Hasil Kali Dalam Berbobot pada Ruang L p (X)

Transkripsi

1 Hasil Kali Dalam Berbobot ada Ruang L () Muhammad Jakfar, Hendra Gunawan, Mochammad Idris 3 Universitas Negeri Surabaya, muhammadjakfar@unesa.ac.id Institut Teknologi Bandung, hgunawan@math.itb.ac.id 3 Universitas Lambung Mangkurat, mochidris@students.itb.ac.id Abstrak. Telah diketahui bahwa ruang L () untuk dengan norm baku L bukan meruakan ruang hasil kali dalam. Di sini, akan ditunjukkan bahwa terdaat hasil kali dalam berbobot yang terdefinisi ada L () untuk >. Akibatnya, daat dikatakan bahwa ruang L () untuk > dengan hasil kali dalam berbobot tersebut meruakan ruang hasil kali dalam. Kemudian diselidiki asek toologi dari ruang L () untuk > dengan hasil kali dalam berbobot, terutama mengenai kelengkaannya. Selanjutnya, dieroleh hasil berua enjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhada suatu bobot. Kata Kunci: Bobot, hasil kali dalam, ruang L (), ruang bernorma. Pendahuluan Pada tahun 9, Hilbert memerkenalkan suatu ruang yang dinamakan ruang hasil kali dalam. Ruang tersebut telah menjadi ruang yang memiliki banyak alikasi, khususnya dalam ranah analisis fungsional. Hal ini dikarenakan dalam ruang tersebut kita daat berbicara beberaa konse seerti anjang suatu vektor, sudut antara dua vektor, ortogonalitas dua vektor, dan lainnya. Setia ruang hasil kali dalam asti meruakan ruang bernorma []. Tetai tidak semua ruang bernorma meruakan ruang hasil kali dalam, Contohnya adalah Ruang Lebesgue yang dinotasikan L () []. Ruang L () untuk dengan norm baku yang didefinisikan sebagai f = ( f dμ) bukan meruakan ruang hasil kali dalam, dikarenakan normnya tidak memenuhi aturan jajar genjang []. Sebagai ruang berdimensi tak hingga, L () daat dilengkai norm lain yang tidak ekuivalen dengan norm []. Muncul ertanyaan aakah daat didefinisikan norm yang memenuhi aturan jajar genjang ada ruang L ()? Tujuannya adalah jika daat memenuhi aturan jajar genjang maka daat didefinisikan hasil kali dalam ada ruang L (), sehingga daat ula didefinisikan ortogonalitas dan konse-konse lain ada ruang ini. Dalam makalah ini, kita akan mengkonstruksi dan memerkenalkan hasil kali dalam berbobot ada ruang L () untuk >. Kita juga akan mendiskusikan sifat-sifat norm tersebut dan hubungannya terhada norm baku ada L P ().

2 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya Seanjang makalah ini, diasumsikan bahwa L () adalah ruang vektor real. Norm ada L () adalah emetaan : L () R sehingga untuk setia f, g L () dan skalar α R berlaku () f 0 dan f = 0 jika dan hanya jika f = 0 hamir dimana-mana, () αf = α f, (3) f + g f + g. Hasil kali dalam ada L () adalah emetaan, : L () L () R sehingga untuk setia f, g, h L () dan skalar α R berlaku () f, f 0 dan f, f = 0 jika dan hanya jika f = 0 hamir dimana-mana, () f, g = g,f, (3) αf,g = α f, g, (4) f + h, g = f, g + h,g. Hasil Kali Dalam ada Ruang L () Pada bagian ini, kita akan mengkontruksi hasil kali dalam ada ruang L () untuk >. Proses engkontruksiannya, dimulai dari mengamati kasus yang berukuran hingga sehingga dieroleh hasil kali dalam yang terdefinisi ada L () untuk >. Selanjutnya hasil dari kasus tersebut akan dierumum untuk yang berukuran sebarang mungkin berukuran tak hingga) sehingga dieroleh hasil kali dalam berbobot ada ruang L () untuk >. Diakhir bab ini akan dijelaskan juga kaitan hasil kali dalam berbobot terhada suatu bobot.. Hasil Kali Dalam ada Ruang L () untuk berukuran Hingga Pada subbagian ini, kita ingin mendefininisikan hasil kali dalam ada L () untuk > dalam kasus berukuran hingga. Pertama-tama selidiki hubungan inklusi L () L ()(sebagai himunan). Misalkan f L () untuk < <. Karena > maka dengan menggunakan Ketaksamaan Holder [], dieroleh bahwa f = f dμ ( dμ) ( f dμ) f. Begitu juga untuk =, misalkanf L (). Karena f f, maka berlaku = μ() f = f dμ f dμ = ( dμ) f = μ() f. Jadi, jika berukuran hingga, maka untuk setia f L () dengan > asti f L (). Kedua ernyataan inklusi di atas daat dierumum dalam roosisi berikut: Proosisi... Jika berukuran hingga dan q maka L () L q () L () dengan f μ() q q f q, f L q (), dan

3 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya f q μ() q f, f L (). Bukti. Misalkan f L q () untuk q <. Karena q > maka dengan menggunakan Ketaksamaan Hӧlder [], dieroleh bahwa q f = f q dμ ( dμ) ( f q q q dμ) = μ() q f q. Dengan mengambil akar angkat dari ketaksamaan diatas maka q dieroleh f μ() q f q. Akibatnya, f < dan f L (). Begitu juga untuk =, misalkanf L (). Karena f f, maka berlaku f q q = f q dμ f q dμ = ( dμ) f q = μ() f q. Dengan mengambil akar angkat q dari ketaksamaan diatas maka dieroleh f q μ() q f. Akibatnya, f q < dan f L q (). Dari ernyataan hubungan inklusi di atas, dieroleh bahwa L () untuk > termuat dalam L (). Akibatnya, kita juga daat mendefinisikan norm ada L (), yang didefinisikan sebagai f = ( f dμ) dengan f L (). Telah diketahui bahwa norm tersebut memenuhi aturan jajar genjang. Artinya, norm tersebut meruakan norm yang dibangun dari hasil kali dalam, yaitu f, g = fg dμ. Oleh karena itu, sekarang L () untuk > daat diandang sebagai ruang hasil kali dalam. Catatan... Proosisi sebelumnya telah dijelaskan bahwa daat didefinisikan hasil kali dalam ada L () untuk >, yaitu hasil kali dalam,. Akan tetai hasil kali dalam tersebut hanya terdefinisi jika memiliki ukuran hingga. Jika memiliki ukuran tak hingga, contohnya = R, maka kita tidak daat mendefinisikan hasil kali dalam tersebut di L (R). Hal ini dikarenakan hasil kali dalam tersebut tidak terdefinisi ada L (R). Sebagai contoh, misalkan f() = g() = χ [, ) (). Jelas f, g L (R) karena > dan f dμ = g dμ = dμ() <, [, ) tai hasil kali dalam fungsi f dan g bernilai tak hingga, karena fg dμ = dμ() =. [, ) Oleh karena itu, untuk mendefinisikan hasil kali dalam di sini, kita erlu mengkonstruksi hasil kali dalam baru yang akan dijelaskan ada subbagian selanjutnya

4 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya. Hasil Kali Dalam Berbobot ada L () untuk Berukuran Sebarang Pada subbagian ini, akan dikonstruksikan suatu hasil kali dalam dan norm baru ada L () untuk > yang memenuhi Aturan Jajar Genjang. Pada bab sebelumnya kita sudah memiliki hasil kali dalam yang terdefinisi ada L () jika memiliki ukuran berhingga. Karena akan dierluas menjadi ukuran sebarang, maka kita harus memberikan bobot ada hasil kali dalam tersebut. Secara geometri, fungsi dari emberian bobot tersebut adalah membuat seakan-akan berukuran hingga. Dalam hal ini, untuk mendefinisikan hasil kali dalam ada L (), diilih bobot w L s () dengan s = untuk < < sedemikian hingga w() 0;. Khususnya, jika =, maka s = sehingga bobot yang digunakan terdaat di L (). Sekarang, definisikan emetaan,,w yang memetakan f, g L () ke f, g,w = w fg dμ, dan emetaan,w yang memetakan f L () ke f,w = ( w) Untuk selanjutnya, suaya memermudah enulisan notasi s yang didefinisikan sebagai s = {, jika < <, jika =. cuku ditulis sebagai s = dengan >. Daat diselidiki bahwa emetaan tersebut terdefinisi ada L () untuk >. Untuk f, g L (), menggunakan Ketaksamaan Hӧlder dieroleh bahwa f, g,w = w fg dμ ( ( w f ) = ( w f = ( w dμ dμ ) ) dμ ) ( g dμ) ( g dμ) ( f dμ ) ( g dμ) Begitu juga untuk =, misalkan f, g L (). Karena f f dan g g, maka berlaku f, g,w = w fg dμ w f g dμ = ( w dμ) f g. Akibatnya, dua emetaan tersebut terdefinisi ada L () untuk >. Daat diselidiki juga bahwa dua emetaan di atas berturut-turut meruakan hasil kali dalam dan norm yang dibangun dari hasil kali dalam tersebut ada L () dengan >. Pernyatan ini disajikan dalam roosisi berikut. Proosisi... Pemetaan,,w dan,w meruakan hasil kali dalam dan norm ada L () untuk >..

5 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya Bukti. Mudah untuk memeriksa bahwa emetaan,,w memenuhi kondisi (), (), (3) dan (4) ada definisi hasil kali dalam. Sekarang, tinggal menunjukkan bahwa emetaan,w meruakan norm ada L () untuk >. Karena f,w = f, f,w, f L () dan telah diselidiki bahwa,,w meruakan hasil kali dalam, maka secara langsung emetaan,w meruakan norm, yaitu norm yang dibangun dari hasil kali dalam tersebut. Selanjutnya, hasil kali dalam dan norm tersebut berturut-turut kita namakan hasil kali dalam berbobot dan norm berbobot..3 Toologi Ruang L (R) terhada Hasil Kali Dalam Berbobot Pada subbagian ini, akan dikaji lebih khusus mengenai asek toologi ruang L (R) untuk > dengan hasil kali dalam berbobot,,w. Sekarang, dengan adanya hasil kali dalam berbobot ada L (R), kita telah memiliki dua norm disini, yang ertama adalah norm baku dari L (R), yaitu norm, dan yang kedua norm yang dibangun dari hasil kali dalam berbobot, yaitu norm,w. Sebelumnya kita telah memunyai ketaksamaan f,w C w f untuk setia f L (R). Kemudian, aakah kedua norm,w dan tersebut ekuivalen? Jawabannya tidak, sebagaimana dijelaskan oleh roosisi berikut. Proosisi.3.. Misal >. Untuk setia konstanta C > 0 terdaat f L (R) sedemikian hingga berlaku C f > f,w. Bukti. Untuk setia < <, definisikan fungsi f n = χ [n,n+]. Daat diselidiki bahwa untuk setia n N berlaku f n,w = w χ R [n,n+] dμ = w dμ [n,n+] ( w dμ) [n,n+] < (bergantung terhada n), karena w L s (R) dengan s =, dan f n = χ [n,n+] dμ = dμ = < (bebas terhada n). R [n,n+] Begitu juga untuk =, dieroleh f n = ess su{χ [n,n+] } = < (bebas terhada n). Akibatnya, jika n, maka f,w 0 [], sehingga f,w 0 f Jadi, untuk setia konstanta C > 0 dan >, terdaat N N sedemikian hingga untuk setia n N berlaku f,w < C f dengan f n L (R). Catatan 3... Pernyataan Proosisi di atas setara dengan tidak terdaat C > 0 sehingga C f f,w untuk setia f L (R) dengan >. Proosisi di atas menunjukkan bahwa norm baku dengan norm berbobot ini tidak ekuivalen. Ini memungkinkan kita menemukan barisan fungsi di L (R) yang divergen terhada norm, tai konvergen terhada norm,w.

6 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya Catatan di atas menunjukkan bahwa untuk > ruang (L (R), ) memiliki struktur toologi yang berbeda dengan ruang (L (R),,w ). Mengingan ruang (L (R), ) lengka (meruakan ruang Hilbert), muncul ertanyaan aakah ruang (L (R),,w ) juga lengka? Jawabannya tidak, dan dijelaskan dalam roosisi berikut. Proosisi.3.. Misal >. Terdaat barisan Cauchy ada ruang (L (R),,w ) yang tidak konvergen. Proosisi diatas menjelaskan bahwa ruang (L (R),,w ) tidak lengka..4 Keterkaitan Hasil Kali Dalam Berbobot terhada Suatu Bobot Untuk mengetahui enjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhada suatu bobot, kita erlu definisi sebagai berikut yang selanjutnya akan menjadi kriteria atau syarat dari dua bobot yang akan diselidiki hubungan norm bobotnya satu sama lain. Definisi.4.. Misal w, w L (). Kita tuliskan w ~w (w sebanding dengan w ) jika dan hanya jika terdaat C 0 > 0 sedemikian hingga C 0 w () w () C 0 w () hamir di setia. Definisi di atas meruakan kriteria yang digunakan untuk mengetahui keterkaitan hasil kali dalam berbobot terhada suatu bobot. Teorema berikut menjelaskan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhada suatu bobotnya dan sekaligus menjadi salah satu hasil utama dalam enelitian ini. Teorema.4.. Jika f L () dan w, w L s () dengan s = > maka w ~w jika dan hanya jika norm,w ekuivalen dengan norm,w. Bukti. ( ) Misal w ~w maka terdaat C 0 > 0 sehingga w C () 0 w () C 0 w () hamir di setia. Dengan mengintegralkan setia ruas dieroleh C 0 w C 0 w w w C 0 w C 0 w C 0 f,w f,w C 0 f,w ( ) Misalkan untuk setia f L () terdaat C 0 > 0 sedemikian hingga berlaku C 0 f,w f,w C 0 f,w. Untuk setia E dengan μ (E) <, χ E L (). Akibatnya C 0 χ E,w χ E,w C 0 χ E,w dan

7 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 05 5 Aril 05, Universitas Negeri Surabaya ( w C dμ) ( w dμ) C0 ( w dμ) 0 C w dμ w dμ C 0 w dμ. 0 Dengan menggunakan bukti kontradiksi, andai w tidak ekuivalen dengan w. Artinya, μ{ w () > K w () atau w () > K w () } > 0. Definisikan himunan E 0 = { w () > K w () atau w () > K w () }. Pilih E 0 sehingga 0 < μ( ) <. Akibatnya, untuk setia K > 0 berlaku w dμ > w dμ atau w dμ > w dμ Karena K sebarang, maka kontradiksi dengan ernyataan sebelumnya. 3 Kesimulan Dari hasil enelitian ada tesis ini, dieroleh kesimulan bahwa ruang L () untuk > daat dierkenalkan sebagai ruang hasil kali dalam. Hal ini dieroleh karena terdaat suatu hasil kali dalam yang terdefinisi ada L () untuk >, yaitu Bobot w L s () dengan s = f, g,w = w fg dμ, untuk < < sedemikian hingga w() 0;. Khususnya, jika =, maka s = sehingga bobot yang digunakan meruakan anggota L (). Selanjutnya dinamakan hasil kali dalam berbobot. Namun ruang L () yang dilengkai hasil kali dalam tersebut bukan meruakan ruang Hilbert. Hasil utama dari enelitian ini adalah berua enjelasan bagaimana hasil kali dalam berbobot diasosiasikan terhada suatu bobot. Disini, dieroleh kriteria dari dua bobot untuk membandingkan antara dua ruang hasil kali dalam berbobot, yaitu normnya ekuivalen jika dan hanya jika w ~w. 4 Daftar Pustaka [] Kreyszig, E Introductory Functional Analysis with Alications. New York: John Wiley & Sons. [] Stein, E.M., Shakarchi, R Real Analisis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Saces. New Jerse: Princeton Univ. Press.