ABSTRACT. Keywords: arithmetic, cyclic group, GF(5 ), primitive polynomial, cryptography.

Transkripsi

1 ABSTRACT AHMADI. The Construction of Arithmetic Algorithms GF(5 m ) Generated by Cyclic Grou Proerties. Suervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. To construct a crytograhic algorithm, many arithmetic concets are needed. ElGamal encrytion for examle, can be defined over cyclic grou Z, the usual arithmetic concets. If the use of this arithmetic is associated with security asect, then it requires large comutational work. This thesis aims to construct arithmetic algorithm as an alternative arithmetic that can be alied to any crytograhic scheme, esecially ublic key scheme. This algorithm is imosed from finite field GF(5 ). Thus, the rocedures to construct arithmetic algorithm are as follows. The first ste is to choose rimitive olynomial M(x)εZ [x] of lower degree. The second ste is to find rimitive root M(α) = 0, thus the equation M(x) = 0 has a root α in GF(5 ). The resulted arithmetic algorithms are comutational rocedures for standard oeration in GF(5 ):addition, multilication, division, invertion, and exonentiation. It can be concluded that constructed arithmetic algorithms GF(5 ) are better than standard algorithms because some oerations can be reduced using rimitive olynomial or cyclic grou roerties, and using reduction of zero. Keywords: arithmetic, cyclic grou, GF(5 ), rimitive olynomial, crytograhy. I. Pendahuluan Masalah keamanan meruakan salah satu asek enting dari sebuah sistem informasi. Untuk menjamin keamanan sebuah informasi yang bersifat rahasia dierlukan suatu teknik engamanan baik secara fisik mauun non fisik. Salah satu teknik engamanan secara non fisik yaitu dengan mengenkrisi informasi rahasia teknik kritografi. Kritografi secara terminologi dasarnya terdiri dari dua tie yaitu kritografi simetrik dan kritografi asimetrik atau sering disebut sebagai kritografi kunci ublik. Kunci simetris adalah jenis kritografi yang aling umum digunakan. Kunci untuk membuat esan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka esan yang disandikan itu. Kunci asimetris meruakan asangan kunci kritografi yang salah satunya digunakan untuk roses enkrisi dan yang satu lagi untuk dekrisi. Contoh algoritme terkenal yang kunci asimetrik adalah skema yang ditemukan oleh ElGamal ada tahun Skema ini didasarkan ada emecahan roblem logaritma diskret. Keamanan algoritme ini sangat tergantung ada emilihan bilangan rima. Semakin besar maka algoritme ini akan semakin aman, akan tetai semakin besar ula beban komutasi yang digunakan. Oleh karena itu ada masa sekarang, orang sudah mulai mencari alternatif lain untuk menggantikan aritmetik modular diantaranya aritmetik yang dibangkitkan struktur finite field GF( ), kurva elitik kritografi, dan hierelitik kritografi.

2 Sebenarnya sudah banyak sekali enelitian tentang GF( ) yang ernah dilakukan, diantaranya adalah aer berjudul Montgomery Multilication in GF(2 k ) menunjukkan oerasi erkalian c = a. b. r dalam field GF(2 k ) dimana r adalah unsur teta dari field daat diimlementasikan lebih ceat dalam erangkat lunak dibandingkan dengan oerasi erkalian standar (Koc, 1998), aer berjudul Analysis and Construction of Galois Field for Efficient Storage Reliability juga menganalisis adanya imlementasi berdasarkan tabel dan teknik otimasi oerasi erkalian dan embagian dalam GF(2 ) (Greenan, 2007), dan thesis berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik GF(2 ) Dengan Oerasi Perkalian Dibangkitkan Dari Sifat Gru Siklik menyebutkan bahwa algoritme aritmetik hasil konstruksi cuku ceat dalam erhitungan komutasinya (Rosdiana, 2009). Dalam thesis ini eneliti mencoba mengkonstruksi aritmetik yang berbeda dari sebelumnya yaitu aritmetik GF(5 ) dan dengan endekatan yang sama dari konstruksi yang telah dilakukan oleh Ibu Sri Rosdiana (2009) yaitu mendefinisikan sekaligus mengkonstruksi GF(5 ) didasarkan ada sifat bahwa GF(5 ) meruakan gru siklik yang dibangkitkan dari akar rimitif. Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi finite field GF(5 ) dengan memerhatikan segi keceatan dan kaasitas memori yang digunakan. II. Landasan Teori Teorema 1. Misal x yaitu olinomial irredusibel berderajat n atas Z. GF( ) = a + a x + + a x a, a,, a εz meruakan field. Teorema 2. GF( ) meruakan gru siklik multilikatif ber order 1. Teorema 3. Sembarang GF( ) memuat suatu unsur rimitif atau akar rimitif. Definisi 4. olinomial minimum dari c atas M x Z meruakan olinomial monik berderajat terendah dengan koefisien dari Z sehingga M c 0. Teorema 5. Misalkan m(x) adalah olinomial minimum dengan unsur α dalam finite field GF( m ). Maka (i) m(x) irredusibel (ii)jika α akar dari olinomial f(x) dengan koefisien didalam GF (), maka m(x) membagi f(x) (iii) (iv) m(x) membagi x x derajat m(x) m (v) Polinomial minimum berunsur rimitif dari GF( ) yang berderajat m meruakan olinomial rimitif. Teorema 6. Semua field hingga ber order adalah isomorfik. Teorema 7. Untuk sembarang rima dan bilangan bulatm 1, maka ada tunggal

3 field ber order yang dinotasikan dengan GF( ). Lemma 8. Jika n, r, s bilangan bulat s r dengan n 1, r 1, s 1, maka n 1 n 1 jika dan hanya jika s r. Teorema 9. r i) GF memuat sub field (isomorfik s dengan ) GF jika dan hanya jika s r. r s ii) Jika c GF, maka c GF jika dan hanya jika sembarang field jika 0 atau 1. 2 c s c c. Untuk c, maka c yaitu Teorema 10. x x = erkalian semua olinomial monik, irredusibel atas derajatnya membagi m. Z yang Teorema 11. Jika adalah rima dan m adalah intejer ositif, maka berlaku : 1) Produk dari semua olinomial irredusibel monik dalam Ζ [x] yang derajatnya membagi m atau faktor dari m sama dengan x x. 2) Misalkan f(x) adalah olinomial berderajat m dalam Ζ [x], maka f(x) irredusibel atas Ζ [x] jika dan hanya jika hanya jika untuk setia 1 i t berlaku x 1(mod f(x)) III. Hasil dan Pembahasan Untuk mengkonstruksi aritmetik GF (5 m ) dalam enelitian ini langkah ertamanya adalah dengan memilih olinomial rimitif berderajat m atas Z 5, misal M(x) Z [x] dimana M(x) = a + a x + +a x sehingga dieroleh unsur rimitif α dengan M(α) = 0. Kemudian, tentukan basis dari GF(5 m ) sebagai ruang vektor atas Z 5, yaitu {1, α 1, α 2,, α m- 1 }. Dengan demikian, dieroleh himunan GF(5 ) = {a + a α + a α a, a,, a GF(5)}. Kemudian semua unsur dari GF(5 ) direresentasikan ke dalam bentuk ruang vektor berdimensi m atas Z. Bagaimana memilih olinomial rimitif? Polinomial rimitif adalah olinomial irredusibel yang akarnya adalah generator dari GF(5)*. Oleh karena itu, dierlukan emilihan olinomial irredusibel terlebih dahulu. gcd f(x), x x = 1, untuk setia 1 i Teorema 12. Misalkan adalah bilangan rima dan misalkan memunyai faktorfaktor rima yang berbeda dari m -1 adalah r 1, r 2,, r t maka olinomial irredusibel f(x)εgf()[x] adalah rimitif jika dan

4 Algoritme 1. Pengetesan olinomial irredusibel Deskrisi : Mengetes Vektor Aakah Irredusibel atau Redusibel Inut : Vektor A Outut : True atau False 1. a = banyaknya unsur A 1, m = (a/2) dibulatkan ke bawah 2. W = [0, 1] 3. Untuk I dari 1 samai m, lakukan secara berulang : 3.1. W = W angkat 5 modulo A 3.2. U= Jumlahkan W dengan [0, 4] 3.3. H = FPB(U,A) 3.4. h = banyaknya unsur H 3.5. jika h > 1, maka return(false) 4. Return (True) Setelah kita mendaatkan olinomial irredusibel, kemudian memeriksa aakah olinomial irredusibel yang didaatkan tersebut meruakan olinomial rimitif atau bukan. Untuk memeriksa olinomial irredusibel adalah rimitif, digunakan Algoritme 2. Algoritme 2. Pengetesan olinomial Deskrisi Inut Outut rimitif : Mengetes Vektor Irredusibel Aakah Primitif atau Bukan : Vektor A : True atau False 1. m = banyaknya unsur A 1, h = 5 m 1 2. F = faktorkan h 3. a = banyaknya unsur F 4. Untuk i dari 1 samai a, lakukan secara berulang 4.1. k = h/i 4.2. H = [0, 1] angkat k modulo A 4.3. Jika H = [1], maka return(false) 5. Return(True) Untuk memerceat komutasi, diilih olinomial rimitif yang bersuku terkecil. Hal ini sangatlah beralasan, sebab oerasi ada finite field GF(5 ) dilakukan dalam modulo f(x), dimana f(x) meruakan olinomial rimitif. Dengan memilih olinomial rimitif bersuku terkecil akan mengakibatkan roses komutasi yang dijalankan lebih ceat dibandingkan dengan olinomial rimitif biasa. 1. Penjumlahan Polinomial Algoritme 3. Penjumlahan Deskrisi : Menambahkan olinomial vektor A dan B dalam modulo 5 vektor B = [b, b,, b ], dan intejer ositif m Outut : Vektor C = [c, c,, c ] 1. Tentukan vektor A, dan vektor B 2. Jika A = [0], maka C = B 3. Jika B= [0], maka C = A 4. Jika s=t, maka 4.1. C = {[(a + b )mod 5, (a + b )mod 5,, (a + b )mod 5]} 4.2. Lakukan reduksi nol dengan algoritme 4 5. Jika s < t, maka 5.1. C = {[(a + b )mod 5, (a + b )mod 5,, b mod 5]} Lainnya C = {[(a + b )mod 5, (a + b ) mod 5,, a mod 5 6. Return (C) Keistimewaan Algoritme ini adalah ada setia melakukan oerasi selalu melibatkan Algoritme Reduksi Nol. Algoritme Reduksi Nol daat mengurangi jumlah oerasi ada konstruksi algoritme-algoritme aritmetik berikutnya sehingga secara

5 otomatis akan mamu memerceat roses komutasi. Hal ini mengakibatkan banyaknya oerasi ada Algoritme 4 ini daat diminimalkan sehingga akan memerceat roses komutasinya. Algoritme 4. Algoritme Reduksi Nol Deskrisi : Mereduksi nol ada osisi sebelah kanan Inut : Vektor T dan bilangan osotof t. Outut : Vektor R 1. T = R, t = banyaknya unsur T 2. Untuk j selama T[t] = 0 dan t >1, lakukan berulang 2.1. Ganti unsur ke-j dari vektor T dengan himunan kosong 2.2. t = t Return (R) Algoritme Reduksi Nol di atas jika digunakan ada sebuah algoritme daat mengurangi jumlah oerasi ada algoritme itu sendiri sehingga secara otomatis akan mamu memerceat roses komutasi. 2. Perkalian Polinomial Algoritme 5. Keliatan vektor Algoritme 6. Geser satu Deskrisi : Menggeser vektor A satu langkah dan intejer ositif m Outut : Vektor C 1. L = DatP[m] 2. t = banyaknya unsur vektor A 3. Jika t < m, maka tambahkan 0 di sebelah kiri ada vektor A, selainnya : 4. Tambahkan 0 di sebelah kiri ada vektor A yang telah direduksi ada unsur ke-m 5. Lakukan reduksi nol Algoritme 3 6. Liatkan vektor L dengan unsur ke-t ada vektor A Algoritme 5 7. Jumlahkan hasil dari langkah ke-5 dengan hasil dari langkah ke-6 Algoritme 4 8. Return(C) Keistimewaan dari algoritme ini adalah hanya mengubah strukturnya saja dan menggeser bersifat konstan. Oleh karena itu aabila digunakan ada suatu algoritme akan memerceat algoritme tersebut. Deskrisi : Mengalikan vektor A dengan skalar n dan intejer ositif n ε {0, 1,..., 4} Outut : Vektor C 1. Jika n = 0, maka return([0]) 2. Jika n = 1, maka return(a) 3. Selainnya C = (n A)mod 5 4. Return (C)

6 Algoritme 7. Perkalian Polinomial Deskrisi : Mengalikan dua vektor, kemudian hasil erkaliannya dimoduluskan dengan vektor rimitif P vektor B = [b, b,, b ], dan intejer ositif m Outut : Vektor R = [r, r,, r ] dan c = nos(r). 1. Tentukan vektor A, vektor B, s = banyaknya unsur A, dan t = banyaknya unsur B 2. Jika A = [0], atau B= [0], maka return([0]) 3. Jika s < t, maka 3.1. S=B, T=A, a=s, s=t, t=a 3.2. R= Liatkan vektor T dengan (o(1,s)) algoritme Untuk j dari 1 samai (s 1 ), lakukan T = Lakukan Geser satu dengan algoritme V = Liatkan vektor T dengan (o(j+1,s)) algoritme R = Jumlahkan vektor R dan V dengan algoritme 4 secara rekursif 4. Return (R) Karena ada algoritme ini melibatkan Algoritme Keliatan Vektor, Algoritme Geser Satu, dan Algoritme Penjumlahan yang melibatkan Algoritme Reduksi Nol maka daat dikatakan bahwa algoritme ini cuku baik karena tidak membutuhkan ruang yang cuku besar dan roses komutasinya cuku ceat. 3. Invers Polinomial Algoritme 8. Negasi vektor Deskrisi : Mengubah vektor A dengan negasinya Outut : Vektor C = [c, c,, c ] 1. Petakan unsur x ada vektor A dengan x 2. Return (C) Algoritme 9. Pembagian olinomial Deskrisi : tana Membagi modulo dua olinomial m tana modulo m Inut : Vektor T dan vektor S Outut : Vektor C = [Q, R] dimana vektor Q sebagai hasil embagian dan vektor R sebagai sisa embagian 1. Jika S=[0], maka false 2. R=T; Q=[0]; r = banyaknya unsur T; s = banyaknya unsur S; g = unsur ke-s dari vektor S 3. Jika s = 1, maka 3.1. Q = liatkan vektor R dengan oeran S 3.2. R = [0] 3.3. Return ([Q, R]) 4. Untuk i selama r s, lakukan 4.1. k = r s; t = unsur ke-r dari vektor R 4.2. h = ( t*g) mod jika k = 0, maka K = liatkan vektor S dengan h Q = jumlahkan vektor Q dengan [h] 4.4. Selainnya H = liatkan vektor S dengan h K = [seq(0,j=1..k),o( H)] Q = jumlahkan (Q,[seq(0,j=1..k),h ]) 5. K = negasikan vektor K 6. R = jumlahkan vektor K dan vektor R 7. Return ([Q, R])

7 Algoritme 10. Invers Polinomial Deskrisi : Invers olinomial dari suatu bilangan bulat m Inut : Vektor T = [t, t,, t ], dan intejer ositif m Outut : Vektor H = [h, h,, h ] dan r = nos(c). 1. S = Negatifkan vektor (DatP(m)) algoritme 5 2. Jika T = [0], maka salah 3. Jika banyaknya unsur T = 1, maka return (T) 4. RA = [o(s), seq(0, j = 1 (m t)), 1]; RB = T; QA = [0]; QB = [1]; 5. L = Bagi vektor RA dan RB algoritme 9 6. RA = RB 7. RB = Oeran kedua dari L 8. Untuk i selama RB tidak nol, maka lakukan langkah berikut berulang-ulang 8.1. Tm = QA; QA = QB 8.2. H = Kalikan vektor QB dengan o(1,l) algoritme R = Negasikan vektor H algoritme QB = Jumlahkan vektor Tm dengan vektor R algoritme L = Lakukan embagian vektor RA dengan vektor RB algoritme RA = RB; RB = oeran kedua dari L 9. H = Liatkan vektor QB dengan o(ra) algoritme Return (H) 4. Pembagian Polinomial Algoritme 11. Pembagian Polinomial Deskrisi : Membagi dua olinomial dengan modulo m vektor B = [b, b,, b ], dan intejer ositif m Outut : Vektor C = [c, c,, c ] 1. ib = Inverskan vektor B algoritme Kalikan vektor A dengan vektor ib algoritme 7 3. Return (C) Algoritme Pembagian Polinomial ini hanya melibatkan Algoritme Invers Polinomial dan Perkalian Polinomial yang didalamnya melibatkan oerasi reduksi nol dan keliatan vektor yang tentunya membutuhkan ruang yang sedikit dan berakibat ada semakin ceatnya roses komutasi yang dijalankan. 5. Eksonen Polinomial Algoritme 12. Eksonen Polinomial Deskrisi : Mengeksonensialkan olinomial dalam modulo m intejer x dan intejer ositif m Outut : Vektor H = [h, h,, h ] 1. = 5 m 1 2. k = moduluskan (x, ) Algoritme Jika k 0, maka 3.1. X = konversi nilai k dalam basis 2; t = banyaknya unsur X 3.2. G = A; H = [1] 3.3. Jika X 1 = 1, maka H = G 3.4. Untuk i mulai dari 2 samai t, lakukan G = kalikan vektor G dengan G Algoritme Jika X i = 1, maka H = kalikan vektor H dengan G Algoritme 7 4. n = -k 5. X = konversi nilai n dalam basis 2; t = banyaknya unsur X 6. G = inverskan vektor A dengan Algoritme 10; H = [1] 7. Jika x 1 = 1 maka H = G 8. Untuk i mulai dari 2 samai dengan t, lakukan 8.1. G = kalikan vektor G dengan G Algoritme Jika X i = 1, maka H = kalikan vektor H dengan G Algoritme 7 9. Return (H)

8 Algoritme 13. Modulus bilangan negatif Deskrisi Inut Outut IV. Kesimulan Dari hasil enelitian yang telah dilakukan dieroleh kesimulan : 1. Finite field GF(5 ) dikonstruksi dari olinomial rimitif. Untuk mengkonstruksi algoritme aritmetik GF(5 ) diilih olinomial rimitif yang bersuku terkecil, hal ini akan mengakibatkan roses komutasi yang dijalankan lebih ceat dibandingkan dengan olinomial rimitif biasa. 2. Algoritme Reduksi Nol digunakan untuk mengurangi jumlah oerasi ada sebuah algoritme. Algoritme ini digunakan ada Algoritme Penjumlahan, Algoritme Penjumlahan digunakan dalam Algoritme Perkalian, : Membagi dua olinomial dengan modulo m : integer ositif m dan a : integer b 1. Hitung b = a mod m 2. c = (m/2), hasilnya dibulatkan ke bawah 3. Jika b > c, maka 3.1. b = (m b) 4. Return(b) Algoritme Penjumlahan dan Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 3.Algoritme Geser Satu mamu memerceat roses kerja suatu algoritme, karena ada algoritme ini hanya mengubah strukturnya saja dan menggeser bersifat konstan. Algoritme ini digunakan ada Algoritme Perkalian, Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 4. Algoritme aritmetik hasil konstruksi tidak membutuhkan ruang yang besar sehingga cuku ceat dalam komutasinya karena yang diakai sebagai modulo digunakan olinomial rimitif bersuku terkecil, melakukan reduksi nol yang berfungsi mengurangi jumlah oerasi dalam algoritme, dan oerasi geser satu. V. Daftar Pustaka Cohen, Henri and Gerhard Frey.(2006). Handbook of Ellitic and Hyerellitic Curve Crytograhy. Chaman & Hall/CRC. Dummit;, D. S. and R. M. Foote. (1999). Abstract Algebra, john Wiley and Sons, Inc. Gallian, J. A. (1998). Contemorary Abstract Algebra, Houghton Mifflin Comany. Guritman, S. (2004). Struktur Aljabar. Huffman, W. Carry and Vera Pless (2003). Fundamentals of Error-Correcting Codes. Cambridge University Press. Koc, K. Cetin, Acar, Tolga. Montgomery Multilication in GF(2 k ). Designs, Codes and Crytograhy 14(1), Menezes, A., P. v. Oorschot, et al. (1996). Handbook of Alied Crytograhy, CRC Press. Pless, Vera (1990). Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes, Second Edition. John Willey & Sons, Inc. Rosdiana, Sri (2009). Konstruksi Algoritme Aritmetik GF(5 ) Dengan Oerasi Perkalian Dibangkitkan Dari Sifat Gru Siklik. Tesis