Rangkuman Materi dan Soal-soal

Transkripsi

1 Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd /

2 Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y' dibaca y aksen, dst, d d f ( + f ( didefinisikan sebagai: f '( lim 0 a. y 6 b. c. y ' lim y y ' lim y f ( + f ( + f ( lim lim lim 0 0 f ( ( + + lim lim lim lim f ( + f ( ( + y' lim lim + 6+ lim lim d. y e. f ( + f ( ( + y' lim lim + + lim lim y y' lim lim f ( + + f ( lim ( 6 + lim lim ( + + lim ( ( + + lim ( lim lim ( + + ( + + ( + + ( ( + lim Rumus Turunan Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam variabel berlaku: Rumus Turunan c y y ' 0 n y a Sifat sifat: y ' an n y u ± v y ' u' ± v' y u v y ' u' v + uv' u u' v uv' y v v n y u n nu u' y af ( y ' af '( Turunan Fungsi Trigonometri y sin cos y sin a a cos a y cos sin y cos a asin a y tan sec y tan a asec a y sin u u' cos u y cos u u' sin u y tanu u'sec u

3 Lainnya: y a log, > 0 a log e y a log u u' a log e u u y e u y ' u' e v y a y ln y ln u v' ln a a u' u v Soal-Soal: a. y b. y.. c. d. e. f. g. y.. y.. y y y.... y y.... y y ( + 6 ( u' v + uv' ( + ( + ( + 6 ( ( ( u' v uv' ( +. ( i. y v ( ( ( y sin 8.cos j. ( ( k. y cos ( + ( cos ( + ( sin ( + ( ( sin ( + cos ( + l. y e. e m. y ( + + ln log 6 6 n. y ( log e.. Aturan Rantai Jika y f ( u fungsi dari u yang dapat diturunkan, u g( fungsi dari yang dapat diturunkan, serta y f ( g( fungsi dari yang dapat diturunkan, maka d dy dy du y ' f ( g ( f ' ( g ( g' ( atau d d du d a. ( + y misal u + maka du d + dy dy du y u seingga diperole dy u dan. Kita dapatkan y ' u.( + ( + ( + d du d du

4 b. y sin ( + misal u sin ( + y u,dan v + u sin v. dy du dv Kita perole u, cos v, dan +. Akirnya kita perole: du dv d dy dy du dv y' u cosv ( + ( sin ( + cos( + ( + d du dv d + sin + cos + ( ( (. Persamaan Garis Singgung Kurva f Gradien garis singgung kurva y ( di titik T (, y adala m gs f '( persamaan garis singgung kurva y f ( di titik T (, y adala: y y mgs ( y y f ' ( (. Maka a. Tentukan persamaan garis singgung kurva y f ( di titik (,. Jawab: f '( 0 maka f '( jadi m gs f '( 7. Persamaan garis singgung kurva adala y m ( y 7( y gs y 7 y 7 + y 7 0 b. Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva f ( + bergradien. f + f ' 6 y yang Jawab: * ( ( * f ( m gs ' * y f ( ( Jadi, titik singgungnya T (, 9 c. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( + f yang sejajar garis y + Jawab: * Garis y + memiliki gradien m, karena sejajar m * f ( + f '( + * f ( + m gs ' * y ( ( f + ( * Titik singgungnya T (, * Persamaan garis singgung kurva adala y y m gs ( y ( ( ( y + ( + y + d. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( + y 7 f yang tegak lurus garis y Jawab: * Garis y memiliki gradien m, karena tegak lurus m gs m maka m gs m * f ( + f '( * f ( m gs ' m gs

5 * y ( f.+ + * Titik singgungnya T (, * Persamaan garis singgung kurva adala y y m gs ( y ( ( y + + y +. Dalil L Hopital f ( f ( 0 f ( Jika y dimana lim atau lim (bentuk tak tentu maka g( a g ( 0 g( f ( f '( f ( f '( lim lim dan lim lim. Apabila masi diperole bentuk tak tentu, a g ( a g' ( g( g' ( maka masing-masing pembilang dan penyebut diturunkan kembali. Diturunkan 0 a. lim BTT, maka lim lim b. lim BTT, mk lim 0 0 lim lim c. lim BTT, maka lim lim Fungsi Naik dan Fungsi Turun a. f '( > 0 untuk b. f '( < 0 untuk c. f '( 0 untuk 9 f ' dalam ( a, b, maka f adala fungsi naik pada selang ( a, b dalam ( a, b, maka f adala fungsi turun pada selang ( a, b dalam ( a, b, maka f adala fungsi konstan pada selang ( a, b a. f ( ( 0, maka f ( 9 adala fungsi konstan untuk setiap nilai. b. Tentukan interval dimana f ( naik dan f ( turun dari fungsi f ( + 0 Jawab: * f ( + 0 f '( + maka + > 0 > > naik pada interval > f ' < maka + < 0 < < turun pada interval < * f ( naik jika f '( > 0 Jadi f ( * ( f turun jika ( 0 Jadi f ( Ilustrasi Grafik f '( < 0 f '( > 0

6 7. Titik Stasioner Jika fungsi f mempunyai turunan pada selang I yang memuat c. Jika f '( c 0 T ( c, f ( c adala titik stasioner dari fungsi f. a. Jika f ''( c > 0 maka T ( c, f ( c titik Balik Minimum relatif dari fungsi f. b. Jika f ''( c < 0 maka T ( c, f ( c titik Balik Maksimum relatif dari fungsi f. c. Jika f ''( c 0 maka T ( c, f ( c titik Belok Grafik fungsi f. Dimana f '( adala turunan pertama f ( dan f ''( trurunan kedua dari f (, maka f(c f(c f(c f(c c c c c T (c, f(c titik balik maksimum T (c, f(c titik belok T (c, f(c titik balik minimum T (c, f(c titik belok Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f ( 9 + Jawab: Diketaui f ( 9 + maka f '( ( 6( + f '( 6( ( Titik stasioner diperole jika f '( 0 6 ( ( 0 Untuk Untuk f ' diperole dan f diperole T (, f diperole T (, ( ( Dengan Turunan Kedua: f '( f ''( 8 Untuk f '' (. 8 6 < 0 maka T (, adala Titik Balik Maksimum. Untuk f '' (. 8 6 > 0 maka T (, adala Titik Balik Minimum. Dengan Diagram Grafik: Uji nilai: Untuk < pili 0 maka f '( > 0, ( Untuk << pili f Naik ' < > f Naik maka ( ( 0 f, ( Untuk > pili maka f '( 0, ( f Turun + + Seingga: T (, Titik Balik Maksimum. T (, Titik Balik Minimum. 8. Nilai Stasioner Jika ( c f ( c c T, adala titik stasioner grafik fungsi f, maka ( c f adala nilai stasioner di titik Dari soal di atas, T (, Titik Balik Maksimum. Nilai stasioner di titik adala.

7 9. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Untuk mencari Nilai Maksimum dan Nilai Minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup [ a, b] dapat dilakukan dengan cara: a. Menentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval tersebut. b. Menentukan nilai fungsi f ( a dan f ( b c. Menyelidiki nilai maksimum (terbesar dan minimum (terkecil pada poin a. dan b. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f ( + 6 Jawab: dalam interval a. Nilai stasioner f diperole jika f '( 0 f ( + 6 f '( ( ( 0 Terdapat dua titik stasioner pada interval Untuk f Untuk maka ( 8 maka f ( b. Menentukan nilai f ( dan f ( f ( dan f ( atau c. Dari nilai-nilai tersebut dapat kita liat bawa nilai maksimumnya adala dan nilai minimumnya adala. 0. Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Keidupan Seari-ari Kebun Pak Subur berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 60 meter. Jika panjangnya meter dan lebarnya y meter, tentukan: a. Persamaan yang menyatakan ubungan antara dan y b. Ukuan kebun Pak Subur agar luasnya maksimum. Jawab: a. Keliling ABCD ( + y 60 ( + y + y 0 y 0 Jelasla bawa y > 0 untuk 0 0 Jadi y 0 dengan 0 0 b. L y 0 ( ( 0 L Harus dicari nilai maksimum L. L( 0 L' ( 0 Nilai stasioner L didapat jika L ' ( 0. Jadi L '( Dengan menguji nilai L ' ( menggunakan garis bilangan, diperole D A y C B 6

8 ++ -- Untuk terdapat nilai balik maksimum. L ( 0. 0 Nilai L pada ujung- ujung interval 0 adala L ( dan L ( 0 0 Jadi, Luas maksimumnya adala lebar panjang m. m, jika segi empat tersebut berbentuk persegi, dengan. Kecepatan dan Percepatan Jika suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, maka berlaku v kecepatan pada t detik ( m s panjang lintasan dalam t detik ( m a percepatan pada t detik ( m s s ds v dan dt dv a, dimana: dt Sebua benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan s meter pada waktu t detik, didefinisikan dengan persamaan s + t t. a. Tentukan rumus kecepatan saat t detik. b. Tentukan t jika kecepatan sesaatnya nol. c. Tentukan percepatan benda pada saat t detik. d. Hitungla jarak dan kecepatan sesaat jika percepatannya nol. Jawab: s + t t ds a. Kecepatan sesaat t dt b. Kecepatan sesaat t 0 t 0 ( t( + t 0 t ± detik Jadi, kecepatan sesaatnya nol setela detik. dv d ds d s c. Percepatan (a 6t (turunan kedua dari s teradap t dt dt dt dt d. a 6 t 0 6t t 0 detik Jarak s + t t meter Kecepatan sesaat v t.0 m dt. Menggambar Kurva (Grafik Untuk menggambar grafik fungsi yang dapat didefferensialkan adala dengan menentukan: a. Titik potong kurva dengan sumbu dan sumbu y. b. Titik stasioner dan nilai ekstrimnya. c. Garis penunjuk ara kurva. Gambarla kurva dari fungsi ( 8 f. Jawab: a. y f ( 8 memotong sumbu jika y ( ( + 0 diperole ±. Jadi T (, 0 dan T (, 0 y f memotong sumbu y jika 0 y Jadi T (0, 8 ( 8 7

9 b. f ( 8 f '( Titik stasioner diperole jika f '( 0 seingga diperole 0 0 Untuk 0 y Jadi titi stasionernya adala T ( 0, 8 c. Bentuk grafik f '( Uji titik: Untuk maka f '( ( < 0 Grafik Turun Untuk maka f '( ( > 0 Grafik Naik d. Sketsa Grafik y 8 Catatan: a. m dan dua garis yang sejajar maka m g m b. m dan dua garis yang saling tegak lurus maka m m a c. Persamaan garis adala y m+ c (gradien m atau a + by + c 0 (gradien m b y y m d. Persamaan garis lurus melalui satu titik (, y g dengan gradien m adala ( 8

10 Soal-soal Latian A. Carila turunan dari fungsi-fungsi berikut menggunakan definisi f ( + f ( f '( lim 0. f (. f ( 9. f (. f ( 0. f ( 6 6. f ( 8 7. f ( 0 8. f ( 9. f ( 0. f (. f (. f (. f ( 0 f. f (. ( 6. f ( 0 7. f ( 7 f 6 8. f ( 9. ( 0. f (. f ( +. f ( + f +. f (. f (. ( B. Carila turunan dari fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan rumus: 6. f ( 7. f ( 8. f ( 9 9. f ( 0. f ( 6 6. f ( 0. f ( 7. f (. f (. f ( 7 6. f ( 7. f ( f f f 6 8. f ( + 9. ( 0. (. (. f ( + 9. f ( f ( +. g ( + 6. g( + + g g + 7. g( 8. ( 7 9. ( 0. g ( g ( ( (. g ( ( (. g ( ( (. g ( ( +. g ( ( + 7 8( + 6. g ( ( + ( + 7. g ( ( 8. g ( ( + 9. g ( ( ( + 9

11 60. ( ( g ( 6. g( 6. g ( 6. g ( 6. g ( 6. g( 66. g( g( 68. g( 69. g( 70. g( C. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di bawa ini: 7. f ( ( 7. f ( ( 7. f ( ( + 7. f ( ( 6 7. f ( ( f ( ( f ( ( f ( ( f ( ( 80. f ( ( f ( ( f ( 8. g( 8. g ( ( ( 9 ( + 8. g( g( g ( ( g( g( g( ( 9. g ( ( + 9. g ( ( 9. g( 9. g( 9. g( 96. g( 97. g( 98. g ( 99. g ( g ( 0. g ( ( g ( ( + ( + 0. g ( ( ( + 0. g ( ( ( g ( 06. g( + + ( g ( ( g( ( 09. g ( 0. g ( + D. Tentukan rumus turunan dari fungsi berikut:. ( sin. ( 8 sin. ( sin 0

12 . ( cos. ( 9cos 6. ( cos8 7. ( tan 8. ( tan 9. ( tan 7 0. f ( sec. f ( cossec. f ( cot. ( sin (. ( sin ( +. ( sin ( + 6. ( sin ( 7. ( sin ( 8. ( cos ( + 9. ( cos( + 0. ( cos( +. ( cos( +. ( cos(. ( tan (. ( tan ( +. ( tan( 6. ( tan( + 7. ( tan( 8. f ( sin cos 9. f ( sin + cos 0. f ( cos tan. f ( tan sin. f ( + sin 6. f ( sin. f ( sin. f ( ( + tan 6. f ( ( cos 7. f ( sin cos 8. f ( sin cos 9. f ( sin tan( 0. f ( cos( tan(. f ( sin ( cos. f ( sin ( sin (. f (. f (. f ( 6. f ( sin + cos sin cos cos sin 7. f ( 8. f ( 9. f ( 60. f ( 6. f ( 6. f ( 6. f ( 6. f ( 6. f ( 66. f ( cos + sin cos sin sin cos cos + sin sin + cos + sin cos sin + cos cos ( + + tan tan + sin sin cos sin cos sin cos cos sin 67. g( ( 68. g( ( 69. g( sin 70. g( cos 7. g( tan 7. g( sin ( 7. g( sin ( cos 7. g( cos ( sin 7. g( 7cos ( cos( E. Soal-soal persamaan garis singgung kurva. Tentukan gradien dan persamaan garis yang menyinggung kurva berikut pada titik yang tela ditentukan. 76. ( + + f di titik (, 77. ( + f di titik (, 78. ( ( f di titik (, 0 f di titik (, f di titik (, ( 8. f ( di titik (, 8. ( ( ( + f di titik (, 6 8. f ( di titik (, 0 8. ( f di titik (, 8. ( f di titik (-, f ( 87. l. f ( di titik (-, 8 di titik (, -

13 88. ( ( ( + ( f f di titik (, di titik (, 0 f di titik (-, ( 6 Tentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut: 9. ( f di 9. ( 9. ( ( ( + 9. ( ( ( + 9. ( f di f di - f di 0 f di f + 7 di - f di 96. ( 97. ( 98. ( ( f di - f di f di ( Tentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva-kurva berikut: 0. y di titik berordinat y + + di titik berordinat. 0. y di titik berordinat 0. y di titik berordinat 0. y di titik berordinat 06. y di titik berordinat 07. ( + + f, di titik berabsis. 08. y di titik berabsis. 09. y + di titik berabsis. 0. y 0 di titik berabsis.. y + di titik berabsis. Tentukan persamaan garis singgung kurva:. ( + f dengan m. ( + + f dengan m -. ( + + f dengan m -. ( + + f dengan m - 6. ( + f dengan m 7. f ( + 8. ( ( ( + 9. ( ( +( dengan m - f dengan m f dengan m 0 0. f ( + dengan m. ( f, m - f, dengan m - f, dengan m - f, dengan m / f, dengan m. (. (. (. ( 6. ( + f yang sejajar garis 6y + 0 yang sejajar garis 7. f ( 0 y 8. f ( yang sejajar garis y ( + f yang sejajar garis 8 y f (. ( yang sejajar garis y + 0 f yang sejajar garis y + f yang sejajar garis y + 8 f + yang sejajar sumbu. f + yang sejajar garis y.. (. (. ( 6. ( + f yang sejajar sumbu. 6. ( + f yang tegak lurus treadap garis y 7. ( f yang tegak lurus garis + y 0 8. f ( yang tegak lurus garis y + f yang tegak lurus garis y ( 0. f ( 6 yang tegak lurus garis y ( ( 7 6 f yang tegak lurus garis 8 7 y + 0. f ( yang tegak lurus garis y 9 f + yang tegak lurus garis y +. (

14 . ( f yang tegak lurus garis 9 y ( + f yang tegak lurus garis y ( + 6 f yang tegak lurus garis y + 0 Soal-soal Lainnya: 7. Garis yang menyinggung kurva f + 8 di titik (, - ( 6 juga menyinggung kurva f ( di titik P. Tentukan koordinat titik P! 8. Garis yang menyinggung kurva f di titik (, juga ( menyinggung kurva f ( + + k di titik P. Tentukan koordinat titik P dan nilai k. 9. Tentukan nilai k jika garis y 6 + menyinggung kurva f ( + + k 0. Tentukan nilai k jika garis y + k menyinggung kurva f + +. (. Kurva f ( memotong sumbu Y positif di titik P. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva f ( di titik P.. Kurva ( + + f memotong sumbu Y di titik P. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva f + + di titik P. (. Kurva ( f memotong sumbu X positif di titik P. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva f ( di titik P. b. Kurva f ( a + melalui titik P(, 8, gradien garis singgung di P adala. Tentukan a dan b.. Garis k tegaklurus garis y + 0 dan menyinggung kurva f ( + di Q. Tentukan titik Q. 6. Jika titik P mempunyai absis dan ordinat sama, maka tentukan gradien garis singgung kurva f ( di P. 7. Garis singgung titik Q pada kurva f ( + 7 sejajar garis y + 0. Tentukanla koordinat titik Q.. 8. Tentukan nilai a dan b, jika garis singgung kurva y a + b melalui titik (, dan bergradien Tentukan persamaan garis singgung kurva y yang sejajar dengan garis yang memotong kurva tersebut di - dan. 60. Suatu kurva mempunyai persamaan y + p + q dengan p dan q konstan. Jika garis y menyinggung kurva di titik (,, tentukanla nilai p dan q. 6. Buktikanla bawa gradien garis singgung kurva y tidak perna negatif. Tentukanla titik-titik pada kurva tersebut seingga garis singgung di titik itu mempunyai gradien nol. 6. Tunjukkan bawa kedua garis singgung kurva y pada titik dengan dan pada titik dengan - adala sejajar. Tentukan koordinat titik-titik potong kedua garis singgung itu dengan sumbu X dan sumbu Y. 6. Buktikan bawa tidak ada garis yang melalui titik (, merupakan garis singgung kurva y. 6. Kurva y ( ( ( memotong sumbu X di titik-titik P(,0, Q(,0 dan R(,0. Buktikan bawa gradien pada P dan R sama, dan tentukan persamaan garis singgung di titik Q. 6. Tentukan koordinat suatu titik pada kurva y yang gradiennya sama dengan gradien garis y Garis singgung di A pada y + 6 sejajar garis y. Tentukan koordinat titik A. 67. Jika garis singgung pada kurva y 6 di 0 titik P membentuk sudut dengan sumbu X positif, tentukan koordinat titik P. 68. Tentukan persamaan garis singgung teradap kurva fungsi f ( + pada titik yang absisnya merupakan titik potong kurva dengan sumbu X. 69. Tentukan persamaan garis singgung kurva y yang membuat 0 sudut teradap sumbu X positif. 70. Tentukan titik-titik singgung pada kurva y + dan persamaan garis singgung kurva tersebut, seingga garis singgung kurva di titik itu membentuk 0 sudut dengan sumbu X positif. 7. Tentukan persamaan garis singgung kurva π di titik K, pada kurva f ( sin. 6

15 7. Tunjukkan bawa tidak ada garis yang melalui titik (, merupakan garis singgung kurva y F. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi-fungsi berikut: 7. f ( 7. f ( 7. f ( 76. f ( f ( 78. f ( 79. f ( 80. f ( + 8. f ( + 8. f ( 8. f ( 8. f ( f ( f ( f ( 88. f ( ( 89. f ( ( f ( ( 9. f ( ( 9. f ( ( ( f ( 6 9. f ( 9. f ( f ( f ( f ( f ( f ( 0. f ( + 0. f ( + 0. f ( f ( 0. f ( f (, 07. f ( f ( 09. f ( 0. f ( ( sin ; 0 cos + sin ; 0. f ( π. f ( π Untuk setiap fungsi berikut, nyatakan apaka fungsinya naik atau turun.. ( f pada. f ( pada. ( Lainnya: f pada 6. Tunjukkan secara aljabar bawa fungsi f ( + 0 tidak perna turun. 7. Tunjukkan bawa grafik fungsi f ( + + tidak perna turun. 8. Tunjukkan bawa grafik fungsi f ( + 6 selalu turun. 9. Tunjukkan bawa grafik fungsi f ( + + selalu naik. 0. Tunjukkan secara aljabar bawa fungsi f ( + selalu turun.. Tunjukkan bawa grafik fungsi f ( selalu naik untuk semua bilangan real.. Tunjukkan bawa fungsi f ( + sin tidak perna turun.. Tunjukkan bawa fungsi f ( + sin selalu turun.. Tunjukkan bawa grafik fungsi f ( + cos selalu naik untuk semua bilangan real.. Jika f ( + p + p + 6 selalu naik untuk setiap nilai, maka tentukan nilai p. 6. Jika f ( p + p + 8 selalu turun untuk setiap nilai, maka tentukan nilai p. 7. Jika grafik fungsi f ( + a + b + c anya turun pada interval, maka nilai a + b...

16 G. Nilai Maksimum dan Minimum Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi berikut untuk interval yang diberikan: f pada. 8. ( f pd. 9. ( 6 f pada. 0. ( f pada.. ( 6 + f pd 0.. ( pada.. f ( 6 pd. 6 pada. f pada.. f ( + 6. f ( ( 6. ( ( + ( pada f ( 00 f pada. 8. ( ( f pd. 9. ( + 6 pd. pd π π. 0. f (. f ( sin + cos H. Titik Stasioner. Carila titik balik dan jenisnya dari fungsifungsi berikut:. f (. f (. f ( + 6. f ( + 6. f ( + 7. f ( ( 8. f ( 9. f ( ( 0. f ( ( +(. f ( ( ( +. f ( ( ( ( 6. f ( + ; 0. f (. f ( 6. f ( f ( 8. f ( f ( 60. f ( + 6. f ( f ( f ( 6. f ( 6. f ( + + Soal lainnya: 66. Fungsi f ( a + b memiliki titik stasioner (, -. Tentukan nilai a dan b. 67. Jika absis stasioner dari f ( p p adala p, tentukan nilai p yang mungkin! 68. Diketaui f ( + a mempunyai ekstrim -6. Tentukan jenis ekstrim dari fungsi f ( a a +. I. Aplikasi Turunan, Nilai Maksimum/ Minimum, Nilai Stasioner. 69. Tinggi silinder adala dua kali jari-jari alasnya. Jika jari-jarinya berkurang dengan laju 0, cm/s, laju perubaan volume dari silinder ketika jari-jarinya cm adala Jumla dua bilangan adala 8. Tentukan kedua bilangan itu agar mengasilkan perkalian yang terbesar. 7. Jumla dua bilangan adala 6. Tentukan kedua bilangan itu agar mengasilkan perkalian yang terbesar. 7. Jumla dua bilangan positif sama dengan 0. Tentukan kedua bilangan itu agar mengasilkan perkalian yang terbesar. 7. Tentukan dua bilangan yang asil kalinya dan jumla kuadratnya minimal. 7. Jumla dua bilangan asli adala 0. Tentukan asil kali terbesar antara bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lainnya. 7. Jika dan y merupakan bilangan positif yang jumlanya 8, tentukan nilai y agar maksimum. 76. Jika dan y merupakan bilangan positif yang jumlanya 6, tentukan nilai y terbesar dan terkecil. 77. Jika a dan b bilangan real sedemikian seingga jumlanya 8, tentukan nilai a + b terbesar dan terkecil. 78. Luas permukaan kotak tanpa tutup dengan alas persegi adala 08 cm. Tentukan ukuran-ukuran kotak agar volumnya maksimum. 79. Sebua perusaaan akan membuat kontainer tertutup yang berbentuk balok yang alasnya persegi dengan volum.000

17 m. Tentukan ukurannya agar volumnya maksimum. 80. Tentukan jarak terdekat titik (8, teradap parabola y. 8. Sebua perusaaan susu akan membuat kaleng susu yang berbentuk tabung tertutup dari baan logam dengan volume 8 cm. Tentukan ukuran kaleng agar luas baan yang dibutukan seminimal mungkin. 8. Carila ukuran persegi panjang dengan keliling 00 meter, agar luasnya maksimum. 8. Luas sebua kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adala cm. Agar volum kotak tersebut mencapai maksimum, tentukanla panjang rusuk persegi itu. 8. Yuda akan membuat sebua kotak tanpa tutup atas dengan tinggi kotak sama dengan dua kali sala satu sisi alasnya. Jika volume kotak arus 00 cm, tentukan ukuran kotak agar baan yang dibutukan sesedikit mungkin. 8. Volume sebua kotak yang alasnya persegi adala liter. Biaya pembuatan per satuan luas bidang alas dan atas kotak adala dua kali biaya pembuatan bidang sisinya. Biaya pembuatan yang minimum tercapai jika luas permukaan kotak adala Sebua bak air tanpa tutup dibuat dengan alas berbentuk persegi. Jumla luas keempat dinding dan alasnya 7 m. Volume terbesar diperole jika luas alasnya Suatu kotak terbuka dengan alas persegi berisi cm dibuat dari selembar kertas yang luasnya 7 cm. Tunjukkan bawa volume, V cm, diberikan ole V 7. Tentukan nilai yang ( menyebabkan V maksimum dan tentukan nilai maksimumnya. 88. Diketaui secarik kertas yang luasnya m. Garis tepi atas, bawa dan sisinya berturut-turut cm, cm, dan cm. Berapa ukuran poster jika luas bagian yang dicetak arus maksimum? 89. Tentukan jari-jari kerucut dengan volume maksimum yang dapat dimasukkan ke dalam sebua bola berjari-jari r. 90. Tentukan ukuran kerucut dengan volume terkecil yang dapat dilingkupkan di sekeliling bola dengan jari-jari 0 cm. 9. Dian membuat suatu silinder yang berkapasitas.000 cm. Tentukan ukuran tanung itu (tanpa tutup atas agar baan yang dipakai minimum. 9. Cari dua bua bilangan positif dengan asil kalinya dan jumla kuadratnya minimum. 9. Bilangan 0 dibagi menjadi dua bagian seingga perkalian satu bagian dengan kuadrat bagian lainnya maksimum. Tentukan bilangan-bilangan itu. 9. Jika AB dan CD 6, tentukan dan y agar luas persegi panjang maksimum. 9. Sebua persegi panjang yang mempunyai lebar (8 cm dan memiliki keliling ( + cm. Agar luasnya maksimum tentukanla panjangnya. 96. Suatu perusaaan mengasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam jam, 0 dengan biaya per jam ratus ribu rupia. Agar biaya yang dikeluarkan minimum, dalam waktu berapa jamka produk tersebut arus diselesaikan? 97. Seekor semut merayap dalam bidang XOY. Pada saat t ia berada di titik t, y t dengan ( t t dan ( ( ( ( t t t +. Tentukan jarak semut itu dari sumbu Y agar jarak semut ke sumbu X maksimum. 98. Sebua prisama tegak yang alasnya berbentuk segitiga siku-siku sama kaki memiliki volume ( m. Jika prisma itu dibuat seingga luas seluru permukaannya sekecil mungkin, tentukanla luas alasnya. 99. Selembar seng yang panjangnya p meter mempunyai lebar 6 cm. Kedua sisi panjangnya arus dilipat ke atas untuk membuat talang. Dengan memisalkan lebar lipatan pada tiap sisi adala, tentukan: a. Kapasitas talang dalam, b. Lebar lipatan tiap sisi agar kapasitas maksimum, c. Kapasitas maksimum jika panjang seng adala m. 00. Segitiga ABE merupakan segitiga sama sisi serta BCDE merupakan persegi panjang. Jika keliling bangun tersebut 8 6

18 cm, tentukan ukuran bangun tersebut agar luasnya maksimum. 0. Sebua lingkaran berjari-jari R dipotong sebagian seingga menjadi juring seperti pada gambar. Juring tersebut akan dibentuk sebua kerucut, tentukan volume maksimum kerucut yang terjadi. 0. Sebua tabung akan dibentuk di dalam sebua bola yang berjari-jari R sedemikian seingga tepi alas dan tepi atasnya menyinggung sisi dalam bola. Hitungla volume maksimum tabung yang terjadi. 0. Sepetak tana berbentuk persegi panjang yang luasnya 6 m. Berapaka ukuran dari sepetak tana tersebut agar dapat dipagari dengan baan seemat mungkin? 0. Selembar karton dengan luas cm yang berbentuk persegi panjang, ujungujungnya dipotong berbentuk bujursangkar yang ukurannya sama. Sisi-sisi karton tersebut dilipat ke atas seingga diperole sebua kotak tanpa tutup. Tentukan volume paling besar dari kotak yang dapat dibuat dari karton tersebut. 06. Sepotong kawat yang panjangnya 6 cm dipotong menjadi dua bagian. Satu potong dilipat menjadi bujur sangkar dan sisanya dilipat untuk dijadikan lingkaran. Pada bagian manaka kawat tadi arus dipotong supaya jumla luas bujur sangkar dan lingkaran sesempit mungkin? 07. Sepotong kawat yang panjangnya 6 cm dipotong menjadi dua bagian. Satu bagian sepanjang 8 cm dibengkokkan dan dibuat persegi panjang dengan ukuran cm cm. Bagian lainnya dibengkokkan dan dibuat persegi. Tentukan luas minimum gabungan persegi panjang dan persegi tersebut. 08. Sebua kawat yang panjangnya 0 meter akan dibuat bangun yang berbentuk persegi panjang seperti pada gambar. Tentukan luas maksimum daera yang dibatasi kawat tersebut. 0. Sebua tabung akan dibentuk di dalam sebua kerucut sedemikian seingga alasnya berimpit dengan alas kerucut dan bidang atasnya menyinggung apotema kerucut. Buktikan bawa volum maksimum tabung yang terjadi besarnya /9 volum kerucut. 09. Satu lembar karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran 0 cm cm akan dibuat kardus yang berbentuk balok tanpa tutup dengan cara memotong tiap sudutnya sepanjang cm. Tentukan tinggi kardus agar volumenya maksimal. J. Menggambar Grafik Gambarla grafik dari fungsi berikut: 0. f (. f (. f (. f ( + 8. f ( 8 + 7

19 . f ( f ( 7. f ( f ( ( 9. f ( ( + ( 0. f ( + 6. f ( +. f ( ( +(. f ( 8. f (. f ( 6. f ( 9 7. Silakan mengambil dari F dan H. Kata-kata mutiara: a. Were tere is a will, tere is a way, Dimana ada kemauan, disitu pasti ada jalan. b. Practise makes perfect, banyak latian kuncine kesuksesan. c. Witing tresno jalaran soko kulino, witing iso jalaran soko kerep nyobo. d. Kalau orang lain bisa, kita InsyaAllo juga bisa. e. Gagal adala kesuksesan yang tertunda, maju teruuuss... Sumber: a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marten Kanginan. c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk. d. Matematics Year XI, Yudistira, Team. e. Matematika Bilingual, Yrama Widya, Suwa S dkk f. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. g. Lainnya. Soal-soal Spesial:. Tentukan turunan dari f ( + +. Tentukan turunan dari f ( + + a. Jika y +, buktikan bawa a dy a ( y d a 8