DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Transkripsi

1 DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat : a di dalam domain f() ) ( a h) a h Laju sesaat perubahan f() pada a atau limit dari laju rata-rata perubahan fungsi antara a dan a h saat h mendekati 0 adalah : y f ( a h) f( a) lim = lim disebut dengan turunan f() pada a h0 h 0 h f ( h) f ( ) Sehingga turunan fungsi f() pada sembarang titik adalah: lim h0 h Notasi Turunan. Nilai dari turunan adalah fungsi dari yang ditunjukan oleh simbol-simbol: dy d d f ( h) f ( ) D y = = y = y ' = f '( ) = f () = lim : turunan pertama d d d h0 h dy Sedangkan Nilai turunan f() pada titik tertentu a adalah : f '( a) atau a d Subuah fungsi dikatakan diferensiabel (dapat didiferensiasikan) pada a jika turunan fungsi itu ada (terdefinisi) pada titik tersebut. Contoh : Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan dari fungsi f ( ) = Jawab : f '( ) = lim 0 h f ( h) f( ) h = lim 0 h h h. h h = lim 0 ( h) h h( h ) = lim 0 h h h( h ) = = f '( ) = Latihan Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan fungsi berikut :. f ( ) = 5. f ( ), kemudian tentukan nilai turunan f() untuk = -. f ( ) = a 4. f ( ) = - + Tim Guru Matematika SMAN 78

2 5. f ( ) = ( + 5 ) 6. f ( ) = 4 7. f ( ) = 8. f ( ) = 9. f ( ) 0. f () 4, kemudai tentukan juga f '() B. Aturan-aturan dari turunan (rumus- rumus) Jika U dan V adalah fungsi dalam, sedangkan k dan n adalah konstanta, maka dari definisi turunan diperoleh rumus sebagai berikut: dy No y atau f() y' atau f '( ) atau d k (konstanta) 0 k k n ( berpankat n) n 4 k n n n kn 5 U V (penjumlahan / pengurangan fungsi) U' V ' 6 n U (fungsi berpangkat n) nu n. U' U.V (perkalian antara fungsi) U '. V U. V ' U.V.W U V (pembagian antara fungsi) y f (u) dan u g() y f (u) dan u g(v) v h() U '. V. W U. V '. W U. V. W ' U '. V U. V ' V dy dy du. (aturan berantai) d du d dy dy du dv.. d du dv d 0 ( fog)( ) f ( g( )) (komposisi fungsi) f '( g( )). g'( ) Langkah-langkah penyelesaian turunan: Perhatikan Soal apakah soal perlu disederhanakan atau dijabarkan Perhatikan bentuknya : apakah U + V, n U U, U.V,, turunan berantai, atau komposisi V fungsi. Kemudian gunakan rumus yang sesuai dan rumus dasar (- 4) Tim Guru Matematika SMAN 78

3 Contoh : Tentukan turunan pertama atau f () fungsi berikut :. f ( ) ( ). 4 f ( ) Jawab :(soal dijabarkan terlebih dahulu) f ( ) (bentuk U + V) Jawab :(jika dipandang sebagai bentuk f '( ). f '( ) 6 lebih lama diselesaiakan, sehingga soal disederhanakan terlebih dahulu) f () U soal V f ( ) 4 (bentuk U V +W). f ( ) 4 5 Jawab :( bentuk V U soal lebih lama diselesaiakan, sehingga soal disederhanakan terlebih dahulu) 5 f ( ) 4 (bentuk f '( ) n U ) f '( ) 4. f ( ) (4 ) 4 4 Jawab :( bentuk : U.V) U ( 4 ) (bentuk U = V 4 4 (bentuk V = f '( ) n U ) n U ) 5. f ( ) Jawab :( bentuk : V U ) 6. y, u v v u Jawab :( bentuk : turunan berantai), dan U = U =... V = V =... f '( ) 7. Jika g ( ), h ( ) dan f ( ) ( gohog )( ) Jawab :( bentuk : komposisi fungsi ) 8. f ( ) 0, tentukan juga nilai dari f '() Tim Guru Matematika SMAN 78

4 4 9. f ( ) 4 5. Tentukan pula turunan ke dari f() atau f '''( ) 0. f ( ). Tentukan juga rumus turunan ke n Latihan ds Tentukan f '( ) atau y atau sesuai soal di bawah ini dt. f ( ) = - 7. f ( ) = ( 5 ) ( + 7 ). f ( ) = f ( ) = a - a 4 5. f ( ) = ( + 4 ) ( 8 ) 6. f ( ) = ( ) 7. y = ( 5) 8. y = ( 9 4 ) ( ) ( ) 9. y = 0. y =. s= 5 5 t. s = t t. f ( ) = 4. f ( ) = 4 Tim Guru Matematika SMAN 78

5 5. f ( ) = 4 6. f ( ) = s = t 4-5t f ( ) = 9. f ( ) = ( + ) ( 0. f ( ) = ( ) - 7 ) 5. f ( ) = 5 ( - ). f ( ) = ( - ) ( + ). f ( ) = ( ) ( ) ( )( 5) 4. f ( ) = 5. f ( ) = - 6. y = f ( ) = y y 0. y 4 Tim Guru Matematika SMAN 78 5

6 . y. f ( ) y 5 4. y f ( ) 6. f ( ) 7. y 8. 5 y t 9. s 40. y 4t 4 6 Tim Guru Matematika SMAN 78

7 4. f ( ) 6 4 a 4. f ( ) a 4. y. Tentukan pula y '' 44. y 45. u y dan u u y, u v v 46. u, dan v 47. y y y 49. y. Tentykan pula nilai dari dy d 50. f ( ) tentukan. nilai dari f '() Tim Guru Matematika SMAN 78 7

8 C. PENERAPAN TURUNAN. Menentukan gradien garis singgung kurva y f () di titik (,y) A(,f()) y f () h B(+h, f(+h)) f(+h) f() f ( h) f ( ) Gradien garis AB adalah : m, h Jika h mendekati 0, maka titik B berhimpit dengan titik A, sehingga garis AB merupakan garis singgung kurva y f () di titik A(,y). Jadi gradien garis singgung y f () di titik A(,y) adalah lim f ( h) f ( ) m = f '( ) ( A disebut titik singgung) h 0 h Sedangkan untuk menentukan persamaan garis singgung gunakan rumus persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik, y adalah y y m( ). Catatan : dua garis sejajar : gradiennya sama m m Dua garis tegak lurus : m m Contoh :. Tentukan persamaan garis singgung kurva y di titik yang berabsis. Jawab : Untuk menentukan persamaan garis harus dicari titik yang dilewati dan gradiennya. Titik : absis, =, maka y = + =9, titik yang dilalui (,9) Gradien garis singgung m f '( ) = di titik (,9) m =. = Persamaan garis singgung : y 9 ( ) atau y = -5. Tentukan persamaan garis singgung kurva y yang tegak lurus garis y 0 Jawab : Gradien garis y 0 adalah m..., dan gradien garis singgung m =... Titik singgung : m f '( )... = = 0 =... y y =... titik singgung (...,...) Persamaan garis singgung :.... Tentukan persamaan garis singgung kurva y, yang ditarik dari titik (0,) Jawab : (petunjuk : misalkan titik singgungnya (a,b), tentukan nilai a terlebih dulu) 8 Tim Guru Matematika SMAN 78

9 Latihan. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 7 6 6, dititik ( 0, 7 ). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = di titik ( 4, 8 ) 8. Tentukan persamaan garis singgung y = di titik yang berabsis = 4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = ( ) - yang tegak lurus dengan garis y + = 0 5. Tentukan persamaan garis singgung y = di titik ( 0,- ) 6. Tentukan persamaan garis singgung y = di titik ( -, ) 7. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 8 di titik ( 4, 4 ) 8. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = +, di titik (, 6 ) Tim Guru Matematika SMAN 78 9

10 9. Tentukan persamaan garis singgung y = ( a + b ), di tik ( 4, 8 ), sejajar dengan garis y = 0. Tentukan persamaan garis singgung pada y = di titik yang berabsis. Sebuah kurva dengan persamaan y = a + b kurva tersebut melalui titik (, ) dan garis singgung kurva di = adalah 9, tentukan persamaan kurva tersebut. Tentukan persamaan garis singgung gradien y = yang gradient nya =. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 4 di titik potong kurva dengan sb 4. Gradien garis singgung kurva y = tentukan titik singgung nya 4 adalah 5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = ( 4 ) ( 4 ) di titik (, 0 ) 6. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = yang tegak lurus dengan garis singgung kurva y = di titik (, - ) 0 Tim Guru Matematika SMAN 78

11 7. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang sejajar dengan sumbu 8. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 4a, di titik ( a, a ) 9. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = di titik yang berordinat 0. Garis singgung kurva y = + di titik (-, ) dan (, 6 ) berpotongan pada titik yang terletak pada sumbu, tentukan titik potong tersebut. Buktikan persamaan garis singgung pada kurva parabola y = 4p di titik A (, y ) adalah yy = p ( + ). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = + 5 yang sejajar dengan garis + y =. Tentukan persamaan garis singggung kurva y = ( ) ( ) di titik potong dengan dengan sumbu. 4. Persamaan garis singgung kurva y = 4 di titik ( -, 4 ) memotong sumbu di titik P dan memotong sumbu y di titik Q, tentukan panjang garis PQ tersebut. Tim Guru Matematika SMAN 78

12 5.Persamaan garis singgung kurva y ( ) dititik dengan absis = adalah. A. + y + 8 = 0 B. y 8 = 0 C. + y 8 = 0 D. y 8 = 0 E. y 8 = 0 7.Sebuah kurva y a b melalui (,) dan gradient garis singgung kurva di = adalah 9, persamaan kurva tersebut adalah. A. y B. y C. y D. y E. y 9.Persamaan garis singgung pada kurva 7 y di titik yang berabsis adalah 5 A.5 + y 8 = 0 B. 5 y 8 = 0 C. y + 5 = 0 D. + y 0 = 0 E. y + 6 = 0. garis l y = m + n sejajar dengan garis g + 5.jika garis l menyinggung kurva y maka m + n =. A. 4 B. C. D. 4 E. 6. Persamaan garis singgung kurva y (4 ) yang tegak lurus garis +y - = 0 adalah. A. 6y = 0 B. 6y + 4 = 0 C. 6y 4 = 0 D. + 6y + 4 = 0 E. 6 y 4 = 0 6.Garis singgung parabola y 4 dititik (, - ) membentuk sudut dengan sb positip sebesar. 0 A B. 75 C D. 5 0 E f ( ) cos4,garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva f() di = mempunyai gradient. A. B. C. D. E. 4 0.Jika titik potong garis y + = 0 dengan y 5= 0 merupakan titik singgung kurva y 6 dengan garis l, maka gradient garis l adalah A. B. 8 C. 4 D. 6 E. 40.Garis singgung kurva y = cos + sin dititik dengan absis. Gradient garis yang tegak lurus garis singgung kurva tersebut adalah. A. B. C. ( ) D. ( ) E. 4 Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva,dititik yang berabsis y 4 adalah. A y + 5 = 0 B. 6 4y + 5 = 0 C. 6 4y 5 = 0 D. 6 4y + 5 = 0 E y = 0 Tim Guru Matematika SMAN 78

13 . Menentukan interval dimana fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi stasioner Jika f ( ) < f ( ) maka fungsi naik Jika f ( ) > f ( ) maka fungsi turun y f () a b Pada interval : c < a, a < < b, dan > c: fungsi f() naik, perhatikan garis-garis singgungnya miring ke kanan, berarti gradien garis singgungnya positif atau m > 0 atau f '( ) 0 b < <c : fungsi turun, perhatikan garis-garis singgungnya :miring ke kiri, berarti gradien garis singgungnya negatif atau m < 0 atau f '( ) 0 pada titik = a, = b, dan = c : fungsi tidak naik ataupun tidak turun (stasioner). Perhatikan garis singgungnya :sejajar sumbu X atau gradiennya nol atau m = 0 atau f '( ) 0. Di = a, maka f(a) disebut nilai beloh horizontal, sedang titik (a, f(a)) disebut titik belok horisontal Di = b, maka f(b) disebut nilai balik maksimum, sedang titik (b, f(b)) disebut titik balik maksimum Di = c, maka f(c) disebut nilai balik minimum, sedang titik (c, f(c)) disebut titik balik minimum di Ke tiga titik di atas disebut sebagai jenis-jenis nilai stasioner, dan titik stasioner Dari keterangan diatas, kita dapat mengambil kesimpulan tentang fungsi y = f ( ) sebagai berikut :. Untuk menentukan dalam interval mana fungsi f ( ) naik syarat nya : f '( ) 0. Untuk menentukan dalam interval mana fungsi f ( ) turun syarat nya : f '( ) 0. Untuk menentukan nilai stasioner dan titik stasioner, syaratnya : f '( ) 0, sedangkankan jenis stasioner di lihar dari sketsa gariknya Contoh :. Diketahui fungsi f ( ) = 4 9 a. Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik b. Tentukan interval dimana fungsi turun c. tentukan nilai stasioner dan jenisnya d. Tentukan titik stasioner dan jenisnya. Jawab : a. f( ) naik bila f ( ) > > 0 6 ( + ) > 0 6 ( - ) ( + ) > 0 = ½ atau = f `() - Maka f ( ) naik pada interval < - atau > Tim Guru Matematika SMAN 78

14 Latihan ' b. f ( ) turun syarat nya : f ( ) 0 6 ( ) ( + ) < 0 6 ( - ) ( + ) > 0 = ½ atau = f `() - Maka f ( ) turun pada interval - < < c. Nilai stasioner, jika f '( ) 0 6 ( ) ( + ) = 0 = ½ atau = - perhatikan sketsa grafiknya : f `() - / = ½, naka f(/) = 4(/) 9(/ ) (/ ) = -5/4 nilai balik minimum. Sedangkan (/,-5/4) titik balik minimum = -, naka f(-) = 4(-) 9( ) ( ) = 0 nilai balik maksimum. Sedangkan (-,0) titik balik maksimum Soal no sampai dengan 0. Tentukan interval dimana fungsi naik dan fungsi turun. f ( ) = + 9. f ( ) = 5 4. f ( ) = 4. f ( ) = f ( ) = f ( ) = Tim Guru Matematika SMAN 78

15 7. f ( ) = f ( ) = 9. f ( ) = 4-0. f ( ) = Tunjukan fungsi f ( ) = Tidak pernah naik. Tunjukan fungsi f ( ) = Tidak pernah turun. Tunjukan fungsi f ( ) = 8 6 Selalu naik 4. Tunjukan fungsi f ( ) = Selalu turun 5. tunjukan fungsi f ( ) = - 5 selalu turun 6. tentukan batas nilai a, agar fungsi f ( ) = - a 8, selalu turun untuk semua nilai bilangan real Tim Guru Matematika SMAN 78 5

16 Tentukan nilai stasioner, titik stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut 7. f ( ) = 9 8. f ( ) = f ( ) = 0. f( ) = 4 5. f ( ) = 5 4. f ( ) = 4 4. f ( ) = f ( ) = 6 Tim Guru Matematika SMAN 78

17 5. f ( ) = ( 4) 6. f ( ) = ( ) f ( ) = f ( ) = ( 4 ) ( ) 4 9. f ( ) = +, 0 0. f ( ) = 48, 0 Tim Guru Matematika SMAN 78 7

18 . Menggambar grafik polinomial (fungsi pangkat tinggi) Langkah langkah nya adalah sebagai berikut :. Menentukan titik potong kurva dengan sumbu (bila tidak sulit) dan sumbu y. Menentukan titik stasioner dan jenis nya. Titik belok ( dengansyarat f ``() = 0 ) 4. Menentukan titik titik bantu Contoh : Gambarlah sketsa grafik : y Titik potong dengan sumbu y : = 0 y = 5 (0,5). Titik stasioner : y`= ( ) 0 0 y = 5 (0,5) titik belok y`` =0 4 0 ( ) 0 0 y = 5 (0,5) y = 7 (,7) Tititk belok 4 Titik Bantu (pilih disekitar titik stasioner) - 4 y 0 5 Latihan. Gambarlah grafik fungsi y = 4 -. Gambarlah grafik untuk y = Tim Guru Matematika SMAN 78

19 .. Gambarlah grafik dari y = Gambarlah grafi dari y = + 5. Gambarlah grafik dari y 9 6. Gambarlah grafik dari y 4 4 Tim Guru Matematika SMAN 78 9

20 4. Menentukan nilai maksimum dan munimum suatu fungsi y f () pada interval tertutup a b Langkah-langkah :. Tentukan f(a) dan f(b). Tentukan nilai stasioner yang terletak pada interval a b. Tentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari f(a), f(b), dan nilai stasioner Contoh: Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f ( ) 9 pada interval Jawab : f(-) = = 0 f() = = -0 Nilai stasioner : ( )( ) 0 di luar interval f(-) = =7 Jadi Nilai maksimum = 7 Nilai minimum = -0 Latihan 4. Tentukan nilai maksimum dan minimum 4 f ( ) 6 0 pada interval. Tentukan nilai maksimum dan minimum 4 f ( ) 6 0 pada interval. Tentukan nilai maksimum dan minimum f ( ) pada interval Tentukan nilai maksimum dan minimum 5 f ( ) 0 pada interval 0 Tim Guru Matematika SMAN 78

21 5. Menggunakan turunan untuk perhitungan percepatan dan kecepatan Kecepatan rata rata dari gerak benda P dalam dalam waktu antara t dan t + t detik ditentukan dengan s f( t t) f( t ) t t jika t mendekati 0 maka kecepatan pada saat t ditulis sebagai berikut : ds f( t t) f( t) lim dt t 0 t Jadi kecepatan benda yang dilambangkan dengan V pada saat t ( satuan nya m / det )dapat ditulis : V = ds s ( t ) dt Selanjutnya bahwa laju perubahan jarak terhadap waktu disebut kecepatan atau V ( t ) dan laju perubahan kecepatan terhadap waktu disebut percepatan atau a ( t ) pada saat t ( dengan satuan nya m / det )Yang dirumuskan : a = dv V ( t) s ( t) dt Contoh : Panjang lintasan sebuah partikel yang bergerak pada garis lurus dirumuskan dengan persamaan s = t 6t 9t 4 ( s dalam meter dan t dalam detik ) tentukan Jawab : a. Panjang lintasan pada saat t = detik b. Rumus kecepatan V ( dalam variabel t ) c. Rumus percepatan a ( dalam variabel t ) d. Kecepatan benda pada saat t = detik e. Percepatan benda pada saat t = detik f. Pada saat t berapakah benda itu berhenti g. Pada waktu t manakah percepatan benda = 0 Tim Guru Matematika SMAN 78

22 Latihan 5. Sebuah motor bergerak sepanjang garis lurus, jarak yang ditempuhnya dirumuskan dengan persamaan s = t t 4t, hitunglah a. kecepatan rata rata benda dalam interval t = detik sampai dengan t = detik b. kecepatan benda pada saat t = detik c. percepatan benda pada saat t = detik. Sebuah benda meluncur pada suatu bidang miring dengan persamaan gerak s = t 6t, dimana s dalam meter dan t dalam detik tentukan : a. kecepatan benda setelah bergerak detik b. percepatan benda setelah detik. Sebuah benda bergerak sepanjang garis horizontal dengan jarak s = t t t, tentukan percepatan benda pada saat kecepatannya 0 m / det 4. Lintasan benda yang bergerak di rumuskan dengan s ( t ) = t t, tentukan kecepatan benda pada saat percepatannya 0 m / det Tim Guru Matematika SMAN 78

23 6. Menyelesaikan permasalahan tentang maksimum dan minimum. Langkah :. Apabila dari soal tidak ada variabelnya, maka membuat pemisalan =..., dan y =.... Yang di maksimum atau minimum dinyatakan dalam fungsi dengan satu variabel. (dengan memperhatikan hubungan antara variabel-variabelnya antara lain : diketahui, perbandingan dalam kesebangunan, rumus pythagoras, konsep letak titik pada kurva atau yang lainnya). Turunan fungsi = 0. dari persamaan ini diperoleh nilai variabelnya. 4. Jawab pertanyaan yang sesuai. Contoh :. Diketahui dua buah bilangan dan y sehingga berlaku - y = 8. Tentukan dua bilangan tersebut dengan hasil kali tekecil, kemudian tentukan hasil kali terkecilnya.. Dalam sebuah kerucut tegak dengan jari-jari 4 cm dan tingginya 6 cm, akan dibuat tabung yang alasnya berhimpit dengan alas kerucut. Tentukan ukuran tabung yang mempunyai volume terbesar.. Diantara grafik y dan garis y = 5 dibuat persegipanjang yang salah satu sisinya terletak pada garis tersebut. Tentukan luas persegipanjang terbesar! Tim Guru Matematika SMAN 78

24 4. Dalam sebuah bola berjari-jari 8. dibuat kerucut lingkatan tegak yang puncaknya pada bola. Tentukan ukuran kerucut yang volumenya terbesar. Latihan 6. Diketahui jumlah dua bilangan positip adalah 4, Tentukan hasil kali maimumnya. Suatu persegi panjang mempunyai keliling 00 cm, maka luas terbesar dapat terjadi. Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm,dan panjang 8 dm,pada keempat pojok karton dipotong persegi dengan sisinya cm,dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maimum. 4. Diketahui sebuah kotak tanpa tutup,alasnya persegi.luas permukaan kotak 9cm.Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum 4 Tim Guru Matematika SMAN 78

25 5. Jumlah dua bilangan positipf adalah 0, Tentukan jumlah kuadrat minimum bilangan bilangan itu 6. Suatu kaleng berbentuk silinder tanpa tutup,jika volumenya 0 cm, Tentukan ukuran kaleng tersebut agar luas permukaannya minimum 7. Dari selembar seng dengan luas 400 cm,akan dibuat sebuah kaleng berbentuk silinder dengan tutup, Tentukan jari-jari alas silinder agar isinya maimum 8. ABCD adalah persegi dengan sisi 6 cm, E pada AB sehingga BE = cm dan F pada BC sehingga BF = cm. Tentukan luas maksimum DEF 9. Suatu kebun berbentuk persegi panjang,salah satu sisinya berbatasan dengan sungai, keliling kebun tersebut akan dipagari dengan kawat sepanjang 48 meter.jika sisi yang berbatasan dengan sungai tidak dipagari, Tentukan luas maimum kebun tersebut 0. Perusahaan mobil memproduksi unit mobil perhari.biaya produksi dinyatakan dengan fungsi P ( ) 0 50 juta rupiah.sedang harga jual per satu unit mobil adalah 50 dalam jutaan rupiah. Tentukan keuntungan maksimum perusahaan tersebut perhari. Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam. Bila produksi radio perhari adalah ( 0,5 Tim Guru Matematika SMAN 78 5

26 hari,maka biaya proyek per hari menjadi 00 ( 40) ribu rupiah, Tentukan biaya proyek minimum ), sedang harga jual persatuan memenuhi fungsi ( 50 0,5 ). Tentukan besar produksi agar keuntungan maksimum akan diperoleh setiap hari. Panjang suatu balok adalah dua kali lebarnya, jika luas permukaanya 00 cm. Tentukan volume maksimum nya 4. Dalam sebuah bola padat yang berjari-jari cm dibuat kerucut tegak,, Tentukan volume maksimum kerucut yang terjadi 5. Sebuah kerucut tegak dengan jari-jari alasnya 6 cm,tingginya 9 cm,didalam kerucut dibuat tabung, alas dan titik pusat tabung berimpit dengan alas dan titik pusat kerucut Tenrukan volume maksimum dari tabung tesebut 6. Sebuah pintu berbentuk seperti gambar di bawah ini atasnya setengah lingkaran, jika keliling pintu = p. agar luas pintu maksimum Tentukan lebar pintu. 6 Tim Guru Matematika SMAN 78

27 7. Sebuah trapesium sama kaki seperti pada gambar. Tentukan besar sudut agar luasnya maksimum a a a 8. Selembar seng yang lebarnya 40 cm. akan dibuat talang air, dengan melipat bagianbagian tepinya dengan tinggi yang sama. Tentukan tinggi talang air, sehingga dapat menampung air paling banyak. 9. A P(,) O B Perhatikan gambar di atas. Tentukan gradien garis AB agar luas segitiga AOB maksimum. 0. Sebuah karton berbentuk segitiga sama sisi yang panjangnya 6 cm, akan dibuat prisma segitiga beraturan tanpa tutup dengan memotong pojokpojoknya. Agar memperoleh prisma yang mempunyai volume terbesar, Tentukan tinggi prisma. Sebuah kawat panjangnya 4 cm dipotong menjadi bagian. Bagian pertama dibuat lingkaran dan yang ke dua dibuat persegi. Tentukan panjang masing-masing potongan kawat agar jumlah luas lingkaran dan persegi paling kecil.. Perhatikan gambar berikut: A 64 7 B Garis AB menyentuh kotak yang lebaarnya 7 cm dan panjangnya 64 cm. Tentukan nilai sin agar panjang AB minimum Tim Guru Matematika SMAN 78 7

28 7. Menggunakan turunan untuk perhitungan limit fungsi mendekati a dari bentuk tak tentu (Aturan L ' Hospital) f( ) f ( ) Jika f ( a) = 0 dan g ( a ) = 0, Maka lim = lim a g ( ) a g ( ) Contoh Tentukan nilai dari lim Jawab : lim = 0 ( bentuk tak tentu ):, maka 0 lim = lim 6 = 6. = Latihan 7 Tentukan nilai dari :. lim 4 = 4 4. sin lim 0 tan sin =. lim = 5. lim cos 0 =. lim a a a = 6. lim cos 90 0 cos = 7. ( h) lim h0 h =. lim 6 7 = 8 Tim Guru Matematika SMAN 78

29 8. lim =. lim.sin 0 cos = 9. lim = 4. 4 ( h) lim h0 8h 4 = 0. lim 4 = 5. lim 0 tan = tan. lim 5 = lim = 7 7 Tim Guru Matematika SMAN 78 9