PERTEMUAN Logika Matematika

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PERTEMUAN Logika Matematika"

Hamdani Setiawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 3-1 PERTEMUAN 3 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengamu : Dr. Suarman matdis@netcourrier.com HP : Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 3. Logika Matematika 3.1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial 3.. Argumen : a) Mengerti aa yang dimaksud dengan fungsi roosisi. b) Mengerti aa yang dimaksud dengan kuantor universal dan mengetahui definisi untuk menetakan nilai kebenaran untuk ernyataan kuantor universal. c) Mengerti aa yang dimaksud dengan kuantor eksistensial dan mengetahui definisi untuk menetakan nilai kebenaran untuk ernyataan kuantor eksistensial. d) Daat mengubah ernyataan kuantor universal ke dalam ernyataan kuantor eksistensial dan sebaliknya. e) Daat menuliskan negasi dari ernyataan kuantor universal dan kuantor eksistensial. f) Mengerti erbedaan antara argumen valid dan invalid. 3. Logika Matematika Misalkan P(x) meruakan sebuah ernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himunan (sembarang kumulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi roosisi (dalam D) jika untuk setia x di D, P(x) adalah roosisi. Misalkan P(n) adalah ernyataan n adalah bilangan ganjil dan D adalah himunan bilangan bulat ositif. Maka P adalah fungsi roosisi dengan daerah asal embicaraan D karena untuk setia n di D, P(n) adalah roosisi (yakni, untuk setia n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetai tidak keduanya). Sebagai contoh, jika n = 1, kita eroleh roosisi 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n =, kita eroleh roosisi adalah bilangan ganjil bernilai salah. 3.1 Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial Definisi 3.1 : Kuantor Universal Misalkan P adalah fungsi roosisi dengan daerah asal D. Pernyataan untuk setia x, P(x) dikatakan ernyataan kuantor universal. Pernyataan itu daat dinyatakan dengan simbol sebagai x, P(x) di mana simbol berarti untuk setia. Simbol disebut kuantor universal.

2 3- Pernyataan x, P(x) adalah benar jika P(x) benar untuk setia x di D. Dan ernyataan x, P(x) adalah salah jika P(x) salah untuk sedikitnya satu x di D. Sebuah nilai x di D yang membuat P(x) salah disebut contoh enentang (counter exemle) bagi ernyataan x, P(x ). Catatan : Cara lain untuk menuliskan untuk setia x, P(x) adalah untuk semua x, P(x) dan untuk sembarang x, P(x). Contoh 3.1 : Tulislah setia ernyataan yang diberikan dengan simbol. a. Untuk setia x, x 0 b. Untuk semua x, jika x>1 maka x >1 a. x, x 0 b. x, x 1 x 1 Contoh 3. : Tentukan nilai kebenaran dari setia ernyataan yang diberikan. Daerah asal embicaraannya adalah himunan bilangan real. a. Untuk setia x, x 0 b. Untuk semua x, x -1>0 a. Pernyataan tersebut benar karena untuk setia bilangan real x, adalah benar bahwa kuadrat x bernilai ositif atau nol. b. Pernyataan tersebut salah karena jika x = 1 maka roosisi 1-1 >0 salah. Definisi 3. : Kuantor Eksistensial Misalkan P adalah fungsi roosisi dengan daerah asal D. Pernyataan untuk beberaa x, P(x) dikatakan ernyataan kuantor eksistensial. Pernyataan itu daat dinyatakan dengan simbol sebagai x, P(x) di mana simbol berarti untuk beberaa. Simbol disebut kuantor eksistensial. Pernyataan x, P(x) adalah benar jika P(x) benar untuk sedikitnya satu x di D. Dan ernyataan x, P(x) adalah salah jika P(x) salah untuk setia x di D. Catatan : Cara lain untuk menuliskan untuk beberaa x, P(x) adalah untuk aling sedikit satu x, P(x) dan terdaat x yang sedemikian, sehingga P(x). Contoh 3.3 : Tulislah setia ernyataan yang diberikan dengan simbol. a. Untuk beberaa x, x 0. b. Untuk aling sedikit satu x, jika x>1 maka x >1.

3 3-3 c. Untuk setia x, untuk beberaa y, x <y+1. a. x, x 0 b. x, x 1 x 1 c. x, y, x y 1 Contoh 3.4 : Tentukan nilai kebenaran dari setia ernyataan yang diberikan. Daerah asal embicaraannya adalah himunan bilangan real. a. Untuk beberaa x, x+1 > 0 b. Untuk aling sedikit satu x, x <0 a. Pernyataan tersebut benar karena jika x = maka roosisi +1 >0 benar. b. Pernyataan tersebut salah karena untuk setia bilangan real x, adalah salah bahwa kuadrat x bernilai negatif. Teorema 3.1 : Memerumum Hukum De Morgan untuk Logika Jika P sebuah fungsi roosisi, setia asangan ada a) dan b) berikut memunyai nilai kebenaran yang sama. a) x, P(x); x, P(x ) b) x, P(x); x, P(x ) Contoh 3.5 : Tuliskan negasi dari masing-masing roosisi yang diberikan. a. Untuk setia x, x >x b. Untuk beberaa x, x >x a. Untuk beberaa x, tidak benar bahwa x >x. b. Untuk setia x, tidak benar bahwa x >x. Latihan Soal 3.1 Tentukan nilai kebenaran dari setia ernyataan yang diberikan. Daerah asal embicaraannya adalah himunan bilangan real. a. Untuk setia y, y >1 b. Untuk beberaa x, x >4 c. Untuk setia x, untuk setia y, x <y+1 d. Untuk beberaa x, untuk beberaa y, x <y+1 e. Untuk setia x, untuk setia y, x +y = 4 f. Untuk beberaa x, untuk beberaa y, x +y = 4 3. Tulislah negasi dari masing-masing roosisi ada Soal Misalkan P(x) adalah fungsi roosisi x adalah bilangan rasional dan misalkan Q(x) adalah fungsi roosisi x adalah bilangan ositif. Daerah asal embicaraan adalah himunan bilangan real. Nyatakan ernyataan

4 3-4 x (P(x) dengan kata-kata. Q(x)) (Q(x) P(x)) 3. Argumen Sebuah argumen adalah suatu deret roosisi yang dituliskan sebagai 1 3 n Proosisi 1,, 3,, n disebut hiotesis (atau remis) dan roosisi disebut konklusi. Argumen di atas dikatakan valid jika konklusi mengikuti hiotesis, yakni, jika 1,, 3,., dan n adalah benar, maka juga asti benar. Kebalikannya kita sebut argumen invalid. Suatu argumen adalah valid karena bentuknya bukan karena isinya. Contoh 3.6 : Tentukanlah aakah argumen valid. Kita bentuk tabel kebenaran untuk semua roosisi yang terlibat. B B B B B B S S B S S B B S B S S B S S Tabel 3.1 Kita mengamati aabila hiotesis dan adalah benar, maka konklusi juga benar, sehingga argumen tersebut valid. Contoh 3.7 : Nyatakan aakah argumen Jika = 3, maka saya lulus matematika diskrit Saya lulus matematika diskrit 3 valid. Jika kita misalkan : = 3 dan : saya lulus matematika diskrit maka argumen tersebut bisa dituliskan sebagai

5 3-5 Karena salah maka andaikan tersebut tidak valid. dan benar tidak mungkin benar. Jadi argumen Latihan Soal ) 3.4 Misalkan : Saya rajin belajar : Saya mendaat nilai A r : Saya menjadi kaya Rumuskan argument yang diberikan dengan simbol dan nyatakan aakah masingmasing argumen tersebut valid. a. Jika saya rajin belajar, maka saya mendaat nilai A Saya rajin belajar Saya mendaat nilai A. b. Jika saya rajin belajar atau saya menjadi kaya, maka saya mendaat nilai A Saya mendaat nilai A Saya tidak rajin belajar, maka menjadi kaya. 3.5 Nyatakan aakah setia argumen yang diberikan adalah valid a. e. ( ) (r s) r s b. f. ( r) ( r) ( r) c. ( ) (r s g r s d. ( r) ( r) ( ) r Daftar Pustaka R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.

dokumen-dokumen yang mirip

PERTEMUAN Logika Matematika

PERTEMUAN Logika Matematika 2-1 PERTEMUAN 2 Nama Mata Kuliah : Matematika Diskrit (3 SKS) Nama Dosen Pengampu : Dr. Suparman E-mail : matdis@netcourrier.com HP : 081328201198 Judul Pokok Bahasan Tujuan Pembelajaran : 2. Logika Matematika