LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA

Transkripsi

1 Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U U n. Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sigma sebagai berikut: 2. n U 1 + U 2 + U U n = i = 1 U i Contoh: 5 1) i i = 1 artinya ) (2 i + 3) artinya i = 3 3) 4 i = 1 (2 i 1) artinya Sifat-sifat Notasi Sigma Jika c adalah konstanta dan X dan Y adalah peubah, maka:

2

3

4

5 B. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dalam matematika ada beberapa bentuk pembuktian, yaitu: 1. Pembuktian langsung 2. Pembuktian tidak langsung 3. Pembuktian Induksi Matematika 1. Pembuktian Langsung Pembuktian kebenaran teorema yang berbentuk implikasi p q, dengan asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Pembuktian langsung dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung bentuk ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Contoh 1: Buktikan: sin 2 x + cos 2 x = Pembuktian induksi matematika Pembuktian secara induksi matematika, digunakan untuk pembuktian yang nilai variabelnya merupakan bilangan asli. Perhatikan penentuan formula jumlah dari n suku pertama bilangan (2n 1), dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini: Penentuan formula dari bentuk di atas menggunakan prinsip induksi matematika. C. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Prinsip induksi matematika: 2. Pembuktian Tak Langsung Bukti taklangsung adalah membuktikan kebenaran suatu implikasi p q melalui kontraposisi ~q ~ p. Contoh 2: Buktikan bahwa n = tidak terdefinisi. 0 Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa: (3n 1) = 1 2 n (3n+1) 5

6 Contoh 4: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n anggota bilangan asli (5 2n + 3n 1) habis dibagi Deret Kuadrat n Bilangan Asli (deret persegi) Deret: n 2 = n i=1 i 2 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n n+1 (2n+1) n 2 = 6 D. DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli Deret: n = n i=1 i Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n = 1 2 n (n+1) Contoh 5: Tentukan nilai dari: a =. 10 b. i=1 i 2 = 6

7 3. Deret Kubik n Bilangan Asli Deret: n 3 = n i=1 i 3 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n 3 = n n Deret Bilangan Persegi Panjang Deret: n (n+1) = n i(i + 1) i=1 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n n+1 (n+2) n (n+1) = 3 Contoh 6: Tentukan nilai dari: a =. Contoh 7: Tentukan nilai dari: a =. 9 b. i=1 i 3 = 5 b. i=1 i(i + 1) = 7

8 Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi matematika masing-masing pernyataan berikut: a n = n 2 + n n 2n 1 (2n+1) c (2n 1) 2 = 3 2n n+1 (2n+1) b (2n) 2 = 3 d (2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1) 8

9 e (2n) 3 = 2n 2 (n+1) 2 2. Hitunglah: a = b = f = 1 2 n 2 n c = d = 9

10 e. 10 p=1 (2p 1) 3 4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai (3 2n 1) habis dibagi 8. 9 f. i(i + 1) i=5 =. 3. Buktikan bahwa setiap bilangan asli n, nilai 5 2n 1 habis dibagi Buktikan bentuk notasi sigma: a. 10

11 b. d. c. 6. untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2 n > n. 11

12 7. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan bulat positif n. 12