solusi persamaan dalam benuk aljabar dapa diulis sebagai penjumlahan iapiap komponennya dengan iap komponen merupakan Transformasi Laplace dari benuk eksponensial... Mengubah Persamaan Diferensial ke kawasan S Unuk melakukan ransformasi laplace erhadap persamaan diferensial, maka harus diinga erlebih dahulu bahwa : d u v dv du u v dv du u u v v Bila Transformasi Laplace adalah : s Y( s) L y( ) e y( ), maka Transformasi s Laplace dari urunan (derivaive) perama adalah : L e 4

43 jika u adalah e s dan v adalah y, maka : s s s de L e e y y s s L e y se y s s L e y s e y Jika diasumsikan bahwa pada saa grafik y() mengalami kenaikan cukup lamba dibanding dengan grafik e s s, maka e y( ) unuk Sehingga : s e y e y() y() s s Benuk di aas dapa disederhanakan menjadi : L e y s e y L y() sy ( s) Dari uraian di aas, maka Transformasi Laplace dari urunan perama sebuah fungsi adalah : L sy( s) y() L sl y( ) y() aau Transformasi Laplace dari urunan kedua suau fungsi juga dapa dicari dengan cara yang sama. d y L s Y( s) () sy() Sedangkan ransformasi Laplace dari urunan ke-n suau fungsi adalah : n n d y n d y n n s Y( s) () s () s y() n n conoh. Ubah persamaan diferensial beriku dari kawasan ke kawasan s dengan menggunakan meode Transformasi Laplace. d y y L, dengan y(), () 4

44 jawab: Langkah ke-. Lakukan Transformasi Laplace s Y( s) L y( ) e y( ) L y L d y s d y s e y e s d y s e e y Gunakan secara langsung Transformasi Laplace unuk urunan kedua, maka didapakan: ( ) () () ( ) s Y s sy Y s susun kembali menjadi : s Y( s) () sy() Langkah ke-. Cari Persamaan polinomial Y(s) dengan banuan nilai awal y(), () s Y( s) s Ys () s s Yang perlu diinga adalah benuk L f dari fungsi f(). ( ) F( s) merupakan Transformasi Laplace.. Transformasi Laplace Beberapa Fungsi Sederhana beriku adalah ransformasi Laplace dari beberapa fungsi. Konsana Transformasi Laplace dari sebuah konsana C ( y() = C ), adalah : s s C C LC e C e C s s s, sehingga LC C s. Transformasi Laplace fungsi y() = 44

45 s s s L e e e s s s s s s L e L s sehingga. Transformasi Laplace fungsi y() = n { n L } e s n e s n e s n n s n { n L } e s n n s n L s n n { } L{ } dengan cara yang sama : L n s n s n n { } L{ } L n n { } L{ } s L s { } L{ } n! sehingga L { n } n s 4. Transformasi Laplace fungsi eksponensial, y() = e a a s a ( sa) L{ e } e e e a ( sa) ( sa) L{ e } e e s a s a s a { a L e } e, sehingga a Le { } s a 5. Fungsi cosinus dan sinus 45

46 L L e e i -i cos Lcos s i s i s i s i s Lcos s s s s sehingga L{cos } s dengan cara yang sama, Transformasi Laplace dari fungsi sinus adalah : L{sin } s Ringkasan Transformasi Laplace beberapa fungsi ersebu dapa diulis dalam abel beriku. Tabel. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana Fungsi y() Transformasi Laplace Y(s) C y() = C s y() = s n! y() = n n s y() = e a y() = cos ω y() = sin ω s a s s s. Beberapa karakerisik Transformasi Laplace Beberapa karakerisik Transformasi Laplace anara lain :. Linearias Jika f() dan g() adalah sebuah fungsi, dengan : s F( s) L f ( ) e f ( ) dan s G( s) L g( ) e g( ) 46

47 maka Lcf ( ) cf( s) dan. Pergeseran dalam S s F( s) L f ( ) e f ( ) Jika L af ( ) bg( ) af( s) bg( s) a s a ( sa) Maka Le f ( ) e e f ( ) e f ( ) F( s a), sehingga a L e f ( ) F( s a). Pergeseran dalam S dan inversenya L e f ( ) F( s a) a Jika a, maka a L F( s a) e L F( s) e f ( ) conoh. Gunakan sifa pergeseran dalam s unuk mecari Inverse Transformasi Laplace dari : ( s a) jawab : F( s a) ( s a) Fs () s, a sehingga L F( s a) e L F( s), a a L e L e ( s a) s L ( s a) 4. Teorema Konvolusi Jika Transformasi Laplace dari fungsi f() dan g() adalah F(s) dan G(s), dengan a e Maka : s F( s) L f ( ) e f ( ) s, G( s) L g( ) e g( ) L f ( ) g( ) d F( s) G( s) yang disebu sebagai inegral konvolusi. Jika inverse Transformasi Laplace dari F(s) dan G(s) adalah f() dan g(), dengan : L F( s) f ( ), dan maka L F( s) G( s) f ( ) g( ) d, aau L G( s) g( ) L F( s) G( s) f ( ) g( ) d 47

48 conoh : Gunakan eorema konvolusi unuk mencari inverse Transformasi Laplace s dari: ( s ) s jawab : Fs () ( s ), Gs () ( s ), maka f ( ) cos, dan g( ) sin gunakan eorema konvolusi : L F( s) G( s) f ( ) g( ) d, maka ekspansikan menjadi : s L cos( )sin( ) d ( s ) s L cos( )sin( ) d ( s ) cos cos sin d sin sin sin d Apabila diselesaikan menjadi : 5. Inegrasi s sin ( s ) L s F( s) L f ( ) e f ( ), maka Jika L F ( s ) f ( ) d s conoh 4: Gunakan eorema inegrasi unuk mencari inverse dari : ss ( ) Jawab : F( s) f ( ) e ( s ) (dari abel), maka : L ) e d e ss e ( ) e.4 Menyelesaikan Parial Fracion dari Transformasi Laplace Di dalam penggunaannya, ransformasi laplace seringkali melibakan benuk Qs () dengan banyak fraksi, dimana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Oleh Ps () karenanya, erlebih dahulu dipelajari bagaimana fraksi-fraksi yang erliba/dihasilkan diubah ke fraksi pecahan (parial fracion) agar didapakan solusi dari Persamaan 48

49 Differensial Biasa, Jadi, erlebih dahulu dipelajari bagaimana menggunakan parial fracion sebelum memecahkan Persamaan Differensial Biasa. Mengubah Fracion Menjadi Parial Fracion Jika : Qs () a a an P( s) ( s ) ( s ) ( s ) dengan P( s) ( s )( s ) ( s ) n n Maka erdapa kemungkinan penyelesaian dari P(s) a. P(s) akar-akarnya riil dan berbeda. Tuliskan masing-masing fakor P(s), dan ambahkan koefisien yang sesuai (A, B, ds) pada bagian pembilang Conoh : s A B. s 4s ( s ) ( s ). A B ( s )( s ) ( s ) ( s ) Qs () a b. P(s) akar-akarnya riil dan sama, yaiu n. Jika P( s) ( s ) n Maka uraikan menjadi : Qs () a a ak P( s) ( s ) ( s ) ( s ) a an ( s ) ( s ) k Conoh : k A B s 6s 9 ( s ) ( s ) ( s ) n c. Jika akar-akarnya merupakan bilangan pasangan bilangan kompleks a bi, a bi, Q() s A Bs a an P( s) ( s a) b ( s ) ( s ) Conoh : ( )( ) s s s s s A B Cs ( s )( s i)( s i) s ( s ) k n 49

50 Dari pemecahan fraksi di aas, perlu dicari nilai dari koefisien A,B,C dan seerusnya. Terdapa cara unuk menyelesaikan parsial fraksi di aas, yaiu :. Cover up Rule. Subsiusi. Equae coefficien. Meode Cover Up Langkah penyelesaian parsial fraksi dengan Cover Up adalah : a. Kalikan dengan s-α i b. Subiusikan s = α i. Jika P(s) akar-akarnya riil dan berbeda. s conoh 5. Cari Parsial fraksi dari : ( s)( s) jawab : s A B ( s )( s ) ( s ) ( s ) ( s) B ( s ) A ( s ) ( s) ( s) kalikan dengan (s-), subsiusikan s =, s A A Selanjunya kalikan dengan (s ) s A B ( s )( s ) ( s ) ( s ) ( s) A s ( s ) B ( s) ( s) subsiusikan s =, 4 s B B s Maka diperoleh : ( s )( s ) ( s ) ( s ) Conoh 6. Cari Parsial fraksi dari : ss ( ) Jawab: A B s( s ) s ( s ) 5

51 Unuk mencari nilai A, kalikan persamaan di aas dengan s, dan subiusikan nilai s = A B sehingga menjadi : s( s ) s ( s ) B s : A s ( s) ( s) s : A A Unuk mencari nilai B, kalikan dengan (s + ) dan subiusikan nilai s = - ( s ) : ( s ) A B s s : B B Sehingga benuk parsial fraksinya adalah : s( s ) s ( s ). Jika P(s) akar-akarnya riil dan sama conoh 7. Cari Parsial fraksi dari : s s4 ( s ) jawab : s s4 ( s ) A B C ( s ) ( s ) ( s ) = unuk mencari nilai C, kalikan dengan (s + ) s s 4 A( s ) B( s ) C, subsiusikan s = - 4 C, C Unuk mencari nilai A dan B, digunakan meode subsiusi. Ambil s = dan subiusikan ke persamaan. 4 A B C 4 A B C. Subiusikan C = sehingga = A + B, 4 A B C A B C ambil s = :, kalikan dengan 8 menjadi : A B C, subsiusikan C = 6 4A B, apabila diselesaikan akan didapakan : A =, B =, C =. 5

52 s s4 ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) =. Jika P(s) akar-akarnya kompleks conoh 8. Cari parsial fraksi dari : ( s ) ( s ) jawab : karena P(s) mengandung (s + ), maka berikan koefisien Cs + D pada bagian pembilang. ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) ( s ) Cs D ( s ) ( s ) A B ( s ) ( s ) ( s ) s B B (4 ) A B Cs D A Cs D ( s ) ( s ) ( s ) 5( s ) ( s ) 5 Unuk mencari nilai koefisien yang lain (A,C dan D), maka digunakan meode subsiusi A Cs D ( s ) ( s ) ( s ) 5( s ) ( s ) A s ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) A D 5A D Unuk 4 A C D s ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) A C D A 5C 5D Unuk 5 A C D s ( ) ( ) ( ) 5( ) ( ) A C D A C D 5 4 4s Sehingga : ( s ) ( s ) 5( s ) 5( s ) 5( s ). Meode Subiusi Jika Parsial fraksi adalah : Q( bi ) P( b ) ( b i i D a ) ( b i a ) ( b i an ) n Maka lakukan : 5

53 . Subiusikan s = bi, dengan i =,,..., n. pecahkan nilai a, a,..., a n A B Conoh 9. Cari nilai koefisien A dan B pada : s( s ) s ( s ) jawab : A B Unuk s =, A B A B Unuk s =, A B 6 (kurangkan persamaan dan ), Maka didapakan : B B A 6 6 maka s( s ) s ( s ) Conoh. Tenukan nilai koefisin A, B dan C pada : A B C s ( s ) s s ( s ) Jawab : Gunakan auran Cover Up A B C ( ) ( ), kalikan dengan s, dan subiusikan nilai s = sehingga s s s s s Cs As B B B ( s) ( s) ( ) unuk mendapakan nilai C, kalikan dengan (s + ) A B C subsiusikan s = -. ( ) ( ) s s s s s A( s ) B( s ) C C C s s s ( ) Oleh karenanya elah kia dapakan : A s ( s ) s s ( s ) Unuk mencari nilai A, maka kia subsuusikan nilai s yang mudah dikalkulasi. Ambil s A =, maka : A A ( ) ( ) Persamaan Parsial fraksi yang kia dapakan oleh karenanya adalah s ( s ) s s ( s ) 5