PENGKAJIAN OSILATOR HARMONIK SECARA KUANTUM DENGAN SIMULASI MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN DELPHI 7.0

Transkripsi

1 PENGKAJIAN OSILATOR HARMONIK SECARA KUANTUM DENGAN SIMULASI MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN DELPHI 7. Disusu olh : ADITIYA M 511 SKRIPSI Diajuka utuk mmuhi sbagia prsarata mdapatka glar Sarjaa Sais Fisika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA Juli, 9

2 HALAMAN PENGESAHAN Skripsi ii dibimbig olh : Pmbimbig I Pmbimbig II Dra. Suparmi, M.A., Ph.D. NIP Viska Ida Variai, S.Si., M.Si. NIP Diprtahaka di dpa Tim Pguji Skripsi pada : Hari : Slasa Taggal : 1 Juli 9 Aggota Tim Pguji : 1. Drs. Suharaa, M.Sc. NIP Dr. Eg. Budi Purama, S.Si., M.Si NIP Disahka olh Jurusa Fisika (...) (...) Fakultas Matmatika da Ilmu Pgtahua Alam Uivrsitas Sblas Mart Surakarta Dka Fakultas MIPA Ktua Jurusa Fisika Prof. Drs. Sutaro, M.Sc., Ph.D NIP Drs. Harjaa, M.Si, Ph.D. NIP ii

3 PERNYATAAN Dga ii saa mataka bahwa skripsi saa ag brjudul PENGKAJIAN OSILATOR HARMONIK SECARA KUANTUM DENGAN SIMULASI MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN DELPHI 7. adalah barbar hasil plitia sdiri da tidak trdapat kara ag prah diajuka utuk mmprolh glar ksarjaaa di suatu prgurua tiggi, da spajag pgtahua saa juga tidak trdapat krja atau pdapat ag prah ditulis atau ditrbitka olh orag lai, kcuali ag scara trtulis diacu dalam askah ii da disbutka dalam daftar pustaka. Surakarta, 1 Juli 9 ADITIYA iii

4 PENGKAJIAN OSILATOR HARMONIK SECARA KUANTUM DENGAN SIMULASI MENGGUNAKAN BAHASA PEMROGRAMAN DELPHI 7. Jurusa Fisika Fakultas MIPA Uivrsitas Sblas Mart ABSTRAK Tlah dilakuka pdskripsia scara umrik osilator harmoik mgguaka bahasa pmrograma Dlphi 7.. Fugsi glombag da krapata pluag ditujukka dga poliomial hrmitt da digambarka dalam btuk grafik utuk = sampai = 1. Grafik dapat diguaka utuk mjlaska klakua partikl ag brgrak dibawah pgaruh dari gaa priodik (osilasi). Fugsi glombag juga dapat dituruka mgguaka mtod oprator (aljabar) dalam btuk diffrsial ord satu da dislsaika dga bahasa pmrograma Mapl 9.5. Kata kuci:osilator harmoik, mtod oprator, poliom hrmitt iv

5 STUDY OF QUANTUM HARMONIC OSCILLATOR THROUGH SIMULATION USING DELPHI 7. PROGRAMMING LAGUAGE Phsics Dpartmt MIPA Facult Sblas Mart Uivrsit ABSTRACT Th harmoic oscillator has b dscribd umricall usig Dlphi 7. programmig laguag. It s wav fuctio ad probabilistic dsit xprssd b hrmitt polomial ar visualizd graphicall for = util = 1. Th graph ca b usd to dscrib th bhavior of particls that movs udr th ifluc of priodic forc (oscillatio). I additio to th solutio usig polomial hrmitt, th wav fuctio also ca b drivd usig oprator mthod (algbraic) which is xprssd as first ordr diffrtial xprssio ad solvd usig Mapl 9.5 programmig. Kwords: harmoic oscillator, oprator mthod, hrmitt polomial v

6 MOTTO Ssugguha ssudah ksulita itu ada kmudaha, maka apabila kamu tlah slsai dari suatu urusa krjakalah dga sugguh sugguh urusa ag lai, da haa kpada Allah kamu brharap. Q.S Al-Isirah : 6 8 vi

7 PERSEMBAHAN Bapak da Ibuku trcita. Adikku trcita (Firmada) Almamatrku UNS vii

8 KATA PENGANTAR Puji Sukur khadirat Allah SWT ag tlah mlimpahka rahmat, karuia, da iji-na shigga pulis dapat mlsaika pulisa skripsi ii utuk mmuhi sbagia prsarata gua mcapai glar Sarjaa Sais dari Jurusa Fisika Fakultas Matmatika da Ilmu Pgtahua Alam, Uivrsitas Sblas Mart Surakarta. Dalam pusua lapora ii, pulis tidak lpas dari bimbiga, pgaraha da batua dari brbagai pihak, maka pada ksmpata ii pulis mampaika ucapa trima kasih kpada : 1. Prof. Drs. Sutaro, M.Sc., Ph.D. slaku Dka Fakultas MIPA Uivrsitas Sblas Mart Surakarta.. Drs. Harjaa, M.Si, Ph.D. slaku Ktua Jurusa Fisika Fakultas MIPA Uivrsitas Sblas Mart Surakarta atas bimbiga da saraa. 3. Dra Suparmi MA, PhD, slaku Pmbimbig I ag tlah mdampigi slama plitia, mmbri motivasi, bimbiga, ashat da sara dalam pusua skripsi. 4. Viska Ida Variai M.Si slaku Pmbimbig II ag tlah mmbrika motivasi, mlatih ksabara da sara dalam plsaia skripsi. 5. Tm agkata 5 ag tlah mmbrika motivasi dalam plsaia skripsi ii. Pulis madari bahwa skripsi ii masih jauh dari ksmpuraa. Utuk itu pulis mgharapka kritik da sara ag brsifat mmbagu dmi hasil ag lbih baik lagi. Pulis juga brharap smoga lapora ii dapat brmafaat da mmbri tambaha ilmu bagi pmbaca. Surakarta, 1 Juli 9 ADITIYA viii

9 DAFTAR SIMBOL m ω h = massa atom (kg) = kcpata sudut (rad/s) = bilaga kuatum = kostata plack (6.66 x h = h 54 p =1. 34 x 1 - J.s = fugsi glombag J.s ) = probabilitas fugsi glombag U (x) H v = rgi potsial = poliomial hrmitt dga suku k- = frkusi osilator harmoik k = kostata pgas ( N/m ) w cl (x) = krapata pluag scara klasik w qu (x) = krapata pluag scara kuatum f T A = kostata fas = priod = amplitudo ix

10 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL i LEMBAR PENGESAHAN ii HALAMAN PERNYATAAN... iii ABSTRAK... iv ABSTRACT... v MOTTO... vi PERSEMBAHAN... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR SIMBOL... x DAFTAR ISI... xi DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv BAB I. PENDAHULUAN... 1 I.1. Latar Blakag Masalah... 1 I.. Prumusa Masalah... 3 I.3. Tujua Plitia... 3 I.4. Batasa Plitia... 3 I.5. Mafaat Plitia... 3 BAB II. TINJAUAN PUSTAKA... 4 II.1. Osilasi Harmoik Sdrhaa... 4 II.. Tijaua Osilasi Harmoik Scara Kuatum... 5 II.3. Oprator Osilasi Harmoik BAB III. METODE PENELITIAN III.1. Lokasi da Waktu Plitia III.. Alat da Baha Plitia III..1. Alat Plitia III... Baha Plitia x

11 III.3. Prosdur Plitia... III.3.1. Flowchart Plitia... III.3.. Flowchart Pmrograma Dga Poliomial Hrmitt... 1 III.3.. Flowchart Pmrograma Dga Oprator... BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN... 3 IV.1. Mkaika Kuatum Da Osilasi Harmoik... 3 IV.. Fugsi Glombag Osilasi Harmoik... 3 IV.3. Probabilitas Fugsi Glombag Osilasi Harmoik... 5 BAB V. SIMPULAN DAN SARAN... 9 V.1.1. Simpula... 9 V.1.. Sara... 9 DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN - LAMPIRAN... 3 xi

12 DAFTAR TABEL Tabl.1. Kam lm poliomial hrmitt da rgi Halama (hprphsics.ph-astr.gsu.du, 9) xii

13 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar.1. Sistm pgas brmassa sdrhaa utuk partikl (Mortara, 9)... 5 Gambar.. Grafik x vs t grak harmoik sdrhaa dga bda fas f (Srwa ad Jwtt, 4)... 7 Gambar.3. Fugsi glombag dga brbagai variasi x (Igar, 8) Gambar.4. Probabilitas 4 kadaa dasar osilator harmoik (Philips, 3) Gambar 3.1. Diagram Plitia... Gambar 3.. Flowchart Pmrograma Dga Poliomial Hrmitt... 1 Gambar 3.. Flowchart Pmrograma Dga Oprator... Gambar 4.1. Fugsi Osilator Harmoik ( = )... 4 Gambar 4.. Fugsi Osilator Harmoik ( = 5 )... 4 Gambar 4.3. Fugsi Osilator Harmoik( = 1 )... 5 Gambar 4.4. Probabilitas Osilator Harmoik ( = )... 5 Gambar 4.5. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 1 )... 6 Gambar 4.6. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 5 )... 7 Gambar 4.7. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 1 )... 8 xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira 1. Listig Program Dalam Dlphi Lampira. Listig Program Dalam Mapl 9.5(Fugsi Oprator)... 4 Lampira 3. Tampila Output Program xiv

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Blakag Masalah Tkologi ao mmaika praa ptig dalam pgmbaga tkologi iformasi (TI). Produk tkologi ao dalam bidag TI atara lai tlpo gggam smaki kcil, komputr mmiliki hardisk brukura kcil dga kapasitas mmori ag smaki bsar. Aplikasi lai adalah pambaha kpadata jumlah divais. Kpadata divais dapat digambarka sprti trasistor ag dibuat lbih kcil maka kpadata jumlah trasistor pada ukura chip ag sama aka mjadi lbih bsar (Nuradi, 6). Tkologi ao mmugkika aplikasi fk kuatum. Ukura matrial jika mcapai satua aomtr, maka scara otomatis aka mucul fomafoma baru dalam fisika kuatum ag tidak dijumpai pada foma fisika klasik, aitu fk kuatum. Foma uik ii mjadi prhatia ag bsar bagi ilmua skarag utuk diaplikasika dalam tkologi lktroika saat ii (Nuradi, 6). Sial digital dalam darah 1 dimsi brmafaat utuk tkologi radar. Radar mrupaka salah satu aplikasi dari sistm ag brosilasi harmoik. Radar mgirimka sial da mdapatka cho. Sial dikirimka muju targt mmiliki batasa da kcpata trttu. Fugsi ig osilator harmoik da fugsi pmbawa sial pada radar mmiliki mkaism ag sama (Gurvich, 8). Pgguaa fk kuatum sdiri dalam divais brmacam-macam. Salah satua adalah divais lktroika ag mgguaka struktur kcil kuatum dot maupu suprlatis. Pada divais dga struktur suprlatis iilah ag diproksika bisa dipakai dalam aplikasi divais dga kcpata tiggi. Cotoh divais dari jis ii ag sudah diproduksi adalah HEMT (High Elctro Mobilit Trasistor) ag biasa dipakai pada sistm pmacar satlit (Nuradi, 6). xv

16 Komputr fotoik mrupaka salah satu gagasa ag atia aka dapat diikmati pada awal millium k-3. Hal ii dikaraka mlihat prkmbaga tkologi srat optik ag brkmbag sagat cpat. Salah satu ag sudah ada adalah pgmbaga sumbr cahaa dalam btuk lasr smikoduktor da LED (Light Emittig Dioda) ag dapat dipakai sbagai sumbr cahaa pada komputr fotoik. Pada komputr fotoik data aka disimpa scara tiga dimsi dalam mdium ag ktbalaa brord mikromtr (Akhadi, ). Kisi mrupaka pola gomtri dari kristal. Spktrum dari vibrasi kisi adalah ptig utuk mmplajari masalah ag trkait dga itraksi foto da lktro dga kisi kristal, absorbasi iframrah, difraksi siar x da kapasitas paas. Atom ag brvibrasi dalam darah 1 dimsi diasumsika logitudial dimaa arah prgraka partikl tgak lurus dga arah prambata glombag (Kittl, 1953). Atom brosilasi harmoik dalam kristal mmiliki fugsi glombag. Osilasi harmoik dapat dislsaika dga mgguaka bbrapa cara aitu prsamaa ord II, fugsi pmbagkit, poliomial hrmitt da oprator. Atom brosilasi mmiliki bilaga kuatum trttu apabila bilaga kuatum bsar maka trdapat korspodsi atara mkaika klasik da mkaika kuatum. Brdasarka pada fugsi glombag da probabilitas maka dapat diprdiksika momtum partikl atomik. Program ag sudah ada mgguaka poliomial hrmitt. Program dibuat dga bahasa pmrograma fortra 77 da sdikit prulaga dalam C ag dikmas dalam softwar INTERQUANTA (Dahm,1989). Bahasa pmrograma C mrupaka bahasa pmrograma tigkat mgah (Yuaa, 5). Olh kara itu prlu diguaka bahasa pmrograma baru shigga mudah utuk diguaka olh usr. Pascal adalah bahasa pmrograma tigkat tiggi da trstruktur. Pascal mrupaka dasar pmrograma visual Dlphi. Poliomial hrmitt da fugsi oprator aka dibuat dga mgguaka softwar Dlphi dga batua Mapl 9.5. xvi

17 I.. Prumusa Masalah Brdasarka latar blakag di atas, maka dapat dituliska prumusa masalah sbagai brikut: 1. Bagaimaakah mdskripsika osilator harmoik scara kuatum dalam btuk grafik?. Bagaimaakah grafik ag diprogram dga mtod poliomial hrmitt da oprator osilator harmoik? I.3. Tujua Plitia Tujua ag aka dicapai dalam plitia ii adalah: 1. Mdskripsika osilator harmoik scara kuatum dalam btuk grafik.. Mmbadigka grafik ag diprogram dga mtod poliomial hrmitt da oprator osilator harmoik. I.4. Batasa Plitia Pusua program utuk plsaia scara umrik osilator harmoik mgguaka poliomial hrmitt da mtod oprator dilakuka utuk = sampai = 1. Program dapat mampilka hubuga atara fugsi glombag ( ) da posisi (x) srta mampilka hubuga probabilitas da posisi (x). I.5. Mafaat Plitia Mmbrika pgalama plitia dalam bidag simulasi dari partikl atomik dga mgguaka bahasa pmrograma Dlphi 7. da dibatu Mapl 9.5. Slai itu, dapat diguaka utuk mgkaji sifat partikl atom ag brmafaat juga utuk pgmbaga bidag lai sprti matrial, zat padat. xvii

18 BAB II TINJAUAN PUSTAKA II.1 Osilator Sdrhaa Grak priodik adalah grak brulag dari suatu objk dalam jagka waktu ag sama. Sbagai suatu pgtahua cotoha adalah bumi kmbali k posisi ag sama ktika stlah stahu mgitari matahari. Pada khususa sbara baak sistm ag mlakuka grak priodik aitu molkul dalam zat padat brosilasi diskitar titik stimbaga, glombag lktromagtik sprti glombag cahaa, radar, da glombag radio mrupaka karaktristik dari osilasi listrik da mda magt. Grak priodik trjadi pada sistm mkaik ktika gaa ag dibrika aka sbadig dga jarak rlatif obk trhadap titik stimbaga. Jika gaa slalu diarahka k titik stimbaga maka grak trsbut dikal sbagai grak harmoik sdrhaa (Srwa ad Jwtt, 4). Gambar.1. Sistm pgas brmassa sdrhaa utuk partikl (Mortara, 9) Prsamaa ag diguaka utuk mrprstasika grak harmoik sdrhaa adalah d x =- dt k m x Jika rasio dari (.1) k =w, maka prsamaa (.1) brubah mjadi m d x = -w x (.) dt xviii

19 Solusi dari prsamaa ord dua diatas dapat di tuliska dalam btuk x ( t) = Acos( w t+ f) (.3) dga frkusi osilator harmoik. 1 k v= (.4) p m Gambar.. Grafik x vs t osilator sdrhaa dga kostata fas f priod T (Srwa ad Jwtt, 4). II. Osilator Kuatum Tori atom bohr dapat mjlaska mgai gjala atomik mskipu mmiliki pmbatasa ag brat. Klmaha tori atom bohr diataraa tidak dapat mjlaska mgai mgapa garis spktral trttu mmiliki itsitas ag lbih tiggi dari ag lai (mgapa trasisi trttu atara tigkat rgi brpluag lbih bsar dari ag lai). Tori trsbut tidak dapat mragka hasil pgamata bahwa baak garis spktral ssugguha trdiri dari garis garis trpisah ag pajag glombaga brbda sdikit (Bisr, 199). Grak harmoik trjadi jika suatu sistm jis trttu brgtar diskitar kofigurasi stimbaga. Sistma bisa trdiri dari bda ag digatug pada sbuah pgas atau trapug pada zat cair, molkul dwi atom, sbuah atom dalam kisi kristal trdapat baak skali cotoh dalam duia mikroskopik da juga makroskopik. Prsarata supaa grak harmoik trjadi adalah trdapata gaa pmulih ag braksi utuk mgmbalika k kofigurasi stimbaga jika sistm itu digaggu, klmbama massa ag brsagkuta mgakibatka bda xix

20 mlampaui kduduka stimbaga, shigga sistm itu brosilasi trus mrus jika tidak trdapat pross disipatif (Bisr, 199). ialah: brdimsi Prsamaa Schrdigr utuk osilator harmoik dga h d - + m dx 1 mw x = E 1 U ( x) = mw x (.5) Utuk mdrhaaka prsamaa (.5) maka aka ada kuatitas tak mw = x (.6) h Da E º (.7) hw Prsamaa Schrdigr diataka dalam da adalah sbagai brikut d + ( - ) = d (.8) Prsamaa (.8) dapat dislsaika dga mtod drt, aka ttapi ii aka sagat sulit, lbih mudah mgugkapka fugsi glombag sbagai fugsi ag lai dga mgalika dga asimtot fugsi. Dga mgguaka asimtot ii brarti darah x atau mjadi tak trbatas. Shigga prsamaa (.8) dapat dituliska dalam btuk. d - = d (.9) Dga mgguaka subtitusi ( ) = A dga A kosta. Ii dapat - dipriksa dga subtitusi k prsamaa (.9) Solusi prsamaa (.8) dapat dituliska dalam btuk - ( ) = h( ) (.1) ii: Subtitusi kdalam prsamaa (.8) aka didapatka pola h() sprti brikut xx

21 '' ' h - h + ( -1) h= (.11) Dimaa dh h ' '' d h = da h = d d Prsamaa (.11) dapat dislsaika dga mtod drt dimaa å m= m h ( ) = a m (.1) ' m å - 1 m-1 h ( ) = mam = å mam (.13) m= 1 m= '' h ( ) = m-1 å m( m-1) am = å( m= m+ = m+ )( m+ -1) a m+ m+ - å m= '' m h ( ) = ( m+ )( m+ 1) a m (.14) + Subtitusi prsamaa (.1),(.13) da (.14) k dalam prsamaa (.11) maka aka diprolh prsamaa å m= [( + )( m+ 1) a - (m+ 1- ) a ] m (.15) m m+ m = Prsamaa mirip sprti drt m mmbrika hubuga prulaga a m+ 1- = ( m+ )( m+ 1) m+ a m Utuk m ag bsar maka prulagaa aka brbtuk (.16) a» m+ a m (.17) m Shigga rasio prbadiga utuk drt å h( ) = m= bsar aka brbtuk m a m utuk m ag a m+ m+ (m+ 1- ) =» m am ( m+ )( m+ 1) Skarag coba lihat drt m (.18) x =å m= m x m! = 1+ x+ x! + 3 x 3! +... Dibrika xxi

22 x =å m= m x m! = 1+ x + 4 x! + 6 x 3! + 8 x 4! +... å m x x = (.19) m=,,4 ( m )! Shigga dapat mtuka rasio + x ( m ) x m x = m m (.) Sama dga prsamaa (.18) utuk m ag bsar maka aka diprolh =å m= m h ( ) a» m Utuk itu prsamaa glombaga ( ) - = h( ) = å am m= m - - ( )» = (.1) Utuk fugsi glombaga tidak trormalisasi a a (.) m+ º + = Prsamaa (.) diguaka brsama sama dga prsamaa (.16) mmbrika hasil m + 1- º + 1- = (.3) Dga E º = + 1 hw Atau (.4) E 1 = ( + )hw =,1,,3.. (.5) Prhatika fugsi glombag sbutlah å h( ) = m= brbda utuk tiap ilai å m= m a m m h ( ) = a (.6) m aka mjadi xxii

23 Da - - m ( ) = h ( ) = å am (.7) m= Shigga prsamaa (.16) dapat dituliska mjadi a ( m- ) ( m+ )( m+ 1) ( ) m+ = am (.8) Dga mgguaka prsamaa (.4) da (.16) maka utuk = h ( = a (.9) ) Da - ( ) = a (.3) Utuk = 1 maka aka diprolh a = da h1 ) 1 ( = a (.31) Da - 1( ) = a1 (.3) Utuk = maka aka diprolh smua a gajil = da h + ( ) = a a (.33) Utuk = formula prulagaa prsamaa (.8) dapat dituliska dalam btuk () ( m- ) am+ = a m (.34) ( m+ )( m+ 1) Dibrika () a - = a (.35) Dga cara ag sama maka aka diprolh h ( ) = a (1- ) (.36) Da - ( ) = a (1- ) (.37) Utuk = 3 maka a gap = da h ( ) = a1 a3 (.38) xxiii

24 Dga (3) ( m- 3) am+ = a m (.39) ( m+ )( m+ 1) Dibrika (3) - a 3 = a 1 (.4) 3 Shigga 3 h3 ( ) = a1( - ) (.41) 3 Utuk = 4 kita aka mmiliki a gap = da h ( ) = a + a a4 (.4) Dga (4) ( m- 4) am+ = a m (.43) ( m+ )( m+ 1) Mmbrika (4) a - 4 = 4a (.44) (4) 1 4 a 4 = - a = a (.45) 3 3 Utuk = 4 maka aka diprolh a = -4a, utuk = maka diprolh a = -a shigga 4 4 h 4 ( ) = a (1-4 + ) (.46) 3 Da ( ) = a (1-4 + ) (.47) Fugsi h () brhubuga dga poliom hrmitt ag trkal H () dimaa dapat di dfiisika sbagai brikut: xxiv

25 H H H ( ) = 1 H ( ) = ( ) = 4 H ( ) = 8 3 ( ) = (.48) + 1 Hubuga h () dga H () dapat diataka dalam btuk h ( ) = a (1) = a H ( ) a1 a1 h1 ( ) = () = H1( ) a a h ( ) =- (4 - ) =- H ( ) a1 3 a1 h3 ( ) =- (8-1) =- H 3( ) 1 1 a 4 a h ( ) = ( ) = H ( ) (.49) Poliomial Hrmitt dapat dituliska dalam btuk hubuga diffrsial sprti brikut '' ' z - z + z = (.5) Utuk =,1,,3 da z ' dz( ) º dga solusi d z( ) º H ( ) (.51) '' ' Diktahui prsamaa h - h + ( -1) h= dga = + 1 aka '' ' mjadi h - h + h= dimaa mrupaka prsamaa difrsial. Olh sbab itu Poliomial Hrmitt dapat dituliska dalam btuk '' ' H H + H = (.5) - Prsamaa (.5) dapat disdrhaaka dga subtitusi ilai prsamaa (.48) maka Poliomial Hrmitt dapat ditulis dalam btuk prulaga. H (.53) + 1 = H - H -1 H (.54) ' = H -1 Poliomial Hrmitt juga bisa di dapat dari Rodrigu Formula xxv

26 xxvi ) ( 1) ( ) ( d d H - - = (.55) å = - = ) (! 1 t t t H (.56) ò - - = ) ( ) ( d H H m for m¹ (.57) ò - - = p! ) ( d H (.58) Fugsi glombag dapat dituliska dalam ) ( ) ( h - =. Nilai h() brbda brgatug pada harga da faktor ormalisasi. Fugsi glombaga dapat dituliska dalam btuk ) ( ) ( h C - = (.59) Dimaa C adalah ormalisasi dga mgguaka ormalisasi ag brbda A dapat dituliska dga H dalam Poliomial Hrmitt. ) ( ) ( H A - = (.6) Normalisasi mmbrika ò ò - - = = dx m dx x x I ) ( ) ( ) ( ) ( * * w h ò - - = dx H A m I ) ( w h p w! A m I h = (.61) Dga mgguaka hubuga x m h w = da d m dx w h = da prsamaaa (.58) ii aka mmbrika! m A = ph w shigga fugsi glombag osilator harmoik dapat dituliska dalam btuk: (Norbur, )

27 1-4 1 H ( ) mw = (.6) ph! Tabl.1. Kam lm poliomial hrmitt da rgi (hprphsics.ph-astr.gsu.du, 9). H () E hw 3 hw 5 hw 7 hw 9 hw 11 hw Fugsi glombag ag brssuaia dga kam tigkat rgi ag prtama dari sbuah osilator harmoik. Dalam masig masig kasus darah ag brosilasi scara klasik dga rgi total E aka trbatas sprti ditujukka, jlaslah bahwa partikl itu dapat mrobos k darah trlarag scara klasik dga prkataa lai, mlbihi Amplitudo (A) ag dittuka olh rgia dga pluag ag muru scara ksposial, sama sprti situasi sbuah partikl dalam kotak dga didig tgar (Bisr, 199). xxvii

28 xxviii Gambar.3. Fugsi glombag dga brbagai variasi (Igar, 8) Gambar.4. Probabilitas 4 kadaa dasar osilator harmoik (Philips, 3) Posisi (x) Posisi (x) Posisi (x) Posisi (x) Posisi (x) Posisi (x) Posisi (x) F u g s i g l o m b a g P r o b a b i t a s P r o b a b i t a s P r o b a b i t a s P r o b a b i t a s

29 II.3 Oprator Osilasi Harmoik Prsamaa diffrsial schrdigr dapat dislsaika dga pdkata ag brbda. Aplikasi dari mtod ii srig diguaka dalam tori mda kuatum. Prsamaa schrdigr utuk osilator harmoik h d - + m dx 1 mw x = E Prsamaa schrdigr didfiisika dalam oprator Hamiltoia (.63) H = E (.64) H p m 1 = + mw x (.65) Prsamaa schrdigr bagia kiri (hamiltoia dari osilator harmoik) dapat difaktorka mjadi faktor ag masig masig adalah prsamaa difrsial ord 1 ag trdapat pada prsamaa (.66) a= a ' = 1 ( mwx+ ip) mhw 1 ( mwx- ip) mhw (.66) ' * a = a (.67) Prsamaa (.67) srig dikal sbagai hrmitia kojugat dari a. Hrmitia Kojugat dalam btuk matrix adalah komplks kojugat dari traspos matrix ) ' * A = A (.68) * A ) adalah traspos dari A A ) A A ' º º º A A A A A A * 1 * 11 A A A A A 1 1 A * * 1 (.69) xxix

30 Matrix pada prsamaa (.69) disbut Hrmitia jika A ' = A (.7) Oprator pada prsamaa (.66) dapat dibalik shigga mmbrika prsamaa x h = ( a mw + Da ' a ) (.71) mhw ' p= i ( a - a) Oprator a da mmbuktika bahwa ' [, a ] = 1 (.7) ' a tidak komutatif dga mgguaka [ x p] = ih a (.73),, ii Brdasarka dfiisi oprator pada prsamaa (.66) maka dapat ditujukka hamiltoia dalam oprator sprti pada prsamaa (.74) ' 1 H = hw( aa + ) ' 1 H = hw( a a- ) (.74) Dga mgguaka sifat sifat oprator maka dapat ditujukka fugsi glombag trdah da trksitasi ' a = a = 1 (.75) Hamiltoia pada prsamaa (.74) dapat diguaka utuk mtuka tigkat tigkat rgi trksitasi ag ditujukka olh prsamaa (.76) H ' ' ( a ) ( E +hw) a = (.76) Brdasarka prsamaa (.76) dga mmasukka ilai = maka aka diprolh hubuga H = E (.77) Dga mgguaka subtitusi prsamaa (.74) k dalam prsamaa (.77) maka aka diprolh xxx

31 E = 1 hw (.78) Brdasarka prsamaa (.76) dga subtitusi brbagai ilai maka aka diprolh prsamaa (.79) E 1 = ( + )hw =,1,,3,.. (.79) Prsamaa (.75) dapat diguaka utuk mmprolh da 1 bgitu strusa shigga aka diprolh ilai sampai. Prsamaa (.66) dioprasika pada fugsi glombag brtigkat aka diprolh prsamaa (.8) A ' = a (.8) A Dimaa A 1 = A! = A - Dga mgguaka hubuga a = maka 1 a = ( mwx+ ip) = mhw Diktahui d dx p= -ih - x d dx (.81) mw = (.8) h Ii adalah prsamaa turua ord satu ag mmiliki solusi = A -mw x h - - = A = A H ( ) (.83) Dga mw = x, skarag dapat dittuka ilai h -mw ' 1 x é d ù h a = Aê mwx-h mwh dx ú A = (.84) A ë û xxxi

32 Oprator ' a dapat dituliska dalam btuk lbih sdrhaa dga mgguaka 1 a = ( + mw = x shigga diprolh prsamaa (.85) h d d ) ' 1 d a = ( - ) (.85) d Shigga dga mgguaka dua prsamaa (.85) subtitusi k (.84) maka dapat dibuktika (Bruskiwich, 7). A ' 1 d = a = A ( - ) (.86) A d Fugsi glombag pada prsamaa (.6) da (.86) aka dibuat dga mgguaka bahasa pmrograma Dlphi 7. dibatu dga Mapl 9.5. xxxii

33 xxxiii BAB III METODE PENELITIAN III.1. Lokasi da Waktu Plitia Waktu plitia slama 4 bula dari bula Fbruari sampai Mi 9 da plitia dilakuka di Laboratorium Komputasi Uivrsitas Sblas Mart. III.. Alat da Baha Plitia III..1 Alat Plitia Notbook itl ptium dual cor 1,46 GHz,51 DDR, softwar Dlphi 7., softwar Mapl 9.5 III.. Baha Plitia Prsamaa ag diguaka adalah sbagai brikut: 4 1 ) (! 1 H m - = ph w (3.1) 4 1 ) (! 1 = - H m ph w (3.) d d - - (3.3) ' a A A = (3.4) ' = a A A (3.5)

34 III.3. Prosdur Plitia III.3. 1 Diagram Plitia Kajia Osilator Harmoik Poliomial Hrmitt Oprator Program Aalisa xxxiv

35 xxxv III.3. Flowchart Pmrograma Dga Poliomial Hrmitt 4 1 ) (! 1 H m - = ph w Masukka m, w da Grafik psi1 (,x) da prob1 (,x) 4 1 ) (! 1 = - H m ph w START STOP

36 III.3. 3 Flowchart Pmrograma Dga Oprator START Masukka - d d - Mapl 9.5 > 5 a tidak Masukka m, w da = A A ' a A ' = a A Grafik psi (,x) da prob (,x) STOP xxxvi

37 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN IV.1. Mkaika Kuatum Da Osilator Harmoik Mkaika kuatum adalah ptig utuk mguraika gjala alam dalam skala atom, aka ttapi hukum Nwto haa brlaku utuk sistm makro (cotoh basball). Osilator harmoik mrupaka salah satu pokok bahasa dalam mkaika kuatum. Osilator harmoik brfugsi utuk mdiskripsika subjk ag brupa partikl atomik dalam sumbr rgi potsial, U ( x) = mw x. Partikl dibatasi olh bidag rgi potsial pada jarak trttu. Dalam skala makro osilator harmoik dapat diilustrasika sprti sistm pgas brmassa dimaa solusia sudah trsdia pada prsamaa (.3). Dalam skala ao sistm dapat diguaka utuk mdiskripsika itraksi ikata diatara atom dalam molkul dga mgasumsika bahwa gaa potsial dalam ikata adalah liar dga jarak. Diamika ikata molkul dapat mjlaska misi lktromagtik da kmampua srap dari brbagai molkul. Solusi dari sistm brgua utuk aplikasi distribusi probabilitas atau probabilitas fugsi glombag dalam modl mkaik. IV.. Fugsi Glombag Osilator Harmoik Fugsi glombag osilator harmoik dalam pmrograma ii dicari dga dua cara aitu fugsi oprator da poliomial hrmitt. Pmahama trhadap tori ptig utuk dapat mmprolh prsamaa ag aka dikomputasika. Fugsi glombag utuk = mmbtuk locg atau srig disbut sbagai Gaussia. Output program harus brssuaia dga prhituga toritik. xxxvii

38 Gambar 4.1. Fugsi Glombag Osilator Harmoik ( = ) Fugsi Glombag utuk kadaa = pada gambar 4.1 mujukka bahwa hasil ag diprolh dga mgguaka poliomial hrmitt da fugsi oprator adalah sama. Scara fisis fugsi glombag trsbut mmiliki arti pada kadaa groud stat ( = ) maka rgi ag dimiliki olh partikl ag brada pada sumur potsial dapat dirprstasika olh fugsi glombag ag trormalisasi. Smaki bsar ilai x maka ilai dari fugsi glombag pada kadaa groud stat smaki mdkati ilai ol. Gambar 4.. Fugsi Glombag Osilator Harmoik ( = 5) xxxviii

39 Fugsi glombag utuk kadaa = 5 mujukka bahwa hasil ag diprolh dga mgguaka drt da fugsi oprator adalah sama. Gambar 4.3. Fugsi Glombag Osilator Harmoik ( = 1) Pada gambar 4.3 trlihat bahwa fugsi glombag pada kadaa = 1 mmiliki lbih baak pucak dibadigka dga = 5. Brdasarka data trsbut maka smaki baak maka pucak ag dihasilka smaki baak. IV.3. Probabilitas Fugsi Glombag Osilator Harmoik Probabilitas mrupaka rprstasi dari kuadrat fugsi glombag ag mujukkka pluag trdapata suatu partikl dalam suatu darah atau kawasa trttu (sumur potsial 1 dimsi). Probabilitas aka magkut pluag dimaa sarat probabiltas ada bbrapa macam diataraa brilai tuggal, fugsi glombaga trormalisasi. xxxix

40 Gambar 4.4. Probabilitas Osilator Harmoik ( = ) Probabilitas fugsi glombag utuk = pada gambar 4.4 mujukka btuk ag sama atara fugsi oprator da poliomial hrmitt. Brdasarka grafik ag ada probabilitas fugsi glombag btuk lbih lacip dga ilai probabilitas ag lbih kcil dibadigka fugsi glombag ag dihasilka. Gambar 4.5. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 1) Gambar 4.5 mujukka krapata pluag partikl scara kuatum apabila T (priod) maka scara klasik krapata pluag ( w cl ) aka diprolh hubuga xl

41 dt w w dx w cl ( x) dx= = dt = (4.1) T / p p dx dt Partikl ag brosilasi harmoik scara klasik mmiliki prsamaa x= a siwt dx dt = aw coswt= wa 1- ( x ) a Prsamaa (4.) subtitusi k (4.1) aka diprolh (4.3) (4.) 1 1 w cl ( x) dx= dx (4.3) p a x 1- ( ) a Amplitudo (a) aka diprolh dari rgi Scara kuatum probabilitas dirumuska sbagai brikut: E 1 a= E mw = mw a maka w ( x) dx= dx (4.4) qu Utuk =1 maka scara matmatis aka diprolh prsamaa w 1 mw h qu ( mw mw - x x) dx= 1 dx= ( x ) dx (4.5) ph h Brdasarka prsamaa (4.5) maka dapat ditujukka scara kuatum bahwa ilai w (x) miimum jika x = da maksimum pada qu h xmax qu =± (4.6) mw Maka scara klasik, dga x E = 3 hw E 3h = ± a=± = (4.7) mw mw max cl ± Nilai x pada prsamaa (4.6) da (4.7) mujukka scara klasik da kuatum ilai probabilitas atau krapata partikl trbsar ag dapat ditmuka saat kodisi = 1 (Grir, 1989). xli

42 Gambar 4.6. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 5) Probabilitas fugsi glombag utuk kadaa = 5 mujukka bahwa hasil ag diprolh dga mgguaka poliomial hrmitt da fugsi oprator adalah sama. Brdasarka gambar 4. da dibadigka hasila dga gambar 4.3 maka dapat disimpulka fugsi glombag ag dihasilka adalah kali lbih baak dari smula. Gambar 4.7. Probabilitas Osilator Harmoik ( = 1) Gambar 4.7 mujukka probabilitas scara kuatum aka mdkati klasik apabila (bilaga kuatum) bsar. Probabilitas pada kadaa = 1 xlii

43 mmprlihatka hasil ag marik kara pucak ag dihasilka adalah lbih baak. Scara fisis ii mmiliki arti bahwa ktika pucak smaki baak maka aka mmiliki korspodsi dga pajag glombag sprti pada prsamaa ag srig dikal sbagai pajag glombag d Brogli. Pada prsamaa trsbut pajag glombag mmiliki hubuga trbalik dga momtum. Pajag glombag ag dihasilka ktika pucak baak adalah smaki kcil da momtum ag dihasilka olh partikl adalah bsar. Partikl atomik pada kadaa ii mmiliki rgi ag tiggi shigga mmugkika partikl utuk brgrak dari suatu tigkat rgi k tigkat rgi ag lai apabila ada pgaruh gaa dari luar. xliii

44 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN V.1.1. Ksimpula 1. Osilator harmoik scara kuatum didskripsika dalam btuk grafik fugsi glombag da fugsi probabilitas mgguaka bahasa pmrograma Dlphi 7... Grafik rapat probabilitas osilator harmoik dga mtod poliomial hrmitt da oprator mujukka kbolhjadia suatu partikl ag brosilasi harmoik. V.1. Sara 1. Fugsi glombag dapat diguaka utuk mtuka variabl variabl ag trkait dga grak partikl sprti posisi da momtum. xliv

45 DAFTAR PUSTAKA Akhadi, M.,, Mgdarai Kuatum Muju Komputr Fotoik, Diakss 4 April 9. Bisr, A., 199, Kosp Fisika Modr Edisi Kmpat, Erlagga, Jakarta. Bruskiwich, P., 7, Th Parit Oprator For Th Quatum Harmoic Oscillator, Caadia Udrgraduat Phsical Joural, Vol 6 Dahm, D., H., 1989, Quatum Mchaics O Th Prsoal Computr, Phsics Dpartmt,Sig Uivrsit. Grir, W., 1989, Quatum Mchaics, Phsics Dpartmt, Frakfurt Uivrsit Gurvich, S., 8, Th Fiit Harmoic Oscillator ad Its Associatd Squcs, Procdigs Of Th Natioal Acadm Of Scics, Vol 15, 9 Igar, S., 8, Harmoic Oscillator, Diakss 8 Jauari 9 Kittl, C., 1953, Itroductio to Solid Stat Phsics, Joh Wil ad Sos, Nw York Norbur, J.,, Quatum Mchaics, Phsics Dpartmt Uivrsit of Wiscosi, Milwauk, Diakss 6 Mi 9 -Mchaics-J-Norbur Nuradi, R., 6, Pra Tkologi Nao Di Bidag IT, Diakss 6 Mi 9. xlv

46 Phillips, C., A., 3, Itroductio To Quatum Mchaics, Dpartmt of Phsics ad Astroom, Uivrsit of Machstr Mortara, S., 9, Th Quatum Harmoic Oscillator, Diakss 7 Mi 9 Srwa, R., A., ad Jwtt, J., W., 4, Phsics For Scitists ad Egirs Sixth Editio, Jams Madiso Uivrsit Yuaa, R., A., 5, Pmrograma C++, FMIPA UNS, Surakarta. xlvi

47 uit U_OH; LAMPIRAN 1 LISTING PROGRAM DALAM DELPHI 7. itrfac uss Widows, Mssags, SsUtils, Variats, Classs, Graphics, Cotrols, Forms, Dialogs, Grids, StdCtrls, Mus; tp TForm1 = class(tform) Labl1: TLabl; Labl: TLabl; Labl3: TLabl; ComboBox1: TComboBox; ComboBox: TComboBox; ComboBox3: TComboBox; StrigGrid1: TStrigGrid; StrigGrid: TStrigGrid; Labl4: TLabl; Labl5: TLabl; MaiMu1: TMaiMu; Program1: TMuItm; TutupProgram1: TMuItm; Prhituga1: TMuItm; GrafikFugsiGlombag1: TMuItm; Hrmitt1: TMuItm; Hrmitt11: TMuItm; FugsiGlombag1: TMuItm; Oprator1: TMuItm; GrafikFugsiGlombag: TMuItm; Oprator1: TMuItm; Oprator11: TMuItm; PoliomHrmitt1: TMuItm; Oprator: TMuItm; PoliomHrmitt: TMuItm; Oprator3: TMuItm; 1: TMuItm; N1: TMuItm; 1: TMuItm; 31: TMuItm; 41: TMuItm; 51: TMuItm; 61: TMuItm; 71: TMuItm; xlvii

48 81: TMuItm; 91: TMuItm; 11: TMuItm; : TMuItm; 11: TMuItm; : TMuItm; 3: TMuItm; 4: TMuItm; 5: TMuItm; 3: TMuItm; 1: TMuItm; 3: TMuItm; 33: TMuItm; 43: TMuItm; 53: TMuItm; 6: TMuItm; 7: TMuItm; 8: TMuItm; 9: TMuItm; 1: TMuItm; 4: TMuItm; 13: TMuItm; 4: TMuItm; 34: TMuItm; 44: TMuItm; 54: TMuItm; procdur TutupProgram1Click(Sdr: TObjct); procdur FormCrat(Sdr: TObjct); procdur PoliomHrmitt1Click(Sdr: TObjct); procdur OpratorClick(Sdr: TObjct); procdur PoliomHrmittClick(Sdr: TObjct); procdur Oprator3Click(Sdr: TObjct); procdur 1Click(Sdr: TObjct); procdur N1Click(Sdr: TObjct); procdur 1Click(Sdr: TObjct); procdur 31Click(Sdr: TObjct); procdur 41Click(Sdr: TObjct); procdur 51Click(Sdr: TObjct); procdur 61Click(Sdr: TObjct); procdur 71Click(Sdr: TObjct); procdur 81Click(Sdr: TObjct); procdur 91Click(Sdr: TObjct); procdur 11Click(Sdr: TObjct); procdur Click(Sdr: TObjct); procdur 11Click(Sdr: TObjct); procdur Click(Sdr: TObjct); xlviii

49 procdur 3Click(Sdr: TObjct); procdur 4Click(Sdr: TObjct); procdur 5Click(Sdr: TObjct); procdur 3Click(Sdr: TObjct); procdur 1Click(Sdr: TObjct); procdur 3Click(Sdr: TObjct); procdur 33Click(Sdr: TObjct); procdur 43Click(Sdr: TObjct); procdur 53Click(Sdr: TObjct); procdur 7Click(Sdr: TObjct); procdur 8Click(Sdr: TObjct); procdur 9Click(Sdr: TObjct); procdur 1Click(Sdr: TObjct); procdur 4Click(Sdr: TObjct); procdur 13Click(Sdr: TObjct); procdur 4Click(Sdr: TObjct); procdur 34Click(Sdr: TObjct); procdur 44Click(Sdr: TObjct); procdur 54Click(Sdr: TObjct); procdur 6Click(Sdr: TObjct); privat { Privat dclaratios } public { Public dclaratios } d; var Form1: TForm1; implmtatio uss U_PROB, U_GFG, U_GPROB; {$R *.dfm} var l,k,:smallit; m,w,sum,a,b,c,d,,f,x,,a,a:ral48; h:arra [-..] of ral48; psi1,psi,prob1,prob:arra [-..,-..] of ral48; procdur TForm1.TutupProgram1Click(Sdr: TObjct); bgi xlix

50 applicatio.trmiat d; procdur TForm1.FormCrat(Sdr: TObjct); bgi striggrid1.clls[,]:='(x,psi)'; striggrid1.clls[1,]:='psi[]'; striggrid1.clls[,]:='psi[1]'; striggrid1.clls[3,]:='psi[]'; striggrid1.clls[4,]:='psi[3]'; striggrid1.clls[5,]:='psi[4]'; striggrid1.clls[6,]:='psi[5]'; striggrid1.clls[7,]:='psi[6]'; striggrid1.clls[8,]:='psi[7]'; striggrid1.clls[9,]:='psi[8]'; striggrid1.clls[1,]:='psi[9]'; striggrid1.clls[11,]:='psi[1]'; striggrid.clls[,]:='(x,psi)'; striggrid.clls[1,]:='psi[]'; striggrid.clls[,]:='psi[1]'; striggrid.clls[3,]:='psi[]'; striggrid.clls[4,]:='psi[3]'; striggrid.clls[5,]:='psi[4]'; striggrid.clls[6,]:='psi[5]'; striggrid.clls[7,]:='psi[6]'; striggrid.clls[8,]:='psi[7]'; striggrid.clls[9,]:='psi[8]'; striggrid.clls[1,]:='psi[9]'; striggrid.clls[11,]:='psi[1]'; d; procdur TForm1.PoliomHrmitt1Click(Sdr: TObjct); bgi if combobox1.txt=''th bgi showmssag('maaf diisi dulu ilaia'); combobox1.stfocus(); xit; d; m:=strtofloat(combobox1.txt); w:=strtofloat(combobox.txt); l:=strtoit(combobox3.txt); h[-1]:=; h[]:=1; sum:=1; if l< th l

51 bgi showmssag('maaf ilai faktorial ag ada isika tidak tpat'); combobox3.stfocus(); xit; d; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th bgi sum:=1 ; h[]:=1; x:=x+.1; psi1[,k]:=(xp(.5*l(((m*w)/(pi*1)))))*(1/sqrt(xp(*l())*sum))*h[]*( xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x))); striggrid1.clls[,k+151]:= floattostr(x); striggrid1.clls[+1,k+151]:= floattostr(psi1[,k]); d ls bgi sum:=sum*; h[]:=(*(sqrt(m*w/1))*x*h[-1])-(*(-1)*h[-]); psi1[,k]:=(xp(.5*l(((m*w)/(pi*1)))))*(1/sqrt(xp(*l())*sum))*h[]*( xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x))); striggrid1.clls[,k+151]:= floattostr(x); striggrid1.clls[+1,k+151]:= floattostr(psi1[,k]); d; util x>6; d; procdur TForm1.OpratorClick(Sdr: TObjct); bgi if combobox1.txt=''th bgi showmssag('maaf diisi dulu ilaia'); combobox1.stfocus(); xit; d; m:=strtofloat(combobox1.txt); w:=strtofloat(combobox.txt); l:=strtoit(combobox3.txt); li

52 sum:=1; if l< th bgi showmssag('maaf ilai faktorial ag ada isika tidak tpat'); combobox3.stfocus(); xit; d; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th bgi sum:=1; x:=x+.1; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); psi[,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[1,k+151]:=floattostr(psi[,k]); d ls if =1 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[1,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*(**a); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(psi[1,k]); d ls if = th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((4*sqr()*a)-(*a)); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[3,k+151]:=floattostr(psi[,k]); d ls lii

53 if =3 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[3,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*((4*sqr()*a)-(*a)))- (1**a)+(4*sqr()**a)); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[4,k+151]:=floattostr(psi[3,k]); d ls if =4 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); b:=(1**a)-(4*sqr()**a); c:=((*((4*sqr()*a)-(*a)))-(1**a)+(4*sqr()**a)); psi[4,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*c)-(6*sqr()*a)+(1*a)- (*b)+(4*sqr()*sqr()*a)); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[5,k+151]:=floattostr(psi[4,k]); d ls if =5 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); b:=(1**a)-(4*sqr()**a); c:=((*((4*sqr()*a)-(*a)))-(1**a)+(4*sqr()**a)); d:=((4*sqr()*a)-(*a)); :=((*c)-(6*sqr()*a)+(1*a)-(*b)+(4*sqr()*sqr()*a)); f:=(-*((6*sqr()*a)-(1*a)+(*b)-(4*sqr()*sqr()*a)))+(*((1*a)- (*sqr()*a)+(4*sqr()*sqr()*a)))+(4*sqr()*sqr()**a); psi[5,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*)-(*d)+(84**a)- (5*sqr()*()*a)+(f)); striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); striggrid.clls[6,k+151]:=floattostr(psi[5,k]); d; liii

54 util x>6; d; procdur TForm1.PoliomHrmittClick(Sdr: TObjct); bgi Form:=TForm.Crat(slf); Form.Show; if combobox1.txt=''th bgi showmssag('maaf diisi dulu ilaia'); combobox1.stfocus(); xit; d; m:=strtofloat(combobox1.txt); w:=strtofloat(combobox.txt); l:=strtoit(combobox3.txt); h[-1]:=; h[]:=1; sum:=1; if l< th bgi showmssag('maaf ilai faktorial ag ada isika tidak tpat'); combobox3.stfocus(); xit; d; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th bgi sum:=1 ; h[]:=1; x:=x+.1; psi1[,k]:=(xp(.5*l(((m*w)/(pi*1)))))*(1/sqrt(xp(*l())*sum))*h[]*( xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x))); prob1[,k]:=sqr(psi1[,k]); form.striggrid1.clls[,k+151]:= floattostr(x); form.striggrid1.clls[+1,k+151]:= floattostr(prob1[,k]); d ls bgi sum:=sum*; h[]:=(*(sqrt(m*w/1))*x*h[-1])-(*(-1)*h[-]); liv

55 psi1[,k]:=(xp(.5*l(((m*w)/(pi*1)))))*(1/sqrt(xp(*l())*sum))*h[]*( xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x))); prob1[,k]:=sqr(psi1[,k]); form.striggrid1.clls[,k+151]:= floattostr(x); form.striggrid1.clls[+1,k+151]:= floattostr(prob1[,k]); d; util x>6; d; procdur TForm1.Oprator3Click(Sdr: TObjct); bgi Form:=TForm.Crat(slf); Form.Show; if combobox1.txt=''th bgi showmssag('maaf diisi dulu ilaia'); combobox1.stfocus(); xit; d; m:=strtofloat(combobox1.txt); w:=strtofloat(combobox.txt); l:=strtoit(combobox3.txt); sum:=1; if l< th bgi showmssag('maaf ilai faktorial ag ada isika tidak tpat'); combobox3.stfocus(); xit; d; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th bgi sum:=1; x:=x+.1; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); psi[,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); prob[,k]:=sqr(psi[,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[1,k+151]:=floattostr(prob[,k]); d ls lv

56 if =1 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[1,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*(**a); prob[1,k]:=sqr(psi[1,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(prob[1,k]); d ls if = th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((4*sqr()*a)-(*a)); prob[,k]:=sqr(psi[,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[3,k+151]:=floattostr(prob[,k]); d ls if =3 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); psi[3,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*((4*sqr()*a)-(*a)))- (1**a)+(4*sqr()**a)); prob[3,k]:=sqr(psi[3,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[4,k+151]:=floattostr(prob[3,k]); d ls if =4 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); lvi

57 :=sqrt((m*w)/1)*(x); b:=(1**a)-(4*sqr()**a); c:=((*((4*sqr()*a)-(*a)))-(1**a)+(4*sqr()**a)); psi[4,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*c)-(6*sqr()*a)+(1*a)- (*b)+(4*sqr()*sqr()*a)); prob[4,k]:=sqr(psi[4,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[5,k+151]:=floattostr(prob[4,k]); d ls if =5 th bgi sum:=sum*; A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1)))); A:=(xp(.5*l((m*w)/(pi*1))))*(1/sqrt(sum)); a:=xp(-((m*w)/(*1))*sqr(x)); :=sqrt((m*w)/1)*(x); b:=(1**a)-(4*sqr()**a); c:=((*((4*sqr()*a)-(*a)))-(1**a)+(4*sqr()**a)); d:=((4*sqr()*a)-(*a)); :=((*c)-(6*sqr()*a)+(1*a)-(*b)+(4*sqr()*sqr()*a)); f:=(-*((6*sqr()*a)-(1*a)+(*b)-(4*sqr()*sqr()*a)))+(*((1*a)- (*sqr()*a)+(4*sqr()*sqr()*a)))+(4*sqr()*sqr()**a); psi[5,k]:=(a/a)*(1/sqrt(xp(*l())))*a*((*)-(*d)+(84**a)- (5*sqr()*()*a)+(f)); prob[5,k]:=sqr(psi[5,k]); form.striggrid.clls[,k+151]:=floattostr(x); form.striggrid.clls[6,k+151]:=floattostr(prob[5,k]); d; util x>6; d; procdur TForm1.1Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form3.sris1.addxy(x,psi1[,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; lvii

58 d; procdur TForm1.N1Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form3.sris.addxy(x,psi1[1,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.1Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form3.sris3.addxy(x,psi1[,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.31Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 3 th Bgi form3.sris4.addxy(x,psi1[3,k],'',clblack); lviii

59 x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.41Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 4 th Bgi form3.sris5.addxy(x,psi1[4,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.51Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 5 th Bgi form3.sris6.addxy(x,psi1[5,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.61Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do lix

60 if = 6 th Bgi form3.sris7.addxy(x,psi1[6,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.71Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 7 th Bgi form3.sris8.addxy(x,psi1[7,k],'',clblack); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.81Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 8 th Bgi form3.sris9.addxy(x,psi1[8,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.91Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat lx

61 for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 9 th Bgi form3.sris1.addxy(x,psi1[9,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.11Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form3.sris11.addxy(x,psi1[1,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form3.sris1.addxy(x,psi[,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.11Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); lxi

62 form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form3.sris.addxy(x,psi[1,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form3.sris3.addxy(x,psi[,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.3Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 3 th Bgi form3.sris4.addxy(x,psi[3,k],'',clblack); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.4Click(Sdr: TObjct); lxii

63 bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 4 th Bgi form3.sris5.addxy(x,psi[4,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.5Click(Sdr: TObjct); bgi form3:= Tform3.Crat(slf); form3.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 5 th Bgi form3.sris6.addxy(x,psi[5,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.3Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form4.sris1.addxy(x,prob1[,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; lxiii

64 d; procdur TForm1.1Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form4.sris.addxy(x,prob1[1,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.3Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form4.sris3.addxy(x,prob1[,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.33Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 3 th Bgi form4.sris4.addxy(x,prob1[3,k],'',clblack); x:=x+.1; lxiv

65 d; util x>6; d; procdur TForm1.43Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 4 th Bgi form4.sris5.addxy(x,prob1[4,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.53Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 5 th Bgi form4.sris6.addxy(x,prob1[5,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.6Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 6 th Bgi lxv

66 form4.sris7.addxy(x,prob1[6,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.7Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 7 th Bgi form4.sris8.addxy(x,prob1[7,k],'',clblack); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.8Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 8 th Bgi form4.sris9.addxy(x,prob1[8,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.9Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do lxvi

67 if = 9 th Bgi form4.sris1.addxy(x,prob1[9,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.1Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form4.sris11.addxy(x,prob1[1,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.4Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form4.sris1.addxy(x,prob[,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.13Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat lxvii

68 for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 1 th Bgi form4.sris.addxy(x,prob[1,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.4Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = th Bgi form4.sris3.addxy(x,prob[,k],'',clblu); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.34Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 3 th Bgi form4.sris4.addxy(x,prob[3,k],'',clblack); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.44Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; lxviii

69 x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 4 th Bgi form4.sris5.addxy(x,prob[4,k],'',clrd); x:=x+.1; d; util x>6; d; procdur TForm1.54Click(Sdr: TObjct); bgi form4:= Tform4.Crat(slf); form4.show; x:=-6; rpat for k:= -15 to 15 do for := to l do if = 5 th Bgi form4.sris6.addxy(x,prob[5,k],'',clgr); x:=x+.1; d; util x>6; d; d. lxix

70 LAMPIRAN LISTING PROGRAM DALAM MAPLE 9.5 (FUNGSI OPERATOR) > rstart; f(x):=xp(-(x^)/); - 1 x f( x) := > diff(f(x),x$);a(x):=x*f(x); - 1 x - 1 x - + x - 1 x a( x) := x > op1(x):=x*f(x)-diff(f(x),x); - 1 x op1( x) := x > op(x):=(x^*f(x))-(x*diff(f(x),x))- (diff(a(x),x))+(diff(f(x),x$)); - 1 op( x) := 4 x x - 1 x - > op3(x):=(x*op(x))-diff(op(x),x); - 1 op3( x) := x 4 x x - 1 x x x x 3 x > op4(x):=(x*op3(x))-diff(op3(x),x); - 1 op4x ( ) := x x 4 x x - 1 x x x x 3 x x x - 1 x - 1 x x 1 x - 4 x 3 x x 4 x > op5:=(x*op4(x))-diff(op4(x),x); lxx

71 - 1 op5 := x x x 4 x x - 1 x x x x x - 6 x x - 1 x - 1 x x x 1 x - 4 x + 4 x 4 x x 4 x x - 1 x x x x 3 x x 6 x x - 1 x - 1 x x 1 x - 4 x 3 x x4 x - 1 x x 1 - x x x 4 x x 5 x > op6:=(x*op5(x))-diff(op5(x),x); - 1 op6 := x x( x) x( x) x( x) 4 x( x ) x - 1 ( x) - x 1 - ( x) - 1 x( x) x ( x) x( x) 3 x ( x) x( x ) x x - 1 ( ) + 1 x - 1 x x( x) 1 x( x) ( x) - 4 x( x )3 x - 1 ( x) + 4 x( x )4 x ( x) x( x) 4 x( x) x - ( x) x( x) 3 x ( x) - x( x) 6 x x 1 x ( x) - 1 ( ) x ( x) x( x) x x - 1 ( ) - 1 x - 1 x x( x) 1 x( x) ( x) - 4 x( x )3 x - 1 ( x) - 4 x( x )4 x ( x) ( x) ( x) lxxi

72 - 1 x + x( x) 1 ( x) - x( x) x( x) 5 x ( x) - d dx x( x) - 1 x - - ( x) - 1 x( x) x( x) x - ( x) x - 1 x x( x) 1 x ( x) + 4 x x - 1 ( )4 x - 1 x( x) 4 x( x ) x ( x) + 4 x x ( x) - 1 ( )3 x ( x) ( x) ( x) - 1 x x( x) 1 x( x) ( x) - 4 x( x )3 x - 1 ( x) + 4 x( x )4 x ( x) - x( x) - 1 d dx x( x) x( x) 4 x( x ) x - 1 ( x) - x - 1 ( x) - 1 x( x) x ( x) x( x) 3 x - 1 ( x) + x( x) d dx x( x) 4 x( x) x - 1 x ( x) - ( x) + x(x) 8 x( x) - 1 x x ( ) d dx x( x) + 4 x( x) d dx - 1 x ( x) - 1 d x dx ( x) d - 1 dx x( x) x - 1 ( x) - 1 x( x) d x dx ( x) x( x) x ( x) d dx x( x) + 4 x( x) 3 d dx - 1 x ( x) lxxii

73 - 1 x - 5 x( x) ( x) d dx x( x) - 6 x( x) d dx - 1 x ( x) - 1 d + 1 dx x - 1 ( x) d - dx x( x) x x( x) ( x) - 4 x( x)3 x ( x) - x(x) 1 d dx x( x) - 1 x ( x) + 1 x x - 1 ( ) d x dx ( x) x( x) x ( x) d dx x( x) x( x) 3 x ( x) d dx x( x) - 4 x( x) 3 d dx + 4 x( x) 4 d dx - 1 x - 1 x ( x) ( x) - 1 d + dx x( x) 4 x( x) x - 1 ( x) - x - 1 ( x) + x( x) x 8 x( x) ( x) d dx x( x) + 4 x x d - 84 dx x( x) ( ) d dx - 1 x - 1 x ( x) ( x) - 84 x x - d dx - 1 x - 1 ( ) d x dx ( x) ( x) x( x) x - 1 ( x) d dx x( x) + 5 x( x) 3 d x dx ( x) d + dx x( x) 6-1 x( x) x - ( x) x ( x) lxxiii

74 - 1 x x( x) 1 x( x) ( x) - 4 x( x )3 x - 1 ( x) - 4 x( x )4 x ( x) + x( x) - 1 x 5 x( x) ( x) d dx x( x) + 6 x( x) d dx - 1 x ( x) - 1 d x dx ( x) d + dx x( x) x x( x) ( x) - 4 x( x)3 x ( x) + x(x) 1 d dx x( x) - 1 x ( x) + 1 x x - 1 ( ) d x dx ( x) x( x) x ( x) d dx x( x) x( x) 3 x ( x) d dx x( x) - 4 x( x) 3 d dx - 4 x( x) 4 d dx - 1 x - 1 x ( x) ( x) - 1 d - dx x( x) x ( x) - x( x) x - 1 ( x) + 4 x( x)4 x ( x) - x( x) 1 d dx - x( x) d dx - 1 x ( x) - 1 x - 1 x - 44 x( x) ( x) x x( x) 3 x ( ) d dx x( x) x ( ) d dx x( x) lxxiv

75 + 4 x( x) 4 d dx - 4 x( x) 5 d dx - 1 x - 1 x ( x) ( x) x( x) 4 x x ( ) d dx x( x) LAMPIRAN 3 lxxv