2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

Transkripsi

1 2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S, *) dan jika S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S, *, o) atau (S, o, *). Definisi 1. Himpunan G dengan operasi biner o disebut grup jika memenuhi semua syarat berikut: G1 G tertutup terhadap operasi o, yaitu a o b G, a, b G. G2 Operasi o bersifat assosiatif, yaitu (a o b) o c = a o (b o c), a, b, c, G. G3 Terdapat elemen identitas e G sedemikian sehingga a o e = e o a = a, a G. G4 Terdapat elemen invers yaitu untuk setiap a G ada elemen a -1 G sedemikian sehingga a o a -1 = a -1 o a = e. Dari Defenisi 1 tersebut, jika himpunan G terhadap operasi o merupakan grup, maka cukup ditulis bahwa (G, o) adalah grup. Demikian pula apabila (G, ) sebuah grup, maka yang dimaksud adalah bahwa G dengan operasi adalah grup. Contoh Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. 2. Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi penjumlahan. 3. Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. 4. Himpunan bilangan real R - {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013

2 5. Himpunan bilangan rasional Q merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. 6. Jika H = {0, 1, 2, 3} dan merupakan penjumlahan pada bilangan bulat modulo 4, maka (H, ) adalah grup. Definisi 2. Grup (G, o) disebut grup komutatif atau grup abel jika operasi o pada grup tersebut bersifat komutatif yaitu a o b = b o a, a, b, G. Contoh 2. Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap penjumlahan iasa (+) merupakan grup dan juga (Z, +) merupakan grup abel karena a + b = b + a, a, b, G. Teorema 1. Jika (G, o) sebuah grup, maka berlaku: 1. G. 2. Elemen identitas e dalam grup G adalah unik (tunggal). 3. Elemen invers dari a yaitu a -1 adalah unik. 4. Sifat kanselasi atau pelenyapan atau penghapusan: a, b, c, G berlaku: a. Jika a o b = a o c maka b = c, disebut kanselasi kiri. b. Jika a o c = b o c maka a = b disebut kanselasi kanan. 5. Jika a dan b adalah unsur-unsur dari grup G maka persamaan-persamaan: a o x = b dan y o a = b masing-masing mempunyai solusi yang unik. 6. Untuk setiap a dan b unsur-unsur dari grup G maka: a. (a -1 ) -1 = a b. (a o b) -1 = b -1 o a -1. Bukti: 1. Jelas G karena terdapat elemen identitas e G. 2. Misalkan elemen identitas di dalam G adalah tidak unik, sebutlah elemen identitas tersebut e dan e 1, dengan e e 1. Maka diperoleh e = e o e 1 = e 1. Hal 2 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013

3 ini bertentangan dengan permisalan di awal bahwa e e 1, sehingga haruslah e = e 1, dan ini berarti bahwa elemen identitas dalam grup G adalah unik. 3. Pembuktiannya sama dengan point Diketahui (G, o) adalah grup. Maka ada a -1 G a G, sehingga a o a -1 = a -1 o a = e, dengan e elemen identitas dari G. a. Dengan demikian, untuk a o b = a o c, maka: a -1 o (a o b) = a -1 o (a o c) a -1 o a o b = a -1 o a o c e o b = e o c b = c Terbukti. b. Dengan cara yang sama maka dapat ditunjukkan kanselasi kanan. 5. Misalkan solusi dari a o x = b tidak unik, sebutlah solusinya itu adalah x 1 dan x 2 dengan x 1 x 2. Karena x 1 dan x 2 masing-masing merupakan solusi dari a o x = b maka diperoleh (i). a o x 1 = b a -1 o a o x 1 = a -1 o b e o x 1 = a -1 o b x 1 = a -1 o b (ii). a o x 2 = b a -1 o a o x 2 = a -1 o b e o x 2 = a -1 o b x 2 = a -1 o b Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa x 1 = x 2. Hal ini kontradiksi dengan permisalan bahwa x 1 x 2. Sehingga haruslah solusi dari a o x = b adalah unik dan solusi dari a o x = b adalah x = a -1 o b. 6. Untuk setiap a dan b unsur-unsur dari grup G maka: a. Akan ditunjukkan (a -1 ) -1 = a. Untuk a G maka terdapat a -1 G sedemikian sehingga a o a -1 = a -1 o a = e, untuk e suatu elemen identitas di G. Karena a -1 G maka ada (a -1 ) -1 G sedemikian sehingga a -1 o (a -1 ) -1 = (a -1 ) -1 o a -1 = e. 3 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013

4 dari kedua persamaan tersebut, maka diperoleh: a -1 o a = a -1 o (a -1 ) -1. Dengan menggunakan Sifat 4.a maka diperoleh a = (a -1 ) -1. Terbukti. b. Ditinggalkan sebagai latihan. Defenisi 3. Order dari suatu grup G adalah banyaknya elemen yang berbeda dari grup G tersebut. Berdasarkan Defenisi 3 maka sebuah grup G disebut grup hingga jika order dari grup G itu hingga, dan grup G disebut grup tak hingga jika order dari grup G tersebut tak hingga. Order dari suatu grup G dinyatakan sebagai o(g) atau #G. Contoh 3. a. Misalkan Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4} merupakan himpunan semua bilangan bulat modulo 5 dan merupakan penjumlahan pada bilangan bulat modulo 5, maka (Z 5, ) adalah grup dan (Z 5, ) merupakan grup hingga karena o(g) = 5. b. Jika Z merupakan himpunan semua bilangan bulat, maka (Z, +) merupakan grup tak hingga karena o(z) adalah tak hingga. 4 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013

5 Sumber [1]. Durbin, John R., 2005., Modern Algebra: An Introduction 5 th Edition, John Wiley & Sons, Inc.; New York. [2]. Susanto, Hery., 2002., Pengantar Teori Grup, Departemen Pendidikan Universitas Negeri Malang FMIPA Jurusan Matematika, Malang [3]. Wahyudin., 2000., Pengantar Aljabar Abstrak, CV. Delta Bawean; Bandung. 5 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013