G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

Transkripsi

1 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b, c G berlaku (a b) c = a (b c), b. terdapat elemen identitas e G untuk pada G, yaitu e G e x = x e = x, x G, c. setiap elemen di G mempunyai invers untuk pada G, yaitu a G a Contoh 1.3 G a a = e = a a. a. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian a diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z bukan merupakan grup terhadap perkalian bilangan. c. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian c diperoleh himpunan semua bilangan rasional tak-nol Q merupakan grup terhadap perkalian bilangan. d. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian d diperoleh himpunan semua matriks 2x2 dengan komponen bilangan real M 2x2 R, bukan merupakan grup terhadap perkalian matriks. e. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian e diperoleh himpunan semua matriks 2x2 dengan komponen bilangan real dan determinannya tak-nol M 2x2 R merupakan grup terhadap perkalian matriks. f. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian f diperoleh himpunan semua bilangan bulat modulo-5 Z 5 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo-5. g. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian g diperoleh himpunan semua bilangan bulat modulo-5 tak-nol Z 5 merupakan grup terhadap perkalian modulo-5. h. Himpunan semua bilangan bulat modulo-5 Z 5 bukan merupakan grup terhadap terhadap perkalian modulo-5 karena terdapat 0 Z 5 yang tidak mempunyai invers. 13

2 Definisi 1.4 Suatu grup < G, > disebut komutatif (abelian) jika operasi biner bersifat komutatif. Suatu grup < G, > disebut berhingga jika banyaknya elemen di G berhingga. Contoh 1.4 a. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian a diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z merupakan grup komutatif terhadap penjumlahan bilangan. Karena banyaknya elemen di Z adalah tak-berhingga maka < Z, +> merupakan grup tak-berhingga. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian c diperoleh himpunan semua bilangan rasional tak-nol Q merupakan grup komutatif terhadap perkalian bilangan. Karena banyaknya elemen di Q adalah tak-berhingga maka < Q, x > merupakan grup tak-berhingga. c. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian e diperoleh himpunan semua matriks 2x2 dengan komponen bilangan real dan determinannya tak-nol M 2x2 R merupakan grup tidak komutatif terhadap perkalian matriks. Karena banyaknya elemen di M 2x2 R adalah tak-berhingga maka < M 2x2 R, x > merupakan grup tak-berhingga. d. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian f diperoleh himpunan semua bilangan bulat modulo-5 Z 5 merupakan grup komutatif terhadap penjumlahan modulo-5. Karena banyaknya elemen di Z 5 berhingga, yaitu 5, maka < Z 5, + 5 > merupakan grup berhingga. e. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian g diperoleh himpunan semua bilangan bulat modulo-5 tak-nol Z 5 merupakan grup komutatif terhadap perkalian modulo-5. Karena banyaknya elemen di Z 5 berhingga, yaitu 4, maka < Z 5, x 5 > merupakan grup berhingga. Teorema 1.1 Misalkan < G, > suatu grup dan a, b, c di G. a. Jika a b = a c maka b = c (hukum kanselasi kiri) 14

3 b. Jika b a = c a maka b = c (hukum kanselasi kanan ) Bukti. a. Misalkan a b = a c. Karena < G, > grup dan a G maka terdapat a G sehingga a a = a a = e. Akibatnya, a (a b) = a (a c) (a a) b = (a a) c sifat asosiatif e b = e c sifat invers elemen b = c sifat elemen identitas. b. Serupa dengan bukti a. Teorema 1.2 Jika < G, > grup dan a, b di G maka persamaan a x = b dan y a = b mempunyai penyelesaian tunggal di G. Bukti. Karena < G, > suatu grup dan a G maka terdapat a G sehingga a a = a a = e. Karena a dan b di grup < G, > maka a b di G. Perhatikan bahwa a a b = a a b sifat asosiatif = e b sifat invers elemen = b sifat elemen identitas. Jadi, a b merupakan penyelesaian persamaan a x = b di G. Misalkan p dan q merupakan penyelesaian persamaan a x = b di G. Berarti a p = b dan a q = b. Akibatnya, a p = a q. Berdasarkan hukum kanselasi kiri diperoleh p = q. Jadi, persamaan a x = b mempunyai penyelesaian tunggal di G. Untuk persamaan y a = b mempunyai penyelesaian tunggal di G dibuktikan dengan cara serupa. Teorema 1.3 a. Elemen identitas dalam grup < G, > adalah tunggal. b. Invers dari elemen dalam grup < G, > adalah tunggal. 15

4 Bukti. a. Misalkan e dan e elemen identitas di G. Berdasarkan definisi elemen identitas berlaku e x = x e = x untuk setiap x G...(1.1) dan e y = y e = y untuk setiap y G......(1.2) Karena e G maka berdasarkan (1.1) diperoleh e e = e e = e dan karena e G maka berdasarkan (1.2) diperoleh e e = e e = e. Akibatnya, e = e. Jadi, elemen identitas dalam grup < G, > adalah tunggal. b. Ambil a G sebarang. Misalkan a dan a invers dari a. Berarti a a = a a = e dan a a = a a = e. Akibatnya, a a = a a. Dengan hukum kanselasi kiri diperoleh a = a. Jadi, invers dari elemen dalam grup < G, > adalah tunggal. Selanjutnya, pada grup < G, >, notasi a b ditulis ab dan notasi a ditulis a 1. Dengan Teorema 1.3, diperoleh ab 1 = b 1 a 1. Karena grup harus memuat elemen identitas, maka suatu grup minimal merupakan himpunan yang terdiri atas satu elemen, yaitu {e}. Satu-satunya kemungkinan operasi biner pada {e} didefinisikan oleh e e = e. Tabel grup yang terdiri atas satu elemen adalah sebagai berikut e e e Pada setiap grup, invers elemen identitas adalah dirinya sendiri. Akan dilihat struktur grup pada himpunan yang terdiri atas dua elemen. Karena salah satu elemen harus menjadi elemen identitas maka himpunan tersebut adalah {e, a}. Dibuat tabel operasi biner pada {e, a} sehingga menghasilkan struktur grup pada {e, a}. Karena e elemen identitas maka e x = x e = x untuk setiap x di {e, a}. Karena e 1 = e maka berdasarkan Teorema 1.3, diperoleh a 1 = a. Jadi, tabel grup {e, a} adalah sebagai berikut. 16

5 e a e e a a a e Syarat e x = x untuk setiap x di {e, a} mengakibatkan baris searah e harus memuat elemen-elemen yang muncul pada baris paling atas dalam urutan yang sama. Hal serupa syarat x e = x untuk setiap x di {e, a} mengakibatkan kolom dibawah e harus memuat elemen-elemen yang muncul pada kolom paling kiri dalam urutan yang sama. Fakta bahwa setiap elemen a mempunyai tepat satu invers kiri dan kanan, berarti bahwa elemen e harus muncul pada baris yang searah a dan juga pada kolom di bawah a tepat satu kali. Jadi, e harus muncul di setiap baris dan kolom tepat satu kali. Berdasarkan Teorema 1.2, tidak hanya persamaan a x = e dan y a = e yang mempunyai penyelesaian tunggal di G melainkan juga b G, persamaan a x = b dan y a = b mempunyai penyelesaian tunggal di G. Dengan argumen serupa dengan e di atas, diperoleh setiap elemen b dari grup harus muncul tepat satu kali di setiap baris dan kolom dari tabel. Pandang grup pada himpunan yang terdiri atas tiga elemen, yaitu {e, p, q}. Perhatikan bahwa setiap elemen pada grup harus muncul tepat satu kali di setiap baris dan kolom. Jadi, tabel grup {e, p, q} adalah sebagai berikut. e p q e e p q p p q e q q e p 17