KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

Transkripsi

1 KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

2 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi. Ada Tiga jenis asimtot ungsi, yakni: (i) Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari y = () jika (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = () jika (iii) Asimtot Miring Garis y = a + b disebut asimtot miring jika ( ) a dan ( ) a b c ( ) ( ) b

3 Asimtot tegak a a Dalam kasus a dan a = a asimtot tegak ( ) ( ) = a asimtot tegak Dalam kasus dan a a ( ) ( )

4 b y= b Garis y = b asimtot datar karena ( ) b Asimtot datar mungkin dipotong oleh graik ungsi untuk hingga. Namun, jika untuk menuju tak hingga, asimtot datar dihampiri oleh graik ungsi (tidak dipotong lagi)

5 y=() y a b Garis y = a + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu ungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring

6 Contoh: Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i) Asimtot tegak : =, karena 4 dan ( ) 4 4 (ii) Asimtot datar : ( ) ( ( 4 ( ( Maka asimtot datar tidak ada 4 ) ) 4 ) )

7 (iii) Asimtot miring ; y = a + b ( ) 4 a. b ( a ) 4 ( ) 4 0 Asimtot miring y = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4

8 Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari ungsi berikut : ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3

9 C. Kemonotonan Fungsi Deinisi : Fungsi () dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk, I, ( ) ( ) I Fungsi () monoton naik pada selang I

10 monoton turun pada interval I jika untuk, I, ( ) ( ) I Fungsi monoton turun pada selang I

11 Teorema : Andaikan dierensiabel di selang I, maka Fungsi () monoton naik pada I jika Fungsi () monoton turun pada I jika '( ) 0 I '( ) 0 I Contoh: Tentukan selang kemonotonan dari ( ) Jawab : 4 ()( ) ( 4) ( 4) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () monoton naik pada (,0) dan (4, ) () monoton turun pada (0,) dan (,4).

12 D. Ekstrim Fungsi Deinisi 5.3 Misalkan () kontinu pada selang I yang memuat c, (c) disebut nilai maksimum min imum global dari pada I jika ( c) ( c) ( ) ( ) I (c) disebut nilai maksimum min imum buka yang memuat c sehingga lokal dari pada I jika terdapat selang ( c) ( ) untuk setiap pada ( c) ( ) selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum ungsi disebut juga nilai ekstrim. Titik pada daerah deinisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim ungsi disebut titik kritis.

13 (a) ma lokal (b) min lokal (c) ma global () (d) min global (e) ma lokal () min lokal a b c d e Nilai ekstrem ungsi pada selang I = [a, ]

14 Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner (yaitu = c dimana '( c) 0 ), secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c, (c)) '( c) Titik singulir ( = c dimana tidak ada), secara geometris: terjadi patahan pada graik di titik (c, (c))

15 Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal '( ) 0 '( ) 0 Jika ( c, c) c, '( ) 0 '( ) 0 maksimum Maka (c) merupakan nilai lokal minimum (c) pada dan pada ( c ) (c) c c (c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik ( >0) dan disebelah kanan c monoton turun ( <0) (c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun ( <0) dan disebelah kanan c monoton naik ( >0)

16 Teorema : Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ''( c) 0 Misalkan '( c) 0. Jika,maka (c) merupakan ''( c) 0 maksimum nilai lokal minimum Contoh: Tentukan nilai ekstrim dari ( ) Jawab: ( 4) '( ) ( ) Dengan menggunakan uji turunan pertama : di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai ( 0) di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai ( 4) 6

17 Soal Latihan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim ungsi berikut :

18 E. Kecekungan Fungsi y y Graik ungsi cekung keatas Graik ungsi cekung kebawah Fungsi () dikatakan cekung ke atas pada interval I bila '( ) naik pada interval I, dan () dikatakan cekung kebawah pada interval I bila '( ) turun pada interval I. Teorema : Uji turunan kedua untuk kecekungan. Jika "( ) 0, I, maka cekung ke atas pada I.. Jika, maka cekung ke bawah pada I. "( ) 0, I

19 Contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : 4 '( ) ( ) ''( ) ( 4)( ) ( )( 4 ( ) ( ) 4 ( ) 4) ( )(( 4)( ) ( 8 8 ( ) 3 8 Graik cekung keatas pada, ) selang (,) 4)) 8 3 ( ) 4 ( dan cekung kebawah pada

20 F. Titik belok Deinisi 5.4 Misal () kontinu di = b. Maka (b,(b)) disebut titik belok dari kurva () jika terjadi perubahan kecekungan di = b, yaitu di sebelah kiri = b ungsi cekung ke atas dan di sebelah kanan = b ungsi cekung ke bawah atau sebaliknya. = b adalah absis titik belok, jika (b) = 0 atau (b) = 0 tidak ada.

21 (c) (c) c c (c,(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

22 (c) c c (c,(c)) bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena tidak terdeinisi di c

23 Tentukan titik belok (jika ada) dari. ( ) 3 '( ) 6, ''( ) Di = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan (0)= - maka (0,-) merupakan titik belok. ( ) 4 ''( ) Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan

24 3. ( ) 4 ''( ) 8 3 ( ) Walaupun di =, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena ungsi () tidak terdeinisi di =

25 Soal Latihan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Tentukan selang kecekungan dan titik belok ungsi berikut : / 3 ) ( 5.

26 Contoh: Diketahui ( ) 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim ungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan graik () a. Fungsi () monoton naik pada selang (,0), (4, ) monoton turun pada selang (0,) dan (,4). di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Graik cekung keatas pada, ) selang (,), tidak ada titik belok ( 0) ( 4) 6 ( dan cekung kebawah pada c. Asimtot tegak =, asimtot miring y =, tidak ada asimtot datar

27 d. Graik () ' '' 6-4 y=

28 Soal Latihan Gambarkan graik ungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim ungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot () ( )

29 Menghitung it ungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it :. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan () = g() = 0. Jika Maka ( ) g ( ) '( ) g'( ) 0 0 0, 0, 0., '( ) g'( ) L,, atau

30 Contoh: Hitung Jawab: cos 0 bentuk (0/0) cos sin 4 cos Cttn: aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi. Aturan L Hôpital untuk bentuk '( ) Andaikan () = g() =. Jika g'( ) ( ) ' ( ) maka g( ) g' ( ) L,, atau

31 Contoh: Hitung (bentuk ) 3 5 Jawab: Cttn: walaupun syarat dipenuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital Contoh: Hitung ( ) 3 Jawab: 3 3 ( 3) ( ) ( 3) ( ) 3

32 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb: 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( 3

33 3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya, ubah kedalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung Jawab : 0 csc 0 csc 0sin 0 cos 0

34 4. Bentuk - Misalkan ()= g() =. Untuk menghitung [ () - g() ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ ()- g() ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung Jawab : csc 0 cot cos cos csc cot sin sin 0 0 sin 0 sin 0cos 0

35 Soal Latihan Hitung it berikut ( bila ada ). cos 0 tan csc 0 5 cot cos 0

36 Masalah maksimum minimum Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan atau meminimumkan ungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi ungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum

37 Contoh:. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 00 cm agar luasnya maksimum Jawab : Misal panjang y, lebar y Luas= L = y, karena + y = 00 y = 50 - Sehingga Luas = L() = (50-) 50, 0 50 L' ( ) 50 = 5 Karena maka di = 5 terjadi maks lokal. L' '(5) 0 Karena L(0) = 0, L(5) = 65, L(50) = 0 agar luas maks haruslah = 5 dan y = 5

38 . Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, sehingga V() = (45-) (4-) 3 V( ) , 0 V'( ) ( 3 90) ( 8)( 5) Sehingga diperoleh titik stasioner = 8 dan = 5

39 V' '( ) Sehingga V 4 76 ''(8) 56 0 di =8 terjadi min lokal V ''(5) 56 0 di = 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika = 5 dan = 0, = (batas D) V(0) = 0 V()= 0 V(5) =450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 4 cm tinggi 5 cm

40 Soal Latihan. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 00 dan hasil kalinya minimum. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 00 cm dan kelilingnya minimum 3. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8

41 Terima Kasih