GENERALISASI RATA-RATA PANGKAT METODE NEWTON. Haikal Amrullah 1, Aziskhan 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 GENERALISASI RATA-RATA PANGKAT METODE NEWTON Haikal Amrullah 1, Aziskhan 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kamus Binawidya, Pekanbaru 893, Indonesia amrullahhaikal@gmail.com ABSTRACT This article discusses the generalized ower mean modification of Newton s method to solve nonlinear equations obtained by modifying Newton s method using a traezoidal quadrature formula. It is analytically demonstrated that the method has convergence order of three or five. Comutational results suort the analytical studies. Numerical simulations show that the method is comarable with other discussed methods. Keywords: Iterative method, ower means, order of convergence, traezoidal quadrature formula. ABSTRAK Artikel ini membahas generalisasi rata-rata angkat metode Newton untuk menyelesaikan ersamaan nonlinear yang dieroleh dengan memodifikasi metode Newton menggunakan formula kuadratur traesium. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode yang dihasilkan memunyai kekonvergenan orde tiga atau lima. Hasil komutasi mendukung hasil kajian analitik. Komutasi numerik menunjukkan metode yang dihasilkan sebanding dengan metode sekelas yang ada. Kata kunci: metode iterasi, rata-rata angkat, orde konvergensi, formula kuadratur traesium. 1. PENDAHULUAN Salah satu ersoalan matematika yang sering dijumai adalah bagaimana menemukan akar dari ersamaan nonlinear yang dinyatakan dalam bentuk fx = 0. Karena metode analitik tidak tersedia untuk semua fungsi fx, maka metode numerik yang bersifat iterasi menjadi alternatif. Reository FMIPA 1

2 Metode iterasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan ersamaan nonlinear adalah metode Newton yang memiliki orde konvergensi kuadrat. Bentuk iterasi metode Newton, daat ditulis sebagai berikut fx n, n = 0, 1,,, f x n dengan f x n 0 dan tebakan awal x 0 diberikan. Dalam erkembangannya, metode Newton banyak mengalami modifikasi yang bertujuan untuk memerceat iterasi atau meningkatkan orde konvergensinya. Orde konvergensi kubik berdasarkan aturan kuadratur ertama kali dikemukakan oleh Weerakoon dan Fernando [10] dan kemudian kecenderungan yang sama berlanjut ada Babajee dan Dauhoo [] dan Frontini dan Sormoni [3] dengan menggunakan rata-rata aritmatik atau titik tengah metode Newton. Nedzhibov [9] memberikan beberaa kelas metode iterasi menggunakan aturan-aturan kuadratur lain untuk menyelesaikan ersamaan nonlinear. Modifikasi ada metode Newton berdasarkan rata-rata harmonik atau rata-rata geometri diusulkan ada Babajee dan Dauhoo [] dan Homeier [5]. Pada semua yang telah disebutkan, metode yang diberikan hanya memerlukan turunan ertama dari fx dan diketahui memunyai orde konvergensi tiga. Pada artikel ini, di bagian dibahas mengenai terbentuknya metode iterasi baru yang meruakan review dari artikel Jayakumar dan Madhu [6] yang berjudul Generalized Power means Modification of Newton s Method for Simle Roots of Nonlinear Equation. Pada bagian 3 dilakukan analisa kekonvergenan dari metode yang diusulkan, kemudian dilanjutkan dengan melakukan uji komutasi menggunakan rogram Male 13.. GENERALISASI RATA-RATA PANGKAT METODE NEWTON DAN KASUS-KASUS KHUSUS Pada bagian ini diberikan beberaa definisi dasar untuk embahasan selanjutnya, kemudian dilanjutkan dengan roses terbentuknya beberaa metode iterasi baru. Definisi 1 [8, h. 77] Asumsikan barisan {x n } n=0 konvergen ke α dan nyatakan e n = x n α untuk n 0. Jika terdaat dua konstanta ositif A 0 dan q > 0, dan lim n x n+1 α x n α q = lim n e n+1 e n q = A, maka barisan tersebut dikatakan konvergen ke α dengan orde konvergensi q. Konstanta A adalah konstanta error asimtotik asymtotic error constant. Jika q = 1, dan 3, maka orde kekonvergenan dengan barisan {x n } n=0 berturutturut dikenal dengan istilah linear, kuadratik, dan kubik. Ketika e n = x n α adalah error ada iterasi ke-n, relasi e n+1 = Ce q n + Oe q+1 n disebut ersamaan error. Nilai q yang dieroleh disebut orde konvergensi. Reository FMIPA

3 Definisi Rata-rata Pangkat [11] Misalkan a dan b adalah skalar ositif. Untuk bilangan real hingga, rata-rata angkat dari a dan b didefinisikan sebagai. a + b m = Metode Iterasi Generalisasi Rata-rata Pangkat Metode Newton Misalkan α adalah akar sederhana dari fungsi yang terdiferensialkan fx. Jika x n meruakan solusi numerik dari ersamaan fx = 0, maka dieroleh identitas [4, h.70] berikut fx = fx n + x 1 x n f tdt. 1 Nilai integral ada ersamaan 1 diaroksimasi dengan formula kuadratur traesium [9] x f tdt x x n x n m sehingga dieroleh 0 = fx n + x x n m f x + f x + m 1 i=1 m 1 i=1 f x n + i x x n + f x n, m f x n + i x x n + f x n. m Selanjutnya, dengan melakukan enjabaran serta enyederhanaan Misalkan x = x n+1, dieroleh mfx n x = x n f x + m 1 i=1 f x n + i x xn m. + f x n mfx n f x n+1 + m 1 i=yaitu1 f x n + i x n+1 x n m. + f x n Karena ersamaan imlisit, maka x n+1 ada ruas kanan ditaksir dengan metode Newton yang dimisalkan dengan y n yaitu y n = x n fx n f x n. 3 Selanjutnya, substitusikan ersamaan 3 ke ersamaan, dieroleh mfx n f x n + m 1 i=1 f x n ifx n mf x n, 4 + f y n Reository FMIPA 3

4 dengan y n dieroleh dari ersamaaan 3 dan didefinisikan 0 f x n ifx n = 0 mf x i=1 n. Dengan meninjau kembali ersamaan 4, serta mengambil nilai m berturutturut 1 dan, dieroleh 1. untuk m = 1, ersamaan 4 menjadi metode Weerakoon [10] dengan y n dieroleh dari ersamaan 3. untuk m =, ersamaan 4 menjadi fx n f x n + f y n, 4fx n. 5 f x n + f x n fxn f x n + f y n Dari ersamaan 3, dieroleh fx n f x n = x n y n, substitusikan ada 5, dieroleh 4fx n f x n + f x n+y n dengan y n dieroleh dari ersamaan 3. + f y n, 6 Untuk memeroleh generalisasi rata-rata angkat metode Newton, ersamaan 6 ditulis ulang sebagai f x n+f y n fx n + f x n +y n. 7 Untuk memeroleh bentuk iterasi baru yang berbentuk umum, maka rata-rata aritmatik ada 7 diganti dengan rata-rata angkat- [11] yang meruakan bentuk umum dari rata-rata dan memerkenalkan arameter k 1, k dan k, kemudian fungsi sign diberikan agar tidak terjadi embagian dengan bilangan yang sangat kecil, maka dieroleh generalisasi rata-rata angkat metode Newton k 1 sign f x n kfx n f x n +f y n 1 + k f x n +y n dengan k 1 + k = k, adalah bilangan real hingga dan y n dieroleh dari 3., 8 Kasus Khusus Generalisasi Rata-rata Pangkat Metode Newton Berikut ini akan diberikan beberaa kasus khusus ada generalisasi rata-rata angkat metode Newton. Kasus khusus ini dieroleh dengan mensubstitusikan nilai-nilai dari, k, k 1 dan k yang berbeda. Reository FMIPA 4

5 1. Rata-rata Aritmatik Metode Newton Rata-rata aritmatik metode newton [10] daat dieroleh dengan mensubstusikan nilai = 1, k =, k 1 = dan k = 0 ada ersamaan 8, sehingga dieroleh x n+1 =x n dengan y n dieroleh dari ersamaan 3. fx n f x n + f y n,. Rata-rata Harmonik Metode Newton Rata-rata harmonik metode newton [11] daat dieroleh dengan mensubstusikan nilai = 1, k = 1, k 1 = 1 dan k = 0 ada ersamaan 8, sehingga dieroleh x n+1 =x n fx n f x n + f y n, f x n f y n dengan y n dieroleh dari ersamaan Rata-rata Geometri Metode Newton Rata-rata geometri metode newton [7] daat dieroleh dengan mensubstusikan nilai = 0, k = 1, k 1 = 1 dan k = 0 ada ersamaan 8, sehingga dieroleh fx n x n+1 =x n sign f x 0 f x n f y n dengan y n dieroleh dari ersamaan ANALISIS KEKONVERGENAN Pada bagian ini akan dilakukan analisis kekonvergenan untuk mengetahui orde kekonvergenan dari generalisasi rata-rata angkat metode Newton. Metode ini memiliki orde tiga atau lima. Teorema 3 Misalkan α D adalah akar sederhana dari fungsi f, f : D R R yang terdiferensial secukunya ada interval buka D. Jika x 0 cuku dekat ke α dan f α 0, maka generalisasi rata-rata angkat metode Newton memunyai konvergensi orde tiga. Selain itu, jika k = 3, k 1 = 1, k = dan c = 0 atau fx memenuhi f α = 0, maka metode tersebut memunyai konvergensi orde lima. Bukti: Misalkan α adalah akar sederhana dari ersamaan fx = 0, maka fα = 0 dan f α 0. Misalkan juga e n adalah error dari yang dieroleh ada iterasi ke-n, dengan e n = x n α. Pembuktian ini dimulai dengan mengeksansikan fx n di sekitar x n = α dengan deret Taylor, kemudian mensubstitusikan e n = x n α, dieroleh fx n =f α x n α + c x n α + c 3 x n α Ox n α 6, fx n =f α e n + c e n + c 3 e 3 n + + Oe 6 n. 9 Reository FMIPA 5

6 dengan c k = f k α, k =, 3, 4,... dan e k!f α n = x n α. Selanjutnya dengan mengeksansikan f x n di sekitar x n = α dengan deret Taylor, kemudian mensubstitusikan e n = x n α, dieroleh f x n =f α 1 + c e n + 3c 3 e n + 4c 4 e 3 n + + Oe 5 n. 10 Dari ersamaan 3 serta dengan mensubstitusikan ersamaan 9 dan ersamaan 10, dieroleh e n + c e n + c 3 e 3 n + + Oe 6 n y n = x n c e n + 3c 3 e n + 4c 4 e 3 n + + Oe 5 n Untuk menghindari embagian dua olinomial, maka ersamaan 11 diselesaikan dengan bantuan deret geometri. Setelah menyederhanakan, dieroleh atau y n = x n e n + c e n c c 3 e 3 n + + Oe 5 n, y n = α + c e n c c 3 e 3 n + + Oe 5 n. 1 Langkah selanjutnya adalah mengeksansikan f y n di sekitar y n = α dengan deret Taylor yaitu f y n = f α 1+c y n α+3c 3 y n α +4c 4 y n α 3 + +Oey n α Kemudian, dengan mensubstitusikan ersamaan 1 ke ersamaan 13 serta dengan beberaa oerasi aljabar, dieroleh f y n = f α 1 + c e n + 4c c 3 c 3 e 3 n + + Oe 5 n. 14 Dari ersamaan 1 juga daat dieroleh x n + y n = α + 1 e n + 1 c e n c c 3 e 3 n + + Oe 5 n. 15 Selanjutnya, f x n+y n dieksansi di sekitar x n+y n = α dengan deret Taylor yaitu f xn + y n =f α 1 + c x n + y n + 4c 4 x n + y n α + 3c 3 x n + y n α Oe x n + y n α α Dengan mensubstitusikan ersamaan 15 ke ersamaan 16 serta dengan beberaa oerasi aljabar, dieroleh f xn + y n =f α 1 + c e n + c c 3e n + c c c c 4e 3 n + + Oe 5 n. 17 Reository FMIPA 6

7 Untuk langkah selanjutnya, ersamaan 10 diangkatkan yaitu f x n = f α 1 + c e n + 3c 3 e n + 4c 4 e 3 n + + Oe 5 n. 18 Untuk menyederhanakan ersamaan 18 akan digunakan formula teorema binomial [1] sehingga dieroleh f x n = f α 1 + c e n + 3 c 3 + 1c e n + 4 c c c c3 e 3 n + + Oe 5 n. 19 Berikutnya, ersamaan 14 diangkatkan yaitu f y n = f α 1 + c e n + 4c c 3 c 3 e 3 n + + Oe 5 n, dan dengan roses yang sama untuk mendaatkan ersamaan 19 dieroleh f y n = f α 1 + c e n + 4 c c 3 c e 3 n + + Oe 5 n. 0 Dengan menggunakan ersamaan 19 dan ersamaan 0 didaat f x n + f y n 1 =f α 1 + c e n + 3 c 3 + 1c + c e n + c c c c3 + c c 3 c e 3 n + + Oe 5 n 1. 1 Untuk menyederhanakan ruas kanan ersamaan 1 digunakan formula teorema binomial [1] sehingga dieroleh f x n + f y n 1 = f α 1 + c e n + 1 c + c + 3c 3 e n + c c c c3 e 3 n + + Oe 5 n. f x n +f y n Untuk memudahkan enulisan, misalkan G = sign f x n dan H = f x n +y n. Dari ersamaan dan 17 serta k = k1 + k, dieroleh k 1 G + k H =kf α 1 + c e n k k 1c + c + 3c 3 + k c c 3 e n + 1 k1 c k 3 + 1c c c3 + k c c c c 4 e 3 n + + Oe 5 n. 3 1 Reository FMIPA 7

8 Dari ersamaan 9 dan 3 dieroleh kfx n k 1 G + K H = en + c e n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + Oe 5 n 1 + c e n + 1 k 1 k 1c + c + 3c 3 + k c c 3e n + 1 k k 1c c c c3 + k c c c c 4e 3 n + + Oe 5 n 1. 4 Untuk menyederhanakan ersamaan 4 digunakan deret geometri, sehingga dieroleh kfx n k 1 G + K H =e n c c k k 1 + k c k 1 k k 1 + k kc k 1 k k k k c e 3 n 3 1k k + k c c 3 + 1k1 + 3k c 3 e 4 n + Oe 6 n. 5 Selanjutnya, dengan mensubstitusikan ersamaan 5 ke ersamaan 8 dan mengingat e n+1 = x n+1 α, dieroleh dengan l 1 =c c k k 1 + k c k l = 1 k k 1 + k kc k e n+1 = l 1 e 3 n + l e 4 n + l 3 e 5 n + Oe 6 n. 6 k k k c, 3 1k k + k c c k1 + 3k c 3 k, l 3 = 1 5 k k k + k c k 1 + 4k + k c c 4 k k 4 7 7k 1 11k k + 1k 1k + k1 c c k k1 + 7k k1 k k + k1 + k 4 c k k + 7k 8k 16k 9. 4 Dari Definisi 1 daat diketahui bahwa Reository FMIPA 8

9 1. Berdasarkan ersamaan 6, ersamaan 8 memiliki orde konvergensi kubik untuk nilai, k, k 1 dan k yang berbeda.. Jika nilai k = 3, k 1 = 1 dan k =, ersamaan 6 memiliki nilai l 1, l dan l 3 sebagai berikut l 1 = c 6 l = + 5 c c c l 3 = c c c c 1 c c c 5 Dengan demikian, agar dieroleh orde konvergensi lima, maka nilai c yang memenuhi adalah c = 0 atau dengan kata lain f α = PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji komutasi untuk membandingkan keceatan dalam menemukan akar ersamaan antara metode Newton MN, rata-rata aritmatik metode Newton AN, rata-rata harmonik metode Newton HN, rata-rata geometri metode Newton GN dan generalisasi rata-rata angkat metode Newton GPMN untuk menyelesaikan ersamaan nonlinear. Persamaan-ersamaan yang digunakan dalam melakukan komutasi numerik adalah 1. f 1 x = x 3 1. f x = x ex x sin x + cos x f 3 x = sin x + x cos x Untuk menentukan solusi numerik dari beberaa ersamaan nonlinear di atas digunakan rogram Male 13 dengan toleransi ϵ = Untuk generalisasi rata-rata angkat metode Newton, nilai-nilai yang digunakan adalah =, k 1 = 1, k = dan k = 3. Hasil erbandingan komutasi daat dilihat ada Tabel 1. Pada Tabel 1, f i untuk i = 1,, 3 menyatakan ersamaan nonlinear, x 0 meruakan tebakan awal, n+1 meruakan jumlah iterasi, x n+1 menyatakan endekatan nilai akar ada iterasi ke-n + 1, COC menyatakan orde konvergensi metode secara komutasi dan MG menyatakan metode iterasi tidak daat berjalan. Pada Tabel 1 daat dilihat bahwa GPMN membutuhkan iterasi yang sama atau lebih sedikit dari metode-metode yang lain. Kemudian ada kolom COC membuktikan bahwa bahwa GPMN memiliki orde yang sama atau lebih tinggi dari metode embanding. Hal ini membuktikan bahwa GPMN daat diunggulkan dalam keceatan untuk memeroleh nilai solusi numerik dari ersamaan nonlinear. Reository FMIPA 9

10 Tabel 1: Perbandingan komutasi untuk MN, AN, HN, GN, dan GPMN f i x 0 Metode n + 1 x n+1 COC MN AN f HN GN GPMN MN AN f 3.0 HN GN GPMN MN AN f HN GN GPMN KESIMPULAN Berdasarkan embahasan yang telah diuraikan ada bagian sebelumnya, maka daat disimulkan bahwa roses untuk mendaatkan metode iterasi yang dibahas ada artikel ini adalah dengan memodifikasi metode iterasi Newton dengan mengguanakan formula kuadratur traesium dan menggunakan rata-rata angkat. Selanjutnya ditunjukkan secara analitik dengan menggunakan eksansi Taylor bahwa generalisasi rata-rata angkat metode Newton memiliki kekonvergenan orde tiga atau lima. Dari erbandingan numerik yang dilakukan daat dilihat bahwa metode iterasi yang dieroleh memunyai jumlah iterasi yang sama atau lebih sedikit dari metode-metode embanding. Ucaan Terimakasih Penulis Mengucakan terimakasih keada Baak Dr. Imran M., M.Sc. yang telah meluangkan waktu, ikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat dalam membimbing enulis menyelesaikan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Abramowitz, M. & I. A. Stegun Handbook of Mathematical Function with Formulas, Grah, and Mathematical Tables. U.S. Government Printing Office. Washington, D.C. [] Babajee, D. K. R. & M. Z. Dauhoo An Analysis of The Proerties of The Variants of Newton s Method with Third Order Convergence. Alied Mathematics and Comutation, 183: [3] Frontini, M. & E. Sormoni Some Variants of Newton s Method with Third Order Convergence. Alied Mathematics and Comutation, 140: Reository FMIPA 10

11 [4] Hamming, R. W Numerical Methods for Scientists and Engineers, Second Edition. Dover Publications, Inc. New York. [5] Homeier, H. H. H On Newton Tye Methods with Cubic Convergence. Journal of Comutational and Alied Mathematics, 176: [6] Jayakumar, J. & K. Madhu Generalized Power means Modification of Newton s Method for Simle Roots of Linear Equation. International Journal of Pure and Alied Sciences and Technology, 18: [7] Lukic, T. & N. M. Ralevic Geometric mean Newton s Method for Simle and Multile Roots. Alied Mathematics Letter, 1: [8] Mathews, J H Numerical Methods for Mathematics Science and Engineering, nd Ed. Prentice Hall Inc., New Jersey. [9] Nedzhibov, G. 00. On A Few Iterative Methods for Solving Nonlinear Equation. Alication of Mathematics in Engineering and Economics 8, in: Proceeding of The XXVIII Summer School Sozool 0, Heron Press, Sofia, 1-8. [10] Weerakoon, S. & T. G. I. Fernando A Variant of Newton s Method with Accelerated Third Order Convergence. Alied Mathematics Letter, 08: [11] Xiaojian, Z A Class of Newton s Method with Third-Order Convergence. Alied Mathematics Letter, 0: Reository FMIPA 11