Menentukan Rumus Umum Suku ke-n dari Barisan Bilangan dalam BentukPenjumlahan Polinom Melalui Sistim Persamaan Linier. OLEH WARMAN, S.Pd.

Transkripsi

1 Menentukan Rumus Umum Suku ke-n dari Barisan Bilangan dalam BentukPenjumlahan Polinom Melalui Sistim Persamaan Linier OLEH WARMAN, S.Pd. DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN BLITAR SMP NEGERI 1 GANDUSARI Agustus 2009

2 ABSTRACT Finding the General Formula of Term to-n of Seuence in Polynomials Addition Through Linear Euation System Finding the general formula of term to-n of Seuence in Polynomial is the main form which is an imortant solution in mathematics. The aer is resented to find the term to-n from seuence in olynomials addition through linear euation system. The roblem of this aer that eole have a hunch that the general formula of the term to N from seuence is uniue. But actually the case is infinite, and every a seuence of cause has general form of term to-n. The aer is the writer s discovery based on some references which is in line with the material to find the term to-n from seuence. ABSTRAK Menentukan rumus umum Suku ke-n dari Barisan Bilangan dalam bentuk Penjumlahan Polinom Melalui Sistim Persamaan Linier. Menentukan rumus umum Suku ke-n dari Barisan Bilangan meruakan salah satu okok bahasan enting dalam mata elajaran matematika. Makalah ini yang akan dibahas adalah: Menentukan rumus umum Suku ke-n dari Barisan Bilangan dalam Bentuk Penjumlahan Polinom melalui Sistim Persamaan Linier. Inti ermasalahan dalam makalah ini ada dasarnya adalah orang beranggaan menentukan rumus umum Suku ke-n dari barisan bilangan adalah tunggal, adahal rumus umum yang mungkin tak terhingga banyaknya, dan setia barisan bilangan asti memiliki bentuk umum suku ke-n. Makalah ini meruakan temuan enulis berdasarkan kajian ustaka dari beberaa literatur yang sesuai dengan materi menentukan suku ke-n dari barisan bilangan. 2

3 PENDAHULUAN Matematika meruakan salah satu bidang studi yang sangat enting dalam kehiduan sehari-hari. Matematika daat diterakan diberbagai bidang ilmu yang lain, seerti: ilmu ekonomi dikenal bunga tunggal yaitu bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal ersatuan waktu (Moesono, 1994:107),bunga majemuk yaitu bunga yang ditambahkan ada okoknya, kemudian bunga ada berikutnya dihitung menurut okok baru (Sukahar, 1986:216), ilmu geografi dikenal erhitungan ertambahan enduduk dengan rumus: P n = P o (1 + r) n (Salladin,1980:25), ilmu fisika dikenal erhitungan gerak lurus beraturan dengan rumus: X = Vt (Kadiawarman, 1992:43). Materi-materi yang telah disebutkan di atas sangat erat sekali hubungannya dengan metematika terutama dengan materi barisan bilangan. Materi tersebut dalam embelajaran di sekolah banyak dijumai hambatan-hambatan, yang antara lain siswa kesulitan menentukan suku ke-n, siswa beranggaan rumus umun suku ke n tunggal (tidak ada jawaban lain yang mungkin), siswa beranggaan tidak semua barisan bilangan memiliki rumus umum suku ke n, maka dengan alasan di atas enulis membuat makalah dengan judul Menentukan Rumus Umum Suku ke-n melalui system Persamaan Linier. PEMBAHASAN MATERI Definisi: Barisan tak hingga{u n } adalah sebuah fungsi yang domainnya sebuah bilangan bulat ositif. Nilai-nilai fungsi itu, adalah: U 1, U 2, U 3, U 4, dinamakan suku-suku barisan. Sebuah barisan tak hingga lebih sederhana disebut barisan (Larson, tana tahun:664). Contoh: Tentukan 4 suku ertama dari suatu barisan yang suku ke n nya adalah: U n = 2n + 1. Karena barisan meruakan fungsi dengan domain bilangan bulat ositif, maka barisan yang suku ke n nya U n = 2n + 1 artinya sama dengan fungsi f(n) = 2n + 1, sehingga: 3

4 F(1) = 2(1) + 1 = 3 F(2) = 2(2) + 1 = 5 F(3) = 2(3) + 1 = 7 F(4) = 2(4) + 1 = 9 Jadi emat suku ertama barisan bilangan itu: (1, 3), (2, 5), (3, 7), dan (4, 9). Biasa ditulis 3, 5, 7, dan 9. Suku ke-n Suku ke-n dari suatu bilangan sebanyak k suku ertama dieroleh banyak kemungkinan rumus suku ke n. Misalnya menentukan suku ke n dari barisan bilangan: 2, 4, 8,. Andaikan suku ke emat adalah 16, mungkin Un = 2 n Andaikan suku ke emat adalah 14, mungkin Un = n 2 n + 2 Andaikan suku ke emat adalah 26, mungkin Un = 2n 3 11n n 10. Ternyata jika diketahui k suku ertama, maka dieroleh rumusan suku ken banyak kemungkinan yang memenuhi barisan itu, bahkan tak terhingga banyaknya, sehingga dalam soal untuk menentukan suku ke-n seharusnya menggunakan kata: yang mungkin. Jadi dari soal di atas erintah yang teat adalah tentukan suku ke-n yang mungkin dari barisan bilangan:2, 4, 8,. Suku ke-n yang mungkin dari suatu barisan bilangan, jika diketahui sebanyak k suku, daat dinyatakan dalam bentuk: Un = a k-1 n k-1 + a k-2 n k a 2 n 2 + a 1 n + a 0 Misalkan barisan bilangan itu: U 1, U 2, U 3,,U,, U,, U n, sebanyak k suku, karena barisan itu meruakan fungsi, maka daat dinyatakan dalam bentuk asangan bilangan (1,U 1 ), (2, U 2 ), (3,U 3 ),,(,U ),,(, U ), (n, U n ),.Dari asangan-asangan bilangan yang diketahui dieroleh ersamaan-ersamaan linier sebanyak k ersamaan. U 1 = a k-1 1 k-1 + a k-2 1 k a a a 0 U 2 = a k-1 2 k-1 + a k-2 2 k a a a 0 U 3 = a k-1 3 k-1 + a k-2 3 k a a a 0. 4

5 . U = a k-1 k-1 + a k-2 k a a 1 + a 0. U = a k-1 k-1 + a k-2 k a a 1 + a 0. U n = a k-1 n k-1 + a k-2 n k a 2 n 2 + a 1 n + a 0 Dari ersamaan-ersamaan tersebut di atas daat ditentukan beberaa ernyataan. 1. Ambil sebarang koefisien dari a k-b ada ersamaan U dengan U, k > b, k dan b bilangan-bilangan bulat ositif, maka: k-b k-b Bukti: Andaikan k-b = k-b, maka dieroleh enyelesaian = atau k b = 0 k = b, Padahal dan k b, (kontradiksi), maka k-b k-b berarti tidak ada yang sama koefisien a k-b ada U dan U untuk k>b. 2. Pada suku terakhir masing-masing ersamaan, koefisien a 0 = Ambil sebarang koefisien dari a k-c dan a k-d ada U dan U di mana c d, k c dan k d, k, c, dan d bilangan-bilangan bulat ositif, maka: Bukti: Andaikan =, maka k-c. k-d = k-d. k-c, berarti selesaiannya k-c = k-d c = d atau =, adahal c d dan (kontradiksi). Jadi. Karena, maka daat disimulkan bahwa System ersamaan linier itu memunyai selesaian tunggal. 5

6 Contoh: 1. Tentukan suku ke n yang mungkin dari barisan bilangan berikut ini: a. 3, 5, 7, b. 1, 3, 6, 10,. Jawab: a. Dari barisan bilangan ada soal a) di atas daat ditulis dengan asangan bilangan: (1,3), (2,5), (3, 7),.Karena diketahui tiga asangan bilangan maka digunakan ersamaan fungsi kuadrat, yaitu f(n) = a 2 n 2 + a 1 n + a 0. (1, 3) f(1) = a 2 (1) 2 + a 1 (1) + a 0 = 3 a 2 + a 1 + a 0 = 3 (1) (2, 5) f(2) = a 2 (2) 2 + a 1 (2) + a 0 = 5 4a 2 + 2a 1 + a 0 = 5 (2) (3, 7) f(3) = a 2 (3) 2 + a 1 (3) + a 0 = 7 9a 2 + 3a 1 + a 0 = 7 (3) Dari uraian di atas dieroleh tiga ersamaan linier, yaitu: a 2 + a 1 + a 0 = 3 (1) 4a 2 + 2a 1 + a 0 = 5 (2) 9a 2 + 3a 1 + a 0 = 7 (3) Ketiga ersamaan linier di atas dihitung masing-masing nilai a 2, a 1, a 0. dieroleh jawaban: a 2 = 0, a 1 = 2, dan nilai a 0 = 1, disubstitusikan ada bentuk umum fungsi kuadrat, yaitu:. f(n) = a 2 n 2 + a 1 n + a 0. f(n) = 0n 2 + 2n + 1 f(n) = 2n + 1 Jadi suku ke n dari barisan bilangan itu adalah f(n) = 2n + 1 atau biasa ditulis U n = 2n + 1 Aakah ada kemungkinan jawaban lain yang tidak sama dengan U n = 2n + 1, Tetai memenuhi ketiga suku ertama barisan bilangan itu? Lihat barisan di bawah ini: 6

7 Untuk U n = 2n + 1, maka suku ke 4 adalah U 4 = 2(4) + 1 = 9. Kemudian suku ke 4 diilih sebarang bilangan selain 9, misalnya diilih 15, sehingga barisan itu menjadi: 3, 5, 7, 15, atau ditulis: (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 15),.kemudian tentukan fungsi olinom berderajat 3 yang memenuhi keemat asangan bilangan itu. f(n) = a 3 n 3 + a 2 n 2 + a 1 n + a 0 (1,3) f(1) = a 3 (1) 3 + a 2 (1) 2 + a 1 (1) + a 0 = 3 a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 3 (1) (2,5) f(2) = a 3 (2) 3 + a 2 (2) 2 + a 1 (2) + a 0 = 5 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0 = 5 (2) (3,7) f(3) = a 3 (3) 3 + a 2 (3) 2 + a 1 (3) + a 0 = 7 27a 3 + 9a 2 + 3a 1 + a 0 = 7 (3) (4,15) f(4) = a 3 (4) 3 + a 2 (4) 2 + a 1 (4) + a 0 = 15 64a a 2 + 4a 1 + a 0 = 15 (4) Dari 4 ersamaan linier 4 eubah di atas, dieroleh nilai: a 3 = 1, a 2 = -6, a 1 = 13, dan a 0 = -5. Sehingga suku ke n dari barisan itu, f(n) = n 3 6n n 5, atau daat ditulis: U n = n 3 6n n 5. Jawab contoh soal 1.b Menentukan suku ke ndari barisan bilangan: 1, 3, 6, 10,. Barisan bilangan itu daat ditulis: (1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (1,1) f(1) = a 3 (1) 3 + a 2 (1) 2 + a 1 (1) + a 0 = 1 a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 1 (1) (2,3) f(2) = a 3 (2) 3 + a 2 (2) 2 + a 1 (2) + a 0 = 3 8a 3 + 4a 2 + 2a 1 + a 0 = 3 (2) (3,6) f(3) = a 3 (3) 3 + a 2 (3) 2 + a 1 (3) + a 0 = 6 27a 3 + 9a 2 + 3a 1 + a 0 = 6 (3) (4,10) f(4) = a 3 (4) 3 + a 2 (4) 2 + a 1 (4) + a 0 = 10 64a a 2 + 4a 1 + a 0 = 10 (4) Dari 4 ersamaan linier 4 eubah di atas, dieroleh nilai: a 3 = 0, a 2 = ½, a 1 = ½, dan a 0 = 0. Sehingga suku ke n dari barisan itu: 7

8 f(n) = 0n 3 + ½ n 2 + ½ + 0 f(n) = ½ n 2 + ½ f(n) = ½n(n + 1) f(n) = Contoh: 2 n( n +1) sehingga U n = 2 n( n +1). 2 Tentukan suku ke n yang mungkin dari barisan bilangan, jika U 1 = 3, U 3 = 21, U 6 =78. Jawab: Barisan bilangan di atas daat ditulis: 3, U 2, 21, U 4, U 5, 78, U 7, sehingga dieroleh tiga asangan bilangan: (1, 3), (3, 21), (6, 78). Karena diketahui tiga asangan bilangan, maka daat digunakan bentuk umum ersamaan fungsi kuadrat, yaitu: f(n) = a 2 n 2 + a 1 n + a 0. (1, 3) f(1) = a 2 (1) 2 + a 1 (1) + a 0 = 3 a 2 + a 1 + a 0 = 3. (1) (3, 21) f(3) = a 2 (3) 2 + a 1 (3) + a 0 = 21 9a 2 + 3a 1 + a 0 = 21 (2) (6, 78) f(3) = a 2 (6) 2 + a 1 (6) + a 0 = 78 36a 2 + 6a 1 + a 0 = 78 (3) Ketiga ersamaan linier di atas dihitung masing-masing nilai a 2, a 1, a 0. dieroleh jawaban: a 2 = 2, a 1 = 1, dan nilai a 0 = 0, disubstitusikan ada bentuk umum fungsi kuadrat, yaitu:. f(n) = a 2 n 2 + a 1 n + a 0. f(n) = 2n 2 + 1n + 0 f(n) = 2n 2 + n f(n) = n(2n + 1) Jadi suku ke n dari barisan bilangan itu adalah f(n) = n(2n + 1) atau biasa ditulis U n = n(2n + 1) 8

9 Kesimulan: 1. Barisan bilangan U 1, U 2, U 3,, U n, daat ditulis dalam bentuk asangan bilangan (1, U 1 ), (2, U 2 ), (3, U 3 ),,(n, U n ),. 2. Jika diketahui barisan bilangan U 1 = 1, U 2 = 2, U 3 = 3, sebanyak k suku dengan 1, 2, 3, bilangan-bilangan real dan 1, 2, 3, bilangan-bilangan bulat ositif dengan maka barisan itu daat ditentukan suku ke n nya yang mungkin dalam bentuk: Un = a k-1 n k-1 + a k-2 n k a 2 n 2 + a 1 n + a 0 3. Suku ke n yang mungkin dari suatu barisan bilangan banyaknya tak hingga. 9

10 DAFTAR PUSTAKA Daiman, E, dan Dewi, Tri Penuntun Belajar Matematika Untuk SMU Kelas II. Bandung: Ganeca Exact. Kadiawarman Fisika Dasar I. Jakarta: Deartemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan MenengahBagian Proyek Penataran Guru SLTP Setara D-III, Universitas Terbuka. Kaufman, J.E Intermediate Algebra for College Students. Boston: WesterIllinois University. Keedy, M.L, dan Bittinger, M.L Algebra for college Students. Indianaolis: Puedie University. Larson, R.E, dan Hosteller, R.P Tana tahun. Algebra and Trigonometry. (2 nd Ed). D.C Health and Comany. Moesono, D., dkk Matematika 1a Untuk SLTP Kelas I. Jakarta: Balai Pustaka. Nasution, A.H, dkk Matematika I Untuk SMU Kelas I. Surabaya: PT. Karya Pembina Swajaya. Roseu, K.H Discrete Mathematics and Its Alications. (2 nd Ed).New York: MC Grow-Hill, INC. Salladien Konse Dasar Demografi. Surabaya: PT. Bina Ilmu. Sembiring, Suah Penuntun Pelajaran Matematika Untuk SMU Kelas II. Bandung: Ganeca Exact. 10

11 DATA PRIBADI NAMA : WARMAN SPd NIP : TTGL : CILACAP, 25 NOPEMBER 1961 ALAMAT : RT.02 RW.01 DESA SLUMBUNG KEC. GANDUSARI BLITAR ALAMAT KERJA : SMP N 1 GANDUSARI JL. KELUD SEMEN GANDUSARI BLITAR TILP. RUMAH : (0342) HP : NO. warmanmomon@ymail.com 11