MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen

Transkripsi

1 MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen

2 Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Deret (series) adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan.

3 Sistem Bilangan Bilangan Nyata Khayal Irrasional Rasional Bulat Pecahan Negatif Nol Positif

4 Sistem Deret Deret Aritmatika Geometri Terhingga Tak Terhingga Konvergen Divergen

5 Sistem Deret Deret Aritmatika Geometri Terhingga Tak Terhingga Konvergen Divergen

6 Definisi Barisan Aritmatika Definisi Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13,... b. 2, 8, 14, 20,... Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15,...

7 Contoh a. 1, 4, 7, 10, 13, Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

8 Contoh c. 30, 25, 20, 15, Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 5 atau b = 5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika U n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b=u n U n 1. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut:

9 Rumus Barisan Aritmatika U 1 = a U 2 = U 1 + b = a + b U 3 = U 2 + b = (a + b) + b = a + 2b U 4 = U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U 5 = U 4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b... U n = U n -1 + b = a + (n 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: U n = a + (n 1)b U n a b n = suku ke-n = suku pertama = beda = banyak suku

10 Contoh 1 Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan 3, 2, 7, 12,... Jawab: 3, 2, 7, 12, Suku pertama adalah a = 3 dan bedanya b = 2 ( 3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U n = 3 + (n 1)5. Suku ke-8 : U 8 = 3 + (8 1)5 = 32. Suku ke-20 : U 20 = 3 + (20 1)5 = 92.

11 Contoh 2 Diketahui barisan aritmetika 2, 1, 4, 7,..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika 2, 1, 4, 7,..., 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = 2, b = 1 ( 2) = 3,dan U n = 40. Rumus suku ke-n adalah U n = a + (n 1)b sehingga; 40 = 2 + (n 1)3 40 = 3n 5 3n = 45 Karena 3n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

12 Definisi Deret Aritmatika Definisi Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. Misalkan U 1, U 2, U 3,..., U n merupakan sukusuku dari suatu barisan aritmetika. D n = U 1 + U 2 + U U n dengan U n = a + (n 1)b. disebut deret aritmetika,

13 Contoh 1 Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D 5 = D 5 = D 5 = D 5 = 5 x 16 = 80 D 5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

14 Rumus Deret Aritmatika Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah D n = U 1 + U 2 + U 3 + +U n-2 + U n-1 + U n. Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. U n-1 = U n b U n-2 = U n-1 b = U n 2b U n-3 = U n-2 b = U n 3b Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskan D n = a + (a + b ) + (a + 2b ) + + (U n -2b) + (U n -b) + U n (1)

15 Rumus Deret Aritmatika Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut: D n = Un+ (U n b)+(u n 2b)+... +(a+2b)+(a+b)+a (2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan D n = a + (a + b ) + (a + 2b ) + + (U n -2b) + (U n -b) + U n D n = U n + (U n b) + (U n 2b) (a+2b) + (a+b) + a 2D n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) (a + U n )+ (a + U n )+ (a + U n ) Dengan demikian, 2D n = n(a + Un ) D n = (1/2) n(a + Un ) = (1/2) n(a + (a + (n 1)b)) n suku D n = (1/2) n(2a + (n 1)b)

16 Contoh 2 Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 2 = 2, dan n = 100. D n 1 2 = n (2a + (n 1)b) 1 2 D 100 = x 100 {2(2) + (100 1)2} = 50 { } = 50 (202) = Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah

17 Contoh 3 Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12,..., 99 sehingga diperoleh : a = 3, b = 3, dan Un = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; U n = a + (n 1)b 99 = 3 + (n 1)3 3n = 99 n = 33 1 Jumlah dari deret tersebut adalah: D n = n (a + U ) 2 1 D 33 = x 33(3 + 99) = Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

18 Sistem Deret Deret Aritmatika Geometri Terhingga Tak Terhingga Konvergen Divergen

19 Definisi Barisan Geometri Definisi Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, di mana susunan bilangan di antara dua suku yang berurutan mempunyai rasio yang tetap Bilangan yang tetap tersebut disebut Rasio dan dilambangkan dengan r. Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasio yang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnya adalah : a 2 = a 1 r a 3 = a 2 r = a 1 r 2 a 4 = a 3 r = a 1 r 3 a n = a 1 r (n-1)

20 Contoh 3, 9, 27, 81,... x3 x3 x3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya dikali 3. Dapat dikatakan bahwa Rasionya 3 atau r=3 Carilah suku ke delapan dari barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2 Jawab: Diketahui : a 1 = 16, r = 2, n=8 Ditanyakan S 8 =? S 8 = a 1 r 8-1 = a 1 r 7 = 16(2) 7 = 2048 Carilah suku ke-11 dalam satu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah 24 dan suku ke-9 adalah 768 Jawab: 3072

21 Definisi Deret Geometri Definisi Deret Geometri adalah jumlah n suku pertama barisan geometri. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. Misalkan a 1, a 2, a 3,..., a n merupakan sukusuku dari suatu barisan geometri. Dn = a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r a 1 r n-1 disebut deret geometri

22 Rumus Deret Geometri Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan geometri adalah D n = a 1 + a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r a 1 r n-1... (1), Kalikan persamaan 1 dengan r, sehingga : rd n = a 1 r + a 1 r 2 + a 1 r 3 + a 1 r a 1 r n... (2) D n rd n = a 1 + a 1 r n D n (1 r) = a 1 + a 1 r n = a 1 (1 r n ) D n = a 1 (1 r n ) untuk r < 1. Tapi jika r > 1, maka : D n = a 1 (r n 1) (1-r) (r 1) Dan untuk r = 1, D n = a 1 + a a 1 D n = na1

23 Contoh 1 Carilah jumlah 8 suku pertama dari deret Jawab: Diketahui bahwa a1 = 3, r = 6/3 = 2, dan n = 8 D n = a 1 (r n 1) (r 1) Maka : D 8 = 3 (2 8 1) = 765 (2-1)

24 Terima Kasih Muhammad Kahfi, MSM