BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
|
|
- Yohanes Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama dengan. Contoh persamaan Contoh kesamaan a) + = 9 a) 5 = + b) 9 = 0 b) + 8 = c) + = 0 c) adalah bilangan prima genap d) = + 5 e) 4 Keterangan: Persamaan + = 9 hanya benar untuk =, dan persamaan 9 = 0 hanya benar untuk = atau = -. Kedua persamaan tersebut dinamakan persamaan bersyarat (kondisional). Persamaan + = 0 untuk R, tidak ada nilai yang memenuhi atau tidak mempunyai jawaban. Sedangkan persamaan = + 5 disebut persamaan palsu. Persamaan mempunyai banyak jawaban atau benar untuk semua kecuali =±, 4 persamaan ini disebut persamaan identitas. Aksioma Aksioma : Jika f() = g() maka f() + h() = g() + h() : Jika f() = g() maka f(). h() = g(). h() Aksioma : Jika f() = g() maka f() = g(). Akar akar dari f() = g() mengandung akar dari f() = g(). Tentkan HP dari persamaan berikut. X =. 4. = 4 +
2 . Persamaan linear (Persamaan garis) Bentuk umumnya: a + by = c atau y = m + c dengan m = gradien (kemiringan) Y a, b, c bilangan real Y a a + by = ab c m = - 0 b X 0 X a b. Persamaan garis yang melalui titik (, y) dengan graien m adalah y y = m( ). Persamaan garis yang melalui dua titik A(, y) dan B(, y) adalah y y y y Soal soal latihan. Tentukan gradien dari persamaan garis berikut: a. y = 6 b. X + 4y = 5 c. + 5y 6 = 0. Sistem Persamaan linear dua varibel. Bentuk umum: a + by = c p + qy = r a, b, c dan p, q, r bilangan real Penyelesian system persamaan tersebut adalah pasangan bilangan terurut (, y). Ada sifat yang dimiliki pada system persamaan linear : a b ) Kedua persamaan tersebut bergantungan, jika p q ) Kedua persamaan tersebut bertentangan (berlawanan), jika a b ) Kedua persamaan tersebut bebas p q Cara penyelesaian system persamaan linear diantaranya dengan: c r a p b q c r a. Substitusi b. Eliminasi c. Gabungan Substitusi dan eliminasi d. Determinasi
3 Contoh soal: Dari system persamaan berikut, manakah yang merupakan system persamaan yang saling bergantungan, bertentangan, dan bebas. a) y = 6 y = b) + y = y = 5 c) + y = + y = 4 Soal Soal Latihan. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan berikut: a. 5 y = 8 + 4y = d. 6 b. ( ) = 5(y 4) + = y 9 c. 9y = 8 + 5y = 7 e y y 5 4 y 5 y 4 y 5 y HP {(, - )}. Diketahui sistem persamaan linear sbb. (p ) py = 6p (4p 5) + (p )y = 7 + 4p Tentukan nilai p agar system persamaan tersebut a) Bergantungan b) berlawanan (bertentangan). Carilah nilai, y dan z dari system persamaan linear berikut: + = 4 y z 8 + y z 8 6 y z y z Hp {(, 5, -)} 4. Carilah nilai a pada system persamaan (a + ) y = a y = 0 (a + 6) ay = a Dengan mengeliminasi dan y, kemudian hitunglah nilai dan y. 5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik sbb: a) A(, ) dengan gradien m = ½ b) B(-5, 4) dengan gradien m = -
4 c) A(, ) dan B(6, 8) d) Memotong sumbu X di (-4, 0) dan gradien m = -/4 e) Memotong sumbu-sumbu koordinat di titik (0,4) dan (-½, 0). Sistem Persamaan linear tiga varibel. Bentuk umum: a +by +cz = d a +by +cz = d a +by +cz = d dengan a, a, a, b, b, b, c, c, c, d, d, dan d R disebut system persamaan linear tiga variable. Seperti halnya pada system persamaan linear dua variable, penyelesaian system persamaan linear tiga variable ini mempunyai kesamaan dalam penyelesaianya, antara lain:. Metode substitusi. Metode eliminasi. Gabungan substitusi dan eliminasi 4. Metode determinan dalam matriks. Jika = 0, y = y0, dan z = z0, ditulis dengan pasangan terurut (0, y0, z0), memenuhi system persamaan linear tersebut di atas, maka (0, y0, z0) disebut penyelesaian system persamaan linear tiga variabel, dan himpunan penyelesaiannya ditulis {(0, y0, z0)}. Contoh soal: Carilah himpunan penyelesaian dari setiap system persamaan linear berikut:. y + z = 6. y + z = y z = + y z = y + z = 4 y + z = y z = + y + z = 6 + y z = 4
5 BAB PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA. Persamaan Kuadrat (Persamaan pangkat dua) Bentuk umum: a + b + c = 0, dengan syarat a 0, a, b, c R. Cara penyelesaian persamaan kuadrat: ) Pemfaktoran, yaitu jika a. b = 0 maka a = 0 atau b = 0 ) Melengkapkan kuadrat sempurna, yaitu dengan mengubah PK menjadi ( ± p) = k ) Rumus akar akar persamaan kuadrat (rumus abc), yaitu : b b 4ac, = a Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut dengan ke tiga cara tersebut: = = 0 Soal Latihan Selesaikanlah persamaan berikut dengan ketiga cara!. 0 = = 0. ¼ = = = 0 8. ( 5) + 5( 5) = = = Jumlah dan Hasil Kali Akar- akar Persamaan Kuadrat 0. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan : a + b + c = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a( )( ) = 0. Jadi : a + b + c = 0 a( )( ) = 0 b c + + = 0 a a ( )( ) = 0 ( + ) + = 0 Sehingga: + = b dan = c a a 5 5
6 Jika, dan adalah akar-akar dari persamaan : a + b + c + d = 0, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a( )( )( ) = 0. Jadi : a + b + c + d = 0 a( )( ) ( ) = 0 b + c d + + = 0 ( )( ) ( ) = 0 a a a [ ( + ) + ]( ) = 0 ( + +) + ( + + ) = 0 Jadi didapat : ( + +) = - b/a ( + + ) = c/a dan = - d/a Bagaimana dengan rumus jumlah dan hasil kali akar akar persamaan yang pangkat 4? Contoh: = 0. Carilah ( + +) =... ( + + ) =... dan =... Rumus-rumus yang umum digunakan: ) + = ( + ). 8) ) + = ( + ) ( + ) ) = ( ) ( ) 9) 4) = ( + ) 4() 5) ( ) = ( + ) 4 6) = ( + )( ) 7) =... ( ) Contoh Soal:. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut: a = 0 b. 4 = 0. Jika dan adalah akar akar dari persamaan = 0. Tentukan nilai dari: a. c. + e. b. ( + )( + ) d. + f.. Tentukan nilai m, jika akar yang satu dari persamaan + m + 8 = 0 dua kali akar yang lain. 6
7 Soal Latihan:. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari perssamaan kuadrat berikut ini: a = 0 b. ( ) = + 4 c. a (a + ) a = 0 d.. Jika dan adalah akar akar dari persamaan = 0. Tentukan nilai dari: a. b. + c. d. ( + )( + ) e. + f.. Kedua akar persamaan kuadrat + (a 6) 9 = 0 saling berlawanan. Tentukan nilai a. 4. Tentukan p, jika akar akar persamaan kuadrat (p + ) 9 + p + = 0 saling berkebalikan. 5. Akar akar persamaan + a + 60 = 0 mempunyai beda 7. Tentukan a dan akar yang lainnya. 6. Akar-akar dari persamaan a + 9 = 0 adalah kali dari akar-akar 4 + b = 0. Tentukan nilai (a 4b). 7. Diketahui dan adalah akar-akar dari persaman + q + (q ) = 0 tentukan q bila:. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika diketahui akar akar suatu persamaan kuadrat adalah dan, maka dapat kita susun persamaan kuadrat dengan cara sebagai berikut: ) Menggunakan perkalian faktor: ( )( ) = 0 ) Menggunakan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat: ( + ) + = 0 b + = dan. = a ) Menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat a + b + c = 0, yaitu: a + b + c = 0 a( )( ) = 0 c a 7
8 Contoh Soal Jawab: Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya diketahui berikut ini:. dan 8. 7 dan 4. ½ dan 4. 5 dan. Dik. = dan = 8. Cara : ( )( 8) = = 0 Cara : + = 8 dan. = 4 ( + ) + = = 0 Cara : a( )( ) = 0 a( )( 8) = 0 a( 8 + 4) = 0 Jika a =, maka persamaannya adalah = 0. Untuk nomor :,, dan 4 selanjutnya terserah anda..4 Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Jika suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berhubungan dengan akar-akar persamaan tersebut, misalnya akarakarnya saling berlawanan, akar-akarnya saling berkebalikan, akar-akarnya k kali akar-akar yang lain, akar-akarnya k lebihnya dari akar-akar yang lain, akar-akarnya k kurangnya dari akar-akar yang lain, dan lain-lain. Cara penyelesaiannya digunakan dengan rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat, yaitu: ( + ) + = 0 (hasil jumlah akar) + (hasil kali akar) = 0 Membentuk persamaan kuadrat baru. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan akar-akar persamaan a + b + c = 0 adalah c + b + a = 0. Jika akar-akarnya k dan k, maka persamaan kuadrat yang baru adalah a + kb + k c =0. Jika akar-akarnya ( k) dan ( k), maka persamaan kuadrat yang baru adalah a( + k) + b( + k) + c = 0 4. Jika akar-akarnya berlawanan, maka persamaan kuadrat yang baru adalah c/a = 0 atau a c = 0 8
9 Contoh soal: Jawab: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kali akar-akar persamaan = 0 Misalkan akar-akar persamaan kuadrat = 0 adalah dan maka + = 5 dan. = 0, sehingga persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan adalah; Jumlah akar = + Hasil kali akar =. = ( + ) = 9(. ) =.(5) = 9(0) = 5 = 90 Soal Latihan: Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah = 0. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sbb: a. dan 0 d. 4 dan 5 f. dan b. 5 dan c. dan e. dan g. dan 5. Jika dan merupakan akar akar dari persamaan = 0, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar akarnya sbb: a. + dan + d. dan b. dan c. dan e. dan. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berkebalikan dengan akar akar persamaan kuadrat + = 0 4. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berlawanan dengan akar akar persamaan kuadrat 4 = 0 5. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya lima kali akar akar persamaan kuadrat + = Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya tiga lebihnya dari akar akar persamaan kuadrat = Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya lima kurangnya dari akar akar persamaan kuadrat = 0 8. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya kuadrat dari akar akar persamaan kuadrat a b c = 0 9
10 9. Susunlah persamaan kuadrat yang akar akarnya berkebalikan dan berlawanan dari akar akar persamaan kuadrat a - b - c = 0.5 Sifat sifat Akar Persamaan Kuadrat Soal Latihan Secara empiris, dapat ditentukan kaitan antara jenis akar-akar pesamaan kuadrat a + b + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b 4ac sebagai berikut:. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. a) Jika D kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional. b) Jika D bukan kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irasional. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real, dan rasional.. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya imajiner 4. Real positif, jika D 0, + > 0 dan. > 0 5. Real negatif, jika D 0, + < 0 dan. > 0 6. Real berlainan tanda, jika D > 0, dan. < 0 7. Real berlawanan, jika D > 0, + = 0 atau b = 0 8. Real berkebalikan, jika D 0, dan. = atau a = c 9. Sebuah akarnya nol, jika. = 0 dan c = 0 (sebuah lagi akarnya real).. Persamaan kuadrat (p + ) + p = 0, dengan p R. Tunjukan bahwa dua akarnya real dan berlainan p R.. Diketahui persamaan kuadrat + (p ) + (p p + ) = 0. Tentukan nilai p, agar persamaan kuadrat tersebut: a) Mempunyai dua akar real yang berbeda b) Mempunyai dua akar real yang sama (akar kembar) c) Tidak mempunyai akar akar yang real. Persamaan kuadrat a + a a + = 0, dengan a R. Tunjukan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai akar real a R. 4. Diketahui persamaan kuadrat 4 + p = 0, Tentukan nilai/batas p agar persamaan kuadrat tersebut. a) Mempunyai dua akar real yang berbeda. b) Mempunyai dua akar yang sama. c) Tidak mempunyai akar real 5. Carilah m agar persamaan kuadrat (m ) + 5 = 0 mempunyai dua akar kembar. 6. Tentukan harga m agar akar akar persamaan 8 (m + ) + (m 5) = 0 a) Real sama b) Real berlawanan c) Real berkebalikan 0
11 7. Diketahui persamaan kuadrat (q 4pr) + 4(p + r) 4 = 0 dengan p, q, dan r R. Tentukan syaratnya agar kedua akar persamaan tersebut: a) Real positif b) Real berlainan tanda c) Real berlawanan d. Real sama 8. Persamaan kuadrat 4 + a = 0 dan 80 + b = 0 mempunyai sebuah akar bersamaan. Akar kedua dari persamaan pertama berlawanan dengan akar kedua dari persamaan kedua. Tentukan nilai a dan b. 9. Persamaan n + n + 8 = 0 memiliki dua akar negatif. Tentukan nilai n. 0. Diketahui (k ) + k + k + = 0 mempunyai akar akar nyata dan berlawanan. Tentukan nilai k.. Diketahui persamaan kuadrat 4 + (n ) = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai n, agar persamaan tersebut mempunyai dua akar real, rasional, dan berlainan.. Untuk persamaan kuadrat n 5 + = 0, dengan n bilangan asli. Tentukan nilai nilai n yang mungkin, agar persamaan kuadrat itu mempunyai dua akar real, irasional, dan berlainan..6 Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat ialah fungsi yang berbentuk f : a + b + c, dimana a 0 dan a, b, c R atau sering ditulis f() = a + b + c Sebagai contoh, fungsi f : +, maka dinyatakan: a) Rumus untuk fungsi f adalah f() = + dengan R b) Peta dari 0 adalah f(0) = (0) (0) + = c) Peta dari adalah f() = () () + =, dst. Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f() untuk = 0 Secara umum f(a) = a a + adalah nilai fungsi f untuk = a. d) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan y = + Harga ekstrim fungsi kuadrat y = f() = a + b + c, dapat ditulis sbb: y = a + b + c y = a( b + ) + c a = a( b b b + + ) + c a 4a 4a b = a( + ) b + c a 4a b = a( + ) ( b 4ac) + a 4a b = a( + ) D a 4a
12 Untuk a > 0: b Jika =, maka y mencapai harga ekstrim minimum (harga minimum) a D Jika D > 0, maka minimum negatif 4a D Jika D = 0, maka minimum nol 4a D Jika D < 0, maka minimum positif. 4a Untuk a < 0: b Jika =, maka y mencapai harga ekstrim maksimum (harg maksimum) a D Jika D > 0, maka maksimum positif 4a D Jika D = 0, maka maksimum nol. 4a Jika D < 0, maka D maksimum negatif. 4a Contoh: Diketahui y = + 5. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya..7 Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f() = a + b + c berbentuk parabola dengan persamaannya dirumuskan sebagai y = a + b + c Y D 4a D 4a X a>0; D > 0 a>0; D = 0 a>0; D < 0 X A < 0; D >0 A < 0; D = 0 A < 0; D < 0
13 Sketsa grafik fungsi kuadrat dapat digambarkan dengan langkah langkah sbb:. Tentukan titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (dengan sumbu X, ambil y=0 dan dengan sumbu Y, ambil = 0) b. Cari sumbu simetri = a b D. Tentukan titik puncak dengan (, ) a 4a 4. Ambil beberapa titik anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. (dibuat dalam table, bila perlu). 5. Gambarlah grafik fungsi tersebut pada sebuah bidang kartesius. Contoh soal Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini: a) y = - 4 b) y = c) y = Membentuk Persamaan kuadrat P(p, q) y = a( p) + q ) Persamaan parabola yang berpuncak di titik P(p, yp) adalah y = a( p) + yp ) Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (, 0) dan (, 0) adalah: y = a{ ( + ) + } Contoh:. Diketahui grafik sbb. a) b) Solusi (, -) - - a) y = a( p) + q b) y = a{ ( + ) + } y = a( ) + (-) y = a{ (- ) + (-)()} = a( 4 + 4), melalui titik (0, ) di dapat: y = a{ + }, mel (0, -) = a( 4 ) - = a(-) a = a = / Jadi fungsi kuadratnya adalah y = 4 + Jadi fungsinya adalah y = /( + ) y = / + 4/
14 Soal latihan. Jumlah kuadrat akar akar persamaan + (m ) (m + ) = 0 adalah k. Tentukan harga k yang sekecil-kecilnya.. Bagilah 00 menjadi dua bagian sehingga jumlah kuadrat bagian-bagiannya sekecil kecilnya.. Hitunglah harga ekstrim dari y = ( + ½ p) ( + p). Jika harga ekstrim tersebut dicapai untuk = - /8. 4. Tentukan harga ekstrim dari y = (7 )( + 5) dan jenisnya 5. Hitunglah harga maksimum dari y = Lukislah grafik fungsi berikut ini: a) y = d. = y 4y + 4 b) = y e. y = c) y = - + f. = y + y Dik. kurva sbb. a) Y = / (, -) - 4 Carilah persamaan kurvanya y = -5/8 + 5/8 + 0/8 4
15 BAB PERSAMAAN IRASIONAL, FUNGSI IRASIONAL DAN GRAFIKNYA 4. Persamaan Irasional (persamaan radikal) Persamaan irasional adalah persamaan yang mengandung variable dibawah tanda akar dan atau yang dapat dijadikan demikian, variable berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya. Misalnya: ) 4 = 5, ) / = ) = + 4) = ( + 5) ½ - 4 Contoh persamaan yang mengandung variable di bawah tanda akar tetapi bukan persamaan irasional sbb: ) =, ekuivalen dengan = ) ( ) = +, ekuivalen dengan + = + Persamaan irasional yang dibahas disini hanyalah persamaan irasional yang tanda akarnya berpangkat dua dengan semesta pembicaraan bilangan real. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut. ) ) ) 4) ( 5) Fungsi Irasional dan grafiknya Fungsi irasional ialah fungsi yang domainnya terletak di bawah tanda akar. Variabel berakar tersebut tak dapat ditarik akarnya. Bentuk umumnya y = f () dengan syarat f() 0. Contoh Gambarlah grafik fungsi y = Jawab Syarat A B C D y
16 Soal Latihan. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan irasional berikut : a) e) 4 0 b) 7 4 f) 0 c) + 5 g) d) 7. Tentukan nilai c pada persamaan c agar persamaan tersebut mempunyai akar real.. Ganbarlah sketsa grafik fungsi: a) y = ± b) y = ± 9 c) y = d) y = ± e) y = ± f) y = 4 6
17 4. Eksponen BAB 4 PERSAMAAN EKSPONEN, FUNGSI EKSPONEN DAN GRAFIKNYA Eksponen artinya perpangkatan, bentuknya seperti a n = a.a.a.a.... a sebanyak n faktor, n disebut eksponen. Kita telah mengenal beberapa sifat dari bentuk eksponen, seperti berikut ini: Jika a dan b bilangan real sedangkan m dan n bilangan rasional, maka: ) a m a n = a m + n ; 5) a -m = atau a m = ; a 0 ) a m : a n = a m - n m m ; a 0 a a ) (a n ) m = a m n ; a > 0 6) a m/n n m = a ; a > 0 4) (a b) m = a m b m 7) a 0 = dan a - = a Contoh Soal:. Sederhanakan bentuk berikut ini tanpa ada pangkat negatif: a b a ab a b a) b) c) a a b b a. Hitunglah a) 0,6 b) c) d) ( ) e) 7 9. Sederhanakanlah bentuk akar berikut: a) a a a b) a c) 4. Persamaan Ekponen Persamaan eksponen adalah persamaan yang memiliki variable sebagai eksponen bilangan berpangkat. Bentuk bentuk umum persamaan eksponen sebagai berikut: ) a f() = f() = 0 ) g() f() = a. f() = 0 b. g() = c. g() = - dengan f() genap ) a f() = a p f() = p 4) a f() = a g() f() = g() 5) f() g() = f() h() a. g() = h() b. f() = 6) f() g() = h() g() a. g() = 0 a 4 4 c. f() = - dengan g() dan h() genap. b. f() = h() 7) a f() + b g() + c = 0, bentuk ini kita ubah kebentuk persamaan kuadrat. y y y ( )
18 Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: a. b. c. d. e. 4 7 ( 5 ( +8 0) + ) ( ) ( 9 0 ) Soal latihan: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut:. =. ( ). 0 0, = 5. ( ) = 8 7. = 8. + = ( ) + = ( ). ( 5). ( ) 4. ( 5 5 6) (5 5) ( ) ( 65 6) ` 4. Fungsi Eksponen dan grafiknya Fungsi eksponen adalah fungsi yang domainnya terdapat pada eksponen bilangan berpangkat. Bentuk umumnya : y = a f(), syarat: a > 0, a dan f() bulat rasional. 8
19 Contoh:. Gambarlah grafik fungsi y = A B C D E y 0 / X Catatan: a) Grafik fungsi y = f() dimana f() merupakan fungsi linear, kurvanya tidak mempunyai asimtot tegak, asimtot datarnya y = 0 b) Untuk selanjutnya dalam melukis grafik fungsi model ini cukup dengan menentukan dulu asimtotnya kemudian tiga titik disebelah atas asimtot.. Gambarlah grafik fungsi y Solusi : a) Harga minimum dari + dicapai untuk = -b/a = b) Titik titik pada grafik A B C D E y c) Asimtot tegak tidak ada dan asimtot datarnya juga tidak ada 9
20 d) Grafiknya sbb: 4-0 Soal Latihan Gambarlah grafik fungsi berikut ini:. y =. y = -. y = (/) + 4. y ( ) 0
21 BAB 5 PERSAMAAN LOGARITMA, FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIKNYA 5. LOGARITMA Invers dari fungsi perpangkatan disebut logaritma, secara umum jika basisnya a maka a log y = ekuivalen dengan a = y untuk a > 0, a dan y > 0. Untuk logaritma yang berbasis 0 cukup ditulis log y =. Berikut ini sifat sifat logaritma:. a log = 0 7. a log y = a log z y = z. a log a = 8. a log (y) = a log + a log y. a log a = 9. a log /y = a log - a log y a log y 4. a y 0. a log n = n a log p 5. a log log =. a log. log y = a p log y log a Contoh a n m n a log. log 6. m. am log a n n m. Hitunglah : a) log = e) log(- 0) =.. b) log 7 = f) log /6 =. c) 7 log /7 = g) / log 64 =. d) log 0,0000 = h) /7 log /8 =... Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut: a) log 5 + log 4 log 05 d) log + log log 4 b) 6 log log 8 6 log (½) - e) 9 log log 9 log 6 c) ½ log 9 log 8 f) log4 log Diketahui a log b = p, a log c = q, dan a log d = r. Nyatakan dalam p, q, dan r tiap bentuk berikut: a) a log (bcd) b) a log (b/c) c) a log b a log c a log d 4 4. Diketahui log = a dan log 5 = b. Nyatakanlah logaritma berikut dalam bentuk a dan b a) log 5 b) 6 log 5 c) 9 log Diketahui log = p dan log y = q. Nyatakanlah log dalam bentuk p dan q y
22 5. Persamaan Logaritma Persaman logaritma ialah persamaan yang mengandung variable pada numerus dan atau pada bilangan pokoknya. Suatu bentuk aljabar E() = F() atau E() = C dimana E() dan F() fungsi logaritma dan C suatu konstanta dinamakan bentuk bentuk logaritma. Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, diantaranya sbb: ) a log f() = p f() = a p, a > 0; a dan f() >0 ) a log f() = a log g() f() = g(), a > 0; a dan f(), g() >0 ) h() log f() = h() log g() h() > 0, h() dan f(), g() >0 4) Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat. Contoh soal latihan Selesaikan persamaan logaritma berikut ini: a) Log ( + ) log = log b) Log ( + ) = log ( 4) + c) log + log ( ) = 0 d) +6 log + log ( ) = + log Soal - soal Latihan Tentukan himpunan penyelesaian dari persaman logaritma berikut ini:. log 5 =. log log ( ) + log = log log ( ). log (5 4) = log 5 4. log log = log ( log ) + log 5. log log( 7 log ) log + log = log 8. 7 log (log 5 + 5) = 9.. log log 0. log 4. log ( ) + = 0. log 0,0 + 0 log 0,0 =. +log =.000..log log + 0 = log (6 0) = 5. log 0 log 9 = log(log ) 0
23 5. Fungsi Logaritma dan grafiknya Fungsi logaritma ialah fungsi yang domainnya terletak pada numerous suatu logaritma, bentuknya seperti y = a log f(), a > 0, a, dan f() > 0 Mengingat fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen, maka grafiknya saling simetris. Contoh : Buatlah grafik fungsi y = a log dan = a y dengan a > dan 0 < a < y = a y = y = a y = = a log y a > 0 < a < = a log y Dari gambar di atas dapat kita simpulkan sbb:. Grafik selalu melalui titik (0, ) untuk setiap a > dan 0 < a < ; a. Garis = 0 (sumbu Y) sebagai asimtot tegak (bila y ~ atau y - ~ maka 0). Grafik berada di sebelah kanan sumbu Y, dengan kata lain daerah asal (domain) dari fungsi adalah Df = { > 0} 4. Bila 0 < a < grafik turun untuk > 0 dan grafik naik untuk > 0 bila a >.
24 BAB 6 PERSAMAAN PECAH, FUNGSI PECAH DAN GRAFIKNYA 6. Persamaan Pecah Persamaan pecah adalah persamaan yang ruas kiri dan atau ruas kanannya terdiri dari pecahan yang penyebutnya mengandung variable. Contoh :. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 6 9. Tentukan himpunan penyelesian dari persamaan
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciatau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciMateri Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi
Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciMATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c
1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
Lebih terperinciPersamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II
BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c
Lebih terperinciFungsi kuadrat. Hafidh munawir
Fungsi kuadrat Hafidh munawir Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah: a + b + c = Dengan a,b,c R dan a serta adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciy
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciALJABAR. 1. HBS (Hogere Burger School) NI dan AMS (Algemeene Middelbare School) afd B, 1935 Bangun
Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Silam UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS TAHUN 935 ALJABAR. HBS (Hogere Burger School) NI dan
Lebih terperinciBAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di
BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciFUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA NAMA: KELAS: 1 P a g e FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA I. FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinsikan
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciAljabar 1. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Aljabar 1 Drs. H. Karso, M.Pd. PENDAHULUAN M odul yang sekarang Anda pelajari adalah modul yang pertama dari mata kuliah Materi Kurikuler Matematika SMA. Materi-materi yang disajikan dalam modul
Lebih terperinciMenyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciMata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X
Mata Pelajaran MATEMATIKA Kelas X SEKOLAH MENENGAH ATAS dan MADRASAH ALIYAH PG Matematika Kelas X 37 Bab 1 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Nama Sekolah : SMA dan MA Mata Pelajaran : Matematika Kelas
Lebih terperinciMODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA
MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciSilabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL
Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi
Lebih terperinciPENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat
Lebih terperinciBIMBINGAN BELAJAR & KONSULTASI PENDIDIKAN SERI : MATEMATIKA SMA EKSPONEN. MARZAN NURJANAH, S.Pd.
BIMBINGAN BELAJAR & KONSULTASI PENDIDIKAN SERI : MATEMATIKA SMA EKSPONEN MARZAN NURJANAH, S.Pd. Agenda Pengertian dan Sifat Eksponen Persamaan Eksponen Pertidaksamaan Eksponen Latihan Soal Agenda Pengertian
Lebih terperinciM. PRAHASTOMI M. S. SISTEM PERSAMAAN LINEAR. A. a = 2 dan b = 4 B. a = 2 dan b = 4 C. a = 2 dan b = 4 D. E. a = 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR M. PRAHASTOMI M. S. 0. MD-8-8 B C G E F A D H 6 7 8 6 Jika gradien garis AB = m, gradien garis CD = m, gradien garis EF = m dan gradien garis GH = m, maka... () m = () m = 0 ()
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinci2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac
. FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah,
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER )
MATEMATIKA EKONOMI ( FUNGSI LINIER, GRAFIK FUNGSI DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER ) KELOMPOK 2 1. UMAR ATTAMIMI (01212043) 2. SITI WASI ATUL MUFIDA (01212096) 3. DEVI PRATNYA. P. (01212078) 4. POPPY MERLIANA
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciβ α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinciPERSAMAAN & SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN & SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Sistem Persamaan Linear DEFINISI PERSAMAAN Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan. Sedangkan kalimat matematika tertutup
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciSILABUS. Kegiatan Pembelajaran Teknik. Tugas individu.
SILABUS NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : X STANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real. KODE KOMPETENSI : ALOKASI WAKTU : 57 x 45 Kompetensi
Lebih terperinciModul Matematika SMA i
Modul Matematika SMA i Tim Penyusun : Liya Nur Qori ah (1724143141) Lusiana Dian Silviani (1724143146) Masdain Rifa I (1724143153) Muchamad Misbakhudin (1724143158) Muhammad Eko Budi Rismanto (172143170)
Lebih terperinciUntuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus :
RUMUS-RUMUS PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0, a 0 AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT Untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, dapat menggunakan rumus : X 1.2 = Dengan : D = b 2 4ac, dan
Lebih terperincia 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua
Lebih terperinciSOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPS TAHUN PELAJARAN 2011/2012
SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPS TAHUN PELAJARAN 2011/2012 1. Ingkaran pernyataan: Petani panen beras atau harga beras murah. A. Petani panen beras dan harga beras mahal B. Petani panen
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA SEKOLAH
1 MODUL MATEMATIKA SEKOLAH 1 Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I PENDAHULUAN I. PENGERTIAN Matematika sekolah adalah bagian matematika yang diberikan
Lebih terperinciBEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR
BEBEAA MACAM FUNGI DALAM ALJABA 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f dan g kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciModul Matrikulasi, SMA Labschool Kebayoran 2017 Page 1
Modul : Grafik Fungsi Kuadrat Teori: Bagian bagian grafik fungsi kuadrat = a + b + c, a 0 Grafik fungsi kuadrat Titik ekstrim fungsi kuadrat = f () = a + b + c D = 0 Memiliki dua akar kembar Grafik fungsi
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinci*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat
*Tambahan Grafik Fungsi Kuadrat GRAFIK FUNGSI KUADRAT Langkah-langkah menggambar grafik: 1. Tentukan pembuat nol fungsi y=0 atau f(x)=0 2. Tentukan sumbu simetri x = -b/2a 3. Tentukan titik puncak P (x,y)
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN
PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..
Lebih terperinciBANK SOAL MATEMATIKA IPS
BANK SOAL MATEMATIKA IPS Tim Guru Matematika SMAN 1 Kendari KENDARI 2013 1. Bentuk sederhana dari adalah... A. B. E. Jawaban : E Bentuk sederhana dari : 2. Nilai x yang memenuhi persamaan adalah... A.
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperincisama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B
Soal nomor 1, dengan soal sebagai berikut: Jawab : D Pernyataan majemuk pada soal ini adalah suatu disjungsi. Misalkan p: Petani panen beras. q: Harga beras murah., pernyataan di atas dapat dinotasikan
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperincikkkk EKSPONEN 1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 A. 4 2 B. 3 2 C. 2 D. 1 E. 0 Solusi: [B] 2. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 Jika x1
kkkk. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009... EKSPONEN A. 4 B. C. D. E. 0 Solusi: [B]. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika dan merupakan akar-akar persamaan 6, maka... A. B. C. D. E. Solusi: [C] 6 6 0. SIMAK
Lebih terperinciPEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
Lebih terperinci22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA)
22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) NO. 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1980
Matematika Proyek Perintis I Tahun 980 MA-80-0 Di antara lima hubungan di bawah ini, yang benar adalah Jika B C dan B C, maka A C Jika A B dan C B, maka A C Jika B A dan C B, maka A C Jika A C dan C B,
Lebih terperinciI. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.
Lebih terperinciDosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Website : HUBUNGAN NONLINEAR
Dosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Email : asyahza@yahoo.co.id Website : http://almasdi.unri,ac,id HUBUNGAN NONLINEAR a. Fungsi Kuadrat b. Fungsi Kubik c. Penerapan Ekonomi Permintaan,
Lebih terperinciHimpunan. 01. MD S adalah sebarang himpunan yang tidak kosong. Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang SALAH
Himpunan 0. MD-87-9 S adalah sebarang himpunan yang tidak kosong. Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang SALAH () S S () S S () {S} S () {S} S 0. MD-86-07 Pernyataan pernyataan berikut yang benar = {0}
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Nama Siswa LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : Kelas : KOMPETENSI DASAR: 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :
PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciBILANGAN MODUL PERKULIAHAN
MODUL PERKULIAHAN BILANGAN Sistem bilangan real Operasi pada bilangan bulat Operasi pada bilangan pecahan Sifat-sifat bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciJENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n
Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.
Lebih terperinciMenurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden
Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinci