Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )

Transkripsi

1 Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( ) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang

2 Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Malang Abstract: The real analysis is a branch of mathematics that discusses analysis of the set of the real numbers and functions in real numbers. The discussion in this study will focus on algebraic properties of real numbers that will be used to prove the basic theorems existing in the real number system. Keywords: algebraic properties, theorems Abstrak: Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan rill dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Pembahasan dalam kajian kali ini akan menitik beratkan pada sifat-sifat aljabar bilangan riil yang akan digunakan untuk membuktikan teorema-teorema dasar yang ada dalam sitem bilangan riil. Kata kunci: sifat-sifat aljabar, teorema, I. Pendahuluan Bilangan riil merupakan sekumpulan bilangan rasional dan irasional. Dengan kata lain, bilangan riil adalah bilangan yang dapat berkoresponden satusatu dengan sebuah titik pada garis bilangan. Pada garis bilangan tersebut terdapat titik asal yang diberi lambang 0 (nol) sebagai titik awal untuk mengukur jarak ke arah kanan atau kiri. Pada sitem bilangan riil terdapat dua operasi biner yang dinotasikan dengan penjumlahan + dan perkalian. (Riyanto, 2008). Sesuai dengan namanya, pembicaraan dalam sistem bilangan riil himpunan semestanya mencakup semua bilangan riil yang ada. Bilangan riil sebagai sebuah sistem bilangan tentunya mempunyai sifatsifat unik dan khas. Sifat-sifat tersebut didapatkan setelah melakukan pengamatan dan kajian, sehingga didapatkan sifat-sifat umum bilangan riil. Sifat-sifat bilangan

3 riil merupakan suatu konsep yang sangat penting sebagai fondasi mempelajari konsep bilangan riil lebih lanjut. Berdasarkan sifat-sifat dasar ini, nantinya dikembangkan menjadi teorema-teorema yang tentu sangat berguna dalam mempelajari analisis riil secara integral. Oleh karena itu, pada kajian kali ini penulis mengambil pokok bahasan mengenai teorema dasar aljabar dalam bilangan riil. Berdasarkan latar belakang yag telah dijelaskan maka rumusan masalah yang diangkat dalam kajian ini adalah Bagaimana teorema-teorema dasar aljabar pada sistem bilangan riil?. Tujuan penulisan kajian ini adalah menggunakan sifat-sifat aljabar dalam membuktian teorema-teorema dasar aljabar yang selanjutnya bisa digunakan dalam membuktikan persoalan-persoalan yang lebih kompleks. Lebih lanjut diharapkan penulisan kajian mengenai teorema dasar aljabar ini bisa dijadikan referensi tambahan bagi semua pihak yang sedang mempelajari analisi riil. Karena keterbatasan penulis, baik waktu dan tenaga maka dalam kajian ini penulis hanya membahas tiga teorema dasar. II. Kajian Pustaka William (2003) memberikan penjelasan jika penting memahami sifat-sifat dasar aljabar sebagai langkah awal dalam mempelajari analisis real, berikut sifatsifat dasar yang dimaksud: (A1) a b b a untuk semua a,b (sifat komutatif penjumlahan) (A2) (a b) c a (b c) untuk semua a,b, c (sifat assosiatif penjumlahan) (A3) Terdapat 0 sedemikian hingga 0 a a dan a 0 a untuk semua a (eksistensi elemen nol/ identitas penjumlahan) (A4) untuk setiap a terdapat a sedemikian hingga a ( a) 0 dan ( a) a 0 (eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan) Riyanto (2008) menyatakan bahwa himpunan bilangan riil mempunyai dua operasi biner, operasi tersebut dinotasikan dengan simbol + dan. yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan perkalian (multiplication). Sifat-sifat penjumlahan yang dinyatakan Riyanto sama dengan sifat-sifat dasar yang diberikan oleh William, namum Riyanto memberikan tambahan sifat-sifat perkalian dalam operasi bilangan riil. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:

4 (M1) a b b a untuk semua a,b (sifat komutatif perkalian) (M2) (a b) c a (b c) untuk semua a,b, c (sifat assosiatif perkalian) (M3) terdapat 1 sedemikian hingga 1 a a dan a 1 a untuk semua a (eksistensi elemen unit 1) (M4) untuk setiap a, a 0 terdapat R sedemikian hingga (eksistensi invers perkalian) (D) a (b c) (a b) (a c) dan (b c) a (b a) (c a) untuk semua a,b,c (sifat distributif perkalian atas penjumlahan) Sifat-sifat diatas secara umum dapat diklasifikasikan menjadi tiga kelompok. Sifat (A1) sampai (A4) merupakan sifat-sifat dari operasi penjumlahan sifat (M1) sampai (M4) merupakan sifat-sifat operasi perkalian dan sifat (D) merupakan sifat gabungan dari penjumlahan dan perkalian. III. Pembahasan Berdasarkan sifat-sifat yang ada dalam bilangan riil, maka dapat dikembangkan beberapa teorema. Berikut adalah teorema mengenai penjumlahan dan perkalian elemen 0 dan 1. Teorema 1. (a) Jika z, dengan z a a, maka z 0. (b) Jika u dan b 0 elemen dengan u b b, maka u 1. (c) Jika, maka a 0 0 Bukti teorema I a. Berdasarkan sifat identitas penjumlahan (eksistensi elemen 0) diperoleh ( ) (diketahui) (invers penjumlahan) Jadi terbukti jika z, dengan z a a, maka z 0

5 b. Berdasarkan sifat identitas pada pekalian didapatkan ( ) Jadi terbukti jika u dan b 0 elemen dengan u b b, maka u 1 c. (identitas perkalian) maka Jadi terbukti jika, maka a 0 0 Teorema 2. Jika a. b. c. Berikut akan diberikan bukti teorema 2 a. Berdasarkan teorema 1c dan sifat invers pada penjumlahan diketahui. dan maka ( ) (sifat invers penjumlahan) Maka, Jadi terbukti

6 b. Misal maka Jadi Berdasarkan teorema 1c maka ( ) ( ) ( ) ( Maka jadi terbukti. c. Berdasarkan teorema 1c. dimisalkan maka ( ) Jadi terbukti jika. Teorema 3. a. Jika b. Jika c. Jika Berikut akan diberikan bukti dari teorema 3. a. Akan dibuktikan ( ) Jadi terbukti jika

7 b. Akan dibuktikan, ) Jadi terbukti jika c. Berikut bukti dari, Dengan cara yang sama kedua ruas dikalikan maka diperoleh a=0 Jadi terbukti jika IV. Kesimpulan dan Saran Sifat-sifat atau aksioma aljabar yang terdapat pada bilangan riil dapat dikembangkan menjadi teorema-teorema yang berlaku secara umum dalam sistem bilangan riil. Nantinya, teorema-teorema yang telah dikembangkan bisa membantu dalam pembuktian persoalan analisis riil yang lebih kompleks. Bahan ajar mengenai matematika khususnya tentang analisis riil dalam bahasa Indonesia masih cukup sulit ditemui, oleh karena itu dalam penulisan materi mengenai analis riil bisa di tambahkan dengan beberapa contoh soal dan pembuktiannya. Hal ini diharapakan bisa menjadi tambahan wawasan dan keterampilan bagi orang yang sedang mempelajari analisis riil.

8 V. Daftar Pustaka Riyanto, Zaki., M, (2008). Pengantar Analisi Real I. From 14 Juli 2015 Trech, William F. (2003) Introduction to Real Analysis. Texas: Trinity University