Pengembangan Kriptografi Kurva Eliptik dengan Kurva Eliptik Tiga Dimensi

Transkripsi

1 Pengembangan Kritografi Kurva Elitik dengan Kurva Elitik Tiga Dimensi Marcelinus Henr M. Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Bandung, Indonesia bstrak Makalah ini mengandung dasar teori dan konsekonse ang diakai untuk mengembangkan kurva elitik tiga dimensi, serta cara emakaianna dalam algoritma kritografi kunci ublic saat ini. Kewords kurva elitik; tiga dimensi; roeksi; kritografi kunci ublik I. PENDHULUN Pada aman ini, hamir semua hal berhubungan dengan internet. Informasi ang tersedia sangat banak dan bisa diakses semua orang. Tetai, diantara informasi-informasi tersebut, ada ang sifatna rahasia dimana hana orang-orang tertentu ang boleh mengetahuina. Informasi rahasia tersebut kadang diambil oleh orang lain untuk keentinganna sendiri ang mungkin akan membahaakan si emilik informasi. Maka dari itu, dibentuklah algoritma kritografi dengan menggunakan kurva elitik agar lebih aman informasi tersebut samai di tangan enerima. Namun samai di mana tingkat keamananna? Pada makalah ini akan dibahas mengenai kurva elitik ang digunakan dalam kritografi dengan sedikit engubahan agar meningkatkan keamananna. Pengubahan ini terlihat dari dimensi kurva elitik ang ada. Makalah ini juga akan membahas metodana, cara emakaian, dan analisis keamanan dibanding kurva elitik dua dimensi. II. DSR TEORI. Gru Gru adalah sistem aljabar ang terdiri dari sebuah himunan G dan sebuah oerasi biner * sedemikian sehingga untuk semua elemen a, b, dan c di dalam G berlaku aksioma berikut Closure a * b harus berada di dalam G sosiatif a*( b* c) ( a* b)* c Elemen netral Terdaat e ϵ G sedemikian sehingga a* e e* a a Elemen invers Terdaat a ϵ G sedemikian sehingga a* a a* a e Sebuah gru <G, *> dikatakan gru komutatif atau gru abelian jika berlaku aksioma komutatif untuk semua nilai ada gru G. B. Medan (field) Medan (field) adalah himunan elemen F dengan dua oerasi biner, biasana disebut enjumlahan (+) dan erkalian (). Sebuah struktur aljabar <F, +, > disebut medan jika dan hana jika <F, +> adalah gru abelian <F {0}, > adalah gru abelian Oerasi menebar terhada oerasi + (distributif) Medan berhingga sering dinamakan Galois Field, dimana himunanna memiliki jumlah elemen ang berhingga. C. Kurva Elitik Kurva elitik adalah kurva dengan bentuk umum ersamaan a b Dimana 4a 7b 0 Penjumlahan titik ada kurva elitik r ( ) r r Penggandaan titik ada kurva elitik d a d r ( ) r r

2 III. PENGEMBNGN KURV ELIPTIK TIG DIMENSI Before ou begin to format our aer, first write and save the content as a searate tet file. Kee our tet and grahic files searate until after the tet has been formatted and stled. Do not use hard tabs, and limit use of hard returns to onl one return at the end of a aragrah. Do not add an kind of agination anwhere in the aer. Do not number tet headsthe temlate will do that for ou. Finall, comlete content and organiational editing before formatting. Please take note of the following items when roofreading selling and grammar:. Penurunan rumus Persamaan umum Persamaan untuk kurva elitik dalam bentuk tiga dimensi sangat sulit untuk didaatkan. Maka dari itu, kurva elitik ang digunakan teta dalam bentuk dua dimensi dengan melakukan roeksi titik tiga dimensi menjadi dua dimensi. Dalam metode ini, enulis menggunakan Jacobian Projection untuk mengubah titik tiga dimensi menjadi dua dimensi. Misalkan sebuah titik (,, ) akan diroeksikan menjadi titik P( P, P). Dengan metode Jacobian Projection, titik tersebut akan diroeksikan sebagai berikut P P m n Dimana nilai m dan n relatif rima, disesuaikan dengan kurva ang akan digunakan. Karena kurva ang akan digunakan adalah kurva elitik, maka dicari nilai m dan n ang cocok untuk kurva elitik tersebut. Berikut enurunan untuk mencari nilai m dan n ang cocok m n a b P P P a b n m m a b m m gar ersamaan di atas menjadi ersamaan ang normal dan nilai m dan n relatif rima, maka solusi ang teat aitu m = dan n =, sehingga ersamaanna menjadi tau lebih umumna a b a b Penjumlahan titik Karena adana dimensi ketiga aitu, maka enjumlahan titik ang ada awalna hana melibatkan dan, kini harus diturunkan kembali agar sesuai dengan titik tiga dimensi ang didefinisikan. Misalkan untuk enjumlahan titik (,, ) B(,, ) C(,, ) atau dalam roeksi dua dimensina aitu (, ) (, ) r( r, r ). Pertama, gradien λ dihitung diturunkan dari rumus umumna sebagai berikut Kemudian dimisalkan Sehingga gradien λ menjadi Selanjutna, dari nilai gradien ang sudah didaat, dilakukan erhitungan untuk nilai dan ada titik r atau titik hasil. Berikut roses enurunan rumus untuk nilai dan ada titik r dari rumus umum kurva elitik dua dimensi. r

3 r r Sesudah mendaatkan titik hasil r ang meruakan roeksi dua dimensi dari titik C, saatna mengubah nilai dan ada titik r menjadi,, ada titik C. Pengubahan ini terlihat jelas dari embagi atauun ang sudah berbentuk sama seerti Jacobian Projection. Pengubahan daat dilakukan sebagai berikut. Penggandaan titik ( ) Penggandaan titik juga tak luut dari transformasi akibat dari roeksi ini. Misalkan untuk enggandaan titik (,, ) B(,, ) atau dalam roeksi dua dimensina aitu (, ) r( r, r ), dilakukan transformasi sebagai berikut. Kemudian dimisalkan a 8 a a a Sehingga gradien λ menjadi 8 4 Selanjutna enurunan rumus untuk mendaatkan nilai dan ada titik r atau titik hasil umum kurva elitik ang sudah ada. r ( ) r r Terakhir, mengubah titik r menjadi titik B dengan Jacobian Projection ( ) B. Cara enggunaan Dua ihak ang berkomunikasi meneakati arameter data sebagai berikut Persamaan kurva elitik ang akan digunakan 4 a b 6 mod, dengan nilai a, b, dan ang sudah ditentukan ula. Bilangan rima ang akan diilih sebaikna cuku besar agar keamananna terjamin Gru elitik ang dihitung dari ersamaan kurva elitik. Persamaan kurva elitik ang digunakan untuk menghitung gru elitik ini dibebaskan di salah satu nilai, namun disarankan untuk menggunakan nilai tidak sama dengan satu untuk meningkatkan keamananna. Titik basis B( B, B, B) ang diilih dari gru elitik untuk oerasi kritografi. Setia engguna juga membangkitkan asangan kunci ublik dan kunci rivat, ang cara menggunakanna bergantung ada algoritma ang digunakan. Kunci rivat adalah sebuah bilangan integer ang diilih dari selang [, -]. Kunci ublik adalah sebuah titik tiga dimensi ang meruakan hasil kali antara kunci rivat dan titik basis. Pada umumna, cara enggunaan kurva elitik tiga dimensi ini tidak berbeda jauh dengan kurva elitik dua dimensi. Disini hana dierjelas tentang rumus untuk oerasi-oerasi ang terkait ada kurva tersebut.

4 Penjumlahan titik Untuk enjumlahan titik (,, ) B(,, ) C(,, ) atau dalam roeksi dua dimensina aitu (, ) (, ) r( r, r ), daat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut ) Hitung nilai E, F, G, H berikut E F G H ) Hitung nilai α G H mod E F ) Hitung nilai E F mod 4) Hitung nilai E F G ( ) mod 5) Hitung nilai Penggandaan titik mod Untuk enggandaan titik (,, ) B(,, ) atau dalam roeksi dua dimensina aitu (, ) r( r, r ), daat dilakukan langkah sebagai berikut ) Hitung nilai α a 8 ) Hitung nilai mod mod ) Hitung nilai 4) Nilai ( ) mod C. Beberaa metode kritogafi dengan kurva elitik tiga dimensi Kurva elitik tiga dimensi daat dialikasikan seerti kurva elitik dua dimensi dalam kritografi. lgoritma kritografi seerti Ellitic Curve Diffie-Hellman, Ellitic Curve El Gamal, dan Ellitic Curve Digital Signature bisa menggunakan kurva elitik tiga dimensi untuk meningkatkan keamananna. kan tetai, enggunaan kurva elitik tiga dimensi masih belum bisa dimaksimalkan aabila tidak terjadi enesuaian terhada algoritma kritografi ang diakai, dimana elemen sangat bereran untuk meningkatkan keamanan dari suatu algoritma. IV. NLISIS Keamanan kurva elitik terletak ada sulitna mencari nilai k dimana Q kp, Q dan P adalah anggota kumulan titik ada kurva elitik. Nilai k ang besar membuat komutasi erkalian titik menjadi mudah aabila k diketahui, namun menjadi sangat sulit aabila nilai k ang harus dicari. Pencarian nilai k dengan menggunakan brute force akan memakan waktu ang cuku lama karena besarna nilai k ang harus dicari. Keamanan kurva elitik tiga dimensi terletak ada nilai dimensi baru aitu. Misalkan untuk kurva elitik ang memiliki nilai orde n dan bilangan rima, aabila dengan kurva dua dimensi akan memiliki kemungkinan titik sejumlah orde. Namun, dengan kurva elitik tiga dimensi, kemungkinan titik menjadi sejumlah orde untuk setia <, sehingga total kemungkinanna adalah n(-) kemungkinan. Dengan kemungkinan sebanak itu, akan memersulit orang untuk menemukan kunci rivat. Keamanan kurva elitik tiga dimensi bisa ditingkatkan lagi dengan mengubah algoritma enkrisi ang ada agar dimensi bisa ditingkatkan lagi emakaianna sehingga kurva elitik tiga dimensi bisa menjadi lebih aman lagi. daun enambahan dimensi menambah variasi titik menjadi lebih banak, sehingga bisa membingungkan orang dalam memecahkan kunci rivat tersebut. V. KESIMPULN Kurva elitik tiga dimensi daat dibilang lebih aman dibandingkan dengan kurva elitik dua dimensi dari segi usaha ang dilakukan untuk menemukan bilangan engali ang teat karena kemungkinan titik ang bertambah dari kurva elitik dua dimensi menjadi kurva elitik tiga dimensi. REFERENSI [] ndreas Steffen, Ellitic Curve Crtograh, Zurcher Hochschule Winterthur. [] Debdee Mukhoadha, Ellitic Curve Crtograh, Det of Comuter Sc and Engg IIT [] noo MS, Ellitic Curve Crtograh, an Imlementation Guide [4] htt:// waktu akses 9 Mei 05 0:00

5 PERNYTN Dengan ini saa menatakan bahwa makalah ang saa tulis ini adalah tulisan saa sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah otang lain, dan bukan lagiasi. Bandung, 0 Mei 05 Marcelinus Henr M.