METODE ITERASI BERTIPE NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN ORDE KONVERGENSI SEBARANG BILANGAN BULAT. Ayunda Putri 1, Aziskhan 2

Transkripsi

1 METODE ITERASI BERTIPE NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN ORDE KONVERGENSI SEBARANG BILANGAN BULAT Ayuda Putri 1, Aziskha 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapa, Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawidya Pekabaru (28293), Idoesia ayuda0215@yahoo.com ABSTRACT This article discusses a aalytic study of combiig iterative methods of order p ad q with p ad q itegers to Newto s method to obtai a Newto-type iteratio method of order p + q. This ew method ca also be applied to solve systems of oliear equatios. Numerical computatios are carried out cosecutively for a method of secod ad third order, which produce a Newto-type method of fifth order, ad methods of third ad fifth order, which produce a Newto-type method of eighth order. The test results support the aalytical studies. Keywords: order of covergece, oliear equatios, systems of oliear equatios, simple root, Newto s method. ABSTRAK Pada artikel ii dibahas kajia aalitik pegkombiasia metode iterasi berorde p da q dega p da q bilaga bulat ke metode ewto sehigga diperoleh metode iterasi bertipe Newto berorde p + q. Metode hasil kostruksi ii dapat juga diterapka utuk meyelesaika sistem persamaa oliear. Uji komputasi dilakuka berturut turut utuk metode berorde dua da berorde tiga, yag meghasilka metode bertipe Newto berorde lima, da metode berorde tiga da berorde lima yag meghasilka metode bertipe Newto berorde delapa. Hasil uji komputasi medukug kajia aalitik. Kata kuci: orde kovergesi, persamaa oliear, sistem persamaa oliear, akar sederhaa, metode Newto. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

2 1. PENDAHULUAN Persamaa oliear adalah salah satu subjek yag memegag peraa petig dalam bidag ilmu matematika baik aalisis maupu terapa. Namu terkadag pembahasa megeai persamaa oliear ii terkedala karea betuk persamaaya yag rumit da tidak dapat diselesaika dega cara aalitik, misalya persamaa oliear dalam betuk fugsi trasede. Seirig dega pesatya riset di bidag aalisis umerik maka semaki berkembag pula metode utuk mecari akar sederhaa α dari persamaa oliear f(x) = 0, dimaa f : D R R adalah fugsi skalar pada iterval buka D. Salah satu metode yag umum dikeal adalah metode Newto yag betuk iterasiya adalah x +1 = x f(x ) f (x ). (1) Metode Newto koverge secara kuadratik utuk tebaka awal yag cukup dekat dega α [4, h. 282]. Metode Newto merupaka salah satu metode yag cukup bayak dimodifikasi oleh para peeliti. Misalya modifikasi metode Newto dega orde kovergesi tiga oleh Potra [6] yag didefiisika dega ( f(x )+f x f(x ) ) f x +1 = x (x ). (2) f (x ) Kig [2] melakuka modifikasi metode Newto mejadi keluarga satu parameter dega orde kovergesi empat yag ditujukka dega y = x f(x ) f (x ), f(x )+βf(y ) f(y ) x +1 = y f(x )+(β 2)f(y ) f (x ). Metode oleh Kig [2] da Potra [6] merupaka metode iterasi dega orde kovergesi bilaga bulat. Pada bagia dua dari artikel ii dibahas metode iterasi bertipe Newto utuk meyelesaika persamaa oliear dega orde kovergesi sebarag bilaga bulat yag merupaka review dari artikel yag ditulis oleh Zhog Li, Chesog Peg, Tiahe Zhou da Ju Gao [3] dega judul A New Newto-Type Method for Solvig Noliear Equatios with Ay Iteger Order of Covergece. Pada bagia tiga, metode ii diaplikasika utuk meyelesaika sistem persamaa oliear. Kemudia di bagia empat dilakuka perbadiga umerik utuk kasus persamaa oliear da sistem persamaa oliear terhadap beberapa fugsi uji. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

3 2. METODE ITERASI BERTIPE NEWTON UNTUK PERSAMAAN NONLINEAR Sebelum membahas tetag metode iterasi bertipe Newto utuk persamaa oliear aka diperkealka dua lema sebagai berikut. Lema 1 [3] Asumsika bahwa f C p (D) da terdapat sebuah akar sederhaa α dari persamaa oliear f(x) = 0, dimaa f : D R R adalah suatu fugsi skalar pada iterval buka D. Jika terdapat sebuah fugsi iterasi ϕ(x) dega orde kovergesi p (p adalah bilaga bulat) yag meghasilka {x } =0, maka x +1 α = A(x α) p +O((x α) p+1 ), jika x U(α), (3) dega kostata A 0 da U(α) adalah ligkuga dari α. Bukti. Megguaka deret Taylor, ϕ(x ) diekspasika di sekitar x = α sampai suku ke-p, lalu diperoleh ϕ(x ) = ϕ(α)+ϕ (α)(x α)+ ϕ (α) 2! + ϕ(p+1) (α) (p+1)! (x α) (p+1). (x α) ϕp (α) (x α) p (4) p! Diketahui bahwa ϕ(x) adalah sebuah fugsi iterasi sehigga x +1 = ϕ(x ). Kemudia, ϕ(x ) diketahui berorde p sehigga persamaa (4) dapat ditulis mejadi x +1 = α+ ϕp (α) (x α) p +O((x α) (p+1) ) p! = A(x α) p +O((x α) (p+1) ), dega A = ϕp (α) p! da A 0. Sehigga persamaa (3) terbukti. Lema 2 [3] Misalka bahwa f C p+q (D) da terdapat sebuah akar sederhaa α dari persamaa oliear f(x) = 0, dimaa f : D R R adalah sebuah fugsi skalar pada iterval buka D. Misalka ψ(x) da φ(x) adalah dua fugsi iterasi dega orde kovergesi masig-masig p da q (p, q bilaga bulat da p > q). Jika hasil dari iterasi ke-+1 dari ψ(x) da φ(x) adalah u +1 da v +1, maka orde kovergesi dari formula iterasi x +1 = u +1 f(u +1) f (v +1 ) (5) adalah p+q. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

4 Bukti. Terdapat fugsi iterasi ψ(x) da φ(x) yag masig-masig meghasilka {u } =0 da {v } =0 yag koverge ke α dega orde kovergesi berturut-turut p da q dimaa p > q. Jadi, u +1 = ψ(u ) da v +1 = φ(v ). Pertama, ψ(u ) diekspasika di sekitar x = α megguaka deret Taylor sampai suku ke-2p kemudia dega cara yag sama pada Lema 1 diperoleh u +1 α = A(u α) p +A 1 (u α) p+1 +A 2 (u α) p+2 + +A p (u α) 2p +O((u α) 2p+1, (6) dega A = ψp (α) da A i = ψp+i (α), i = 1,2,,p da A 0. Selajutya, p! (p+i)! φ(v ) diekspasika di sekitar x = α sampai suku ke-q sehigga diperoleh dega memisalka B = φq (α) q! v +1 α = B(v α) q +O((v α) q+1 ), (7) 0. Kemudia dega megguaka ekspasi Taylor f(u +1 ) yag diekspasika di sekitar x = α sampai turua ke-2 diperoleh f(u +1 ) = f(α)+f (α)(u +1 α)+ f (α) (u +1 α) 2 +O((u +1 α) 3 ), 2! lalu, dega meetapka f(α) = 0 diperoleh f(u +1 ) = f (α) ( (u +1 α)+ f (α) 2f (α) (u +1 α) 2 +O((u +1 α) 3 ) ). (8) Kemudia, dega mesubstitusika persamaa(6) ke persamaa(8) da memisalka C = f (α) f (α) diperoleh ( f(u +1 ) =f (α) A(u α) p +A 1 (u α) p+1 +A 2 (u α) p+2 + +(A p + C ) 2 A2 )(u α) 2p +O((u α) 2p+1 ). (9) Selajutya, dega megguaka ekspasi Taylor diperoleh f (v +1 ) =f (α) ( 1+C(v +1 α) ) +O((v +1 α)) 2. (10) Kemudia, dega mesubstitusika persamaa (7) ke persamaa (10) didapatka f (v +1 ) = f (α) ( 1+BC(v α) q +O((v α) q+1 ) ). (11) JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

5 Karea x,u, da v koverge ke α maka utuk asumsika e = x α = u α = v α sehigga persamaa (9) da (11) dapat ditulis mejadi ( f(u +1 ) =f (α) Ae p +A 1 e p+1 +A 2 e p+2 + +(A p + C 2 A2 )e 2p + +Oe 2p+1 ), (12) f (v +1 ) =f (α) ( 1+BCe q +O(e q+1 ) ). (13) Kemudia dega mesubstitusika persamaa (12) da (13) ke persamaa (5) diperoleh x +1 = α+ae p +A 1 e p+1 +A 2 e p+2 ( f (α) + +A p e 2p +O(e p+1 ) Ae p +A 1 e p+1 +A 2 e p+2 + +(A p + C 2 A2 )e 2p ) ( 1 +O(e 2p+1 ) f (α)(1+cbe q +Oe q+1 )). (14) Selajutya dega megguaka formula deret geometri 1 1+r = 1 r+r2, da megambil r = BCe q +O(e q+1 ) maka persamaa (14) mejadi x +1 = α+ae p +A 1 e p+1 +A 2 e p+2 ( Ae p +A 1 e p+1 +A 2 e p+2 )( +O(e 2p+1 ) = α+abce p+q e +1 = ABCe p+q + +A p e 2p +O(e p+1 ) + +A p e 2p + C 2 A2 e 2p ) 1 BCe q +B 2 C 2 e 2q +O(e 2q+1 ) +O(e p+q+1 ) utuk. +O(e p+q+1 ). (15) Jadi, terbukti metode yag ditujukka persamaa (5) berorde kovergesi p+q. Teorema 3 berikut ii mejami bahwa metode iterasi yag didefiisika pada persamaa (5) berorde sebarag bilaga bulat jika terdapat dua metode berorde p da q dega p da q bilaga bulat. Teorema 3 [3] Jika terdapat sebuah akar sederhaa α dari persamaa oliear f(x) = 0, dimaa f : D R R adalah fugsi skalar pada iterval buka D, da f(x) mempuyai turua secukupya pada D maka diperoleh metode iterasi dari persamaa (5) berorde kovergesi sebarag bilaga bulat., JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

6 Bukti. Berdasarka persamaa (5) diperoleh suatu metode iterasi berorde sebarag bilaga bulat jika terdapat dua metode iterasi berorde p da q dimaa p, q N dega p > q. Dapat dikataka bahwa metode iterasi yag didefiisika pada persamaa (5) berorde p + q = dega adalah sebarag bilaga bulat. Kemudia, dega megguaka prisip iduksi matematika aka dibuktika bahwa Teorema 3 bear. Pertama, telah dikealka pada bab sebelumya bahwa terdapat metode iterasi berorde 2, 3 da 4. Metode iterasi dega orde = 5 diperoleh dari dua metode berorde p da q dega p > q 2 atau p = 3 da q = 2 sehigga Teorema 3 bear utuk = 5. Selajutya, asumsika utuk = k 5, k N maka p + q = k adalah bear. Kemudia, utuk = k +1 5 diperoleh p+q =k +1 p+q +1 =k +1+1 p+1+q =+1. Jadi, metode iterasi berorde +1 diperoleh dari metode berorde p+1 da q da terbukti bahwa metode iterasi yag dideskripsika pada persamaa (5) berorde sebarag bilaga bulat. Berikut ii dikostruksi dua metode iterasi bertipe Newto utuk meyelesaika persamaa oliear. (1) Formula iterasi bertipe Newto orde lima Berdasarka Lema 1, Lema 2 da Teorema 3 maka dega megguaka metode Newto pada persamaa (1) da metode orde tiga Potra [6] pada persamaa (2) kemudia mesubstitusikaya ke persamaa (5) diperoleh metode iterasi orde lima berikut y = x f(x ) f (x ), z = x f(x )+f(y ), f (x ) x +1 = z f(z ) f (y ). (16) (2) Formula iterasi bertipe Newto orde delapa Formula iterasi ii dikostruksi dari metode orde tiga [6] da metode iterasi baru bertipe Newto berorde lima dari persamaa (16) da meerapkaya ke per- JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

7 samaa (5) diperoleh metode iterasi orde delapa berikut y = x f(x ) f (x ), z = x f(x )+f(y ), f (x ) w = z f(z ) f (y ), x +1 = w f(w ) f (z ). (17) 3. METODE ITERASI UNTUK SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR Metode iterasi utuk sistem persamaa oliear pada bagia ii merupaka betuk aplikasi dari metode iterasi bertipe Newto berorde kovergesi sebarag bilaga bulat utuk persamaa oliear. Teorema 4 di bawah ii utuk merupaka betuk aalisis metode iterasi berorde sebarag bilaga bulat utuk sistem persamaa oliear. Teorema 4 [3] Misalka F : D R k R k terdiferesial Frechet t-kali pada himpua koveks D yag memuat akar α dari F(x) = 0. Jika terdapat dua fugsi iterasi ψ(x) da φ(x) dega orde kekovergea masig - masig p da q (p da q bilaga bulat da p > q). Hasil iterasi ke + 1 dari ψ(x) da φ(x) adalah u +1,v +1, maka orde kovergesi formula iterasi adalah p+q. x +1 = u +1 ( F (v +1 ) ) 1( F(u+1 ) ) (18) Bukti. Sistem persamaa oliear F(x) = 0 dimaa F(x) = f i [x 1,x 2,,x k ] dega i = 1,2,,k koverge ke α = [α 1,α 2,,α k ] T. Jika terdapat fugsi iterasi ψ(u) da φ(v) yag merupaka fugsi berilai vektor utuk meyelesaika F(x) = 0 maka masig-masig fugsi iterasi ψ da φ meghasilka barisa vektor {u } =0 da{v } =0 degau = [u 1,u 2,,u k ] T dav = [v 1,v 2,,v k ] T. Jadi, u +1 = ψ(u ) da v +1 = ψ(v ). Selajutya, pembuktia dari teorema ii diperoleh dega cara yag sama dega bukti Lema 2. Berikut ii diaplikasika metode bertipe Newto yag didefiisika pada Teorema 4 utuk megkostruksi formula iterasi berorde lima utuk meyelesaika sistem persamaa oliear. Metode ii dibetuk dari metode Newto utuk sistem persamaa oliear [5, h. 140] da metode orde tiga Darvishi [1] sehigga diperoleh metode iterasi bertipe Newto utuk sistem persamaa oliear berorde lima JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

8 berikut. v = x ( F (x ) ) 1( F(x ) ), u = x ( F (x ) ) 1( F(x )+F(v ) ), x +1 = u ( F (v ) ) 1( F(u ) ), (19) dega F adalah matriks Jacobia dari sistem persamaa oliear tersebut. 4. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagia ii dilakuka perbadiga umerik atara metode iterasi bertipe Newto utuk kasus persamaa oliear da sistem persamaa oliear terhadap beberapa metode pembadig, utuk melihat jumlah iterasi yag diperluka setiap metode utuk mecapai akar pedekata. 4.1 Kasus Persamaa Noliear Berikut ii dilakuka perbadiga umerik atara metode Newto (NM), metode iterasi bertipe Newto orde lima (MOL) pada persamaa (16) da metode iterasi bertipe Newto orde delapa (MOD) pada persamaa (17) utuk meyelesaika sembila persamaa oliear. Semua komputasi megguaka program Matlab dega kriteria pemberhetia iterasi sebagai berikut : 1. Jika ilai mutlak fugsi lebih kecil dari tolerasi Jika selisih ilai mutlak atara dua iterasi yag berdekata berilai lebih kecil dari tolerasi yag diberika. Berdasarka uji komputasi pada Tabel 1, dapat disimpulka bahwa MOL da MOD lebih uggul dibadigka dega NM dalam hal jumlah iterasi yag diperluka utuk memperoleh akar pedekata. MOL da MOD memerluka jumlah iterasi yag lebih sedikit dibadigka dega NM utuk semua fugsi pada setiap tebaka awal yag berbeda. Selai itu, MOL da MOD relatif lebih stabil daripada NM ketika tebaka awal diambil lebih jauh dari akar. 4.2 Kasus Sistem Persamaa Noliear Utuk kasus sistem persamaa oliear berikut dilakuka simulasi umerik utuk melihat perbadiga dari metode Newto utuk sistem persamaa oliear (NMS), metode orde tiga Darvishi (MOTS), da metode baru orde lima (MOLS) pada persamaa (19) terhadap dua sistem persamaa oliear. Kriteria pemberhetia iterasi sama dega pada kasus persamaa oliear. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

9 Cotoh 1 Tetuka akar pedekata dari sistem persamaa oliear berikut : x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 = 1, 2x 2 1 +x 2 2 4x 3 = 0, 3x 2 1 4x 2 2 +x 2 3 = 0, dega tebaka awal x 0 = [0.5,0.5,0.5] T da tolerasi Cotoh 2 Tetuka akar pedekata dari sistem persamaa oliear berikut : x logx 1 x 2 2 = 0, 2x 2 1 x 1 x 2 5x 1 +1 = 0, dega tebaka awal x 0 = [1.5, 0] T da tolerasi Tabel 1: Perbadiga Numerik Metode Newto da Metode Baru Bertipe Newto Fugsi Akar pedekata x 0 NM MOL MOD f 1 (x) = x 3 +4x f 2 (x) = si(x) 2 x f 3 (x) = x 2 e x 3x f 4 (x) = xe x2 si(x) cos(x) f 5 (x) = e x2 +7x f 6 (x) = l(x)+ x f 7 (x) = si(x)e x 2x f 8 (x) = x 1 3 x f 9 (x) = x JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

10 Tabel 2: Hasil Komputasi Beberapa Metode Iterasi Cotoh 1 Metode x 1 x 2 x MOLS MOTS NM Tabel 3: Hasil Komputasi Beberapa Metode Iterasi Cotoh 2 Metode x 1 x MOLS MOTS NM JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober

11 Pada Tabel 2 da Tabel 3, kolom pertama meujukka metode yag diguaka, kolom utuk iterasi, da kolom x i dega i = 1, 2, meyataka variabel ke-i dari x. Dari simulasi umerik terhadap dua cotoh sistem persamaa oliear tersebut, secara keseluruha MOLS lebih cepat meraih akar pedekata daripada MOTS da NM dimaa utuk kedua cotoh tersebut MOLS memerluka lebih sedikit iterasi daripada MOTS da NM. Meskipu pada Cotoh 1 MOTS da MOLS sama-sama memerluka tiga iterasi, aka tetapi MOLS telah medekati akar yaitu ilai x 2 da x 3 pada iterasi ke-2. Jadi dapat disimpulka bahwa MOLS lebih uggul dari MOTS da NM. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapa terima kasih diberika kepada Dr. Imra M., M.Sc. yag telah membimbig da memberika araha dalam peulisa artikel ii. DAFTAR PUSTAKA [1] Darvishi, M. T. & A. Barati A Third-Order Newto-type Method to Solve Systems of Noliear Equatios. Applied Mathematics ad Computatio, 187 : [2] Kig, R. F A Family of Fourth Order methods for Noliear Equatios. SIAM Joural o Numerycal Aalysis, 5(10) : [3] Li, Z. C. Peg, T. Zhou, & J. Gao A New Newto-type Method for Solvig Noliear Equatios with Ay Iteger Order of Covergece. Joural of Computatioal Iformatio System 7, 7: [4] Neumaier, A Itroductio to Numerical Aalysis. Cambridge Uiversity Press, Cambridge. [5] Ortega, J. M Numerical Aalysis: A Secod Course. SIAM, Philadelphia. [6] Potra, F. A. & V. Ptak Nodiscrete Iductio ad Iterative Processes. Research Notes i Mathematics, Vol 203. Pitma, Bosto. [7] Traub, J. F Iterative Methods for the Solutio of Equatios. Pretice Hall Ic. Eglewood Cliffs, New Jersey. JOM FMIPA Volume 1 No. 2 Oktober