TRANSFORMASI AFFIN PADA BIDANG

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Vol. No. November 03 [ : 8 ] TRANSFORMASI AFFIN PADA BIDANG Gani Gunawan dan Suwanda Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Islam Bandung Prgram Studi Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Islam Bandung ggani07@yahoo.com; wanda_00358@yahoo.co.id Abstrak Menjelaskan sifat objek geometri Euclid secara analitis dan aljabar dalam matematika daat dijelaskan dengan sebuah transformasi. Dalam hal ini transformasi diandang sebagai emetaan bijeksi terhada dirinya sendiri. Masalahnya adalah transformasi yang seerti aa daat diterakan agar objek geometri ada suatu bidang Eucild daat dijelaskan secara analitis dan aljabar sedemikian sehingga beberaa sifat geometri yang ada ada bidang tersebut daat diertahankan. Transformasi affin D adalah sebuah transformasi ada bidang yang daat mengatasi hal itu, di mana transformasi ditentukan oleh sebuah matriks ersegi yang invertible dan sebuah vektor kolom. Transformasi affin bersifat linier, sehingga sifat objek geometris yang ditransformasi adalah invariant. Dalam hal ini transformasi affin memertahankan kesegarisan, kesejajaran, dan erbandingan, namun tidak mengawetkan kesebangunan. Kata kunci : geometri affin, transfomasi, invarian. Pendahuluan Seerti yang telah diketahui bahwa objek titik ada geometri Euclid adalah meruakan unsur terkecil yang membangun sistem matematika geometri tersebut. Oleh karena itu bangun geometri yang terbentuk ada bidang atau ruang dalam geometri ini daat dijelaskan melalui objek titik itu sendiri. Dalam erkembangan selanjutnya sifat objek geometri Euclid ini daat dijelaskan secara analitik dan aljabar. Untuk keerluan menjelaskannya, dierlukan suatu cara matematis yang daat menjabarkannya. Sehingga timbul suatu ermasalahan untuk itu. Pertama, bagaimanakah cara menjelaskan sifat objek geometri Euclid agar daat dijelaskan secara analitik dan aljabar? Kedua, bagaimanakah mengindentifikasi titik ada bidang Euclid dengan sebuah vektor? Ketiga, bagaimanakah mentransformasi ruang titik ada bidang Euclid dengan ruang vektor? Keemat, sifat geometri aa saja yang daat diertahankan ada saat ruang titik ditransformasi dengan ruang vektor?. Pemetaan sebagai Transformasi Bidang Untuk membahas masalah ertama daat dijelaskan melalui konse fungsi atau emetaan. Misalkan A dan B adalah himunan yang tidak hama. Suatu fungsi atau emetaan f dari A ke B yang dinotasikan dengan f : A B adalah sebuah asangan terurut (a,b), dengan aa dan bb yang bersifat untuk setia aa ada sebuah bb yang tunggal sedemikain sehingga (a,b)f atau daat ditulis f(a) = b. Dalam hal ini daat dikatakan b adalah eta dari a ada f, dan a adalah ra-eta b ada f. Himunan A disebut domain f, dan himunan B disebut co-domain f. Himunan f(a) = {f(a) aa} adalah himunan bagian dari B disebut range dari f. Suatu fungsi f: A B disebut surjektif (atau onto) jika f(a) = B, yaitu f surjektif jika untuk setia bb ada aa sedemikan sehingga f(a) = b. Fungsi f: A B disebut injektif (atau satu ke satu) jika untuk setia unsur di range f adalah eta dari teat satu unsur di domain f, yaitu jika f(x) = f(y) maka x = y. Selanjutnya suatu fungsi f: A B disebut bijektif jika f surjektif dan injektif. Berdasarkan engertian fungsi atau emetaan tersebut, terlihat bahwa suatu unsur ada suatu himunan yang satu daat ditransformasi menjadi unsur di himunan yang lain. Oleh karena itu, berdasarkan gagasan yang ada ada konse emetaan tersebut, agar sifat suatu objek

2 Gani Gunawan & Suwanda ada geometri Euclid daat dijelaskan secara analitik dan aljabar maka objek geometri tersebut harus ditransformasi menjadi objek yang daat diberlakukannya sistem matematika secara analitis dan aljabar. Transformasi dalam hal ini diandang sebagai fungsi bijektif ada dirinya sendiri. Misalkan E adalah bidang Euclid. Setia titik P ada bidang E daat dinyatakan oleh asangan terurut (x,y ) dalam sistem koordinat XOY. Titik P daat dinyatakan oleh vektor osisi OP x, y Gambar. Titik (x,y ) direresentasikan sebagai, OP x y Dalam hal ini OP x, y daat digunakan untuk mereresentasikan x. Koleksi vektor yang dibentuk dari titik ada bidang Euclid membentuk ruang vektor. Akibatnya emetaan f : E E berkoresondensi dengan emetaan dengan f P P', ', ',, f x y x y x y f : sedemikian sehingga untuk P E. Ini berarti f dan f secara tunggal mendefinisikan emetaan f dengan sistem koordinat teta sebagai enstransformasian bidang. Oleh karena itu, titik P ada bidang XOY akan berkorensondensi dengan vektor tunggal OP. Setia objek geometri di E berkoresondensi secara tunggal dengan vektor OP di di mana P. Himunan f() yang f P : P E daat dinyatakan dengan didefinisikan sebagai f OP : OP vektor xy,, oleh karena itu reresentasi titik (x,y) daat dinyatakan sebagai Contoh Pemetaan di bawah ini daat diandang sebagai emetaan titik ke titik ada geometri Euclid atau emetaan vektor ke vektor di. dan f x, y x 3 y, x y g x, y x 3y, x y 4.

3 Transformasi Affin ada Bidang 3 Hasil emetaan x oleh f dan g Secara geometri daat digambarkan sebagai berikut Gambar. Pemetaan oleh f dan g dari bidang ke bidang Lebih lanjut melalui emetaan bijektif, memungkinkan untuk menjelaskan asek sifat objek geometri bidang ini melalui endekatan analitis dan aljabar matrik. Oleh karena itu, emetaan dan f x, y x 3 y, x y daat dinyatakan dalam matrik sebagai berikut 3 x f x Ax y, g x, y x 3y, x y 4 dan g x 3 x Ax y 4 sehingga vektor hasil emetaanya daat ditentukan seerti di bawah ini 3 Ai 0, 3 3 Ai b Aj, 3 0 A j b 4 3. Secara geometri hasil emetaannya daat digambarkan sebagai berikut

4 4 Gani Gunawan & Suwanda Gambar 3. Transformasi vektor ke vektor Jelas bahwa f dan g memetakan segmen garis ke garis (gambar 3). Untuk mengetahui di mana f dan g memetakan titik (0,0), (0,), (,0), dan (,) cuku dengan menentukan citra bangun ersegi satuan S yang memiliki simul di emat titik tersebut. Oleh karena itu eta bidang ersegi satuan S adalah berua bidang jajaran genjang f(s) dan g(s) (gambar ). Ini berarti jelas bahwa f dan g juga memetakan bidang ke bidang. 3. Transformasi Affin ada Bidang Dari uraian embahasan di atas, terlihat bahwa untuk daat menjelaskan sifat objek geometri Euclid ada bidang agar daat dijelaskan secara analitik dan aljabar, maka unsur terkecil embentuk geometri tersebut harus dindentifikasi dengan sebuah vektor ada bidang. Pengindentifikasian daat dilakukan jika sebuah titik direresentasikan dalam sebuah vektor melalui suatu transformasi atau emetaan bijeksi. Pentransformasi ruang titik ada bidang Euclid dengan ruang vektor dalam matematika daat dilakukan melalui transformasi affin ada bidang yang selanjutnya disebut transformasi affin D sedemikian sehingga sifat geometri ada saat ruang titik ditransformasi dengan ruang vektor daat diertahankan. Transformasi affin D adalah sebuah emetaan dari ke yang ditentukan oleh sebuah matrik ersegi yang invertible dan sebuah vektor kolom, secara matematik didefinisikan sebagai berikut; Definisi Misalkan A adalah matrik x yang invertible, dan b vektor kolom di, maka transformasi affin D dinyatakan sebagai emetaan f : yang didefinisikan oleh x Ax b Akibat dari endefinisian tersebut daat ditunjukan bahwa komosisi dari dua transformasi affin D masih transformasi affin D dan invers dari transformasi D adalah masih transformasi affin D seerti yang dinyatakan ada teorema 3. dan teorema 3. berikut; Teorema 3.. Komosisi dari dua transformasi affin D adalah masih affin D.

5 Transformasi Affin ada Bidang 5 Bukti Misalkan A dan A adalah matrik x yang invertible, dan b dan b vektor kolom di, maka untuk sebarang Akibatnya Jika dimisalkan A = D. Teorema 3.. x transformasi affin D T x Ax b AA dan b = T x T T x A b A A x b b = dan T x A x b = A A x A b b b maka Invers dari transformasi affin D adalah juga affin D. T x Ax b adalah transformasi affin Bukti Misalkan A adalah matrik x yang invertible, dan b vektor kolom di a transformasi affin D untuk sebarang x daat dinyatakan, maka untuk suatu a Ax b atau Ax b a Jadi x A b a = A b A a Jika dituliskan kembali dalam bentuk x Bb c dengan B A dan c berarti invers dari transformasi affin D adalah masih affin D. A a, maka ini Dari endefinisian dan kedua teorema tersebut terlihat bahwa transformasi affin D meruakan emetaan bijektif yang daat mengindentifikasi ruang titik ada bidang Euclid ke dalam ruang vektor berdimensi dua. Akibatnya bangun bidang geometri Euclid yang dietakan oleh transformasi affin daat diertahankan asek dimensi bidangnya. Selain dari itu, dengan transformasi affin D sifat objek geometri bidang Euclid daat dijelaskan secara analitik dan aljabar. Geometri transformasi bidang berikut adalah meruakan transformasi affin, yaitu adalah translasi, rotasi, dilatasi uniform, dilatasi non uniform, refleksi, dan shearing

6 6 Gani Gunawan & Suwanda Geometri transformasi bidang Citra transformasi bidang (i) Translasi, daat dinyatakan oleh T x x b I x b, I adalah matrik indentitas ordo x (ii) Rotasi T x R x, daat dinyatakan oleh 0 R cos sin 0 sin cos rotasi adalah matrik (iii) Dilatasi uniform T x I x, daat dinyatakan oleh a I a a 0 0 a, untuk suatu skalar a (iv) Dilatasi non uniform daat dinyatakan oleh T x Iab x, I ab a 0 0 b, untuk suatu skalar a dan b (v) Refleksi T x M x daat dinyatakan oleh x M x 0 0 adalah matrik refleksi

7 Transformasi Affin ada Bidang 7 (vi) Shearing T x S x daat dinyatakan oleh x S x h, untuk suatu skalar h Secara umum sifat suatu objek geometri yang ditransformasi melalui transforamsi affin daat ditunjukan dalam teorema 3.3 berikut Teorema 3.3 T x Ax b adalah transformasi Affin, maka T i. Memetakan segmen garis ke segmen garis ii. Memertahankan sifat kesejajaran antara garis dengan garis iii. Memetakan bidang segi n ke bidang segi n iv. Memertahankan rasio anjang dua segmen garis sejajar Misalkan Bukti (i) Misalkan l adalah segmen garis, maka ersamaan l daat ditulis dalam bentuk vektor tu, untuk suatu t di interval tutu I. Sehingga untuk setia t [0,] T tu A tu b A b t Au = tu dengan A b dan u Au. Akibatnya T(l) = l dengan l = tu untuk t [0,] adalah juga segmen garis. (ii) Misalkan l : tu dan m: q tv untuk setia t adalah dua buah garis yang sejajar. Maka v ku untuk suatu k. Oleh karena itu T tu A tu b A b t Au tu, dan T q tv A q t ku b A q t ku b = Aq b t Aku b q t ku Ini berarti l dan m dietakan ke garis l dan m yang sejajar. (iii) Dalam hal ini akan dibuktikan dengan induksi. Misalkan n = 3, Pandang sebuah bidang segitiga G. Maka G daat direresentasikan dalam bentuk vektor u sv tw, untuk st, [0,], dan s + t dengan v dan w adalah vektor yang tidak segaris. Akibatnya

8 8 Gani Gunawan & Suwanda T G T u sv tw Au sv tw b = Au b s Av t Aw = u sv tw, dengan st, [0,] dan s + t. Karena u dan v tidak segaris, maka menurut (ii) v Av dan w Aw tidak sejajar. Jadi G dietakan ke segitiga G, di mana G = u sv tw. Sekarang misalkan T memetakan setia bidang segi n ke bidang segi n untuk setia n, dengan 3 n k, dan misalkan P adalah olygon dengan k+ sisi. Misalkan AB adalah diagonal dalam P, maka disgonal ini membagi P menjadi dua olygon, yaitu P dan P yang masing-masing memuat t dan k +3 t sisi, untuk suatu t dengan 3 t k. Menurut hiotesis induksi di atas, T(P ) dan T(P ) masing-masing akan meruakan olygon yang dibentuk dengan t sisi dan k +3 t sisi. Karena olygon ini akan memunyai segment garis dari T(A) ke T(B) sebagai diagonal, maka gabungan P dan P akan membentuk sebuah olygon dengan k + sisi. Ini berlaku untuk setia olygon dengan n sisi. Terbukti bahwa T memetakan bidang segi n ke bidang segi n. (iv) Pandang dua buah segmen garis sejajar, S dan S yang dinyatakan dalam bentuk vektor S i : tu untuk t [0,]. Karena dua garis tersebut sejajar, maka u ku untuk suatu k. Misalkan ui adalah anjang untuk segmen garis S i, rasio ajang segmen garis S dan S adalah k. Maka menurut (i), segmen garis S i dietakan ke segmen garis yang memunyai anjang Au i. Karena Au Aku k Au anjang T(S ) dan T(S ) adalah juga k., maka Au k Au yang menunjukan bahwa rasio 4. Kesimulan Karena transformasi meruakan emetaan bijektif terhada dirinya sendiri, maka dengan transformasi unsur embentuk terkecil ada geometri Euclid di bidang daat di andang sebagai vektor di bidang, sehingga sifat objek geometri Euclid ada bidang daat dijelaskan secara analitik dan aljabar. Agar engindentifikasian ruang titik ada bidang Euclid yang dilakukan melalui transformasi vektor daat memertahankan sifat-sifat yang dietakannya, maka transformasi geometri yang mungkin adalah transformasi affin ada bidang. Seerti yang telah dijelaskan, transformasi affin bersifat linier, sehingga sifat objek geometris yang ditransformasi adalah invariant. Dalam hal ini transformasi affin memertahankan kesegarisan, kesejajaran, dan erbandingan, namun tidak mengawetkan kesebangunan. Daftar Pustaka [] Berger, Marcel (987), Geometry I, Berlin: Sringer, ISBN [] Hakan Haberdar (0), Affine Transformation Examle, University of Houston. Retrieved March 0. [3] Hazewinkel, Michiel, ed. (00), Affine Transformation, Encycloedia of Mathematics, Sringer. [4] Nomizu, Katsumi; Sasaki, S. (994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press.