Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Turunan Fungsi dan Aplikasinya"

Transkripsi

1 Bab 8 Sumber: Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu ungsi dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim ungsi, menyelesaikan modelnya, dan menasirkan hasil yang diperoleh. Pembahasan limit ungsi yang telah Anda pelajari di Bab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan ungsi karena dengan mengetahui turunan ungsi, Anda dapat mempelajari siat-siat ungsi. Siat-siat ungsi tersebut misalnya, kemonotonan ungsi, ekstrim ungsi, kecukupan ungsi, dan titik balik ungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan ungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat menggunakan turunan ungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q v 0 liter. Dengan 45 memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun. A. Konsep Turunan B. Menentukan Turunan Fungsi C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun E. Maksimum dan Minimum Fungsi F. Turunan Kedua G. Nilai Stasioner H. Menggambar Graik Fungsi Aljabar 9

2 Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. Limit menghasilkan teori Turunan menyelesaikan masalah ( ) lim 0 a g ( ) 0 menentukan Aplikasi menentukan menentukan menentukan rumus ' lim lim a g a g' ' ' '' lim lim a g' ' a g'' Laju Perubahan Fungsi Gradien Interval Fungsi Naik/ Turun Titik Balik Maks./Min. dan Titik Belok Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Sebuah garis melalui titik (, 5) dan (7, ). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.. sin (α ± β) =.... cos (α + β) = tan (α + β) = cos α = () = +, tentukan ( + ) dan (a + b). 7. = Tentukan gradien garis singgung kurva di titik 94 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

3 A. Konsep Turunan Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.. Garis Singgung Amati Gambar 8.. Misalkan A adalah suatu titik tetap pada graik y = (( ) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang graik y = (( ). Misalkan, titik A berkoordinat (a, (a)) maka titik B berkoordinat (a + Δ, (a + Δ)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan) a a. Garis ini memotong graik di dua titik A dan B yang berbeda. Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = () mendekati titik A maka nilai Δ semakin kecil. Jika nilai Δ mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-) adalah garis yang melalui A(a, (a)) dengan gradien y (a) O Gambar 8. y (a + ) y = () B(a +, (a + )) A(a, (a)) a a + m AB lim 0 a a...() Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-? Contoh 8. Tentukan gradien garis singgung pada kurva a. () = di titik dengan absis b. () = di titik dengan absis a. m lim l im lim lim Jadi, gradien garis singgung kurva () = di titik dengan absis = adalah m = 4. (a + ) (a) A(a, (a)) O a a + Gambar 8. y = () B(a +, (a + )) Turunan Fungsi dan Aplikasinya 95

4 b. m lim lim 0 0 lim lim 0 lim 0 lim Jadi, gradien garis singgung kurva () = di titik dengan absis = adalah m = 7. Tabel 8. Selang Waktu 0 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999,000,00,0,5 5, , , , , , ,005 50,050 50,500 57, ,0000. Kecepatan Sesaat Misalkan, ungsi () = menyatakan jarak (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah jam perjalanan selama selang waktu 0. Kecepatan rata- rata mobil itu selama perjalanannya adalah km/jam Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.. Amati tabel tersebut. Nilai mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil (Δ mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan (sesaat) pada =. Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai mendekat ke- atau Δ dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada = ditulis lim lim lim 50 0 Jadi, kecepatan mobil pada saat = adalah 50 km/jam. 96 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

5 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di = a? Cobalah nyatakan dengan katakata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan deinisi kecepatan sesaat v di = a, yaitu v a a lim v lim 0 rata-rata 0...() Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus () dan (). Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 8. Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti ungsi () = Berapakah kecepatan rata-ratanya? Contoh 8. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah detik memenuhi persamaan () = 6 +, dengan () dinyatakan dalam meter. a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu. b. Berapa kecepatan sesaat benda pada = detik? a Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 9 m/s. b. lim lim lim 0 lim Jadi, kecepatan pada saat = atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 97

6 . Turunan Fungsi di = a Jika ungsi y = () terdeinisi di sekitar = a maka y lim lim. 0 0 y Jika lim ada maka nilainya disebut turunan ungsi (( ) 0 di = a. Turunan ungsi ialah suatu ungsi juga, yaitu ungsi turunan yang dilambangkan dengan ( ). Untuk menyatakan turunan di = a dinyatakan dengan (a). Jadi, a a lim 0 a atau a lim 0 a a Contoh 8. Tantangan untuk Anda Coba Anda tunjukkan lim cos 0. 0 Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika () =, tentukan '(5). a a ' a lim 0 5 ' lim 0 lim 0 0 lim li Contoh 8.4 Tentukanlah () ungsi-ungsi berikut ini. a. () = + b. () = cos a. ' lim 0 lim 0 li 0 98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7 b. cos ' lim cos c os 0 cos lim 0 lim cos cos lim sin sin 0 0 cos cos lim sin lim sin 0 0 cos 0sin sin Tokoh Matematika Contoh 8.5 Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm. Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = l = l dan luas = L = p l = l.l = l. Jadi, L = (l) = l. Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L (5). L5 h L5 5 h, 5 L ' 5 lim lim 0 h 0 h 5 0hhh 75 0h h lim lim 0 h 0 h li h Mengenal Notasi Leibnitz Anda telah mempelajari bahwa turunan ungsi () dinotasikan dengan '(). Nilai Δ menyatakan perubahan nilai, yaitu Δ =. Adapun perubahan ( + Δ) () menyatakan perubahan nilai ungsi () dinotasikan dengan Δ. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan menjadi lim. 0 Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan ungsi, yaitu d. Diketahui ungsi d y = ()...() Gottried Wilhelm Leibnitz (646 76) Gottried Wilhelm Leibnitz adalah orang jenius. Ia ahli dalam bidang hukum, agama, politik, sejarah, ilsaat, dan matematika. Bersama Newton merumuskan pengertian dasar tentang kalkulus dierensial. Leibnitz pun dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung. Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid, 990 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 99

8 sehingga turunan ungsi () dapat dituliskan menjadi dy d = y ' = '() Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottried Wilhelm Leibnitz (646 76) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz. Misalkan () =, tentukanlah d a. d b. nilai sehingga a. b. d d Contoh 8.6 d d = lim lim 0 0 lim li 00 0 d d = maka = = ±. Jadi, nilai yang memenuhi d d = adalah = ±. Contoh 8.7 Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = (t) = t t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 5. Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah ds d t tt lim dt dt t 0 tt ttt lim t 0 t t lim t t t t t t t 0 t tt tt t tt lim lim t 0 t t t t t 0 00 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

9 Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 6, diperoleh d d = t t 5 = t t t t = 8 t = 9 Jadi, laju perubahan sama dengan 5 terjadi pada saat t = 9 sekon. Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika (( ) = +, tentukan '( ). b. Jika (( ) = + 6, tentukan '( ). c. Jika (( ) =, tentukan '( ). d. Jika (( ) =, tentukan '( ).. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal-soal berikut. a. Jika ( ) = 4, tentukan '( ). b. Jika (( ) = 6, tentukan '(). c. Jika (( ) =, tentukan '(5). d. Jika (( ) =, tentukan '().. Dengan menggunakan konsep limit, tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut ini. a. (( ) = 5 di titik dengan absis = b. () = + 5 di titik dengan absis = c. (( ) = di titik dengan absis = d. di titik dengan absis = 4 4. Dengan menggunakan konsep limit, hitung nilai d dari ungsi berikut untuk yang d diberikan. a. () = di = b. () = 5 di = 4 c. () = + di d. () = cos di = Gunakan konsep limit untuk soal-soal berikut. 5. Sebuah benda bergerak, kedudukannya setelah t sekon memenuhi persamaan S (t) = t +4t. a. Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = sekon dan t = 5 sekon? b. Berapa kecepatan sesaat pada waktu t = sekon? 6. Sebuah perusahaan mendapatkan keuntungan setelah t tahun sebesar t 5.000t. a. Berapa besar keuntungan antara t = tahun dan t = 4 tahun? b. Berapa laju keuntungan sesaat pada t = tahun? 7. Gunakan rumus turunan untuk mencari turunan ungsi-ungsi berikut. a. () = 6 +4 d. () = sin b. () = a + b e. () = cos c. () = +. () = tan Turunan Fungsi dan Aplikasinya 0

10 B. Menentukan Turunan Fungsi Proses mendapatkan turunan suatu ungsi secara langsung yang menggunakan deinisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu. Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.. Menentukan Turunan Fungsi (( ) = a n Misalkan, ungsi () = a n dengan n =,, dan. Untuk n =, diperoleh () = a dan turunan ungsi tersebut adalah ' lim 0 a a a a a a lim lim lim = a...() Untuk n =, diperoleh ( ) = a dan turunan ungsi tersebut adalah ' ( ) = lim 0 a a = lim 0 a a = lim 0 = lim a 0 = a Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan ungsi () = a, () = a 4 dan () = a 5. Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk ungsi-ungsi berikut. (( ) = a 6, ( ) = 6a 5 (( ) = a 5, ( ) = 5a 4 (( ) = a n, ( ) = na n 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

11 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, (( ) = a n, dengan n bilangan asli maka '( ) = na n. Untuk n = 0, () = a n menjadi () = a 0 = a. Fungsi () = a dinamakan ungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai, nilai ungsinya tetap, yaitu a. Turunan ungsi konstan adalah lim 0 a a lim lim 0 0 lim sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut. Misalkan, (( ) = a n dengan n bilangan bulat makaa '( ) = an n untuk (( ) = a, '( ) = 0 dengan a sebarang bilangan real. Contoh 8.8 Tentukanlah turunan ungsi-ungsi berikut ini. a. () = 4 b. () = 8 a. () = 4 maka '() = 4 4 =4 b. () = 8 maka ' () = 8() = 4 Tantangan untuk Anda Rumus ini juga berlaku untuk n = a a Tunjukkanlah dengan cara limit. Tentukan d untuk ungsi-ungsi berikut. d a. 4 b. g Contoh d a. 4 5 d dg b. g maka g ' 8 d Turunan Fungsi dan Aplikasinya 0

12 . Menentukan Turunan Fungsi (( ) = a n dengan n Bilangan Rasional Misalkan, () =, turunan ungsi () adalah Contoh 8.0 Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia tahun sampai tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 0 cm. Tentukanlah laju pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut. Jelaskan. Tinggi badan anak tersebut pada usia tahun sampai tahun tetap. Oleh karena itu, T(t) = 0 adalah ungsi konstan sehingga T (t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia tahun sampai tahun tidak mengalami perubahan. lim 0 lim 0 lim lim 0 0 lim 0 Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan ungsi () = / dan () = /5. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi () = a n? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan ungsi () = a n yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, () = a n, dengan n bilangan rasional maka turunannya adalah '() = na n. Contoh 8. Tentukan turunan ungsi-ungsi berikut. a. 4 b. c. 04 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

13 4 4 a. 4 k ' b. maka c. 5 5 k ' 5. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v Diketahui, ungsi y = (( ) dengan (( ) = u(( ) + v(( ), dalam hal ini u() dan v() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real. Dengan demikian, a a a a lim 0 ua va u v ' a lim a a 0 u u v lim 0 ua lim u 0 lim v v 0 u ' v ' a Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan ungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan ungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut. Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y'=u' + v' Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk y = u v maka y' = u' v'. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 05

14 Contoh 8. Pe embahasan Soal Diketahui (( ) = 5 + g(( ) = + Jika h(( ) = (( ) g( ) maka h ( ) adalah... h(( )= (( ) g( ) = 5 + ( + ) = + 8 h (( ) = Soal UMPTN 997 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = c. () = sin + cos b. () = + a. () = maka '() = 6 b. () = + = + maka '() = = c. '() = cos sin 4. Turunan Fungsi y = c. u Diketahui, ungsi y = () dengan () = c. u(), dalam hal ini c konstanta dan u() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real sehingga a a ' a lim 0 c ua c u lim 0 c lim u u cu ' 0 Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = (a) = c. u(a) berlaku '(a) = c. u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c. u'. Contoh 8. Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = b. () = 8 c. () = cos d. () = 5 a. () = maka '() = 6 b. () = 8 = 8 maka '() = 8 = 8 c. () = cos maka () = sin 06 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

15 d. () = 5 6 = 5 5 maka ' = Turunan Fungsi y = uv Diketahui, ungsi y = () dengan () = u() v(), dengan u() dan v() adalah ungsi yang dapat diturunkan di = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu a a ua va ua va ' a lim lim 0 0 ua va lim ua va u v u v a a a a 0 a lim u vaua ua 0 v v u u li ua a a a a lim va 0 0 ua v ' a v a u ' a Oleh karena itu, jika y = () = u() v() dengan a bilangan real sebarang berlaku '(a) = u(a) v'(a) + v(a) u'(a). Untuk y = u v, maka y' = uv'+vu'. Contoh 8.4 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = (5 ) ( ) b. () = cos sin a. () = (5 ) ( ) Misalkan, u = 5 maka u' = 0 dan v = maka v' = sehingga '( ) = u ( ). v' ( ) + v ( ) u' ( ) = (5 ). + ( ). 0 = = 45 0 b. ( ) = sin cos Misalkan, u si n k u ' cos dan v cos k v' sin sehingga '()= u (). v' () + v (). u' () = sin ( sin ) + cos. cos = cos sin = cos ( cos ) = cos = cos Pe embahasan Soal Turunan dari y = ( ) ( + ) adalah... Misalkan, u = ( ) maka u = ( )( ) = ( ). Misalkan, v = ( + ) v = y = uv y = u v + uv = ( )( + ) + ( ) () = ( )[( ) + ( )] = ( )( ) = ( )( )( + ) = ( )( + ). Soal UMPTN 999 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 07

16 6. Turunan Fungsi y = u n Diketahui y = (u) dengan (u) = u n dan u = g(). Jika ungsi u = g() dapat diturunkan di = a, untuk a bilangan real maka g g g'(a) = lim 0 Oleh karena a bilangan real sebarang maka g g u g'() = lim g'() = lim 0 0 Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh y '(u) = lim? u 0 u Untuk Δ mendekati nol maka Δ u mendekati nol sehingga yy u u lim dan g ' lim u 0 u u 0 y lim u 0 u lim g ' u 0 y u lim u 0 u ug ' yy lim ug ' u 0 y' u ' Contoh 8.5 Tentukan turunan ungsi berikut. a. (( ) = ( + ) 9 c. (( ) = b. (( ) = (5 + ) + sin cos. a. (( ) = ( + ) 9 Misalkan, u = + maka u (( ) = 6 sehingga ( ) = u 9 ( ) = 9u 8. u (( ) = 9( + ) 8. 6 = 54 ( + ) 8 b. (( ) = (5 + ) + = ( u) = u n, '(u) = nu n sehingga y'() = nu n u'(). Untuk y = u n maka y' = nu n u'(). 5 '( ) = (5 + ) + = 6(5 + ) + c. sin cos cos 9 sin cos sin cos 08 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

17 7. Aturan Rantai Perhatikan kembali uraian materi tentang ungsi y = u n. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = (u) = u n dengan u = g() maka turunannya y' = nu n u'(). Hasil tersebut menggambarkan aturan rantai. Misalkan, y = (u) dan u = g(). ( o g)() = {g{ ()} = (u) = y Jika ungsi g mempunyai turunan di dan ungsi mempunyai turunan di u, turunan ungsi komposisi y = {g{ ()} = o g() ditentukan sebagai berikut. ( o g)'() = '(g ()). g'() atau dy dy d du du d. Contoh 8.6 Tentukan turunan ungsi y = 6. Misalkan, u = maka y = u 6. du d dy 5 6u du dy dy du d du d 5 6u Turunan Fungsi y = Diketahui, ungsi y = () dengan () = u, dalam hal v ini u() dan v() ungsi yang dapat diturunkan di = a untuk a bilangan real maka u v Turunan Fungsi dan Aplikasinya 09

18 Situs Matematika Anda dapat mengetahui inormasi lain tentang Fungsi dan Turunannya melalui internet dengan mengunjungi situs berikut. u u v v '(a)= lim lim 0 0 v u u v = lim 0 v v v u v u u u va = lim 0 v v u v = lim = 0 u v a va u vava u u v lim v lim lim u a lim lim v v 0 v = u ' a v a ua v' a u' a v u a a v ' a va va va Oleh karena itu, jika y = ( ( ) = u dengan a sebarang bilangan v real sehingga berlaku '(a) = u ' a v a u a v' a va maka '() = u ' v u v'. v Untuk y = u uv ', berlaku y' = uv' v v. Contoh 8.7 Tentukan turunan ungsi berikut. a. () = cosec b. () = tan a. () = cosec = sin Misalkan u = maka u' = 0 dan v = sin maka v' = cos. ()= u uv ' uv' sehingga '() = v v = 0 i cos cos cot sin sin cosec si n 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

19 sin b. ( ( ) = tan = cos Misalkan u = sin maka u' = cos dan v = cos maka v' = sin. cos cos sin sin cos sin '( ) = cos cos cos = sec. Contoh 8.8 Tentukan turunan ungsi berikut. a. (( ) = b. (( ) = a. Misalkan, u = maka u' = dan v = + maka v' =. (( ) = u v sehingga '( ) = u ' v u v' v = 4 b. (( ) = Misalkan, u = ( ) ( + ) maka u = ( ) ( + ) + ( ) () v = maka v = 44. (( ) = u sehingga '( v ) = u 'v u v v = = = = = Pe embahasan Soal Jika ( ( ) = 4, maka turunan ( ) adalah... ( ( ) = 4 y 4 maka = ( ) = d 4y y 4 4 d 4 Soal UMPTN 997 Turunan Fungsi dan Aplikasinya

20 Contoh 8.9 Tes Kompetensi Subbab B Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 0 m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) = 0t t 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter. a. Carilah kecepatan peluru pada saat,5 detik. b. Kapan peluru berhenti? Diketahui: Kecepatan awal peluru = 0 m/detik. Kedudukan peluru padaa t detik = h(t) = 0t t 6t². Ditanyakan: a. Kecepatan peluru pada saat,5 detik. b. Kapan peluru berhenti. Pengerjaan: a. Dalam isika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu sehingga v(t) = h'(t) = 0 t. Jadi, kecepatan peluru pada saat t =,5 adalah v(,5) = 0 (,5) = m/detik. b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0 0 t t = 0 t =,5. Jadi, peluru berhenti pada saat,5 detik. Kerjakanlah pada buku latihan Anda. Tentukan turunan ungsi-ungsi berikut.. (( ) = (( ) =. (( ) = (( ) = (( ) = 4 6. (( ) = 5 7. (( ) = ( )( + ) 8. (( ) = 4 ( 5) 9. (( ) = ( + 5)( ) 0. (( ) = ( )( ). (( ) = 8. (( ) = 8 5. (( ) = sin ( + ) 4. (( ) = 5 sin( ) 5. (( ) = sin 6. (( ) = 4 cos( 6 ) 7. (( ) = tan (5 + ) 8. (( ) = tan ( 5) 9. (( ) = cot(5 ) 0. Luas permukaan kubus berusuk cm ditunjukkan oleh ungsi L(( ) = 6. Tentukan laju perubahan luas (L) terhadap untuk = 7 cm dengan cara menghitung L (7). Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

21 . Panjang dan lebar sebuah persegipanjang adalah + dan. Carilah laju perubahan luas terhadap untuk lebar 6 cm.. Sebuah perusahaan memproduksi sejumlah barang () dengan biayaa p( ) = + 5. Jika biaya total marginal dideinisikan sebagai dp, tentukan biaya total marginal d untuk memproduksi barang itu. Berapa biaya total untuk memproduksi 0 barang?. Pendapatan koperasi "Maju" dalam tahun, mulai Januari 004 adalah P(( ) = 0, 4 dengan P dalam jutaan rupiah. a. Tentukan laju perubahan sesaat P pada Januari 006. b. Tentukan laju perubahan sesaat P pada Januari a. Misalkan pertumbuhan bakteri pada waktu t memenuhi persamaan N(t) = tt t. Tentukan laju pertumbuhan bakteri tersebut. b. Populasi penduduk pada suatu daerah memenuhi persamaan N = Tentukan dn dt t.. t C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = () di titik A(a, (a)) adalah '(a) = lim 0 Persamaan garis lurus yang melalui titik P((, y ) dengan gradien m adalah y y = m( ) Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, (a)) pada kurva adalah y (a) = '(a) ( a) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a. () = di titik (, 4) b. y = di titik yang memiliki absis = dan =. Contoh 8.0 a. Persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, 4) adalah y 4= '( ) ( ( )). () = maka '() = sehingga '( ) = ( ) = 4 Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, 4) adalah y 4 = 4 ( + ) y = 4 4. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

22 Pe embahasan Soal Kurva y = ( + ) memotong sumbu-y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di A adalah... A adalah titik potong kurva y = ( + ) terhadap sumbu-y. absis A = 0 y A = (0 + ) = 4 m = dy d = ()( ( + ) m A = (0)(0 +) = 0 Persamaan garis singgung y y A = m A ( A ) y 4 = 0 y =4 Soal UMPTN 00 b. Untuk absis =. Persamaan garis singgung pada kurva () = adalah y () = '() ( ) () dan '() ditentukan sebagai berikut: () = maka () = =. '() = sehingga '() =. = Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (, ) adalah y = ( ) y =. Untuk absis =. Persamaan garis singgung pada kurva () = adalah y () = '() ( ) () dan '() ditentukan sebagai berikut: () = maka () = = 8. '() = sehingga '() =. = Jadi, persamaan garis singgung pada kurva () = di titik (,8) adalah y 8 = ( ) y = 6. Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut. Contoh 8. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut. a. y = (( ) di titik (, 4) jika '( ) = + 6 b. y = ( ( ) dengan n ( ) = yang tegak lurus terhadap garis y = 4. a. Persamaan garis singgung pada kurva y = ( ) di titik (, 4), menurut rumus adalah y () = '() ( ). Diketahui () = 4 dan '( ) = + 6 maka '() = = 9. Jadi, persamaan garis singgung di titik (, 4) adalah y 4 = 9 ( ) y = 9 5. b. Jika g: y = m + n adalah garis singgung pada kurva y = dan tegak lurus terhadap garis h: y = maka ( 4 m 4 ) = m = 4. Persamaan garis singgung pada kurva y = adalah y (( ) = '( ) ( ) dengan absis titik singgung pada kurva y =. Selanjutnya, nilai ditentukan sebagai berikut. '( ) = 6 maka a '( ) = 6. 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

23 Diketahui '( ) = 4 sehingga 6 = 4 = 4 = ±. Untuk =, diperoleh ( ) =. = 6. Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = 4 adalah y 6 = 4 ( ) y = 4. Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk =. Tes Kompetensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihanmu.. Tentukan persamaan garis singgung kurvakurva berikut. a. () = di titik (,4) b. () = di titik (, ) c. () = + di titik (, 0) d. () = 7 di =4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = () pada titik yang diketahui jika gradien garis singgungnya diberikan oleh persamaan berikut. a. '() = 4 4 di (, ) b. '( ) = 6 di (0,0) c. '( ) = di (,) d. '( ) = di (, ). a. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang sejajar garis y =. b. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = yang tegak lurus y = +. c. Tentukan koordinat pada kurva y= + 0 agar garis singgung kurva di titik itu mempunyai gradien 7. d. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = di titik potong kurva itu dengan sumbu-. 4. Garis y = + memotong parabola y = + + di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. 5. Garis singgung kurva y = di titik 4 (,) memotong sumbu- di titik A dan memotong sumbu-y di titik B. Tunjukkan bahwa koordinat titik A dan B adalah A(,0) dan B(0, ). D. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan lintasannya digambarkan sebagai kurva dari ungsi y = (), seperti pada Gambar 8.5. Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan disebut naik dalam daerah D = { a b} sebab semakin besar nilai menyebabkan nilai ungsi semakin bertambah besar. Fungsi disebut turun dalam daerah D = { b c} sebab semakin besar nilai menyebabkan nilai ungsi semakin kecil. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu ungsi disebut monoton naik dan suatu ungsi disebut monoton turun? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. y B A C O a b c Gambar 8.5 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 5

24 turun Gambar 8.6 y A O P y naik B P D C P a b c Gambar 8.7 y A P B g P D C P g g O a b c Gambar 8.8 Deinisi 8. Misalkan terdeinisi pada selang I. Kita katakan bahwa: monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan (a) < (b); monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menyebabkan (a) > (b). Sekarang amati Gambar 8.7. Titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (0, a), titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (a, b) dan titik P adalah titik sebarang pada graik yang terletak pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung di P, P, dan P yang diberi nama g, g, dan g seperti pada Gambar 8.8 maka garis singgung g memiliki gradien positi (condong ke kanan), garis singgung g memiliki gradien negati (condong ke kiri), dan garis singgung g memiliki gradien positi (condong ke kanan). Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g memiliki gradien positi, g memiliki gradien negati, dan g memiliki gradien positi. Gradien garis singgung di suatu titik pada graik dapat ditentukan dengan turunan ungsi. Untuk ungsi naik dan ungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, ungsi dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b). Jika '() > 0 untuk setiap dalam selang (a, b) maka ungsi naik pada selang (a, b). Jika '() < 0 untuk setiap dalam selang (a, b) maka ungsi turun pada selang ( a, b). Contoh 8. Periksa naik atau turunnya ungsi-ungsi berikut.. () = pada selang (0,). () = 0 pada selang (0,0). () = maka '() =. Misalkan, p anggota (0, ) sehingga 0 < p <. '(p) = p < 0 untuk p > 0 sehingga () = pada selang (0, ) merupakan ungsi turun.. () = 0 maka '() = 0. Misalkan, p anggota (0, 0) sehingga 0 < p < 0. '(p) = 0 p > 0 untuk p < 5 dan '(p) = 0 p < 0 untuk p > 5. Dengan demikian, () = 0 pada selang (0, 0) merupakan ungsi naik dan ungsi turun. 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

25 Contoh 8. Periksa naik atau turunnya ungsi () = cos pada selang-selang berikut. a. 0, b., () = cos maka '() = sin. a. () = cos pada selang 0, Misalkan, p adalah anggota 0, sehingga 0 < p <. '(p) = sin p < 0 untuk 0 < p < sehingga () = cos pada selang 0, merupakan ungsi turun. b. () = cos pada selang,. Misalkan, p anggota, sehingga π < p < π. '(p) = sin p > 0 untuk π < p < sehingga () = cos pada selang, merupakan ungsi naik. Contoh 8.4 Tentukan pada interval (0, π) di mana tempat ungsi () = cos ( + π) merupakan ungsi naik atau ungsi turun. () = cos ( + π), maka '() = sin ( + π). Agar ungsi () = cos ( + π) merupakan ungsi naik maka '() > 0 sehingga sin ( + π) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: sin ( + π) = 0 sin ( + π) = sin 0 + π = 0 ± k π, k bilangan bulat = π ± k π Oleh karena (0, π) maka nilai yang memenuhi adalah = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut. 0 π π Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan sin ( + π) > 0 adalah 0 < < π. Turunan Fungsi dan Aplikasinya 7

26 y π π Gambar 8.9 Jadi, () = cos ( + π) merupakan ungsi naik pada interval 0 < < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. Fungsi () = cos( + π) merupakan ungsi turun, jika '() < 0 sehingga '() = sin ( + π) < 0. Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan sin( + π) < 0 adalah π < <. Jadi, () = cos ( + π) merupakan ungsi turun pada interval π < < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9. Tes Kompetensi Subbab D Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Periksalah, apakah ungsi-ungsi berikut pada selang [0,],[.],[,0] merupakan ungsi naik atau ungsi turun. a. (( ) = + 9 b. (( ) = 6 + c. (( ) = d. (( ) = + e. (( ) = (( ) = Periksalah, apakah ungsi-ungsi (( ) pada selang [0, ], [, π],[π, ], [, π] merupakan ungsi naik atau ungsi turun. a. (( ) = sin b. (( ) = cos( ) c. (( ) = sin ( + ) d. (( ) = sin ( π) e. (( ) = cos ( + π). (( ) = cos. Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real, ungsi ( ) = selalu turun. 4. Jika ( ) merupakan ungsi naik pada suatu interval I, tunjukkan bahwa a. (( ) + c dengan c konstanta juga naik; b. ( ) merupakan ungsi turun. 5. Konsentrasi K(t), suatu obat dalam darah pasien memenuhi persamaan t K 06,, 0 t 4 t 4 t 4 dengan t menunjukkan waktu (dalam jam) setelah pemberian obat. Tentukan interval di mana konsentrasi obat naik, dan interval di mana konsentrasi obat turun. E. Maksimum dan Minimum Fungsi Anda telah mempelajari ungsi kuadrat dan graiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari ungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim ungsiungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis ungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu. Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

27 Gambar 8.0 memperlihatkan graik y = () =. Anda mungkin memahami bahwa ungsi y = () = mempunyai nilai minimum pada = 0 sebab () = (0) = 0 =. Turunan ungsi () = adalah '() =. Anda dapat memeriksa bahwa a '( ) < 0 untuk < 0 dan '( ) > 0 untuk > 0 serta '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () turun untuk < 0 dan ( ) naik untuk > 0. Bagaimana dengan ungsi di = 0, apakah naik atau turun? Fungsi () di = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner. Deinisi 8. Jika ungsi mencapai titik ekstrim pada ( a, (a)) dan terdierensialkan pada titik itu maka titik (a, (a)) merupakan titik stasioner atau '() = 0. y y = '( ) < 0 O '( ) > 0 '(0) = 0 Gambar 8.0 y Jika Anda amati graik y = () =, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari turun menjadi naik. Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik = 0 ungsi bernilai minimum, yaitu () = (0) =. Sekarang, selidiki graik y = (( ) = pada Gambar 8.. Mudah diselidiki bahwa ungsi y = () = mempunyai nilai maksimum pada = 0 sebab (0) = 0 =. Turunan ungsi () = adalah '() =. Anda dapat menyelidiki bahwa '() > 0 untuk < 0 dan '() < 0 untuk > 0 serta '(0) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () naik untuk < 0, () turun untuk > 0, dan = 0 adalah titik stasioner. Jika Anda amati graik y = () =, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar = 0 dari naik menjadi turun. Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik = 0 ungsi bernilai maksimum, yaitu () = (0) =. Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum dengan memeriksa ungsi () = dan () =. Kedua graik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.. Turunan pertama ungsi () = adalah '() =. Anda dapat memeriksa bahwa '( ) > 0 untuk 0 dan '( ) = 0 pada = 0. Oleh karena itu, () naik untuk < 0 atau > 0 dan = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik '( ) > 0 '( ) > 0 O '(0) = 0 '( ) < 0 y = Gambar 8. y (a) y = '( ) > 0 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 9

28 y '() = '( ) < 0 '( ) > 0 0 (b) Gambar 8. y () a 0 b p c d Gambar 8. stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar 8.(a) bahwa graik y = selalu naik di sekitar = 0. jika Pada gambar 8.(b), () = = 0 jika 0 sehingga '() = < 0 untuk < 0 dan '() = > 0 untuk > 0. Adapun untuk menentukan '(0) digunakan konsep limit, yaitu sebagai berikut. 0 '(0) = lim lim lim Dari Bab 7 tentang pengertian limit telah diterangkan bahwa limit ungsi tersebut tidak ada. Jadi, '(0) tidak ada atau tidak terdierensialkan. Oleh karena itu, () turun untuk < 0, () naik untuk > 0, dan = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada = 0 ungsi bernilai minimum. Sekarang amati Gambar 8.. Diketahui, ungsi () terdeinisi pada interval a d serta '(b) = '(c) = 0. Dari Gambar 8.. diperoleh uraian berikut. a. Untuk D = [ a, p] atau D = { a < < p}, nilai maksimum ungsi () adalah (b) sehingga = b menyebabkan '(b) = 0; nilai minimum ungsi () adalah (a) dan = a merupakan titik ujung kiri interval D. Nilai (b) > () untuk anggota D = [ a, p] sehingga (b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh karena (a) < () untuk anggota D = [ a, p] maka (a) disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global. b. Untuk D = [ p, d] atau D = { p d}, nilai maksimum ungsi () adalah (d) dan = d merupakan titik ujung kanan interval D ; nilai minimum ungsi () sama dengan (c) dan = c menyebabkan '() = 0. Untuk D = [ p, d] nilai maksimum dan minimum ungsi (( ) merupakan nilai maksimum dan minimum global. c. Untuk D = [ a, d] atau D = { a d}, nilai balik maksimum (b) bukan merupakan nilai maksimum ungsi (), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relati; nilai balik minimum (c) bukan merupakan nilai minimum ungsi () akan tetapi dinamakan nilai minimum lokall atau minimum relati. 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

29 Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum ungsi () dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai () untuk nilai sebagai titik ujung interval domain ungsi () dan nilai yang menyebabkan '() = 0. Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut. Contoh 8.5 Tentukan nilai maksimum dan minimum (( ) =, untuk: a. D = { }, b. D = { 6 4}. (( ) = '( ) = 4 4 = 0 = 4. a. = 4 anggota D = { } () 4 8 ( ) = ( ) =...() () = () = 6...() Dari (), (), dan (), diperoleh () = 6 adalah nilai maksimum dan 4 merupakan nilai minimum ungsi (( ) = 8 dengan D = { }. b. = 4 bukan anggota D = { 6 4} ( 6) = ( 6) ( 6) = 78 ( 4) = ( 4) ( 4) = 6 Jadi, ungsi (( ) = dengan D = { 6 nilai maksimum ( 6) = 78 dan nilai minimum ( 4) = 6. 4} mempunyai Soal Terbuka Ari memiliki kawat yang panjangnya 8 cm kawat. Ia akan membuat bingkai berbentuk persegipanjang. Tentukan ukuran bingkai yang mungkin. Tentukan pula ukuran bingkai yang akan memberikan luas maksimum. Contoh 8.6 Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000ππ cm. Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin. Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm. Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

30 (a) (b) Gambar 8.4 (a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat. Pengerjaan: Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan luas permukaan silinder = L ( r). V (r) = luas alas tinggi = π r t = 8.000π sehingga t =...() r r L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + πrt...() Substitusikan () ke () sehingga diperoleh L (r)= r r rt. r r Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga L' (r) = r. r r r r = 0...() Substitusikan () ke () sehingga diperoleh t = 0 r 400 Jadi, tinggi silinder t = 0 cm dan jari-jari alas r = 0 cm. Contoh 8.7 Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q(v) = 65 v + v v liter Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun. Q(v) = 65 v +v v liter Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga Q (( ) = 65 v + = 0 65 v = v = 65 Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah Q(65) = 65 (65) + (65) =.565 liter Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah = 0.60 liter. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

31 Tes Kompetensi Subbab E Kerjakanlah pada buku latihan Anda. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum ungsi-ungsi berikut untuk domain yang diberikan.. () = dengan a. D = { 0} b. D = { 0 } c. D = { 5} d. D = { 5 7}. () = dengan a. D = { 0} b. D = { 0 } c. D = { } d. D = { }. () = ( ) ( 5) dengan a. D = { 0 } b. D = { 4} c. D = { 5} d. D = { 5 7} 4. Jika ungsi ( ) = + p + dengan daerah asal D = { } mencapai nilai minimum relati di =, tentukan nilai () dan p. 5. Jumlah dua bilangan bulat sama dengan 8. Tentukan bilangan-bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum. 6. Menurut Departemen Riset sebuah perusahaan, biaya produksi unit barang jenis A sebesar rupiah per hari. Jika barang diproduksi, tentukan jumlah unit per hari yang harus diproduksi agar biaya produksi per unitnya minimum. 7. Dari selembar seng berbentuk persegipanjang, akan dibuat talang air. Kedua tepinya dilipat selebar, seperti pada gambar di samping. Jika lebar seng tersebut 40 cm, P Q S R a. tunjukkan bahwa luas penampang talang adalah L () = 40 ; b. tentukan ukuran penampang L () = Luas sebuah juring lingkaran yang berjarijari r adalah 4cm. a. Tunjukkan bahwa kelilingnya adalah 4 K(r) cm dengan K(r) = r. r b. Tentukan nilai minimum K. 9. Suatu perusahaan membuat kaleng berbentuk tabung tertutup dengan volume V. Upah buruh (c) berbanding langsung dengan panjang bagian yang dipatri, yaitu jumlah tinggi kaleng dengan dua kali keliling alas kaleng. a. Jika tinggi kaleng t dan jari-jari alas r, V buktikan bahwa c = k 4r r dengan k = konstanta. b. Buktikan bahwa upah buruh (c) paling murah jika tinggi kaleng sama dengan keliling alasnya. 0. Rata-rata pertumbuhan suatu bakteri setelah t menit diberikan oleh persamaan N(t) = t t, 0 < t < 0 Tentukan kapan pertumbuhan bakteri tersebut a. menurun, b. meningkat, dan c. mencapai maksimum.. Setelah satu jam miligram obat tertentu diberikan kepada seseorang, perubahan temperatur (dinyatakan dalam Fahrenheit) dalam tubuhnya diberikan oleh persamaan T() =, 0 t 6 9 Rata-rata perubahan T() bersesuaian dengan ukuran dosis. T() disebut sensitivitas tubuh terhadap dosis obat. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

32 a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat? b. Kapan sensitivitas tubuh menurun? c. Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?. Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi persamaan v = k (00 ), dengan k adalah konstanta. Tentukan jumlah zat tersebut agar kecepatan reaksi minimum.. Jika impedansi suatu rangkaian listrik memenuhi persamaan Z= R c, tentukan X C agar Z minimum. (Diketahui: R =.500 Ω danx =.000 Ω ) L F. Turunan Kedua Anda telah mempelajari turunan pertama ungsi yang dinotasikan dengan dy d atau y' atau atau '() d d Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan ungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan d dy dy d d d atau ditulis y" d d d d d d atau ditulis "() Turunan kedua ungsi () d y atau y" atau d atau "() d d Contoh 8.8 Tentukan turunan kedua untuk ungsi berikut. a. () = 4 5 b. () = sin a. () = 4 5 () = 8 5 () =4 Turunan kedua ungsi () = 4 5 adalah ''() = 4². b. () = sin '() = sin + cos = sin + cos 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

33 cos = "() = sin + 4 = 4 sin + cos cos sin Turunan kedua dari () = sin adalah "() = 4 sin + cos sin. sin Contoh 8.9 Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhi persamaan t 6tt + 0t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalam detik. a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = dan t = 5. b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik. c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol. a. Pada saat t=, panjang lintasannya adalah s() = = 6 meter Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah s(5) = 5³ 6 5² =5 meter b. s = t³ 6tt + 0t ds Kecepatan v = dt = t t t t + 0 Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = = 0 m/detik Pecepatan a = ds dv dt = 6t t dt Percepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6 4 = m/detik c. a = 0 maka 6t = 0 t = v(t) = t ² t t + 0, untuk t = maka v() = ² + 0 = 8 m/detik Teorema L Hopital Jika = a disubstitusikan ke bentuk lim a g diperoleh bentuk tak tentu 0 0 atau, Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis ( M). Turunan Fungsi dan Aplikasinya 5

34 Tentukan limit ungsi berikut. 4 4 a. lim b. lim cos 4 0 sin a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh lim (bentuk tak tentu) 0 Dengan teorema L' Hopital, diperoleh lim Deinisi 8. ' Jika lim 0,lim g 0, serta lim ada, baik terhingga a a a g' ' ' atau tak hingga maka lim lim a g a g' '. Perluasan teorema L'Hopital adalah ' '' lim lim lim a g a g' ' a lim g'' a g ''' (Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk 0 0 ). Contoh lim = () 4 = 0. b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh lim cos 4 cos 0 0 (bentuk tak tentu) 0 sin 0.sin lim cos 4 4sin 4 0 sin cos sin 6 cos 4 = lim 0 cos sin cos = 6 cos 0 6. = 8 cos 0 i 0 cos Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

35 Tes Kompetensi Subbab F Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan turunan kedua dari ungsi aljabar berikut. a. () = b. () = + 5 c. () = d. () = 4 4 e. () = ( 4) 0. () = ( + 5)(³ + 9) g. () = 5 h. () = 4. Tentukan turunan kedua dari ungsi-ungsi berikut. a. () = tan b. () = sin c. () = cos d. () = cos e. () = sin cos. () = tan g. () = sin cos h. () = sin. Tentukan turunan kedua dari ungsi-ungsi berikut. a. () = + b. () = (+ ) c. () = ( )(+ ) d. () = sin, 0 π e. () = sin, 0 π. () = tan, 0 π g. () = cos, 0 π h. () = tan, 0 π 4. Kerjakan soal-soal berikut. a. Jika () = 7, hitunglah ''() b. Jika () = 6, hitunglah ''() c. Jika () = 6, hitunglah ''() d. Jika () = ( + ), hitunglah ''(4) e. Jika () =,hitunglah ''(). Jika () = 64 hitunglah ''() g. Jika () = cos sin, hitunglah '' h. Jika () = cos, hitunglah '' 5. Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah bergerak t sekon, perpindahannya dinyatakan dengan rumus s(t) = 5t + 0t, s(t) dalam meter. Berapa m s percepatan mobil itu? Turunan Fungsi dan Aplikasinya 7

36 4 y (,4) () = ( ) Gambar 8.6 G. Nilai Stasioner. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi Gambar 8.6 merupakan graik ungsi (( ) = ( ) + 4. Turunan pertama dari ungsi () = ( ) + 4 adalah '() = ( ). Untuk =, diperoleh '() = ( ) = 0. Oleh karena nilai '() = 0 maka ungsi () = ( ) +4 mencapai nilai stasioner di = dengan nilai stasioner () = ( ) + 4 = 4. Selanjutnya, titik (, 4) disebut titik stasioner. Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner ungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut. Amati "( ) > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke atas pada < 0, "( ) < 0 untuk 0 < <, dikatakan cekung ke bawah pada 0 < <, dan "( ) > 0 pada >, dikatakan cekung ke atas pada >. Di sekitar = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok graik ungsi. Apakah titik (, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner ungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner ungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Deinisi 8.4 Diketahui ungsi y = () kontinu dan dapat diturunkan (dierentiable) di = c. Fungsi y = (( ) memiliki nilai stasioner (c) jika '(c) = 0 dan titik (c, (c)) disebut titik stasioner.. Tentukan nilai stasioner ungsi () = Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk ungsi () = Contoh 8.. () = '() =6 6 Nilai stasioner diperoleh jika '() = 0 sehingga '() = = 0 =. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

37 () = = Jadi, nilai stasioner (( ) = adalah () =. (( ) = '( ) = + 8 untuk '( ) = = 0 ( ) ( + ) = 0 = atau = ' = 0 dan '( ) = 0 sehingga untuk = diperoleh 4 7 untuk = diperoleh ( ) = ( ) + 4 (). + = Jadi, nilai stasioner (( ) = +4 + adalah 7 dan ( ) =. Titik, dan (, ) dinamakan titik stasioner. 7 Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval '( ) di samping. Untuk mengetahui nilai '( ) pada selang <, < <, dan >, substitusikan nilai untuk selang interval tersebut pada '() sehingga diperoleh untuk = 4, '( 4) = > 0 sehingga (( ) naik untuk < ; untuk = 0, '(0) = < 0 sehingga (( ) turun untuk interval < < ; untuk =, '() = 8 > 0 sehingga (( ) naik untuk >. Jadi, nilai '( ) dapat digambarkan pada selang interval di samping. Dari gambar untuk selang interval tersebut titik (, ) adalah titik maksimum, titik, adalah titik minimum. 7 '() '() '() > 0 '() < 0 '() > 0 (, ), 7 Turunan Fungsi dan Aplikasinya 9

38 . Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, ungsi (( ) = dengan '( ) = 6. Untuk '( ) = 0 diperoleh titiktitik stasioner (0, 0) dan (, 4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (, 4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu ungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua. Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut. Jika "(c) < 0, (c) adalah nilai maksimum lokal ungsi (( ) dan titik (c, (c)) adalah titik balik maksimum lokal graik ungsi (( ). Jika "(c) > 0, (c) adalah nilai minimum lokal ungsi (( ) dan titik (c, (c)) adalah titik balik minimum lokal graik ungsi (( ). Jika "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertama. Contoh 8. Tentukan jenis nilai stasioner ungsi () = dan () = 4 4 dengan menggunakan uji turunan kedua. Untuk ungsi () = '() = + 9 = ( ) ( ) "() = 6 Nilai stasioner diperoleh untuk '() = 0, yaitu ( ) ( ) = 0 = atau = Nilai stasionernya adalah = atau = untuk =, "() = 6 < 0, sedangkan untuk =, "() = 6 > 0 sehingga () adalah nilai maksimum lokal ungsi (), yaitu () = 5 () adalah nilai minimum lokal ungsi (), yaitu () = Untuk ungsi () = 4 4 '() = 4 = 4 ( ) "() = 4 Nilai stasioner diperoleh untuk '() = 0, yaitu = 0 atau = untuk = 0, "(0) = 0 dan untuk =, "() = 6 > 0 sehingga 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

39 () adalah nilai minimum lokal ungsi (), yaitu () = 7. Untuk = 0 dengan "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama. Sekarang, amati diagram di samping. Amati "() > 0 untuk < 0, dikatakan cekung ke atas pada < 0, "() < 0 untuk 0 < <, dikatakan cekung ke bawah pada 0 < <, dan "() > 0 pada >, dikatakan cekung ke atas pada >. Di sekitar = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok graik ungsi. Apakah titik (, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (, 0)? Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara menentukan nilai stasioner suatu ungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada deinisi berikut. () '() < 0 '() < 0 '() > 0 0 Deinisi 8.5 cekung ke atas pada [ a, b] jika "() > 0 dan cekung ke bawah jika "() < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok. Tes Kompetensi Subbab G Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan nilai stasioner, titik stasioner, dan jenisnya untuk ungsi-ungsi berikut. a. () = + b. () = + 5 c. () = + + d. () = ( ) e. () = () = (² 4). Tentukan nilai p jika ungsi-ungsi berikut mencapai stasioner untuk nilai yang diberikan. a. () = p + 4, = b. () = p +4, =- c. () = p ( ), = d. () = p, = e. () = p +, =. () = p, = g. () = p 4 4 +, = h. () =, = 0. Tentukan '() serta nilai stasioner dan jenisnya untuk ungsi-ungsi berikut jika 0 π. a. () = sin b. () = cos c. () = sin cos d. () = cos e. () = sin. () = cos 4. Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal ungsi-ungsi berikut, menggunakan uji turunan kedua. Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI

SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI SOAL-SOAL TURUNAN FUNGSI Peserta didik memilki kemampuan memahami konsep pada topik turunan fungsi aljabar. Peserta didik memilki kemampuan mengaplikan konsep kalkulus dalam masalah kontekstual pada topik

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

Rangkuman Materi dan Soal-soal

Rangkuman Materi dan Soal-soal Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.co.cc Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y'

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I SISTEM BILANGAN REAL, PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA

SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I SISTEM BILANGAN REAL, PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I BAB I. SISTEM BILANGAN REAL PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA. Tentukan bilangan rasional ang mempunai penajian desimal 5777777.... Tentukan himpunan penelesaian

Lebih terperinci

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5

TURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5 TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

KINEMATIKA. A. Teori Dasar. Besaran besaran dalam kinematika

KINEMATIKA. A. Teori Dasar. Besaran besaran dalam kinematika KINEMATIKA A. Teori Dasar Besaran besaran dalam kinematika Vektor Posisi : adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat. Pangkalnya di titik pusat koordinat, sedangkan ujungnya pada

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB SOL-SOL LTIHN TURUNN FUNGSI SPM 00-007. SPM Matematika asar Regional I 00 Kode 0 Garis singgung kurva di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya postif y mempunyai gradien.. 9 8 7. SPM Matematika asar

Lebih terperinci

SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung

SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung SMA Santa Angela Jl. Merdeka 24, Bandung MODUL TURUNAN SUATU FUNGSI (Kelas XII IPA Oleh Drs. Victor Hery Purwanta I. Standar Kompetensi : Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:

Kinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber: Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri

Limit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri 7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM)

UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) Tentukan (jika ada) UJIAN PERTAMA KALKULUS/KALKULUS I SEMESTER PENDEK 2004 SABTU, 17 JULI (2 JAM) 1. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 () bila f() = 2 + 4. 2. Tentukan: (a) d d (p + sin

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan GLB dan GLBB

Soal dan Pembahasan GLB dan GLBB Soal dan GLB dan GLBB Contoh Soal dan tentang Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dan Gerak Lurus Beraturan (GLB), materi fisika kelas 10 (X) SMA. Mencakup penggunaan rumusrumus GLBB/GLB dan membaca grafik

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Kalkulus Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Menggambar Grafik Fungsi : Gambarlah grafik dari fungsi berikut! 4 f ( ) Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah sebagai

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan.

I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. 3. Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkan solusinya pada garis bilangan. I. SISTEM BILANGAN RIIL, PERTIDAKSAMAAN DAN NILAI MUTLAK. Buatlah diagram sistem bilangan riil.. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu. a b a b a b. Selesaikan

Lebih terperinci

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6

MATEMATIKA II. Turunan dan Aplikasinya. Rudi Prihandoko. March 9, 2017 ver 0.6 MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6 KUIS I KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula f(x) = (Ax2 + Bx + C) 2 Ax 2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional.

Lebih terperinci

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

dapat dihampiri oleh:

dapat dihampiri oleh: BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung

Lebih terperinci

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

INTEGRAL. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Integral tak tentu Fungsi aljabar Derivatif Antiderivatif A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Bab INTEGRAL A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran integral siswa mampu:. Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah,

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/ Alokasi Waktu: jam Pelajaran (3 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit ungsi dan turunan

Lebih terperinci

Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran

Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran BAB 7 LIMIT FUNGSI Kompetensi Dasar Siswa dapat menjelaskan it fungsi di satu titik dan di tak hingga beserta teknis perhitungannya. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi

Lebih terperinci

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika diberikan suatu fungsi f dan daerah asal S seperti gambar di samping.

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.

1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =. 1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Jurusan Matematika FMIPA IPB UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 4 Maret 003 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: (a) (b) x sin x x + 1 ; x (cos (x 1)) :. Diberikan fungsi

Lebih terperinci

KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK

KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut

Lebih terperinci

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam

UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 1999 Waktu : 2,5 jam UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 5 Maret 999 Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 0. Misalkan diketahui fungsi f dengan ; 0 f() = ; < 0 Gunakan de nisi turunan untuk memeriksa aakah f 0 (0)

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana

Lebih terperinci

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA) MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini

Lebih terperinci

PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan nomor 40.

PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan nomor 40. PR ONLINE MATA UJIAN: MATEMATIKA IPA (KODE: A05) Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor sampai dengan nomor 0. 5. Jika a b 5, maka a + b = 5 (A). (C) 0. 0.. 7.. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Lebih terperinci

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah

2. Untuk interval 0 < x < 360, nilai x yang nantinya akan memenuhi persamaan trigonometri cos x 2 sin x = 2 3 cos adalah Soal Babak Semifinal OMITS 007. Hubungan antara a dan b agar fungsi f x = a sin x + b cos x mempunyai nilai stasioner di x = π adalah a. a = b b. a = b d. a = b e. a = b a = b. Untuk interval 0 < x < 60,

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979 Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila

Lebih terperinci

FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS

FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS K-13 Kelas X FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan. 1. Menguasai konsep gerak, jarak, dan perpindahan.. Menguasai konsep kelajuan

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

E-learning Matematika, GRATIS

E-learning Matematika, GRATIS Penyusun : Arik Murwanto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecaan masala Kompetensi

Lebih terperinci

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =

Lebih terperinci

TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ TEOREMA UJI TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id UJI TURUNAN I-ekstrim relati Andaikan kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i)

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

GLB - GLBB Gerak Lurus

GLB - GLBB Gerak Lurus Dexter Harto Kusuma contoh soal glbb GLB - GLBB Gerak Lurus Fisikastudycenter.com- Contoh Soal dan tentang Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) dan Gerak Lurus Beraturan (GLB), termasuk gerak vertikal

Lebih terperinci