KAJIAN KONSEP RUANG NORMA-2 DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Murni dan Teraan εsilon Vol. 07, No.01, 013), Hal KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA Wahidah 1 dan Moch. Idris 1, Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan Reemyfasol@gmail.com Abstrak. Gagasan ruang norma- ada awalnya dikenalkan oleh Ghler ada tahun 1960an. Pada tahun 001, Gunawan dan Mashadi mengkaji mengenai ruang norma- dan mendefinisikan suatu norma baru. Norma- standar meruakan luas bidang ada ruang- yang dibangun oleh dua buah vektor. Luas bidang tersebut bernilai nol ketika vektor-vektor yang membangunnya saling bergantung linear. Dalam enelitian ini dikaji ekuivalensi antara ruang norma dengan ruang norma-. Kata Kunci : ruang norma, ruang norma-, ekuivalensi. Abstract. The concet of -normed sace was initially introduced by Gähler in 1960 s. In 001, Gunawan and Mashadi studied about -normed sace and define a new norm. A standard -normed sace is an area on -sace which is generated by two vectors. That area will be zero when the vectors are linearly deendent. In this research, we have studied equivalency between normed sace and -normed sace. Keywords : normed sace, -normed sace, equivalency. 1. Pendahuluan Konse ruang norma meruakan bagian dari embahasan analisis fungsional. Ruang norma ada embahasan analisis fungsional meruakan asangan ruang vektor dengan suatu norma yang terdefinisi dalam ruang vektor tersebut dan dinyatakan dengan X, ). Salah satu contoh norma yang akan digunakan dalam enelitian ini yaitu x = d x, x dan x = ξ i. Sedangkan ruang norma- dinyatakan 13

2 14 Jurnal Matematika Murni dan Teraan, Vol. VII, No ) Hal dengan X,, )) meruakan asangan ruang vektor dengan norma- yang terdefinisi dalam ruang vektor tersebut. Konse ruang norma- ada awalnya dierkenalkan oleh S. Ghler ada tahun 1960an. Setelah itu, banyak eneliti yang memelajari tentang ruang norma- dengan berbagai hasil yang dieroleh. Berikut ini akan diberikan definisi ruang norma- yang didefinisikan oleh Gunawan dan Mashadi. Misalkan X suatu ruang vektor dimensi d, dengan d <. Suatu norma- ada X meruakan emetaan, : X X R yang memenuhi emat sifat berikut ini: N1. x, y 0 untuk setia x, y X, x, y 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung linear; N. x, y = y, x untuk setia x, y X; N3. x, αy = α x, y untuk setia α R dan x, y X; N4. x, y + z x, y + x, z untuk setia x, y, z X. Pasangan X,, ) disebut ruang norma-. Contoh ruang norma- standar yaitu R d yang dilengkai dengan norma- berikut ini: x x 1, x s := 1, x 1 x 1, x x, x 1 x, x 1) Berdasarkan norma- diatas diketahui bahwa: x 1, x s = x 1 x ) x 1, x 0 ) dan x 1, x + αx 1 = x 1, x untuk setia x 1, x X dan α R. Selain itu, jika x 1, x dan x 3 bebas linear maka x 1, x + x 3 = x 1, x + x 1, x 3 dan x 1, x x 3 = x 1, x + x 1, x 3 hal ini terjadi ketika d = ). Diberikan suatu ruang norma- X,, ), barisan x m ) dalam X dikatakan konvergen- ke x X, atau x dikatakan sebagai limit dari X, jika untuk setia ε > 0 terdaat Kε) N sedemikian hingga untuk setia m Kε) berlaku x m x, y ε untuk setia y X. Norma- X,, ) dikatakan ruang norma- lengka atau ruang Banach jika barisan Cauchy- ada X, yaitu untuk setia ε > 0 terdaat Kε) N sedemikian hingga untuk setia m, n N dan y X berlaku x m x n, y ε untuk setia m, n Kε), konvergen ke x ada X. Berdasarkan emaaran di atas, enelitian ini akan menunjukkan hubungan norma- standar dengan luas jajar genjang, membuktikan sifat barisan konvergen- dan barisan Cauchy- ada ruang norma- dan mengkonstruksi hubungan antara norma dengan norma-.

3 Wahidah, Idris dan Mahfuzh KAJIAN KONSEP RUANG NORMA Norma- ada R d. Hasil dan Pembahasan Pada kasus norma- standar, daat kita lihat hubungannya dengan kasus seerti gambar berikut, yaitu ada luasan jajar genjang. Gambar 1. Luas Jajar Genjang EFGH Misalkan EF = u, EG = v dan F A = t, maka berdasarkan gambar 1 daat diketahui bahwa luas jajar genjang yang dibangun oleh dua vektor EG dan EF yaitu: L EF GH = u v ) u v 3) Berdasarkan ersamaan ) dan ersamaan 3) daat dilihat hubungan antara norma- standar dengan luas jajar genjang yang dibangun oleh dua vektor ada R. Yaitu bahwa norma- standar, x, y s, daat dinyatakan sebagai luasan daerah yang dibangun oleh dua vektor x dan y. Selain sebagai luasan daerah jajar genjang norma- ada R d juga daat didefinisikan dengan emetaan yang lain, seerti ada lemma berikut ini Lemma.1. Diberikan x, y R d dengan x = ξ 1, ξ,..., ξ d ) dan y = η 1, η,..., η d ) serta ξ i, η i R untuk setia i = 1,..., d. Didefinisikan suatu emetaan yaitu: x, y := [ 1 abs ξ i j=1 maka R d, x, y ) meruakan ruang norma-. ξ j η i η j ) ] 1 4).. Barisan Konvergen- dan Barisan Cauchy- ada Ruang Norma- Pada bagian ini akan diberikan lemma yang memuat hubungan antara barisan konvergen- dengan barisan Cauchy- ada ruang norma-.

4 16 Jurnal Matematika Murni dan Teraan, Vol. VII, No ) Hal Lemma.. Dalam ruang norma- X,, ), setia barisan konvergen- adalah barisan Cauchy-. Bukti. Diberikan barisan x m ) ada ruang norma- X,, ) yang konvergen- ke x X, maka untuk setia ε > 0 terdaat Kε) N sedemikian hingga untuk setia m, n Kε) berlaku x m x, y < ε dan x n x, y < ε untuk setia y X. Oleh karena itu dieroleh: x m x n, y = x m x + x x n, y x m x, y + x x n, y < ε + ε = ε Jadi, barisan konvergen x m ) meruakan barisan Cauchy-. Aabila barisan Cauchy- ada ruang norma- meruakan barisan konvergen- maka ruang norma- tersebut dikatakan lengka-. Hal ini termuat dalam definisi berikut ini: Definisi.3. Ruang norma- X,, ) dikatakan lengka- jika setia barisan Cauchy- ada X adalah konvergen-. Salah satu contoh ruang norma lengka- yaitu ruang norma- R d,, ) ada ersamaan 4)..3. Ekuivalensi Norma- Ketika dua norma ekuivalen, maka semua sifat yang ada didalamnya akan sama untuk kedua norma itu. Berikut ini akan diberikan engertian mengenai dua norma- yang ekuivalen. Definisi.4. Suatu norma-, a ada ruang vektor X dikatakan ekuivalen dengan suatu norma-, b ada X jika terdaat bilangan riil ositif k 1 dan k sedemikian sehingga berlaku k 1, b, a k, b Berdasarkan definisi di atas, berikut ini diberikan suatu teorema yang menyatakan ekuivalensi antara dua norma- yang terdefinisi dalam ruang berdimensi hingga. Teorema.5. Dalam ruang norma- berdimensi hingga R d ), dua norma [ 1 x, y := abs ξ ) ] 1 i η i ξ j η j dan adalah equivalen. x, y q := [ 1 j=1 abs ξ i j=1 ξ j η i η j ) ] 1 q q

5 Wahidah, Idris dan Mahfuzh KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- 17 Bukti. Berdasarkan dua definisi norma- dan norma-q maka akan dihasilkan: d d Jadi, x, y ekuivalen dengan x, y q. q, q, d d, q 5) Konsekuensi enting dari teorema di atas dinyatakan dalam akibat berikut ini: Akibat.6. Untuk ruang norma- R d,, ) dan ruang norma- R d,, q ) berlaku: A1. Barisan x m ) adalah barisan konvergen- ada R d,, ) jika dan hanya jika x m ) barisan konvergen- ada R d,, q ) A. Barisan x m ) adalah barisan Cauchy- ada R d,, ) jika dan hanya jika x m ) barisan Cauchy- ada R d,, q ).4. Hubungan Norma dengan Norma- ada R d Diketahui x adalah suatu norma dan x, y meruakan suatu norma-. Berikut ini diberikan suatu lemma yang menyatakan hubungan antara norma dan norma- tersebut. Lemma.7. Untuk setia x, y R d, berlaku x, y < 1 q x y. Bukti. Diketahui x, y := [ 1 berdasarkan definisi tersebut dihasilkan abs ξ i j=1 ξ j η i η j ) ] 1. x, y = 1 d ξ i η j ξ j η i ξ i η j ξ j η i 1 berdasarkan ketaksamaan segitiga berlaku ξ i η j ξ j η i ξ i η j + ξ j η i sehingga dihasilkan x, y 1 ξ i η j ξ i η j ξ j η i j=1 ξ j η i ξ i η j ξ j η i 1 j=1 berdasarkan ketaksamaan Hölder dihasilkan x, y 1 q x y 6)

6 18 Jurnal Matematika Murni dan Teraan, Vol. VII, No ) Hal Berdasarkan ketaksamaan 6) daat dilihat bahwa sifat-sifat norma ada R d juga berlaku ada norma-. Hal ini dinyatakan dalam akibat berikut ini: Akibat.8. Untuk ruang norma- R d,, ) dan ruang norma R d, ) berlaku: V1. Barisan x m ) adalah barisan konvergen ada R d, ) jika dan hanya jika x m ) barisan konvergen- ada R d,, ) V. Barisan x m ) adalah barisan Cauchy ada R d, ) jika dan hanya jika x m ) barisan Cauchy- ada R d,, ) Setelah memahami konse dan beberaa sifat dari ruang norma dan ruang norma-, maka daat dibangun suatu norma yang didefinisikan secara khusus dari norma-. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut ini: Teorema.9. Misalkan x, z 1, z R d dengan x = ξ 1, ξ,..., ξ d ), z 1 = η 1, η,..., η d ) dan z = ϕ 1, ϕ,..., ϕ d ), dengan z 1 dan z vektor-vektor yang bebas linear, maka daat ditunjukkan bahwa emetaan berikut ini: meruakan suatu norma. x O := x, z 1 + x, z 7) Bukti. P1. Berdasarkan definisi ruang norma-, diketahui x, z 1 0 sehingga x, z 1 0, begitu ula x, z 0. Akibatnya dihasilkan x O 0. P. a) Diketahui x = 0 maka ξ j = 0 untuk j = 1,..., d. Oleh karena itu dihasilkan x, z 1 = 0 dan x, z = 0, sehingga x, z 1 + x, z kata lain x O = 0. = 0. Dengan b) Diketahui x, z 1 + x, z = 0 sehingga x, z 1 = 0 dan x, z = 0. Berdasarkan definisi ruang norma-, x dan z 1 bergantung linear, begitu ula x dan z bergantung linear sehingga x = k 1 z 1 dan x = k z. Oleh karena itu dihasilkan k 1 z 1 k z = 0. Karena z 1 dan z bebas linear, maka k 1 = k = 0 akibatnya x = 0. P3. Diketahui x O = x, z 1 + x, z αx O = αx, z 1 + αx, z, misalkan terdaat α R maka. Berdasarkan definisi ruang norma- berlaku: αx, z1 + αx, z ) 1 = α ) x, z 1 + x, z 1 = α x O.

7 Wahidah, Idris dan Mahfuzh KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- 19 P4. Diketahui x O = x, z ) i 1. Daat dibuktikan bahwa x O memenuhi sifat ke-4 ada ruang norma, yaitu sebagai berikut: x + y, zi ) x, zi x + y, z i 1 berdasarkan ketaksamaan Hölder dieroleh: x + y, z 1 + x + y, z ) x, z 1 + x, z ) + y, z i x + y, z i 1. + y, z 1 + y, z berdasarkan embuktian [P1.] samai dengan [P4.] terbukti bahwa x O adalah suatu norma dan R d, x O ) meruakan ruang norma. Berikut ini dibangun suatu teorema yang akan menunjukkan bahwa sifat-sifat ada ruang norma- berlaku ada ruang norma. Teorema.10. Misalkan e m = 0, 0,..., 1 m,..., 0, 0) dan e n = 0, 0,..., 1 n,..., 0, 0), dengan e m, e n X untuk m n, maka berlaku x x, e m + x, e n. 8) Bukti. Diketahui x, e m 1 = abs ξ i e mi ) dengan e m = 0, 0,..., 1 m, 0, 0), sehingga dihasilkan: x, e m = 1 ξ i + = ξ i j=1 ξ j ) ξ i dengan i = 1,..., d dan i m. Sejalan dengan x, e m, untuk x, e n dihasilkan x, e n = d ξ i. Dengan demikian dihasilkan: x x, e m + x, e n. e mj. Setelah memahami beberaa konse yang berkaitan dengan norma dan norma-, berikut ini dibangun ekuivalensi antara norma dan norma-. Teorema.11. Diketahui x suatu norma ada R d dan didefinisikan x O = x, e m + x, e n dengan x R d, maka norma x ekuivalen dengan norma x O.

8 0 Jurnal Matematika Murni dan Teraan, Vol. VII, No ) Hal Bukti. Diketahui x daat dihasilkan: x, e m + x, e n. Berdasarkan teorema sebelumnya, x O = x, e m + x, e n [ 1 x em + e n )] 1 = x berdasarkan yang diketahui x x O dan dihasilkan x O x, sehingga daat dikatakan bahwa x x O x. Dengan kata lain x ekuivalen dengan x O. Berdasarkan teorema-teorema dan lemma-lemma serta akibat yang dikaji, daat dilihat bahwa sifat-sifat ada norma- berlaku ada norma- lainnya. Disisi lain juga diketahui bahwa sifat-sifat yang berlaku ada norma akan berlaku ada norma- dan berlaku sebaliknya. Oleh karena itu, aabila ruang norma R d, ) lengka, maka akan mengakibatkan ruang norma- R d,, ) lengka-. Dengan kata lain, jika R d ) adalah ruang Banach maka R) d meruakan ruang Banach. Begitu juga sebaliknya. 3. Kesimulan Berdasarkan hasil enelitian daat diketahui bahwa norma- ada kasus standar, s ) meruakan luas jajar genjang. Selain itu juga diketahui bahwa norma-, ) ekuivalen dengan, q ) dan ) ekuivalen dengan, ) ada R) d. Hal ini menunjukkan bahwa, ada R) d, sifat-sifat yang berlaku ada norma- juga akan berlaku ada norma- lainnya, begituula sifat-sifat yang berlaku ada norma akan berlaku ada norma- dan sebaliknya. Dengan kata lain R) d adalah ruang Banach jika dan hanya jika R) d ruang Banach-. Daftar Pustaka [1] Anton, H Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-5. Erlangga. Jakarta. [] Bartle, R. G., H., dan D. R. SHelbert Introduction to Real Analysis. Edisi ke-3. John Wiley and Sons. Inc. New York. [3] Gunawan, H., dan M. Mashadi Soochow Journal of Mathematics. On finite dimensional -normed sace. 7: [4] Kreyszig, E Introduction Functional Alaysis with Alication. John Wiley and Sons. Inc. New York.