BAB I PENDAHULUAN. Y dikatakan linear jika untuk setiap x, Diberikan ruang Hilbert X atas lapangan F dan T B( X ), operator T

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang dan Permasalahan Bidang ilmu analisis meruakan salah satu cabang ilmu matematika yang di dalamnya banyak membicarakan konse, aksioma, teorema, lemma disertai embuktian dan contoh- contoh baik yang bersifat ilustrasi mauun enyangkal. Di dalam analisis khususnya analisis fungsional, beberaa ruang yang sering dibicarakan adalah ruang linear, ruang bernorma, ruang Banach, ruang re-hilbert, dan ruang Hilbert. Ruang re-hilbert meruakan ruang linear X yang dilengkai dengan fungsi yang memetakan setia anggota X X ke suatu bilangan komleks dan memenuhi aksioma-aksioma tertentu. Fungsi inilah yang kemudian dikenal dengan roduk skalar (inner roduct) ada X. Ruang re-hilbert yang lengka disebut ruang Hilbert. Pemetaan dari suatu ruang linear ke ruang linear yang lain atau dari suatu ruang linear ke ruang linear yang sama disebut oerator. Diberikan ruang Hilbert X dan Y atas laangan yang sama, yaitu F. Laangan F yang dimaksud ada tulisan ini adalah atau. Oerator : X Y dikatakan linear jika untuk setia x, y X dan F berlaku ( x y) ( x) ( y) dan ( x) ( x). Oerator linear : X konstanta M 0 sehingga ( x) Y dikatakan terbatas jika terdaat M x untuk setia x X. Himunan semua oerator linear terbatas dari X ke Y ditulis B X, Y. Lebih lanjut, dalam hal X = Y, B X, X dituliskan atau B X B Y. Diberikan ruang Hilbert X atas laangan F dan B( X ), oerator daat didekomosisikan menjadi arsial dan akar kuadrat ositif dari U dengan U : X X oerator isometri. Selanjutnya, untuk bilangan >0, oerator linear kontinu yang memiliki sifat disebut sebagai oerator hionormal- yang ekuivalen mengatakan 2 2, dengan

2 2 2. Untuk =, oerator disebut oerator hionormal dan untuk, 2 oerator disebut oerator semi-hionormal. Untuk 0<<, oerator hionormal telah diteliti oleh matematikawan, diantaranya Aluthge (999), Duggal (995), dan Xia (980). Dalam Aluthge (999) disebutkan bahwa aabila oerator hionormal- dan U dekomosisi dari dengan U oerator isometri arsial, maka oerator 2 2 U disebut transformasi Aluthge. Selain itu, dalam Furuta (996) disebutkan bahwa untuk >0, aabila oerator hionormal-, maka untuk setia q dengan q, q q U hionormal-. Untuk bilangan q>0, oerator 2 q q q U meruakan erluasan dari transformasi Aluthge. Dalam Berberian (96) disebutkan bahwa aabila B( H) oerator komak dan ( ) \ 0, maka ( ) \ 0 a sifat sektrum oerator linear terbatas diantaranya jika. Dalam Akkouchi (2008), disebutkan sifat- S dan tidak surjektif, maka r ( ). Selanjutnya, dalam Patel (995) disebutkan juga sifat- sifat sektrum hionormal- diantaranya jika untuk 0< <, hionormal-, 2 maka ( ) ( ). j Hal tersebut kemudian membawa emikiran untuk menyelidiki karakteristik oerator yang memiliki sifat. Pembahasan mengenai karakteristik oerator hionormal- ada tulisan ini, lebih ditekankan ada sifat- sifat oerator hionormal- ada ruang Hilbert, hubungan oerator hionormal- dengan oerator hionormal-w, Class (A), aranormal, dan sifatsifat sektrum titik oerator hionormal-. Oleh karena itu, erlu dikaji lebih lanjut tentang karakteristik dan sifat- sifat oerator hionormal- ada ruang Hilbert.

3 3.2 ujuan dan Manfaat Penelitian ujuan enelitian ini adalah untuk memberikan emahaman dan engetahuan mengenai sifat- sifat dan karakteristik oerator hionormal- ( > 0) ada ruang Hilbert. Pembahasan mengenai oerator hionormal- ada ruang Hilbert bermanfaat membantu mengembangkan ilmu matematika dan alikasinya, khususnya analisis fungsional..3 injauan Pustaka Untuk >0, embahasan tentang oerator hionormal- ada ruang Hilbert diawali dengan endefinisian ruang Hilbert terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan embahasan mengenai oerator ada ruang Hilbert dan terakhir dibahas tentang oerator hionormal-. Kreyszig (978) dan Berberian (96), menjelaskan bahwa ruang bernorma X adalah ruang linear yang dilengkai dengan norma yang didefinisikan adanya dan dituliskan dengan asangan X,., sedangkan ruang linear X yang dilengkai dengan fungsi roduk skalar disebut ruang re-hilbert dan ruang bernorma X,. dikatakan lengka jika setia barisan Cauchy di dalam X konvergen di X. Berberian (96), memberikan enjelasan mengenai definisi dan konse dasar tentang ruang Hilbert diantaranya setia ruang re-hilbert X meruakan ruang bernorma terhada norma. : x x, x untuk setia x X dan ruang re-hilbert yang lengka disebut ruang Hilbert. Kreyszig (978), memberikan enjelasan, untuk X dan Y ruang bernorma atas laangan yang sama, yaitu F, oerator : X Y dikatakan linear jika ( x y) ( x) ( y) untuk setia x, y X dan ( x) ( x) untuk setia x X dan F. Selanjutnya, oerator linear : X sehingga ( x) Y dikatakan terbatas jika terdaat konstanta M 0 M x untuk setia x X. Lebih lanjut, himunan semua oerator linear terbatas dari X ke Y ditulis B X, Y dengan X dan Y ruang bernorma.

4 4 Selanjutnya, Kreyszig (978) memberikan enjelasan mengenai definisi oerator linear tertutu ada ruang bernorma, diketahui X dan Y ruang bernorma dan oerator linear : X Y tertutu ada ruang bernorma X dikatakan tertutu jika grafik dari, yaitu G( ) x, y : xd( ), y ( x) Y. Berberian (96) juga memberikan enjelasan mengenai definisi dan konse oerator adjoint ada ruang Hilbert yang diawali dengan membahas eorema Reresentasi Riesz. Selain itu, Kreyszig (978) juga memberikan enjelasan mengenai konse dasar sektrum ada ruang Hilbert yang nantinya akan digunakan untuk menyelidiki sifat-sifat sektrum titik oerator hionormal- ada ruang Hilbert. Konse mengenai oerator hionormal- meruakan salah satu konse yang dielajari dalam teori analisis fungsional khususnya oerator. Furuta (996) dan Huruya (997) menjelaskan bahwa untuk >0, Oerator dikatakan hionormal- jika 2, ekuivalen mengatakan 2 2, dengan. Aluthge (999) mendefinisikan, oerator linear terbatas ada H dengan H ruang Hilbert, oerator hionormal-, dan U dekomosisi dari dengan U B( H) isometri arsial, oerator 2 2 U disebut transformasi Aluthge. Furuta (996) memberikan sifat-sifat berkaitan dengan oerator hionormal- ada ruang Hilbert, diantaranya untuk >0, jika oerator hionormal- maka untuk setia q sehingga q, q q U hionormal-. 2 q Aluthge dan Wang (999) memberikan enjelasan mengenai hubungan oerator hionormal- dengan oerator hionormal-w, Class (A), aranormal ada ruang Hilbert. Selain itu, Cho dan Jin (995) memberikan enjelasan bahwa meruakan oerator Class (A) tetai untuk setia >0, bukan oerator hionormal-. Berberian (96) dan Akkouchi (2008), memberikan enjelasan mengenai sifat-sifat sektrum oerator linear terbatas ada ruang Hilbert. Selain

5 5 itu, Patel (995), menjelaskan mengenai sifat-sifat sektrum oerator hionormal ada ruang Hilbert..4 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam enyusunan tesis ini adalah studi literatur mengkaji semua konse yang berkaitan dengan oerator hionormal- ada ruang Hilbert serta sifat- sifatnya dari buku, aer, dan sumber- sumber lain yang bersesuaian. Namun, ada buku, aer mauun sumber yang lain bukti tidak lengka sehingga eneliti akan melengkai bukti-buktinya. Selain itu, enulis juga senantiasa berkonsultasi mengenai materi embahasan dengan dosen embimbing. Adaun langkah-langkah enelitian di dalam tesis sebagai berikut:. Memahami definisi oerator hionormal- ada ruang Hilbert. 2. Menyelidiki sifat-sifat hionormal-. 3. Menyelidiki hubungan oerator hionormal- dengan oerator hionormal-w, Class (A), dan aranormal. 4. Menyelidiki sifat-sifat sektrum oerator hionormal-. Pada langkah ini, dibahas mengenai sifat-sifat sektrum titik oerator hionormal-, sektrum endekatan (aroximate sectrum), dan sektrum titik hubungan (joint oint sectrum). Selain itu, dibahas mengenai hubungan antara sektrum titik oerator hionormal-, sektrum endekatan (aroximate sectrum), dan sektrum titik hubungan (joint oint sectrum)..5 Sistematika Penulisan esis ini terdiri dari emat bab. Di dalam BAB I, yaitu endahuluan, dibahas mengenai latar belakang dan ermasalahan, tujuan dan manfaat enelitian, tinjauan ustaka, metode enelitian serta sistematika enulisan tesis. Dilanjutkan ke BAB II, yang berisi dasar teori. Dalam bab ini, dibahas mengenai konse yang akan digunakan dalam embahasan selanjutnya, diantaranya konse ruang bernorma, ruang Hilbert, basis ortonormal, oerator linear, oerator linear tertutu, oerator adjoint, oerator ada ruang Hilbert, dan sektrum titik oerator

6 6 linear ada ruang Hilbert. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III yang berisi embahasan dari hasil enelitian. Dalam BAB III difokuskan untuk membahas definisi dan sifat- sifat oerator hionormal- ada ruang Hilbert, hubungan oerator hionormal- dengan oerator hionormal-w, Class (A), aranormal, dan sifat- sifat sektrum oerator hionormal-. erakhir, BAB IV memuat tentang kesimulan dari hasil enelitian.