PENGANTAR ANALISIS REAL
|
|
- Hendra Iskandar
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika, fungsi real, peubah real -15
2 -14 Hendra Gunawan
3 Pengantar Analisis Real -13 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN Kalimat Matematika dan Logika Pernyataan Berkuantor Bukti dan Metode Pembuktian Himpunan dan Notasinya -3 BAGIAN PERTAMA 1 0. BILANGAN REAL Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Sifat Aljabar Sifat Urutan Akar dan Persamaan Kuadrat Nilai Mutlak 9 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL Paradoks Zeno Himpunan Terbatas Sifat Kelengkapan Manipulasi dengan Supremum dan Infimum LEBIH JAUH TENTANG BILANGAN REAL Maksimum dan Minimum; Interval N dan Q sebagai Himpunan Bagian dari R Prinsip Induksi Matematika BARISAN Definisi Barisan Kekonvergenan Barisan Teorema Limit Barisan Monoton 30
4 -12 Hendra Gunawan 4. SUB-BARISAN DAN BARISAN CAUCHY Sub-barisan Teorema Bolzano-Weierstrass Barisan Cauchy Barisan Divergen Sejati DERET Deret dan Kekonvergenannya Deret dengan Suku-suku Positif Sifat-sifat Dasar Deret Kriteria Cauchy; Uji Kekonvergenan Deret Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat 48 BAGIAN KEDUA FUNGSI Fungsi dan Grafiknya Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers Fungsi Terbatas LIMIT DAN KEKONTINUAN Limit Fungsi di Suatu Titik Kekontinuan di Suatu Titik Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL Kekontinuan pada Interval Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval Lebih Jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval Kekontinuan Seragam TURUNAN Turunan di Suatu Titik Sifat-sifat Dasar Turunan Turunan Tingkat Tinggi TEOREMA NILAI RATA-RATA Maksimum dan Minimum Lokal Titik Stasioner Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 92
5 Pengantar Analisis Real Definisi dan Limit Fungsi Monoton Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan Invers Fungsi Monoton Fungsi Konveks* 98 BAGIAN KETIGA LUAS DAERAH DAN INTEGRAL Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Turunan dari Integral; Teorema Dasar Kalkulus INTEGRAL RIEMANN Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah Integral Riemann Keterintegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN Sifat-sifat Dasar Integral Riemann Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor untuk Integral INTEGRAL SEBAGAI LIMIT* Jumlah Riemann Integral sebagai Limit Teorema Darboux BARISAN FUNGSI Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Kekonvergenan Seragam Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam PERTUKARAN LIMIT Pertukaran Limit dan Turunan Fungsi Eksponensial Pertukaran Limit dan Integral DERET PANGKAT* Deret Pangkat dan Interval Kekonvergenannya Jari-jari Kekonvergenan Kekonvergenan Seragam Deret Pangkat 147 DAFTAR PUSTAKA 150 INDEKS 151
6 -10 Hendra Gunawan
7 Pengantar Analisis Real -9 KATA PENGANTAR Buku ini disusun untuk mendukung pengajaran matakuliah Analisis Real di perguruan tinggi, khususnya pada program studi matematika tahap sarjana. Sebagian besar materi dan gaya penyajian buku ini merupakan adaptasi dari buku K.G. Binmore Mathematical Analysis (Cambridge University Press, 1982). Sebagian materi lainnya dan sejumlah soal latihan diambil pula dari buku R.G. Bartle & D.S. Sherbert Introduction to Real Analysis (John Wiley & Sons, 1982). Untuk kemudahan pembaca, materi dalam buku ini dibagi atas tiga bagian. Bagian pertama adalah tentang bilangan real, barisan, dan deret. Bagian kedua adalah tentang fungsi, limit dan kekontinuan, dan turunan. Bagian ketiga adalah tentang integral, barisan fungsi, dan pertukaran limit dan integral. Setiap bab terdiri dari beberapa sub-bab, masing-masing disertai dengan sejumlah soal latihan. Bagi dosen yang menggunakan buku ini sebagai pegangan, setiap sub-bab diperkirakan dapat disampaikan dalam satu jam tatap muka (setara 50 menit). Tentu ada bagian yang dapat disampaikan lebih cepat, dan ada pula yang lebih lambat. Kecepatan pembahasan juga harus disesuaikan dengan kondisi mahasiswa yang dihadapi. Selain itu, bobot kredit untuk matakuliah ini mungkin berbeda di tiap perguruan tinggi. Bila waktu terbatas, tidak semua bab harus dibahas. Sebagai contoh, Bab 15 dan Bab 18 (keduanya diberi tanda *) dapat dilewatkan. Hendra Gunawan Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesa 10 Bandung 40132, Indonesia. Website:
8 -8 Hendra Gunawan
9 Pengantar Analisis Real PROLOG: LOGIKA DAN HIMPUNAN -1.1 Kalimat Matematika dan Logika Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang dimaksud dengan pernyataan atau kalimat matematika. Setiap pernyataan dapat bernilai benar atau salah, tetapi tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Sebagai contoh, = 2 merupakan sebuah pernyataan yang benar, sementara = 5 merupakan sebuah pernyataan yang salah. Kedua pernyataan tadi merupakan contoh kalimat tertutup. Pernyataan seperti n + 1 = 2 merupakan sebuah kalimat terbuka, yang kebenarannya bergantung pada nilai n. Bila n = 1, maka pernyataan tersebut benar; tetapi bila n 1, maka pernyataan tersebut salah. Matematika sarat dengan pernyataan atau kalimat majemuk, yang terdiri dari beberapa pernyataan. Sebagai contoh, pernyataan jika..., maka... sering muncul. Ada kalanya suatu pernyataan merupakan negasi dari suatu pernyataan lainnya: jika P adalah suatu pernyataan, maka negasinya adalah tidak P. Jika diketahui P benar, maka negasinya salah; dan jika diketahui P salah, maka negasinya benar. Berikut adalah beberapa kalimat majemuk dasar yang nilai kebenarannya telah menjadi konsensus. Misalkan P dan Q adalah pernyataan. Kalimat P dan Q, yang disebut konjungsi dari P dan Q, bernilai benar jika P dan Q keduanya benar, dan bernilai salah selain itu. Sementara itu, kalimat P atau Q, yang disebut disjungsi dari P dan Q, bernilai benar jika setidaknya satu di antara P dan Q benar. Selain konjungsi dan disjungsi, kita sering pula menjumpai implikasi jika P, maka Q, yang biasanya dilambangkan sebagai P Q. Dalam implikasi ini, P merupakan syarat cukup bagi Q, sementara Q merupakan syarat perlu bagi P. Sebagian orang juga menyebut P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan. Berdasarkan konsensus, pernyataan jika P, maka Q bernilai salah jika P benar dan Q salah, dan bernilai benar selain itu.
10 -6 Hendra Gunawan Tabel kebenaran untuk konjungsi P dan Q, disjungsi P atau Q, serta implikasi jika P, maka Q, diberikan di bawah ini. P Q P dan Q P atau Q P Q B B B B B B S S B S S B S B B S S S S B Dua pernyataan P dan Q dikatakan setara, dinotasikan dengan P Q, apabila keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama (yakni, jika P benar, maka Q benar; dan sebaliknya, jika Q benar, maka P juga benar). Dalam hal P dan Q setara, kita sering menulis P jika dan hanya jika Q (yang sesungguhnya terdiri dari dua pernyataan, yaitu P jika Q dan P hanya jika Q ). Catat bahwa P hanya jika Q setara dengan jika tidak Q, maka tidak P, yang setara dengan jika P, maka Q (lihat Soal Latihan No. 2). Contoh 1. Implikasi jika n = 1, maka n 2 = n bernilai benar, karena ketika P benar, Q juga benar. (Dalam hal n = 0, kita dapatkan P salah dan Q benar; namun ini tidak menjadikan implikasi di atas salah.) Contoh 2. Pernyataan n + 1 = 2 setara dengan n = 1. Jadi, n + 1 = 2 jika dan hanya jika n = 1. Soal Latihan 1. Mungkinkah P dan tidak P benar? Bagaimana dengan P atau tidak P? 2. Implikasi jika tidak Q, maka tidak P merupakan kontraposisi dari jika P, maka Q. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran. 3. Implikasi jika Q, maka P merupakan konvers dari jika P, maka Q. Berikan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah. 4. Buatlah tabel kebenaran untuk P dan tidak Q dan bandingkan dengan tabel kebenaran untuk jika P, maka Q. Apa kesimpulan anda?
11 Pengantar Analisis Real Pernyataan Berkuantor Dalam matematika sering kali kita berurusan dengan pernyataan yang mengandung frase untuk setiap, untuk semua, untuk suatu, terdapat, dan sejenisnya. Untuk setiap, untuk semua, atau frase yang setara dengannya, merupakan kuantor universal; sedangkan untuk suatu, terdapat, atau yang setara dengannya, merupakan kuantor eksistensial. Catat bahwa dalam matematika, untuk suatu berarti terdapat setidaknya satu (bisa satu saja, bisa juga lebih). Berikut adalah beberapa contoh pernyataan berkuantor. Contoh 3. (i) Setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n 2 > n. (ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. (Bilangan kuadrat adalah 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, dan seterusnya.) (iii) Terdapat bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus. Negasi dari pernyataan untuk setiap n berlaku P adalah terdapat n yang tidak memenuhi P. Sebagai contoh, negasi dari setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n adalah terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi n 2 > n. Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar. Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah setelah memeriksa bahwa negasinya benar. Perhatikan bahwa pernyataan setiap bilangan asli n memenuhi n 2 > n dapat ditulis ulang sebagai implikasi jika n adalah bilangan asli, maka n 2 > n. Jadi, selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa kebenaran suatu pernyataan berkuantor universal sebagai sebuah implikasi. Soal Latihan 1. Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh 3(ii) dan (iii). 2. Tulis ulang pernyataan pada Contoh 3(ii) sebagai sebuah implikasi Bukti dan Metode Pembuktian Bukti (Ing. proof ) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dari ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen. Dalam matematika, eksperimen juga penting tetapi bukti lebih esensial. Pernyataan seperti setiap
12 -4 Hendra Gunawan bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4 tidak dapat disimpulkan benar melalui eksperimen dengan bilangan-bilangan kuadrat, karena terdapat tak terhingga banyaknya bilangan kuadrat (kita takkan pernah selesai dengan mereka). Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti untuk meyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya. Untuk dapat membuktikan pernyataan seperti di atas perlu banyak latihan. Dihadapkan pada sebuah pernyataan, langkah pertama yang perlu dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut: apa yang diketahui dan apa yang harus dibuktikan. Kadang kita harus mengetahui konteks yang terkait dengan pernyataan tersebut. Dalam pernyataan setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4, kita berurusan dengan bilangan asli (1, 2, 3,... ). Selain itu, pernyataan di atas juga mengandung kuantor setiap, yang memerlukan aksi tertentu dalam pembuktiannya kelak. Sebelum kita membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor seperti di atas, marilah kita pelajari bagaimana membuktikan pernyataan tanpa kuantor yang berbentuk konjungsi, disjungsi, atau implikasi. Untuk membuktikan bahwa P dan Q benar, tentunya kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar. Sementara itu, untuk membuktikan bahwa P atau Q benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q benar. (Jika P benar, maka P atau Q benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.) Untuk membuktikan bahwa implikasi jika P, maka Q benar, kita mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga benar. (Jika P salah, maka P Q otomatis benar, sehingga tidak ada yang harus dilakukan.) Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu jika tidak Q, maka tidak P. Cara lainnya adalah dengan metode pembuktian tak langsung, yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah. Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi R dan tidak R, untuk suatu pernyataan R. Sebagai contoh, n genap dan ganjil (tidak genap) sekaligus merupakan suatu kontradiksi. Contoh 4. Buktikan jika n memenuhi n 2 = n, maka n = 0 atau n = 1. (Di sini kita berhadapan dengan sebuah implikasi dengan hipotesis n memenuhi n 2 = n dan kesimpulan berupa suatu disjungsi n = 0 atau n = 1.)
13 Pengantar Analisis Real -3 Bukti. Misalkan n memenuhi n 2 = n (yaitu, hipotesis benar). Akan ditunjukkan bahwa n = 0 atau n = 1 (yaitu, kesimpulan benar). Untuk itu, misalkan n = 0 salah, yakni n 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1. Untuk itu, perhatikan bahwa n 2 = n setara dengan n(n 1) = 0. Karena n 0, maka mestilah n 1 = 0. Jadi mestilah n = 1. Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor. Secara umum, untuk membuktikan pernyataan terdapat n sehingga P, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar. Sebagai contoh, pernyataan terdapat bilangan asli n sehingga n 2 n terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1 yang memenuhi n 2 n. Sementara itu, untuk membuktikan pernyataan untuk setiap n berlaku P, kita harus memulainya dengan mengambil n sembarang (tentunya dalam konteks yang sesuai), dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa P berlaku untuk n. Cara lainnya adalah dengan menuliskan pernyataan berkuantor ini sebagai sebuah implikasi, baru kemudian kita membuktikannya. Contoh 5. Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4. Bukti. Ambil sebarang bilangan kuadrat, sebutlah n 2. Ada dua kemungkinan tentang n, yaitu n genap atau n ganjil. Jika n genap, sebutlah n = 2k, maka n 2 = 4k 2. Dalam hal ini n 2 mempunyai sisa 0 ketika dibagi dengan 4. Sementara itu, jika n ganjil, sebutlah n = 2k + 1, maka n 2 = 4k 2 + 4k + 1. Dalam hal ini n 2 akan mempunyai sisa 1 ketika dibagi dengan 4. Jadi, berapa pun n, n 2 akan mempunyai sisa 0 atau 1 ketika dibagi dengan 4. Contoh-contoh pembuktian lainnya akan anda jumpai pada bab-bab selanjutnya, yang berkenaan dengan materi pokok Analisis Real. Soal Latihan 1. Buktikan jika n 2 ganjil, maka n ganjil. 2. Buktikan jika m 2 + n 2 = 0, maka m = 0 dan n = 0.
14 -2 Hendra Gunawan -1.4 Himpunan dan Notasinya Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu. Jika x merupakan anggota himpunan H, maka kita katakan x di H dan kita tuliskan x H. Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan y / H. Cara yang paling sederhana untuk menyatakan sebuah himpunan adalah dengan mendaftarkan anggotanya. Sebagai contoh, kita menuliskan A = {0, 1, 2, e, π} untuk menyatakan himpunan yang anggotanya adalah bilangan 0, 1, 2, e, π. Serupa dengan itu, B = {Bagong, Gareng, Petruk, Semar} menyatakan himpunan dengan anggota Bagong, Gareng, Petruk, dan Semar. Cara penulisan di atas tentunya tidak cocok digunakan untuk menyatakan himpunan yang mempunyai tak hingga banyaknya anggota. Himpunan demikian biasanya dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki secara khusus oleh anggotanya. Sebagai contoh, C = {x : x real, x > 0} menyatakan himpunan semua bilangan real positif. Serupa dengan itu, D = {y : y menghormati Semar} menyatakan himpunan semua orang yang menghormati Semar. Selanjutnya kita gunakan notasi untuk menyatakan himpunan kosong, yakni himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli n yang genap dan ganjil sekaligus merupakan himpunan kosong; yakni {n : n bilangan asli yang genap dan ganjil sekaligus} =. Misalkan H dan G adalah dua buah himpunan. Kita sebut G himpunan bagian dari H dan kita tuliskan G H
15 Pengantar Analisis Real -1 apabila setiap anggota G merupakan anggota H. (Jadi, bila diberikan dua buah himpunan H dan G, dan kita diminta untuk membuktikan bahwa G H, maka yang harus kita lakukan adalah mengambil x G sembarang dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa x H.) Catat bahwa G = H jika dan hanya jika G H dan H G. Jika G H dan G H, maka G disebut sebagai himpunan bagian sejati dari H, ditulis G H. Sebagai contoh, jika A adalah himpunan semua bilangan bulat yang habis dibagi 10 dan B adalah himpunan semua bilangan yang habis dibagi 2, maka A B. Soal Latihan 1. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan irisan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A dan x B}. Buktikan bahwa A B = A jika dan hanya jika A B. 2. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefinisikan gabungan dari A dan B, yaitu A B = {x : x A atau x B}. Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku (a) A (B C) = (A B) (A C). (b) A (B C) = (A B) (A C).
16 0 Hendra Gunawan
ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
(Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciKISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 2014
LKS SMK 214 Bidang : Matematika Teknologi KISI KISI LOMBA KOMPETENSI SISWA SMK TINGKAT PROVINSI JAWA TIMUR 214 1 Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aljabar memaham, mengaplikasikan, menganalisai
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 17, 2011 Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang
Lebih terperinciKRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I
KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS X ( 1 ) SEMESTER I KRITERIA KETUNTASAN MINIMAL ( KKM ) MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Sekolah : SMA/MA... Kelas : X Semester : I (SATU) KKM
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciMA3231 PENGANTAR ANALISIS REAL
PORTFOLIO PERULIAHAN MA3231 PENGANTAR ANALISIS REAL SEMESTER II 2008/2009 oleh Hendra Gunawan Jalina Widjaja Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Juli 2009 A. Silabus
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciKISI-KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) DINAS PENDIDIKAN PROVINSI DKI JAKARTA MATA PELAJARAN : MATEMATIKA
KISI-KISI PENLISAN JIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJRAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN KRIKLM : KTSP & JML : PILIHAN GANDA = 40, RAIAN = 5 BTIR
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciTELAAH BAHAN BELAJAR MANDIRI Oleh Sufyani P. Hasil Telaah
TELAAH BAHAN BELAJAR MANDIRI Oleh Sufyani P Nama Matakuliah: Logika Matematika. SKS : 2 Semester : 7 Penulis : Drs. Mujono, M.Pd. I. Tinjauan matakuliah: tidak ada Hasil Telaah II. Sajian Materi: a. Relevansi
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciCATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Lebih terperinciJadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting
LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari
Lebih terperinci22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA)
22. MATEMATIKA SMA/MA (PROGRAM IPA) NO. 1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau
Lebih terperinciBAB III KUANTOR kuantor, 1. Kuantor Universal 3. Kuantor Eksistensial
BAB III KUANTOR Untuk mengubah kalimat tebuka menjadi kalimat deklaratif, selain dengan jalan mengganti variabel dengan konstanta, dapat juga dilakukan dengan menggunakan kuantor, yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciBAB III INDUKSI MATEMATIKA
3.1 Pendahuluan BAB III INDUKSI MATEMATIKA Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan atau
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 6 KUANTOR III: INDUKSI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Pernyataan Berkuantor Universal (1) Pada bab sebelumnya kita telah membahas metode
Lebih terperinciHUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan
Lebih terperinciANALISIS RIIL II (PAM 34 )
RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS) ANALISIS RIIL II (PAM 34 ) PENGAMPU MATA KULIAH Dr. MUHAFZAN & HARIPAMYU, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Intro: Apa itu Matematika? Matematika adalah.. 2 Archimedes & Lingkaran Archimedes mempelajari lingkaran. Ia berhasil membuktikan
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika MATAKULIAH : Landasan Matematika KODE MATAKULIAH : MTA231 SKS : 3 SEMESTER : 1 MATAKULIAH PRASYARAT : DOSEN PENGAMPU : Tatik Retno Murniasih,
Lebih terperinciSilabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Siswanto MODEL Silabus dan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) for Grade X of Senior High School and Islamic Senior High School Berdasarkan Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi dan Permendiknas
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciHendra Gunawan. 28 Agustus 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 28 Agustus 2013 Siapakah Ini? 2 Hendra Gunawan Gedung Labtek III, Lt. 2, R. 208 Tel. 2502545 Pes. 208 E mail hgunawan@math.itb.ac.id Website http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperinciTINJAUAN MATA KULIAH... MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Kegiatan Belajar 1: Latihan Rangkuman Tes Formatif
Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... i MODUL 1: LOGIKA MATEMATIKA 1.1 Pernyataan, Negasi, DAN, ATAU, dan Hukum De Morgan...... 1.3 Latihan... 1.18 Rangkuman... 1.20 Tes Formatif 1...... 1.20 Jaringan Logika
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI MATEMATIKA Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan BALITBANG
Lebih terperinci) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =
Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
Lebih terperinciPENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
PENGEMBANGAN SILABUS TAHUN PELAJARAN 01/013 NAMA SEKOLAH : SMK DIPONEGORO LEBAKSIU MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR KOMPETENSI : MEMECAHKAN MASALAH BERKAITAN DENGAN KONSEP OPERASI
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciBAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK)
0 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS : XII KELOMPOK : TEKNOLOGI, PERTANIAN DAN KESEHATAN BENTUK & JMl : PILIHAN GANDA = 35 DAN URAIAN = 5 WAKTU :
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009 0 A. Identitas Mata
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Pendahuluan
Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinci44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)
44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinci