BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

Transkripsi

1 BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan pada Bab I, terdapat dua masalah utama yang akan dikaji berkaitan dengan sifat-sifat pada 1. Pertama, syarat apakah yang harus dipenuhi agar sebarang barisan yang konvergen di 1 mempunyai limit di 1. Kedua, bagaimana keterkaitan antara fungsi di dengan fungsi di 1. Untuk membahas permasalahan di atas diperlukan konsep-konsep pendukung seperti yang tertuang dalam Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue Lemma Fatou. Pada bab ini kajian akan diawali dengan pembahasan kedua konsep tersebut, dilanjutkan dengan pembahasan masalah pertama yang dimuat dalam Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue. Akhir kajian bab ini membahas bahwa fungsi yang terintegralkan Riemann adalah terintegralkan Lebesgue, namun belum tentu berlaku sebaliknya. 5.1 Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue Lemma Fatou Pada subbab ini akan dikaji mengenai konsep-konsep utama yang akan digunakan untuk membahas permasalahan-permasalahan yang telah dirumuskan

2 80 tersebut. Teorema pendukung yang akan digunakan adalah Teorema kekonvergenan Monoton Lebesgue Lemma Fatou. Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue menjamin bahwa barisan fungsi di 1 yang bernilai non negatif konvergen akan mempunyai limit fungsi di 1 jika barisan fungsi di 1 tersebut monoton naik. Teorema (Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue) Misalkan adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur- pada. Jika (a) 0 untuk setiap, (b) lim, untuk setiap. Maka terukur, lim lim. Bukti. Misalkan adalah sebuah barisan fungsi terukur- yang bernilai non negatif pada, monoton naik konvergen titik demi titik ke fungsi pada. Keterukuran dari fungsi dijamin oleh Teorema Untuk selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa lim lim. Karena 1 untuk setiap, maka berdasarkan Teorema diperoleh 1 untuk setiap. Selanjutnya, karena barisan monoton naik konvergen titik demi titik ke fungsi maka untuk setiap

3 81, berdasarkan Teorema maka untuk setiap. Perhatikan bahwa, barisan monoton naik terbatas oleh, oleh karena itu akan terdapat 0, sedemikian sehingga lim. Sekarang akan diperlihatkan bahwa lim, yaitu dengan menunjukkan bahwa kedua ketaksamaan berikut berlaku, (i) (ii). Karena sup : untuk setiap akibatnya diperoleh, Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti.. Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan adalah sebarang fungsi sederhana sedemikian sehingga 0, misalkan adalah sebarang konstanta dengan 0 1 definisikan : 0, di mana 1,2,3,. Karena terukur- untuk setiap akibatnya himpunan terukur untuk setiap karena monoton naik maka diperoleh, Lebih jauh, akan diperlihatkan bahwa, maka diperoleh 1. Untuk itu karena untuk setiap. Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa

4 82. Ambil sebarang, jika 0 maka 0 untuk setiap 0, dengan demikian untuk setiap. Selanjutnya jika 0, maka akibatnya untuk setiap yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa, untuk suatu akibatnya diperoleh bahwa. Kemudian perhatikan bahwa,. Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan untuk 1,2,3,. Dengan demikian, diperoleh atau, dengan kata lain lim lim lim Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap 0,1, maka diperoleh Untuk setiap fungsi sederhana terukur dengan 0, sehingga dengan mengambil supremum atas seluruh diperoleh,.

5 83 Dengan demikian ketaksamaan (i) (ii) berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa, lim lim. Perhatikan bahwa, kondisi barisan fungsi terukur non negatif yang harus monoton naik seperti yang disebutkan pada Teorema 4.3.4, tidak dapat dihilangkan, seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut. Contoh Untuk setiap, misalkan : 1, 0, didefinisikan oleh 1 jika, 1,1 0 jika, 1. Dapat dilihat bahwa bernilai non negatif untuk setiap, tetapi barisan fungsi tidak monoton naik. Barisan fungsi konvergen ke fungsi dengan 0 untuk setiap 1,. Akan tetapi, Sehingga, 1,,1 1,, 1 1, 1. lim 1, 1 0 1, lim.

6 84 Teorema kekonvergenan monoton Lebesgue juga dapat diaplikasikan untuk membuktikan Teorema seperti yang diperlihatkan pada contoh berikut. Contoh Misalkan diberikan dua buah fungsi, : 0, di mana adalah fungsi terukur-,. Misalkan adalah sebuah konstanta dengan 0. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton akan diperlihatkan bahwa,. Berdasarkan Teorema terdapat barisan fungsi sederhana sedemikian sehingga, 0 dengan lim pada 0 dengan lim = pada. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh barisan fungsi sederhana, di mana 0 dengan lim 0 dengan lim. Berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh

7 85 lim lim lim serta lim lim. Teorema (Lemma Fatou) Jika : 0, adalah fungsi terukur non negatif untuk setiap, maka lim inf lim inf. Bukti. Misalkan diberikan sebarang barisan fungsi terukur non negatif yang terdefinisi pada definisikan, inf, 1, 2, dengan 1,2,3,. Dengan demikian diperoleh bahwa 0, barisan monoton naik, Berdasarkan Teorema , terukur- untuk 1,2,3, lim lim inf. Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh lim inf lim

8 86 lim lim inf lim inf. 5.2 Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue Pada subbab ini akan dibahas mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di 1 yang konvergen mempunyai limit di 1. Kondisi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue Lemma Fatou seperti yang diberikan oleh Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue di bawah ini. Teorema (Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue) Misalkan :, adalah fungsi terukur untuk setiap asumsikan bahwa fungsi 0 di mana. Jika maka lim 1 lim ada untuk setiap untuk setiap,

9 87 lim lim. Bukti. Diberikan sebarang barisan fungsi terukur pada di mana barisan konvergen titik demi titik pada asumsikan juga bahwa terdapat fungsi 0 di mana sedemikian sehingga untuk setiap. Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku. Misalkan lim untuk setiap, akibatnya berdasarkan Teorema adalah sebuah fungsi terukur. Karena untuk setiap maka berdasarkan Teorema untuk setiap, demikian juga karena lim haruslah, akibatnya. Selanjutnya, perhatikan bahwa karena akibatnya fungsi,, adalah fungsi terukur- yang bernilai non negatif. Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi diperoleh, lim inf lim inf. Yaitu, lim inf. Karena maka bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh, diperoleh

10 88 liminf. Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur- non negatif, diperoleh liminf liminf dengan kata lain, limsup Akhirnya diperoleh, limsup liminf. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim ada sama dengan lim. 5.2 Keterkaitan dengan Dengan menggunakan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue dapat diturunkan keterkaitan antara fungsi di 1 dengan fungsi di. Misalkan, menyatakan integral Lebesgue dari atas, koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue pada, dinotasikan dengan 1,. Serta misalkan juga bahwa menyatakan integral Riemann dari atas, koleksi semua fungsi yang terintegralkan Riemann pada, dinotasikan oleh,. Keterkaitan

11 89 fungsi yang terintegralkan Lebesgue dengan fungsi yang terintegralkan Riemann dinyatakan dalam teorema berikut ini. Teorema Jika, maka,,., Bukti Misalkan diberikan fungsi,. Fungsi terintegralkan Riemann pada interval, artinya jika,,, adalah sebarang pada, dengan jumlah Riemann atas bawah sebagai berikut,,, dengan sup: 1, 1,, di mana inf: 1, 1, maka lim, lim,...1

12 90 Karena diambil sebarang pada, maka dapat dibentuk suatu barisan partisi dengan sifat 1 adalah penghalus dari yaitu 1 untuk setiap sedemikian sehingga Δ 1 di mana 1 adalah titik pada partisi. Karena 1 untuk setiap, akibatnya berdasarkan Teorema 2.4.4, diperoleh,,,,,,,,. Karena barisan,, monoton terbatas, jika diambil supremum dari, infimum dari, atas seluruh partisi yang mungkin pada, maka diperoleh, sup, : lim, inf, : lim,. Perhatikan barisan, akan didefinisikan fungsi-fungsi sederhana pada,. Untuk sebarang, misalkan 0, 1,,. Definisikan fungsi sebagai berikut: jika jika 1

13 91 jika jika 1. Karena masing-masing subinterval, adalah terukur-, akibatnya berdasarkan Teorema fungsi terukur- berdasarkan Definisi Definisi diperoleh,, 1, 1 1,. 1 Dengan kata lain, integral Lebesgue untuk fungsi sederhana adalah jumlah Riemann atas bawah untuk partisi. Selanjutnya, diperoleh juga bahwa untuk setiap,, karena 1. Karena barisan monoton terbatas, akibatnya terdapat sebuah fungsi sedemikian sehingga, lim lim. Karena L U adalah limit dari barisan fungsi yang terukur-µ akibatnya L adalah fungsi terukur-. Perhatikan juga bahwa adalah fungsi yang terbatas pada,, sehingga diperoleh,, berdasarkan Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue, diperoleh

14 92 lim lim lim,, lim lim lim,. Karena,, akibatnya. Diketahui bahwa, jika hanya jika untuk hampir semua,. Dalam hal ini ketaksamaan,, mengakibatkan,, hampir dimanapun pada,, dengan demikian fungsi terukur- maka terintegralkan Lebesgue. Lebih jauh, karena, hampir dimanapun pada,, akibatnya diperoleh,., Perhatikan bahwa konvers dari Teorema tidak berlaku berdasarkan Contoh Contoh