untuk i = 0, 1, 2,..., n

Transkripsi

1 RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi polynomial Lagrange Bentuk umum polinom Lagrange derajat n Di mana a i = y i, l i (x) = n j=0 j i f(x) = p n (x) = a i l i (x) (x x j) (x i x j ) n i=0 untuk i = 0, 1, 2,..., n Suatu polinomial P(t) derajat n-1 yang unik dapat dikonstruksi yang melalui n titik t yang berbeda. Interpolasi Polinomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n bua titik P 1 (x 1, y 1 ), P 2 (x 2, y 2 ), P 3 (x 3, y 3 ),..., P n (x n, y n ) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1; y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n 1 x n 1 Interpolasi dari dua bua titik (x 0, y 0 )dan (x 1, y 1 ) akan mengasilkan polynomial berderajat 1 (interpolasi linear), yaitu: P 1 (x) = (x x 1) (x 0 x 1 ) y 0 + (x x 0) (x 1 x 0 ) y 1 = (x 1 x)y 0 + (x x 0 )y 1 (x 1 x 0 ) Conto : Dari fungsi y = f(x), diberikan tiga bua titik data dalam bentuk tabel: x Y Tentukan f(3,5) dengan polinom Lagrange derajat 2. Gunakan lima angka bena. Penyelesaian: Polinom derajat 2 n = 2 (perlu tiga bua titik) p 2 (x) = l 0 (x)y 0 + l 1 (x)y 1 + l 2 (x)y 2 l 0 (x) = (x 4)(x 6) (1 4)(1 6) l 1 (x) = (x 1)(x 6) (4 1)(4 6) l 2 (x) = (x 1)(x 4) (6 1)(6 4) l 0 (3.5) = (3.5 4)(3.5 6) (1 4)(1 6) l 1 (3.5) = (3.5 1)(3.5 6) (4 1)(4 6) l 2 (3.5) = (3.5 1)(3.5 4) (6 1)(6 4) = = = Jadi, p 2 (3.5) = ( )(1.5709)+(1.0417)(1.5727)+( )(1.5751) = b. Interpolasi Polinomial Newton Diketaui n titik (x 1, y 1), (x 2, y 2),, (x n, y n); (y i = f(x i), i=1,2,,n) akan ditentukan p n(x) = a 0 + a 1x + a 2x a nx n yang melewati n titik tersebut. p n(x) = a 0 + a 1(x- x 0) + a 2(x- x 0)(x- x 1) + + a n(x- x 0)(x- x 1) (x- x n-1) Interpolasi polinom Newton dapat ditulis: n i 1 p n (x) = a i (x x j ) i=0 Koefisien a n dikonstruksi menggunakan beda bagi: j=0

2 a n = f[x 0, x 1,, x n ] Dengan notasi yang baru, interpolasi polinom bentuk Newton dapat dituliskan dalam bentuk: Secara umum: f ( x n i 1 p n (x) = f[x 0, x 1,, x n ] (x x j ) f a i=0 j=0 k 1 i1 Conto Interpolasi Polynomial Newton Diketaui: (1, 0), (4, ), (6, ), (5, ) (dari fungsi ln x) Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 p 3(x) = a 0 + a 1(x- x 0) + a 2(x- x 0)(x- x 1)+ a 3(x- x 0)(x- x 1)(x- x 2) ) k i0 k k 1 j0 a i j0 ( x x ) k f ( x ) ( x x ) j k 1 k 0 i0 [ x0, x1,..., xk ] k 1 k j0 j f [ x, x,..., x ] 1 ( x k x ) j i i1 j0 ( x k x ) j f f f f f f x x , x x , x x , x x, x , 1 0 x x, x , ( ) 5 1 x, x, x, x p 3(x) = (x-1)-0.053(x-1)(x-4)+0.008(x-1)(x-4)(x-6) Seingga didapatkan nilai p 3(2) = 0.629

3 c. Vandermonde Matrix Bentuk umum dari polinomial yang menginterpolasi n+1 titik adala P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Sistem persamaan linear: Bentuk matriks persamaan linear V. a = b : Conto : Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde. Jawab: Akan dilakukan dengan pembentukan Sistem Vandermonde sebagai berikut: Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination Maka diperole persamaan linear dari matriks di atas adala a 0 a 1 + a 2 a 3 = 0 a 0 = 0 a 1 + a 2 a 3 = 0 a 1 = 1 a 2 = 0 a 3 = 1 Seingga polinomialnya berbentuk : P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P(x) = x+x 3

4 d. Interpolasi Invers Sebua proses inverse interpolation sering digunakan untuk mengampiri suatu invers fungsi. Seandainya nilai y i = f(x i ) tela diitung pada x 0, x 1, x 2,, x n. Menggunakan table berikut bentuk polinomial interpolasi y i = f(x i ) memiliki invers pada kondisi tertentu. Invers tersebut diampiri ole x = p(y). Conto: Tentukan polinomial invers interpolasi dari data berikut: Penyelesaian: P(y) = y y y y e. Interpolasi Neville Misal P 0 (x) adala nilai di titik x dari persamaan polynomial orde nol (konstan) yang melalui titik (x 0, y 0 ), seingga P 0 (x)= y 0. Demikian juga P 1 (x), P 2 (x), P n (x) yang melalui (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),... (x n, y n ). Selanjutnya misal P 0,1 (x) adala nilai di x dari persamaan orde satu yang melalui titik (x 0, y 0 ), dan (x 1, y 1 ). Dengan cara yang sama P a,b,,s (x) adala nilai di x yang melalui titik (x a, y a ), (x b, y b ),... (x s, y s ) seluru s titik. Dimulai dengan polinomial konstan P i (x)= f(x i ). Dengan memili x i dan x i+m, i > i + m, didefinisikan fungsi rekursif: P i,i+1,,i+m (x) = x x i+m P x i x i,i+1,,i+(m 1) (x) + x i x P i+m x i x i+m i+1,i+2...,i+m (x) = (x x i)p i+1,i+2...,i+m (x) (x x i+m )P i,i+1,,i+(m 1) (x) x i+m x i diperole untuk n = 4 x 0 P 0 (x) x 1 P 1 (x) P 0,1 (x) x 2 P 2 (x) P 1,2 (x) P 0,1,2 (x) x 3 P 3 (x) P 2,3 (x) P 1,2,3 (x) P 0,1,2,3 (x) x 4 P 4 (x) P 3,4 (x) P 2,3,4 (x) P 1,2,3,4 (x) P 0,1,2,3,4 (x) Selanjutnya dilakukan peyederanaan notasi S ij (x) = P i j,i j+1,..., i 1,i (x) Dimana S ij (x), untuk i j menunjukkan polinomial interpolasi derajat pada j+1 node x i j, x i j+1,..., x i 1, x i.

5 Diperole S ij (x) = ( x x i j x i x i j ) S i,j 1 (x) + ( x i x x i x i j ) S i 1,j 1 (x) = (x x i)s i 1,j 1 (x) (x x i j )S i,j 1 (x) x i j x i Diberikan fungsi: f(x) = 1 x i x i f(x i ) 0 2 0,5 1 2,5 0, ,25 Kita akan mengaproksimasikan nilai f(3) f(3) S 00 (3) = f(x 0 ) = 0.5 f(3) S 10 (3) = f(x 1 ) = 0.4 f(3) S 20 (3) = f(x 2 ) = 0.25 Dengan menggunakan rumus Neville kita akan menentukan nilai S 11 dan S 21 f(3) S 11 (3) = (3 x 1)S 00 (3) (3 x 0 )S 10 (3) x 0 x 1 = (3 2,5)0,5 (3 2)0,4 2 2,5 = 0,3 f(3) S 21 (3) = (3 x 2)S 10 (3) (3 x 1 )S 20 (3) x 1 x 2 = (3 4)0,4 (3 2,5)0,25 2,5 4 = 0,35 Selanjutnya asil yang kita perole, kita masukan ke dalam tabel berikut: i x i S i0 S i ,5 1 2,5 0,4 0, ,25 0,35

6 Selanjutnya kita dapat mengitung S 22 dengan menggunakan S 11 dan S 21 f(3) S 22 (3) = (3 x 2)S 10 (3) (3 x 0 )S 21 (3) x 0 x 2 = (3 4)0,3 (3 2)0, = Dengan demikian nilai ampiran f(3)menggunakan rumus Neville derajat 2 adala 0,325 Conto 2 Diberikan nilai x i dan f(x i ), seperti yang ditampilkan pada tabel berikut: Dengan menggunakan formula Neville, tentukan nilai f(1.5)! Penyelesaian: Misalkan x 0 = 1.0, x 1 = 1.3, x 2 = 1.6, x 3 = 1.9, dan x 4 = 2.2. Serta S 00 (1.5) f(1.0), S 10 (1.5) f(1.3), S 20 (1.5) f(1.6), S 30 (1.5) f(1.9), S 40 (1.5) f(2.2). Kita akan mencoba untuk menentukan nilai ampiran dari f(1.5) sebagai berikut: f(1.5) S 11 (1.5) = (1.5 x 1)S 00 (1.5) (1.5 x 0 )S 10 (1.5) x 0 x 1 Demikian pula: = ( )( ) ( )( ) = f(1.5) S 21 (1.5)= ( )( ) ( )( ) = Dengan cara yang sama untuk mendapatkan polynomial yang lebi tinggi derajatnya: f(1.5) S 31 (1.5) = f(1.5) S 41 (1.5) = f(1.5) S 22 (1.5) = f(1.5) S 32 (1.5) = f(1.5) S 42 (1.5) = Untuk derajat yang lebi tinggi, ditampilkan pada tabel berikut: i x i S i0 S i1 S i2 S i3 S i

7 Jika nilai ampiran S 44 tidak cukup akurat maka titik lain x 5 dapat ditambakan ke dalam tabel x 5, S 50, S 51, S 52, S 53, S 54, S 55. Dengan demikian semakin tinggi derajat yang digunakan, maka nilai ampiran yan diperole akan semakin akurat. 2. Galat Interpolasi 3. Turunan Numerik 4. Ekstrapolasi Ricardson Galat Interpolasi Teorema Galat Interpolasi Teorema I Jika p adala polinomial berderajat tertinggi n yang menginterpolasi f pada n+1 titik yaitu x 0, x 1,, x n ϵ[a, b] dan jika f (n+1) kontinu,maka xϵ[a, b], 1 f(x) p n (x) = (n + 1)! f (n+1) (c) (x x i ) Galat Rata-rata Interpolasi Karena nilai c tidak diketaui, maka ampiri dengan c = x t = x 0+x n Lemma n i=0 1 f(x) p n (x) = (n + 1)! f (n+1) (x t ) (x x i ) Lemma I Definisikan x i = a + i untuk i=0, 1,, n, maka untuk suatu xϵ[a, b], i=0 dengan =(b-a)/n adala jarak antar titik. n x x i 1 4 n+1 n! n i=0 2 seingga rumus menjadi Teorema II Misalkan f fungsi yang memenui f (n+1) kontinu pada [a,b] dan f (n+1) (x) M. Misalkan p adala polinomial berderajat n yang menginterpolasi f pada n+1 titik di [a, b] termasuk titik akirnya,maka di [a, b],

8 1 f(x) p n (x) 4(n + 1) M(n+1) dengan =(b-a)/n adala jarak antartitik. Keterangan : M = max f (n+1) (c) x 0 c x n Conto Soal : Diberikan empat bua titik berikut, ampiri nilai cos(1.5) dengan metode Lagrange dan Newton sampai derajat 3 serta identifikasi galatnya. Nilai sejati cos(1.5)= Dari metode Lagrange diperole cos(1.5) Dari metode Polinomial Newton diperole cos(1.5) Batas atas kesalaan yaitu E 3 (x) = Galat absolut Lagrange = < E 3 (x) Galat absolut Newton = < E 3 (x) Seingga polinomial derajat 3 suda cukup teliti untuk mengampiri nilai cos(1.5) Teorema III

9 Jika p adala polinomial berderajat n yang menginterpolasi f pada titik x 0, x 1,, x n ϵ[a, b] maka untuk suatu x bukan titik interpolasi, f(x) p n (x) = f[x 0, x 1,, x n, x] (x x i ) i=0 Dengan f[x 0, x 1,, x n, x] disebut selisi terbagi yang digunakan dalam interpolasi polinom Newton, seingga teorema III dapat digunakan untuk mencari galat polinom Newton n Teorema IV Jika f (n) kontinu pada [a,b] dan x 0, x 1,, x n adala n+1 titik yang berada di interval [a,b], maka untuk c di (a,b), f[x 0, x 1,, x n ] = 1 n! f (n) (c) Corollary I (Selisi Terbagi) Jika f adala polinomial berderajat n, maka semua selisi terbagi f[x 0, x 1,, x i ] adala nol untuk i n + 1 Conto soal Polinom derajat berapa yang paling dekat ampirannya dari fungsi yang diketaui titiktitiknya sbb (gunakan metode interpolasi polinom Newton) Penyelesaian : Diperole tabel selisi terbagi, Karena pada orde ke empat selisi terbagi mengasilkan semua nilai nol (corollary I), maka data tersebut dapat direpresentasikan ole polinomial derajat tiga.

10 Galat Lain dalam Interpolasi Polinomial Fungsi Runge f(x) = (1 + x 2 ) 1 pada interval [-5,5] Misalkan p n polinomial yang menginterpolasi fungsi ini pada n+1 titik pada interval [-5,5] maka, lim max f(x) p n(x) = n 5 x 5 Akibatnya, semakin banyak titik interpolasi maka semakin besar galatnya. Pilian lain yang lebi baik yaitu dengan menggunakan titik Cebysev dengan interval standar [-1,1], x i = cos [( 2i + 1 ) π] (0 i n) 2n + 2 Untuk titik yang berada di suatu interval [a,b], menjadi x i = 1 2 (a + b) i + 1 (b a) cos [( ) π] (0 i n) 2n + 2

11 Interpolasi polinomial dengan titik Cebysev mengampiri fungsi Runge lebi baik dibanding dengan interpolasi polinomial dengan titik data. Turunan Numerik 1. Proses mencari ampiran nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik. 2. Biasanya digunakan ketika : Fungsi f(x) tidak diketaui secara eksplisit, anya diketaui data empirisnya saja, yaitu {(x i, y i ); i = 0, 1, 2,, n}, Fungsi f(x) diketaui secara eksplisit tetapi bentuknya rumit. PENDEKATAN TURUNAN NUMERIK Hampiran selisi maju (beda maju) Hampiran selisi mundur (beda mundur) Hampiran selisi pusat (beda pusat) Rumus untuk ketiga ampiran diatas diperole dari ekspansi deret Taylor di sekitar x = x 0 : f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 2! 0 ) 2 + Hampiran Selisi Maju Misalkan x = x 0 +, maka didapatkan : f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 + 2!

12 Rumus selisi maju untuk turunan pertama : f (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) Dengan O() adala galat dari ampiran fungsi. f (x 0 ) 2! y y 0 y = f(x) x 0 x Rumus selisi maju untuk turunan kedua : f (x 0 ) f (x 0 + ) f (x 0 ) f(x 0 + 2) f(x 0 + ) f(x 0 + 2) 2f(x 0 + ) + f(x 0 ) 2 Dengan O() adala galat dari ampiran fungsi. f(x 0 + ) f(x 0 ) Hampiran Selisi Mundur Misalkan x = x 0, maka didapatkan : f(x 0 ) = f(x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 2! Rumus selisi mundur untuk turunan pertama : f (x 0 ) = f(x 0) f(x 0 ) f(x 0) f(x 0 ) Dengan O() adala galat dari ampiran fungsi. + f (x 0 ) 2!

13 y 0 y -1 y = f(x) x -1 x 0 Rumus selisi mundur untuk turunan kedua : f (x 0 ) f (x 0 ) f (x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0 2) f(x 0) 2f(x 0 ) + f(x 0 2) 2 Dengan O() adala galat dari ampiran fungsi. Hampiran Selisi Pusat Bila kedua persamaan berikut saling dikurangkan : f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 + 2! f(x 0 ) = f(x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 2! Diperole rumus selisi pusat untuk turunan pertama: f (x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 f(x 0 + ) f(x 0 ) 2 Dengan O( 2 ) adala galat dari ampiran fungsi. f (x 0 ) 2 3!

14 y 1 y 0 y -1 2 y = f(x) x 0 x -1 x 1 Bila kedua persamaan berikut saling ditambakan : f(x 0 + ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 + 2! f(x 0 ) = f(x 0 ) f (x 0 ) + f (x 0 ) 2 2! Diperole rumus selisi pusat untuk turunan kedua : f (x 0 ) = f(x 0 + ) 2f(x 0 ) + f(x 0 ) 2 f (4) (x 0 ) 12 f(x 0 + ) 2f(x 0 ) + f(x 0 ) 2 Dengan O( 2 ) adala galat dari ampiran fungsi. 2 Conto Soal : 1. Diketaui fungsi f(x) = x. Tentukan ampiran f (1) dan f (1) untuk = 0.1 dan = 0.05 dengan menggunakan ampiran selisi maju, selisi mundur, selisi pusat, dan itung galatnya. Jawaban : f(x) = x f (x) = 1 2 x f (x) = 1 4x 3 2 Ekstrapolasi Ricardson Metode untuk memperole rumus ampiran turunan dengan orde yang lebi tinggi dari ampiran dengan orde yang lebi renda disebut dengan ekstrapolasi

15 Metode tersebut dikembangkan ole Lewis Fry Ricardson di awal abad 20, seingga metode tersebut kemudian dikenal dengan ekstrapolasi Ricardson Diterapkan pada turunan numerik untuk memperole solusi yang lebi teliti. Hampiran turunan beda pusat dengan orde O( 2 ) Untuk selang adala x 1 x 0 x 1 D() = 1 2 (f 1 f 1 ) + O( 2 ) = f C 2 +. Untuk selang 2 adala 2 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 1 D(2) = 1 2(2) (f 2 f 2 ) + O((2) 2 ) = f C(2) 2 +. = f C 2 +. D() D(2) = 3C 2 D() D(2) C = 3 2 Subsitusi

16 [D() D() = f D(2)] D() = f [D() D(2)] 0 3 f [D() D(2)] 0 = D() + 3 [D() f D(2)] 0 = D() + 2 n 1 n adala orde galat yang dipakai Setiap perluasan ekstrapolasi Ricardson akan menaikan orde galat dari O( n ) menjadi O( n+2 ) Conto Soal: Diberikan data dalam bentuk tabel sebagai berikut : x f(x)

17 Tentukan f (2.5) dengan ekstrapolasi Ricardson bila D() dan D(2) diitung dengan rumus ampiran selisi-pusat orde O( 2 ) sampai 5 angka bena Penyelesaian D() D(2) D(4) Selang titik yang dipakai : [2.4, 2.6] dan =0.1 x 1 = 2.4, x 0 = 2.5, x 1 = 2.6 D() = f 1 f 1 2 = ( ) 2(0.1) = Selang titik yang dipakai : [2.3, 2.7] dan =0.2 x 2 = 2.3, x 0 = 2.5, x 2 = 2.7 D(2) = f 1 f 1 2 = ( ) 2(0.2) = Selang titik yang dipakai : [2.1, 2.9] dan =0.4 x 4 = 2.1, x 0 = 2.5, x 4 = 2.9 D(4) = f 1 f 1 2 = ( ) 2(0.4) = D() = dan D(2) = keduanya diitung dengan rumus orde O( 2 ) maka n=2, seingga f (2.5) = f 0 = D() [D() D(2)] 1 = /3 ( ) = mempunyai galat orde O( 4 ) = D(2,2) D(2) = dan D(4) = keduanya diitung dengan rumus orde O( 2 ) maka n=2, seingga f (2.5) = f 0 = D() [D(2) D(4)] 1 = /3 ( ) = mempunyai galat orde O( 4 ) = D(3,2) D(2) = dan D(4) = keduanya diitung dengan rumus orde O( 4 ) maka n=4, seingga f (2.5) = f 0 = D(2) [D(2) D(4)] 1 = /3 ( ) = mempunyai galat orde O( 6 ) = D(3,3) O( 2 ) O( 4 ) O( 6 )

18 Kesimpulan Terdapat dua metode numerik yang dapat digunakan untuk mmemperkirakan suatu fungsi, yaitu Interpolasi dan Aproksimasi. Interpolasi adala memfit data yang diketaui arus tepat sama dan anya digunakan untuk suatu range data. Aproksimasi adala memfit data yang diketaui tidak arus sama dan dapat digunakan untuk sembarang range data. Interpolasi Polinomial Lagrange Karakteristik Polinomial Karakteristik: Muda dicari Jumla komputasi yang dibutukan untuk suatu kali interpolasi adala besar Bila jumla titik data meningkat atau menurun, asil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan Interpolasi Polinomial Newton

19 Dengan memanfaatkan sifat rekursif, pembentukan polinom dengan derajat yang lebi tinggi menjadi efisien dan dapat digunakan untuk menentukan tercapainya titik berenti. Tabel selisi dapat dipakai berulang-ulang untuk memperkirakan nilai fungsi pada nilai x yang berlainan. Turunan Numerik Turunan numerik adala proses mencari nilai numerik suatu turunan dari fungsi yang diberikan pada suatu titik. Hampiran selisi pusat lebi baik dari 2 metode ampiran sebelumnya (ampiran selisi maju dan ampiran selisi mundur). Karena orde galat selisi pusat O( 2 ) sedangkan galat ampiran-ampiran sebelumnya adala O()