EVALUASI INTEGRAL ELIPTIK LENGKAP PERTAMA PADA MODULI SINGULAR

Transkripsi

1 EVALUASI INTEGRAL ELIPTIK LENGKAP PERTAMA PADA MODULI SINGULAR Elma Rahayu Manuharawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya 603 Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya emakenez@gmailcom Manuhara@yahoocoid ABSTRAK singular 7 menggunakan moduli singular teori bilangan aljabar analisis komleks kajiannya dalam deret Fungsi Gamma bilangan real 0 < < maka integral elitik lengka ertama KAJIAN TEORI LAPANGAN KUADRATIK Definisi Misalkan bilangan rima ganjil bilangan bulat yang relatif rima terhada memunyai solusi bulat maka dikatakan kuadrat residu modulo tidak demikian disebut kuadrat nonresidu modulo bilangan real disebut modulus dari integral elitik Komlemen dari modulus tersebut Karena bilangan real 0 < < maka juga meruakan bilangan real 0 < < Dengan demikian integral elitik lengka ertama yang terkait Akibatnya daat Definisi Misalkan bilangan rima ganjil bilangan bulat yang relatif rima terhada Fungsi Legendre fungsi dari {0} yang dinotasikan disajikan sebagai untuk suatu bilangan bulat ositif Suatu bilangan real disebut modulus singular dari yang memenuhi ersamaan Notasi menyatakan bentuk gru dari diskriminan Dengan menggunakan beberaa nilai dari fungsi Dedekind eta ada kuadratik irasional sebuah rumus diberikan untuk modulus singular Secara umum rumus ini diberikan untuk integral elitik lengka ertama ada suku yang berkoresondensi Seerti contoh ada integral elitik lengka ertama [7] yang ditentukan secara khusus ada suku dari fungsi Gamma 0 sering dituliskan Teorema Diketahui untuk setia > 0 maka a Kata kunci: Integral elitik lengka ertama Modulus singular Fungsi Dedekind Eta Fungsi Weber PENDAHULUAN Bentuk bumi yang faktanya tidak datar memberikan engetahuan bahwasanya tidak ada garis lurus geometri non Euclid Salah satu bentuk yang menarik untuk ditelusuri bentuk Integral Elitik Rumusan masalah ada jurnal ini bagaimana roses evaluasi nilai integral elitik lengka ertama ada moduli Definisi 3 Kuadrat biner yang memenuhi definit ositif rimitive dinotasikan

2 yang memenuhi diskriminan < 0 atau 0 maka kelas dari [ ] } dari 0 < < maka kelas invers kelas dari [ ] Definisi 0 Diketahui bilangan bulat terbesar yang ada Definisi 6 Definisi Gru Modular subgru ada yang terdiri dari matriks koefisien di yang ekuivalen ± 0 atau 0 ± maka simbol oleh himunan 8 > 0 8 maka fungsi [ ] [ ] Definisi 6 6 rima 0 Nilai dari fungsi Dedekind Eta yang dinotasikan Definisi 8 diskriminan yang memenuhi < 0 0 maka invers dari kelas [ ] yang dinotasikan [ ] Definisi 9 Misalkan Kronecker 8 > Definisi 3 Diketahui kelas diskriminan Fungsi ada 0 0 dari Definisi Misalkan himunan [ ] menyatakan jumlah indeks erkalian anggota dibagi banyaknya kelas [ ] Definisi 7 diskriminan yang memenuhi < 0 0 maka identitas dari Gru 0 kelas Definisi Bilangan kelas class number dari laangan kuadratik diskriminan < 0 sama banyaknya bilangan dari bentuk reduksi kuadratik biner diskriminan tersebut Definisi 6 Diketahui suatu bilangan rima bilangan bulat nonnegatif Legendre modulo disebut diskriminan fundamental Akibatnya 0 Definisi i disebut laangan imajiner kuadrat jika diskriminan memenuhi < 0 0 atau ii disebut konduktor dari diskriminan jika meruakan bilangan bulat terbesar 0 atau iii Himunan rima rima simbol solusi 0 ± Akibat Diketahui suatu laangan kuadratik diskriminan Fungsi

3 ada Definisi rima Proosisi [0 ] maka nilai dari fungsi Dedekind Eta ada kuadratik irrasional 0 nilai dari fungsi Dedekind Eta maka X K K jk d X K K X K K Jadi jk d jk d lim jk d lim X K K memenuhi < 6 3 < 0 class number of number of roots of unity in ii Untuk 3 dieroleh 3 8 berlaku XK K 7 8 berlaku b dieroleh gena ganjil terdaat himunan [ ] [0 ] [0 ] Akibatnya c dieroleh gena ganjil terdaat himunan [ ] [0 ] Misalkan bilangan bulat ositif maka 3 i Untuk dieroleh Δ gena Akibatnya 0 Definisi 3 diskriminan fungsi ada Definisi nilai dari fungsi Dedekind Eta maka untuk himunan Proosisi Misalkan [0 ] auntuk 0 terdaat himunan [ ] Akibat Diketahui suatu laangan kuadratik diskriminan Fungsi ada Definisi rima > maka menyatakan fungsi Gamma Bukti Berdasarkan definisi nilai dari fungsi Dedekind Eta Definisi 3 dieroleh X K K jk d FUNGSI WEBER PADA KUADRATIK IRRASIONAL 0 Proosisi berikut ini menyatakan nilai dari fungsi Dedekind Eta keterkaitannya gru 3 [0 ] Akibatnya 8

4 d 3 dieroleh terdaat himunan [ ] [ 0 ] [0 ] Akibatnya untuk 3 8 berlaku: untuk 7 8 berlaku: 3 BENTUK DAN [ 0 ] maka nilai integral elitik lengka ertama 8 c Untuk menyatakan fungsi Gamma b maka 3 [ 0 ] untuk PEMBAHASAN 3 INTEGRAL ELIPTIK Definisi 3 suatu fungsi rasional dari dimana olinomial angkat dua atau emat dalam bentuk integral 8 terdaat himunan 7 8 berlaku nilai integral elitik lengka ertama disebut integral elitik Definisi 3 Diketahui 0 < < Integral elitik lengka ertama sebagai bilangan disebut modulus dari integral elitik disebut amlitudo integral elitik 3 EVALUASI INTEGRAL ELIPTIK nilai integral elitik lengka ertama [ 0 ] sedemikian hingga untuk 3 8 berlaku nilai integral elitik lengka ertama [ ] 3 Teorema 3 Diketahui suatu bilangan asli diskriminan Δ ada Definisi bilangan rima ada Definisi 6 ada Definisi 3 Misalkan [0 ] class number of number of roots of unity in a 0 untuk himunan [ 0 ] berlaku Misalkan bilangan bulat ositif 3 Maka nilai integral elitik lengka ertama Pada bagian ini enulis akan memaarkan cara mengevaluasi nilai integral elitik lengka ertama 7 menggunakan Definisi yang sudah ada ada sub bab dalam kajian teori Gru dari 68 yang memenuhi definite ositif rimitive kuadratik biner dari

5 diskriminan 68 di bawah komosisi gru modular { } [07] [3 6] [9] [36] selanjutnya hanya akan dituliskan berurutan Lemma 33 Untuk Lemma 3 Misalkan rima 7 i 7 untuk suatu bilangan bulat maka ideal rima berbeda dari ii 9 untuk suatu bilangan bulat maka ideal rima berbeda dari iii ideal rima berbeda dari iv v maka bulat Ϛ untuk ii iii iv 7 68 >0 Bukti i Dengan menggunakan Definisi 3 mengalikannya serta menyubstitusikan ada Definisi 3 ii Menggunakan Definisi 33 Definisi 3 iii Menggunakan Definisi 33 Definisi 3 iv Menggunakan Definisi 3 Definisi 33 Lemma 3 Untuk i { } Lemma 3 Untuk > maka i Ϛ maka rima untuk suatu bilangan > > fungsi Riemann Zeta dinotasikan i 7 ii 9 iii 3 ± 6 Bukti Menggunakan Definisi Lemma 3 Definisi 3 Untuk { } Definisi 33 Misalkan rima bilangan bulat 0 untuk > deret L-Dirichlet yang maka Definisi 3 Untuk ideal rima dari vi ideal rima vii 7 7 ideal rima berbeda dari Lemma 3 > maka Bukti Menggunakan definisi himunan A ada Definisi 3 ideal rima berbeda dari maka ii iii iv > maka 7 68 Ϛ Ϛ 7 Ϛ 7 68 Ϛ Bukti Menggunakan Lemma 3

6 Lemma 36 Untuk > berlaku Ϛ 7 Bukti Berdasarkan Definisi 3 erkalian suku di bawah semua ideal rima ada 7 kemungkinan Lalu menggunakan Lemma 3 kemudian mengalikan semua kemungkinan tersebut secara bersama-sama Lemma 37 Untuk i ii > berlaku ηd fundamental unit dari < 6 3 < 0 Sehingga 7 68 berdasarkan tabel fundamental unit didaatkan 7 7 log 7 log 7 7 log Ϛ Ϛ 7 68 Ϛ Ϛ Bukti i Dengan menggunakan Lemma 36 Lemma 3 bagian iii iimenggunakan Definisi Teorema Definisi 3 Lemma 3iv Lemma 36 serta Lemma 3iii Lemma 38 i Lemma 3 77 lim log 7 Bukti Dari Lemma 3 Lemma 30 ii 68 Buktii Menggunakan Lemma 3 bagian i fungsi Riemann Zeta Kenneth 999:8 ii Menggunakan Definisi 3 Definisi 3 serta Lemma 38 i Lemma 3 Lemma 39 lim lim Ϛ 7 7 log Ϛ 7 Bukti Dengan menggunakan sifat Ϛ Siegel 96:3 regulator sifat limit Lemma 30 i ii log Bukti Menggunakan Lemma 37 Lemma 39 lim Definisi d 3 Lemma 33 i 68 log 7 ii iii 68 Bukti Bentuk bilangan dari deret Dirichlet untuk suatu laangan kuadratik dari diskriminan diberikan oleh: log >0 <0 hd class number dari d 68 Bukti Menggunakan Akibat Lemma 33 serta Lemma 3 Menggunakan Definisi Akibat serta menerakan Lemma 3 Lemma log log 7 6 6

7 [6] Muzaffar Habib Williams Kenneth S 000 Evaluation of Weber s Function at Quadratics Irrationalities Termuat ada htt:wwwmathnthuedutwtjm [diakses ada Oktober 0 ukul 807] [7] WNarkiewicz 990 Elementary and Analytical Theory of Algebraic Numbers Berlin Heidelberg : Sringer - Verlag New York log log 7 6 Bukti i Menggunakan Definisi 3 Lemma 30 ii untuk serta menggunakan Lemma 33 untuk 03 Teorema Nilai dari integral elitik lengka ertama ada moduli singular 7 dalam deret Fungsi Gamma { 68 } Bukti Menggunakan Teorema 6b Definisi 3 Definisi 6 Lemma 3 KESIMPULAN Berdasarkan hasil embahasan ada bab III maka dieroleh kesimulan bahwa nilai dari integral elitik lengka ertama ada moduli singular { DAFTAR PUSTAKA 68 } [] Abramowitz M Stegun IA 96 Handbook of Mathematical Function With Formulas Grahs and Mathematical Tables Termuat ada htt:eolemathsfuca-cbmaandsintro htm#00 [diakses ada 03 Oktober 0 ukul 0006] [] Muzaffar Habib Williams Kenneth S 006 Evaluation of Comlete Ellitic Integrals of the First Kind at Singular Moduli Termuat ada htt:wwwmathnthuedutwtjm [diakses ada 9 Setember 0 ukul 707] [3] Williams S Kenneth Poorten van der Alfred 999 Values of the Dedekind Eta Function at Quadratic Irrationalities Termuat ada htt:eolemathcarletonca~williamsaers df0df [diakses ada 08 Oktober 0 ukul 08] [] Neukirch 999 Termuat ada htt:en WikiediaorgwikiFundamental_unit_%8nu mber_theory%9 [diakses ada 30 Maret 03 ukul 3] [] Siegel C L 96 On Advanced Analytic Number Theory Tata Institute of Fundamental Research : Mumbai India 7