PENERAPAN MASALAH LOGARITMA DISKRIT PADA KRIPTOGRAFI KUNCI PUBLIK

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneraan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 PENERAPAN MASALAH LOGARITMA DISRIT PADA RIPTOGRAFI UNCI PUBLI MUHAMAD ZAI RIYANTO Mahasiswa S2 Matematika, Universitas Gadjah Mada: Yogyakarta Abstrak Diberikan G suatu gru siklik berhingga dengan gî G adalah elemen embangun Diberikan suatu xî G, masalah logaritma diskit ada G dengan basis g n adalah mencari bilangan bulat nonnegatif terkecil n sedemikian hingga g = x Pada makalah ini dibahas mengenai eneraan masalah logaritma diskrit ada kritografi kunci ublik Daat ditunjukkan bahwa masalah logaritma diskrit daat diterakan untuk mengkonstruksi suatu sistem krito yang digunakan untuk skema erjanjian kunci, enkrisi kunci ublik, dan skema tanda tangan Tingkat keamanan dari sistem krito yang didasarkan ada masalah ini sebanding dengan tingkat kesulitan dalam menyelesaikan masalah logaritma diskrit Sistem krito yang didasarkan ada masalah logaritma diskrit diantaranya adalah skema erjanjian kunci Diffie-Hellman, enkrisi dan skema tanda tangan ElGamal Pada makalah ini, gru yang digunakan adalah gru multilikatif bilangan bulat modulo rima *, dan gru titik-titik kurva ellitik atas laangan ata kunci: gru siklik, kritografi, kunci ublik, masalah logaritma diskrit PENDAHULUAN ritografi meruakan ilmu yang memelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan asek keamanan informasi, seerti asek kerahasiaan, keabsahan, integritas, dan autentikasi Secara umum, kritografi terdiri dari roses enkrisi dan dekrisi Enkrisi adalah roses enyandian dari suatu esan yang daat dimengerti, disebut dengan lainteks, dan menjadi suatu esan yang tidak daat dimengerti, disebut dengan ciherteks Sedangkan roses sebaliknya disebut dengan dekrisi Proses enkrisi dan dekrisi memerlukan suatu metode dan kunci tertentu Prinsi dari kritografi adalah untuk mengamankan engiriman suatu esan rahasia aabila dikirimkan melalui jalur yang tidak daat dijamin keamanannya, sehingga rawan terjadi enyadaan dan maniulasi esan Penjelasan lebih rinci mengenai kritografi daat ditemui ada Schneier (1996) Definisi 1 Suatu sistem krito adalah suatu 5-tuel (,,,, ) dimana memenuhi kondisi berikut: 1 adalah himunan berhingga semua lainteks, 2 adalah himunan berhingga semua ciherteks, 3 adalah himunan berhingga semua kunci, disebut dengan ruang kunci, 4 Untuk setia, terdaat fungsi enkrisi e dan suatu fungsi dekrisi yang bersesuaian yaitu d Setia e : dan d : meruakan suatu fungsi d e x = x, untuk setia x ( ) sedemikian hingga ( ) Berdasarkan sifat kuncinya, sistem krito dibagi menjadi dua, yaitu sistem krito kunci rahasia (simetris) dan sistem krito kunci ublik (asimetris) Pada sistem krito kunci rahasia, M-271

2 Muhammad Zaki Riyanto/Peneraan Masalah Logaritma roses enkrisi dan dekrisi dilakukan menggunakan kunci rahasia yang sama Sedangkan ada sistem krito kunci ublik, roses enkrisi dan dekrisinya menggunakan kunci yang berbeda, yaitu kunci ublik untuk enkrisi, dan kunci rahasia yang digunakan untuk dekrisi unci Publik unci Rahasia Skema Alice Plainteks ciherteks Plainteks enkrisi dekrisi kunci ublik Bob Gambar 1 enkrisi ritografi kunci ublik ertama kali dierkenalkan oleh Diffie dan Hellman ada tahun 1976 dalam aernya yang berjudul New Directions in Crytograhy Menurut Diffie dan Hellman, ada beberaa syarat yang erlu dierhatikan dalam sistem krito kunci ublik, yaitu: 1 Penerima Bob membuat asangan kunci, yaitu kunci ublik k B dan kunci rahasia k rb 2 Pengirim Alice dengan kunci ublik Bob dan esan x, esan dienkrisi dan dieroleh ciherteks c= ek B ( x) 3 Penerima Bob mendekrisi ciherteks menggunakan kunci rivat Bob untuk d e () x = d () c = x mendaatkan kembali esan aslinya, yaitu ( ) k k k rb B rb 4 Dengan mengetahui kunci ublik k B, bagi enyerang akan kesulitan dalam melakukan untuk mendaatkan kunci rahasia 5 Dengan mengetahui kunci ublik k B dan ciherteks c, bagi enyerang akan mengalami kesulitan untuk mengetahui esan x Berdasarkan syarat-syarat di atas, maka erlu digunakan suatu fungsi yang memunyai sifat bahwa fungsi tesebut mudah untuk dihitung, akan tetai sulit untuk menghitung inversnya tana mengetahui suatu arameter tertentu Fungsi yang demikian ini disebut dengan fungsi tradoor satu arah Diffie dan Hellman memberikan contoh kunci ublik menggunakan masalah logaritma diskrit untuk skema erjanjian kunci f mudah dihitung Domain f -1 sulit dihitung Range f -1 mudah dihitung dengan arameter tertentu Gambar 2 fungsi tradoor satu arah Ilustrasi dari suatu Pemilihan gru G untuk kritogafi kunci ublik yang didasarkan ada masalah logaritma diskrit telah diberikan oleh Stinson (2006), diantaranya G = ( *, ) gru multilikatif modulo rima, dan G= ( E, + ) kurva ellitik atas laangan Pada makalah ini dierlihatkan mengenai eneraan masalah logaritma diskrit ada kritografi kunci ublik, yaitu sebagai dasar dari embentukan fungsi tradoor satu-arah ada skema erjanjian kunci, enkrisi kunci ublik, dan tanda tangan digital 1 Masalah Logaritma Diskrit Pada bagian ini dibahas mengenai engantar dari masalah logaritma diskrit menggunakan gru * dan kurva ellitik atas laangan M-272

3 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneraan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 Teorema 2 Diberikan bilangan rima, maka himunan bilangan bulat modulo meruakan * = \ 0 meruakan gru siklik terhada oerasi mulitilikasi laangan berhingga, dan { } 2 3 Definisi 3 Diberikan bilangan rima > 3 urva ellitik E : y = x + ax + b atas adalah himunan semua titik-titik ( xyî, ) yang memenuhi ersamaan 2 3 y º x + ax + b( mod ), dimana abî, adalah suatu konstanta sedemikian hingga 4a b 2 º/ 0( mod ), bersama dengan suatu titik O yang disebut dengan titik di tak berhingga urva ellitik E daat dinyatakan 2 3 E : x, y Î : y º x + ax + b mod È O { } { } sebagai ( ) ( ) Secara umum, kurva ellitik daat didefinisikan atas sebarang laangan Berikut ini adalah gambar dari suatu kurva ellitik atas himunan semua bilangan real Gambar 3 urva ellitik = - dan E2 : y = x + x+ atas (Hankerson, ) E : y 2 x 3 x 1 Pada kurva ellitik E berlaku oerasi biner enjumlahan + sebagai berikut Misalkan diketahui titik PQ, Î E, dengan P= ( x1, y1) dan Q= ( x2, y2) Jika x2 = x1 dan y2 =- y1, maka P+ Q= O Misalkan P Q = - - dan l ( ) x l x x + = O, maka didefinisikan P Q ( x, y ) y = x - x - y, dengan ìï - -, jika ¹ - ( 2 1)( 2 1) 2-1 ( 1 )( 1) y y x x P Q l = ï í ï 3x + a 2 y, jika P= Q ïî Selanjutnya didefinisikan bahwa P+ O = O + P= P + =, dimana 3 3 Gambar 4 Ilustrasi geometris enjumlahan titik ada kurva ellitik atas (Hankerson, 2004) M-273

4 Muhammad Zaki Riyanto/Peneraan Masalah Logaritma Teorema 4 Diberikan kurva ellitik E Maka E membentuk gru komutatif terhada oerasi enjumlahan + Berikut ini diberikan definisi masalah logaritma diskrit Definisi 5 Diberikan G suatu gru siklik berhingga dengan gî G adalah elemen embangun Diberikan xî G elemen tak nol di G Masalah logaritma diskrit ada G dengan basis g adalah masalah mencari bilangan bulat nonnegatif terkecil n sedemikian hingga g n = x Bilangan n disebut dengan logaritma diskit dari x Diketahui bahwa * meruakan gru siklik, maka * memunyai elemen embangun, misalkan * = g Diberikan x Î *, maka masalah logaritma diskrit ada * dengan basis g adalah masalah mencari bilangan bulat nonnegatif terkecil n sedemikian n hingga g x( mod ) º Semakin besar emilihan bilangan rima, maka masalah logaritma diskrit ada * juga akan semakin sulit Diberikan kurva ellitik E atas Diambil sebarang titik PÎ E, maka P membentuk subgru siklik P Misal diberikan titik QÎ P, maka masalah logaritma diskrit ada E dengan basis P adalah mencari bilangan bulat nonnegatif terkecil n sedemikian hingga Q = np Semakin besar order dari titik P, maka masalah logaritma diskritnya juga akan semakin sulit untuk diselesaikan Pada Hankerson (2004) dan Hooffstein (2008) telah dijelaskan mengenai tingkat kesulitan dari masalah logaritma diskit ada * dan kurva ellitik E atas Pada Stinson (2006) telah dijelaskan beberaa metode untuk menyelesaikan masalah logaritma diskrit, seerti algoritma Shank s, Pollard Rho, Pohling-Hellman, dan Index-Calculus Untuk memersulit masalah logaritma diskrit maka harus digunakan bilangan rima yang besar, Stinson (2006) menyarankan enggunaan bilangan rima» 2 untuk kurva ellitik, dan» 2 untuk * 4 Skema Perjanjian unci Skema erjanjian kunci digunakan untuk menyelesaikan masalah berikut ini Misalkan Alice dan Bob akan saling mengirimkan esan rahasia menggunakan sistem krito simetris endala yang dihadai adalah bahwa keduanya harus menukarkan kunci rahasia melalui jalur komunikasi yang tidak aman Masalah logaritma diskrit daat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini, seerti ada skema erjanjian kunci yang diusulkan oleh Diffie-Hellman berikut ini Tabel 1 Skema erjanjian kunci Diffie-Hellman ada * Parameter Publik Alice dan Bob menyeakati: Bilangan rima (besar) Suatu g elemen embangun * Perhitungan Privat Alice memilih kunci rahasia berua bilangan bulat a, a dan menghitung Aº g ( mod ) Bob memilih kunci rahasia berua bilangan bulat b, b Bº g mod Pertukaran Nilai Publik dan menghitung ( ) Alice mengirim nilai A keada Bob Bob mengirim nilai B keada Alice M-274

5 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneraan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 Perhitungan Privat Alice menghitung A' a B ( mod ) Bob menghitung B' º a A ( mod ) º Alice dan Bob telah menyeakati suatu nilai rahasia, yaitu ab A' º B' º g mod ( ) Tingkat keamanan dari skema erjanjian kunci Diffie-Hellman di atas, sebanding dengan tingkat kesulitan dari masalah logaritma diskrit Misalkan ihak enyerang berhasil mengetahui a b nilai g dan g, dan dia juga telah mengetahui arameter ubliknya yaitu gru * dan elemen embangun g Jika ihak enyerang berhasil menyelesaikan masalah logaritma diskrit tersebut, ab maka enyerang daat menemukan nilai a dan b, sehingga daat menghitung g Pada skema ini, a b erhitungan A= g dan B= g meruakan fungsi tradoor satu-arah Berikut ini diberikan skema erjanjian kunci Diffie-Hellman mengunakan kurva ellitik atas laangan Tabel 2 Skema erjanjian kunci Diffie-Hellman urva Ellitik atas Parameter Publik Alice dan Bob menyeakati: Bilangan rima (besar) Suatu kurva ellitik E atas Suatu titik P ada kurva ellitik E Perhitungan Privat Alice memilih kunci rahasia berua bilangan bulat n A, dan menghitung titik QA = np A Bob memilih kunci rahasia berua bilangan bulat n B, dan menghitung titik QB = np B Pertukaran Nilai Alice mengirim nilai Q A keada Bob Publik Bob mengirim nilai Q B keada Alice Perhitungan Privat Alice menghitung titik nq A B Bob menghitung titik nq B A Alice dan Bob telah menyeakati suatu nilai rahasia, yaitu titik nq = n np = n np = nq ( ) ( ) A B A B B A B A 5 Enkrisi unci Publik Skema erjanjian kunci hanya daat digunakan untuk menyaakati suatu kunci tertentu, dan tidak daat digunakan untuk menyamaikan suatu esan rahasia Masalah logaritma diskrit daat diterakan untuk membentuk suatu sistem krito untuk enkrisi kunci ublik Pada tahun 1985 Taher ElGamal mengusulkan suatu sistem krito yang didasarkan ada masalah logaritma diskrit atas * Berikut ini diberikan sistem krito ElGamal yang didasarkan ada masalah logaritma diskrit ada * dan kurva ellitik E atas M-275

6 Muhammad Zaki Riyanto/Peneraan Masalah Logaritma Sistem rito: Sistem rito unci Publik ElGamal ada * Diberikan bilangan rima (besar) dan g adalah elemen embangun * Ditentukan = *, = * * Didefinisikan { } = ( ga,,, ) : g a ( mod ) β β Nilai, g, dan β diublikasikan, dan nilai a dirahasiakan Untuk = ( gaβ,,, ), lainteks m * dan untuk suatu bilangan bulat acak rahasia k { 0,1,2,, 2}, didefinisikan k dimana g ( mod ) dan γ, Untuk γδ, *, didefinisikan d e (, ) (, ) mk = γδ δ ( mod ) k mβ ( ) a 1 ( γδ, ) δγ ( ) mod Gambar 5 Sistem krito kunci ublik ElGamal ada * Sistem rito: Sistem rito unci Publik ElGamal urva Ellitik atas Diberikan bilangan rima (besar) dan kurva ellitik E atas Diberikan titik PÎ E sedemikian hingga P meruakan subgru siklik dengan order rima (besar) Ditentukan = E, = E E Didefinisikan = {( E, P, Q, n): Q np} = Nilai E, P, dan Q diublikasikan, dan nilai n dirahasiakan Untuk = ( EPQn,,, ), lainteks M E dan untuk suatu bilangan bulat acak { } rahasia k 0,1, 2,, ( P) dimana dan Untuk C1, C2, didefinisikan E, didefinisikan e M k C C (, ) = (, ) 1 2 C1 = kp, C2 = M + kq d ( C, 1 C ) 2 = C2 nc1 Gambar 6 Sistem krito kunci ublik ElGamal kurva ellitik atas Tingkat keamanan dari sistem krito kunci ublik ElGamal ada * sebanding dengan tingkat kesulitan dari masalah logaritma diskrit atas * dengan basis g Jika ihak enyerang mendaatkan kunci ublik ( gβ,, ), dan berhasil menemukan bilangan a sedemikian hingga β M-276 a g ( mod ), maka enyerang daat menghitung lainteksnya

7 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneraan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 Demikian juga tingkat keamanan dari sistem krito kunci ublik ElGamal kurva ellitik atas terletak ada tingkat kesulitan dari masalah logaritma diskrit ada kurva ellitik E dengan basis P 6 Skema Tanda-tangan Pada engiriman esan, tidak menutu kemungkinan bahwa ada saat engiriman esan, ada ihak ketiga yang dengan sengaja merubah dan memodifikasi isi esan tersebut, sehingga erlu dilakukan roses otentikasi, yaitu untuk menunjukkan bahwa suatu esan itu benar berasal dari seseorang Salah satu cara untuk melakukan roses otentikasi adalah menggunakan skema tanda-tangan Definisi 6 Suatu skema tanda-tangan adalah suatu 5-tuel (,,,, ), dimana memenuhi kondisi berikut: 1 adalah himunan berhingga esan, 2 adalah himunan berhingga tanda tangan, 3 adalah himunan berhingga kunci, disebut ruang kunci, 4 Untuk setia Î, terdaat fungsi tanda-tangan sig Î S dan fungsi verifikasi ver Î Setia sig : P A dan ver : P A {benar,salah} meruakan fungsi sedemikian hingga untuk setia esan x Î P dan untuk setia tanda tangan y Î A, ersamaan berikut ini dienuhi: ì benar, jika y = sig ( x) ver ( x, y) = ï í ï ïî salah, jika y ¹ sig ( x) Berikut ini diberikan suatu skema tanda-tangan yang menunjukkan bahwa masalah logaritma diskrit daat diterakan untuk membentuk suatu skema tanda tangan, seerti ada skema tanda tangan ElGamal Skema ini meruakan modifikasi dari sistem krito kunci ublik ElGamal Sistem rito: Skema Tanda-tangan ElGamal ada * Diberikan bilangan rima (besar) dan sebuah elemen embangun g * Ditentukan = *, = * 1 dan a { 0,1,, 2} = ( ga,,, β) : β g a ( mod ) { } Nilai, g, dan β diublikasikan, dan nilai a dirahasiakan Untuk ( gaβ,,, ) didefinisikan dimana dan Didefinisikan = dan untuk suatu bilangan acak rahasia k { 1,2,, 2} ( ) sig x, k = ( γδ, ) ( mod ) k γ g ( x aγ) k 1 ( mod 1) δ Untuk x, γ * dan dî - 1, didefinisikan g d (,( gd, ) benar b g x ( mod ) ver x = Û º g Gambar 7 Skema tanda-tangan ElGamal ada *, M-277

8 Muhammad Zaki Riyanto/Peneraan Masalah Logaritma Sama seerti ada skema enkrisi kunci ublik ElGamal, tingkat keamanan dari skema tandatangan digital ElGamal terletak ada kekuatan masalah logaritma diskrit ada * dengan basis g Berikut ini diberikan sebuah skema tanda-tangan yang didasarkan ada masalah logaritma diskrit ada gru kurva ellitik yang disebut dengan Ellitic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) Pada skema tanda-tangan ECDSA digunakan suatu fungsi yang disebut dengan fungsi 0,1 * dengan hash, yaitu suatu fungsi dengan domain berua data biner sebagai elemen dari { } anjang yang tidak ditentukan, dan menghasilkan nilai fungsi dengan anjang teta Fungsi hash daat digunakan untuk membuktikan bahwa suatu esan telah mengalami erubahan isi selama berlangsung roses engiriman esan Saat ini terdaat beberaa fungsi hash yang digunakan, diantaranya adalah SHA-1 dan MD5, dan ada ECDSA digunakan fungsi hash SHA-1 Pembahasan selengkanya mengenai fungsi hash SHA-1 daat dilihat ada FIPS (2002) Sistem rito: Ellitic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) Diberikan bilangan rima (besar) dan E adalah suatu kurva ellitik atas laangan Diberikan titik A ada E yang memunyai order rima q (besar) Ditentukan { } P = 0,1 *, = * *, dan didefinisikan q q = {(, q, E, A, B): B ma} =, dimana 0 m q- 1 Nilai, q, E, A, dan B diublikasikan, dan nilai m dirahasiakan Untuk = ( qe,,, AmB,, ) dan untuk suatu bilangan acak rahasia { 1, 2,, q 1} k, didefinisikan dimana ka = ( u, v) r= umod q, dan ( ( ) ) ( ) sig x, k = (,) r s - s = k 1 SHA-1 x + mr mod q Jika dieroleh nilai r = 0 atau s = 0, maka diilih nilai k yang lain x Î 0,1 * dan rs, *, roses verifikasi tanda-tangan dilakukan dengan Untuk { } menghitung: - w= s 1 mod q ( ) i= wsha-1 x mod q j = wr mod q (, ) = + ( ( ) u v ia jb ver x, r, s = benar Û u mod q = r q Gambar 8 Ellitic Curve Digital Signature Algorithm qeab dan kunci rahasianya adalah nilai m Tingkat keamanannya terletak ada kekuatan masalah logaritma diskrit ada kurva ellitik E dengan basis A, yaitu sulitnya menemukan nilai m sedemikian hingga B = ma unci ublik dari ECDSA adalah asangan (,,,,) M-278

9 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Peneraan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 ESIMPULAN Dari uraian di atas daat disimulkan bahwa masalah logaritma diskrit daat diterakan ada kritografi kunci ublik, yaitu digunakan untuk mengkonstruksi suatu fungsi tradoor satu arah Masalah logaritma diskrit daat diterakan ada konstruksi skema erjanjian kunci, enkrisi kunci ublik, dan skema tanda-tangan Tingkat keamanan dari suatu sistem krito sebanding dengan tingkat kesulitan untuk menyelesaikan masalah logaritma diskrit Pembahasan selanjutnya yang daat dilakukan adalah mengenai analisis komleksitas dan metode enyelesaian masalah logaritma diskrit, seerti algoritma Shank s, Pollard Rho, Pohling- Hellman, dan Index-Calculus Selain itu juga erlu dikaji mengenai metode untuk mencari bilangan rima yang besar, erhitungan order dari suatu elemen gru, dan metode untuk menghitung oerasi erangkatan modulo dan enjumlahan titik-titik kurva ellitik dengan ceat dan efisien DAFTAR PUSTAA FIPS (Federal Information Processing Standard), 2002, Secure Hash Standard, Publication Hankerson, D, etal, 2004, Guide to Ellitic Curve Crytograhy, Sringer-Verlag, New York Hooffstein, J etal, 2008, An Introduction to Mathematical Crytograhy, Sringer- Verlag, New York Menezes, Oorcshot, and Vanstone, 1996, Handbook of Alied Crytograhy, CRC Inc USA Schneier, B, 1996, Alied Crytograhy, Second Edition: Protocol, Algorithms and Code in C, John Wiley and Sons Press, Source Stinson, DR, 2006, Crytograhy Theory and Practice, Chaman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida M-279

10 Muhammad Zaki Riyanto/Peneraan Masalah Logaritma M-280