PERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION. Orgenes Tonga
|
|
- Glenna Widjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PERSAMAAN DIOPHANTINE KUADRATIK x 2 (t 2 + t)y 2 (6t + 4)x + (6t 2 + 6t)y = 0 (t ) QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATION x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 (t ) Orgenes Tonga Pascasarjana Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar Alamat Korespondensi: Orgenes Tonga SMAN 2 Binsus Tobelo Halmahera Utara, orgenest@yahoo.com
2 2 Abstrak Misalkan t merupakan bilangan bulat positif. Akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell x (t + t)y =, yang dapat dipakai untuk menentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell u (t + t)v = 32t + 4. Selanjutnya akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0. Diperoleh beberapa rumus dan hubungan rekurensi dalam solusi bilangan bulat positif (x,y ) dari persamaan Diophantine Kata Kunci: Persamaan Pell, Persamaan Diophantine Abstract Let t be positive integer. Will be determined of positive integer solution of Pell equation x (t + t)y =, which can weared to determine positive integer solution of Pell equation u (t + t)v = 32t + 4. Hereinafter will be determined positive integer solution of Diophantine equation x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0. Obtained some formula and recurrence relation in positive integer solution (x, y ) of Diophantine equation Keyword: Pell equation, Diophantine equation.
3 3 PENDAHULUAN Pencarian solusi fundamental (mendasar) persamaan Pell klasik x dy = telah dilakukan sebelumnya dengan metode siklik oleh Bhascara (Edwards, 977), dengan metode faktorisasi oleh Fermat dan dengan metode reduksi oleh Lagrange (Jacobson, 2009), namun prosesnya kurang efisien. Selanjutnya pencarian solusi dengan metode fraksi kontinu berhingga sederhana pada ekspansi (penjabaran) d pencarian solusi fundamental ternyata lebih efisien (Baltus, 2007, dan Seung, 2008). Persamaan Diophantine memiliki berbagai generalisasi. Dalam pengembangan selanjutnya, telah dilakukan pencarian solusi persamaan Diophantine yang melibatkan fraksi kontinu dengan ekspansi bilangan real t + t pada persamaan x dy = 2 (Tekcan dkk., 2007), dan pada persamaan x (t + t)y (4t + 2)x + (4t + 4t)y = 0 (Ozkoc and Tekcan, 200), serta ekspansi bilangan real t t pada persamaan x (t t)y (4t 2)x + (4t 4t)y = 0 (Tekcan and Ozkoc, 200) dan pada persamaan x (t t)y (6t 4)x + (6t 6t)y = 0 (Chandoul, 20). Selanjutnya, akan dibahas algoritma pencarian solusi persamaan Pell pada penyelesaian suatu persamaan Diophantine: x (t + t)y = (.), u (t + t)v = 32t + 4 (.2), x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 (t ) (.3). BAHAN DAN METODE Fraksi Kontinu Periodik dan Bilangan Berbentuk t 2 + t Dikatakan, C I merupakan suatu fraksi kontinu periodik jika C = [a ; a, a,, a, a],,, (2.) dimana bentuk a,,, menandakan bahwa barisan (a, a,, a ) berulang periodik, dan r disebut periode dari fraksi kontinu. Pendekatan fraksi kontinu pada bilangan real t + t sebelumnya telah dibahas dalam pencarian solusi persamaan x dy = 2 dengan mengekpansikan d = t + t sebagai fraksi kontinu (Tekcan dkk., 2007). Definisi (Irasional Kuadratik): Anggap α merupakan bilangan irasional. α disebut irasional kuadratik jika α merupakan akar dari persamaan kuadratik ax + bx + c = 0 untuk a, b, c Z. Selanjutnya akar yang lain β, disebut konyugat dari α.
4 4 Definisi 2 (Irasional Kuadratik Tereduksi): Anggap α adalah irasional kuadratik dan β adalah konyugatnya. α disebut irasional kuadratik tereduksi jika α > dan < β < 0. Definisi 3 (Periodik Murni): Suatu fraksi kontinu [a],,, disebut periodik murni jika berlaku a = a, a = a, a = a,, a = a. Dengan demikian maka fraksi kontinu [a],,, = [a ; a],,, = = [a ; a,, a, a].,,, Teorema 2.(Teorema Galois): Anggap α adalah bilangan irasional. Suatu α adalah periodik murni jika dan hanya jika α irasional kuadratik tereduksi. Jika α = [a],,, dan β adalah konyugatnya maka = [a ].,, a, a Teorema 2.2: (Niven, 99) Setiap bilangan irasional kuadratik merupakan suatu fraksi kontinu periodik sederhana, dan setiap fraksi kontinu periodik sederhana merupakan suatu bilangan irasional kuadratik. Algoritma 2.: Misalkan x merupakan suatu bilangan irasional kuadratik dengan x = x = d, maka x dapat dijabarkan dengan algoritma sebagai berikut:. Input: x = d (d bukan kuadrat sempurna), f = 0, h =. 2. a = x, k = 0,,2, (2.2) 3. f = a h f, k = 0,,2, (2.3) 4. h =, k = 0,,2, (2.4) 5. x =, k = 0,,2, (2.5) Dari algoritma dapat disimpulkan d I, dan f, h Z. Lemma 2.: Misalkan diberikan d I maka: d = [a ; a],,,, 2a (2.6) dengan d = a untuk suatu r N.
5 5 Bukti: Anggap bahwa α = d + d > dan < β = d d < 0 sehingga (x α)(x β) = x (α + β)x + (αβ) = x 2 dx + ( d d) merupakan persamaan kuadratik bilangan bulat (polinom bilangan bulat berderajat dua). Sehingga α dan β adalah irasional kuadratik dan salah satunya adalah konyugat. Selanjutnya α adalah irasional kuadratik tereduksi. Berdasarkan teorema Galois, α adalah periodik murni. Sehingga karena d = a maka α = d + d = 2 d, a, a,, a d + d = 2 d; a, a,, a, 2 d d = 2 d; a, a,, a, 2 d d d = d; a, a,, a, 2 d d = [a ; a],,,, 2a Berdasarkan Algoritma 2. untuk bilangan irasional x = d terdapat f = 0 dan h =, dan dengan menghubungkan Lemma 2. untuk bilangan irasional d sebagai fraksi kontinu periodik terdapat r N sebagai periode dari d. Jadi h = h = = h = untuk setiap i N. Dengan demikian, jelas bahwa h = jika dan hanya jika r k, dan h untuk semua k. Sekarang, perhatikan bilangan berbentuk berikut sebagai bilangan irasional t + t (t N) (2.7). Bentuk t + t bukan merupakan suatu bentuk kuadrat. Dengan menggunakan algoritma 2., diperoleh t + t = [t; 2,2t ] (2.8) yang merupakan suatu bentuk fraksi kontinu dan menjadi patokan dalam penyelesaian persamaan Pell. Metode Pengkajian Pencarian solusi persamaan Diophantine dilakukan dengan mengkaji pencarian solusi bilangan bulat persamaan Pell, kemudian menghubungkan dengan pencarian solusi bilangan bulat persamaan Diophantine
6 6 x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0. Hasil dari pengkajian merupakan solusi bilangan bulat positif (x, y ) yang dijabarkan dalam teorema-teorema. HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Pell x 2 (t 2 + t)y 2 = Persamaan Pell berbentuk x (t + t)y = merupakan bentuk khusus dari persamaan Pell x dy = dengan d = (t + t) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat. Persamaan (.) juga memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai (x, y ) untuk n. Solusi pertama (x, y ) yang merupakan bilangan bulat positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari persamaan (.). jika Dikatakan bahwa fraksi kontinu C dimana C I adalah suatu fraksi kontinu periodik C = [a ; a, a,, a, a],,, dimana a,,, menandakan barisan berulang {a, a,, a } dan r adalah periode dari fraksi kontinu C. Persamaan Pell x (t + t)y = menunjukan bahwa terdapat bilangan irasional d = t + t yang merupakan fraksi kontinu periodik, dengan menggunakan fungsi pembulatan kebawah (floor function) dijabarkan sebagai berikut: Jika diambil t = maka t + t diperoleh 2 = [; 2]. Jika diambil t > maka diperoleh x = x = t + t t t x = x = t + t = t + t + t t, a = t t + t t = t + t + t t = 2 + t + t t, a t = 2 t = t + t t = t + t + t = 2t + t + t t, a = 2t t + t t = t + t + t t = 2 + t + t t, a t = 2 karena x = x akibatnya x = x = x = dan x = x = x =, maka diperoleh perulangan a = a = a = = 2 dan a = a = a = = 2t. Sehinga t + t dapat ditulis dalam bentuk fraksi kontinu
7 7 t + t = t t t t+ Sehingga, ekspansi dari t + t sebagai fraksi kontinu adalah: t + t = [; 2 ] jika t = [t; 2,2t ] jika t >. = [t; 2,2t ]. Dengan demikian, maka ekspansi t + t sebagai fraksi kontinu dipakai untuk menentukan solusi persamaan (.). Teorema3.: Pada persamaan Pell berbentuk x (t + t)y = dengan (t + t) bulat positif nonkuadrat, berlaku: ) Solusi fundamental dari persamaan Pell x (t + t)y = adalah (x, y ) = (2t +,2). 2) Barisan solusi {(x, y )} persamaan Pell x (t + t)y = dipenuhi oleh untuk n. x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + 3) Solusi (x, y ) dari persamaan Pell x (t + t)y = memenuhi hubungan rekurensi untuk n. 0 x = (2t + )x + (2t + 2t)y y = 2x + (2t + )y 4) Solusi ke- n (x, y ) dari persamaan Pell x (t + t)y = dapat di diberikan oleh konvergensi fraksi kontinu: Bukti: x = y t; 2,2t, 2,2t,, 2,2t, 2,2t, 2 pasangan untuk n
8 8 () Perluasan bilangan real t + t = [t; 2,2t ] merupakan fraksi kontinu periodik, maka solusi fundamental persamaan x (t + t)y = adalah = [t; 2] = t + =. Dengan demikian, solusi fundamental dari x (t + t)y = adalah (x, y ) = (2t +,2) (2) Akan dibuktikan menggunakan induksi matematika. Untuk n =, maka x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + + = 2t 0 2 sehingga (x, y ) = (2t +,2) merupakan solusi, adalah benar. Asumsikan persamaan adalah benar untuk n = k sehingga (x, y ) merupakan solusi, yaitu x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + x (t + t)y =. Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran untuk n = k +. Dari x = 2t + 2t + 2t y 2 2t = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + 0 = 2t + 2t + 2t 2 2t + x y diperoleh x (t + t)y = (2t + )x + (2t + 2t)y 2x + (2t + )y = (2t + )x + (2t + 2t)y (t + t)(2x + (2t + )y ) = ((2t + ) x + 2(2t + )(2t + 2t)x y + (2t + 2t) y ) (t + t)(4x + 4(2t + )x y + (2t + ) y ) = x (2t + ) 4(t + t) + x y 2(2t + )(2t + 2t) (t + t)4(2t + ) + y ((2t + 2t) (t + t)4(2t + ) ) = x (t + t)y =
9 9 (3) Diketahui persamaan x (t + t)y = memiliki solusi fundamental (x, y ). Jika (x, y ) adalah solusi ke- n maka (x, y ) memenuhi persamaan x (t + t)y =, sehingga x (t + t)y = (2t + )x + (2t + 2t)y (t + t)(2x + (2t + )y ) = ((2t + ) x + 2(2t + )(2t + 2t)x y + (2t + 2t) y ) (t + t)(4x + 4(2t + )x y + (2t + ) y ) = x (2t + ) 4(t + t) + x y 2(2t + )(2t + 2t) (t + t)4(2t + ) = x (t + t)y = + y ((2t + 2t) (t + t)(2t + ) ) (4) Asumsikan bahwa (x, y ) adalah solusi dari x (t + t)y = sehingga x (t + t)y =. Dengan menggunakan induksi matematika, jelas bahwa untuk n = diperoleh (x, y ) = (2t +,2). Selanjutnya dianggap benar untuk n = k, maka akan ditunjukan kebenarannya untuk n = k + yaitu x = t + y 2 + 2t t t + 2 = t + = t t + t t t + 2 = (2t + )x + (2t + 2t)y 2x + (2t + )y. 2 + t + x y Dalam hal ini (x, y ) menunjukan solusi dari persamaan Diophantine x (t + t)y =
10 0 Selanjutnya, solusi dari persamaan Pell x (t + t)y = akan dipakai untuk menentukan solusi lain persamaan Diophantine berbentuk u (t + t)v = 32t + 4. Persamaan Diophantine x 2 (t 2 + t)y 2 (6t + 4)x + (6t 2 + 6t)y = 0 Persamaan Diophantine berbentuk x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 selalu memberikan dua solusi bilangan bulat yang merupakan solusi trivial, yaitu (0,0) dan (0,6) untuk setiap t. Selain memiliki solusi trivial, persamaan Diophantine berbentuk x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 dengan t, juga memiliki solusi bilangan bulat positif yang tak terhingga banyaknya dan ditulis sebagai (x, y ) untuk n. Solusi pertama (x, y ) yang merupakan bilangan bulat positif (nontrivial) adalah solusi fundamental dari persamaan (.3). persamaan Bentuk persamaan (.3) representatif dengan lengkungan (conics), yang diberikan oleh ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 dimana a, b, c, d, e, f adalah bilangan real. Nilai diskriminan ( ) dari bentuk lengkung Ax + BX + C = 0 dapat ditentukan dari = B 4AC. Jika < 0 maka penyajian lengkungan adalah elips, jika > 0 maka penyajian lengkunagn adalah hiperbola, dan jika = 0 maka penyajian lengkungan adalah parabola. Jika b = 0, maka persamaan (.3) dapat ditransformasikan lengkungan pada bidang sentripetal uv melalui transfomasi x = u + h T = y = v + k untuk beberapa nilai h dan k. Selanjutnya pasangan (h, k) dinotasikan oleh menjadi T[h; k] = {h, k}. (3.) Melalui transformasi T yaitu x = u + h dan y = v + k, maka persamaan (.3) (u + h) (t + t)(v + k) (6t + 4)(u + h) + (6t + 6t)(v + k) = 0 selanjutnya, dijabarkan menjadi [u (t + t)v + (2h 6t 4)u + ( 2t k 2tk + 6t + 6t)v] + [h (t + t)k (6t + 4)h + (6t + 6t)k] = 0.
11 Karena kelompok suku ke-dua adalah nol (ekivalen dengan persamaan (.3)), maka kelompok suku ke-satu juga adalah nol. Berdasarkan penjabaran tersebut, perhatikan kelompok suku kesatu, dapat dinyatakan sebagai bentuk yang ekivalen dengan persamaan (.) maka diperoleh u(2h 6t 4) = 0 dan v( 2t k 2tk + 6t + 6t) = 0 dimana u, v 0 sehingga didapat h = 8t + 2 dan k = 8. Selanjutnya substitusi nilai h = 8t + 2 dan k = 8 ke dalam kelompok suku ke-dua diperoleh 32t 4 = 0. Dengan demikian diperoleh persamaan Diophantine yang merupakan persamaan Pell. Teorema 3.2: Bukti: u (t + t)v = 32t + 4 Misalkan P merupakan suatu persamaan Diophantine berbentuk u (t + t)v = 32t + 4 dengan (t + t) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, maka berlaku: ) Solusi fundamental adalah (u, v ) = (8t + 2,8). 2) Barisan solusi {(u, v )} dipenuhi oleh untuk n. u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + 3) Solusi (u, v ) memenuhi hubungan rekurensi untuk n 2. u = (2t + )u + (2t + 2t)v v = 2u + (2t + )v 4) Solusi ke- n (u, v ) memenuhi fraksi kontinu u = v t; 2,2t, 2,2t,, 2,2t, 4 pasangan untuk n. u (3.2) v ) Akan dibuktikan bahwa (u, v ) = (8t + 2,8) adalah solusi dari persamaan Diophantine berbentuk u (t + t)v = 32t + 4. Ruas kiri persamaan Diophantine ini adalah u (t + t)v = = (8t + 2) (t + t)(8)
12 2 = (64t + 32t + 4) (64t + 64t) = 32t + 4 2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Untuk n =, maka adalah solusi. Hipotesis induksi bahwa adalah solusi. Akan dibuktikan bahwa adalah solusi. u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u Persamaan = 2t + 2t + 2t v 2 2t + adalah solusi. u v u v u v u dapat ditulis sebagai v u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + 2t + 2t + 2t = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2 2t + u v = (2t + )u + (2t + 2t)v 2u + (2t + )v 3) Akan dibuktikan dengan induksi matematika: Untuk n = 2, maka pasangan solusi (u, v ) memenuhi persamaan sehingga jelas adalah solusi. u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + Pasangan solusi (u, v ) memenuhi persamaan u v u = (2t + )u + (2t + 2t)v v 2u + (2t + )v u = (2t + )u + (2t + 2t)v v = 2u + (2t + )v
13 3 u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + dengan induksi matematika untuk n = jelas (diberikan). Anggap bahwa adalah benar. Akan dibuktikan bahwa adalah solusi. Maka u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u = 2t + 2t + 2t v 2 2t + u v u v u v u v = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + = 2t + 2t + 2t 2 2t + u v u v Sehingga jelas. = (2t + )u + (2t + 2t)v. 2u + (2t + )v adalah solusi untuk n 2. u = (2t + )u + (2t + 2t)v v = 2u + (2t + )v 4) Akan dibuktikan berdasarkan pendekatan induksi matematika. Untuk n =, maka u = 8t + 2 = t + = [t; 4] v 8 4 adalah benar, merupakan solusi fundamental. Asumsi bahwa solusi ke-n didefinisikan oleh u = v t; 2,2t, 2,2t,, 2,2t, 4. pasangan Selanjutnya, akan ditunjukan kebenaran yang juga memenuhi untuk solusi ke-n +.
14 4 Dengan menggunakan teorema 3.2 (bagian ke-3), diperoleh u v = (2t + )u + (2t + 2t)v 2u + (2t + )v u u + tv = t + v 2u + (2t + )v = t + = t + 2u + (2t + )v v 2 + u + tv u + tv = t u + tv v = t t + u v = t; 2,2t, 2,2t, 2,2t, 2,2t,, 2,2t, 4 pasangan pasangan = t; 2,2t, 2,2t, 2,2t,, 2,2t, 4. pasangan Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.2, diperoleh tabel solusi persamaan Diophantine u (t + t)v = 32t + 4 dengan (t + t) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat (lihat Tabel ). Teorema 3.3: Jika (x, y) merupakan solusi persamaan (.) x (t + t)y = dan (u, v) merupakan solusi persamaan (.2) u (t + t)v = 32t + 4 maka (xu + (t + t)yv, xv + yu) adalah solusi lain dari persamaan u (t + t)v = 32t + 4. Bukti: Misalkan (x, y) adalah solusi dari (.) dan (u, v) adalah solusi dari (.2), sehingga x (t + t)y = dan u (t + t)v = 32t + 4. Maka (x (t + t)y )(u (t + t)v ) = ()( 32t + 4) [(xu) + ((t + t)yv) ] (t + t)[(xv) + (yu) ] = 32t + 4 [(xu) + 2(t + t)xyuv + ((t + t)yv) ] (t + t)[(xv) + 2xyuv + (yu) ] = 32t + 4 [xu + (t + t)yv] (t + t)[xv + yu] = 32t + 4 Dengan demikian (xu + (t + t)yv), (xv + yu) merupakan solusi lain dari (.2).
15 5 Selanjutnya, solusi dari persamaan Diophantine x (t + t)y = 32t + 4 dengan (t + t) adalah bilangan bulat positif nonkuadrat, akan dipakai untuk menentukan solusi persamaan Diophantine berbentuk x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 dengan t. Berdasarkan transformasi x = u + h dan y = v + k dimana diketahui bahwa h = 8t + 2 dan k = 8, maka x = u + 8t + 2 dan y = v + 8. Sehingga, dapat dikembalikan semua hasil bentuk persamaan (u + h) (t + t)(v + k) (6t + 4)(u + h) + (6t + 6t)(v + k) = 0 atau u (t + t)v = 32t + 4 ke persamaan x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 melalui invers dari T. Diketahui solusi persamaan u (t + t)v = 32t + 4 adalah u = 8t + 2 dan v = 8 maka diperoleh solusi persamaan Diophantine x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 adalah x = u + h = 6t + 4 dan y = v + k = 6. Teorema 3.4: Bukti: Misalkan D adalah persamaan Diophantine berbentuk untuk t, maka berlaku: x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 ) Solusi fundamental adalah (x, y ) = (6t + 4,6). 2) Barisan solusi {(x, y )} dipenuhi oleh {(u + 8t + 2, v + 8)} dimana {(u, v )} didefinisikan dalam teorema 3.2 persamaan (3.2), sehingga dapat dinyatakan sebagai untuk n. x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + 3) Solusi (x, y ) memenuhi hubungan rekurensi untuk n 2. u + 8t + 2 v 8 x = (2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t y = 2x + (2t + )y 32t 4 ) Akan dibuktikan bahwa (x, y ) = (6t + 4,6) adalah solusi dari persamaan x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0.
16 6 Substitusi (x, y ) ke ruas kiri persamaan ini, diperoleh x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = (6t + 4) (t + t)6 (6t + 4)(6t + 4) + (6t + 6t)6 = (6t + 4) (t + t)6 (6t + 4) + (t + t)6 = 0 2) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk n. Untuk n = maka x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + u + 8t + 2 v 8 x u = + 8t = 8t + 8t = 6t y v adalah benar, dimana (x, y ) = (6t + 4,6) merupakan solusi fundamental. Asumsikan benar untuk n = k, maka sehingga x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + u + 8t + 2 v 8 x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0. Selanjutnya, akan dibuktikan kebenaran untuk n = k +, x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + = 2t + 2t + 2t 2 2t + x u + 8t + 2 v 8 u + 8t + 2 v 8 u + 8t + 2 v 32t + 20t y 32t + 4 (2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t. 2x + (2t + )y 32t t 32t 32t + 4 x Akan dibuktikan di atas adalah solusi dari persamaan Diophantine x y (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 sebagai berikut
17 7 x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = [(2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t] (t + t)[2x + (2t + )y 32t 4] (6t + 4)[(2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t] + (6t + 6t)[2x + (2t + )y 32t 4] = x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 3) Akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. Untuk n = 2, maka pasangan solusi (x, y ) memenuhi persamaan sehingga jelas bahwa adalah solusi. x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + u + 8t + 2 v 8 = (2t + )u + (2t + 2t)v + 8t + 2 2u + (2t + )v + 8 Pasangan solusi (x, y ) memenuhi persamaan x = (2t + )u + (2t + 2t)v + 8t + 2 y = 2u + (2t + )v + 8 x = 2t + 2t + 2t u y 2 2t + + 8t + 2 v 8 x dengan induksi untuk n = jelas = 6t + 4 y 6. Anggap bahwa adalah benar. Akan dibuktikan bahwa adalah solusi. Maka x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + x = 2t + 2t + 2t y 2 2t + = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + u + 8t + 2 v 8 u + 8t + 2 v 8 u + 8t + 2 v 8 u v + 8t + 2 8
18 8 = 2t + 2t + 2t 2 2t + 2t + 2t + 2t 2 2t + sehingga jelas bahwa adalah solusi. = 2t + 2t + 2t 2 2t + x u + 8t + 2 v 32t + 20t y 32t + 4 (2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t. 2x + (2t + )y 32t 4 x = (2t + )x + (2t + 2t)y 32t 20t y = 2x + (2t + )y 32t t 32t 32t + 4 Dengan demikian, berdasarkan teorema 3.4 diperoleh tabel solusi persamaan Diophantine x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 untuk t (lihat Tabel 2) KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa Solusi persamaan Pell x (t + t)y = dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi lain persamaan Pell x (t + t)y = 32t + 4 untuk t N. Dan setiap solusi persamaan Pell x (t + t)y = 32t + 4 dapat dipakai untuk menentukan setiap solusi persamaan Diophantine x (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 untuk t. Persamaan Diophantine dapat digeneralisasi sehingga peneliti selanjutnya dapat mengkaji metode lain dalam pencariam setiap solusi persamaan Diophantine.
19 9 DAFTAR PUSTAKA Baltus, C Notes On Euler s Continued Fractions. SUNY College At Oswego, New York. -3. Chandoul, A. 20. On Quadratic Diophantine Equation x (t t)y (6t 4)x + (6t 6t)y = 0. International Mathematical Forum. 6: no Edwards H Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory (Graduate Texts in Mathematics), Springer, New York, Jacobson,M and Williams, H Solving Pell Equation. Springer. New York Ozkoc, A. and Tekcan, A Quadratic Diophantine Equation x (t t)y (4t 2)x + (4t 4t)y = 0. Bulletin of the Malaysia Mathematical Science Society. 33: Seung, H Y Continued Fractions And Pell s Equation. REU paper. -2. Tekcan, A. and Ozkoc, A The Diophantine Equation x (t + t)y (4t + 2)x + (4t + 4t)y = 0. Rev Mat Complut. Springer. 23: Tekcan, A., Gezer. and Bizim On The Integer Solutions of the Pell Equation x dy = 2, International Journal of Computational and Mathematical Science. :
20 20 Tabel. Tabel solusi persamaan Diophantine u 2 (t 2 + t)v 2 = 32t + 4 Solusi persamaan Diophantine u t (t + t)v = 32t + 4 adalah (u, v ) t = (u, v ) = (0,8) (u, v ) = (62,44) (u, v ) = (362,256) (u, v ) = (20,492) (u, v ) = (2298,8696) dan seterusnya t = 2 (u, v ) = (8,8) (u, v ) = (86,76) (u, v ) = (842,752) (u, v ) = (8234,7444) (u, v ) = (80498,73688) dan seterusnya t = 3 (u, v ) = (26,8) (u, v ) = (374,08) (u, v ) = (520,504) (u, v ) = (72566,20948) (u, v ) = (0074,29768) dan seterusnya
21 2 Tabel 2. Tabel solusi persamaan Diophantine x 2 (t 2 + t)y 2 (6t + 4)x + (6t 2 + 6t)y = 0 Solusi persamaan Diophantine x t (t + t)y (6t + 4)x + (6t + 6t)y = 0 adalah (x, y ) t = (x, y ) = (20,6) (x, y ) = (72,52) (x, y ) = (372,264) (x, y ) = (220,500) (x, y ) = (2308,8704) dan seterusnya t = 2 (x, y ) = (36,6) (x, y ) = (204,84) (x, y ) = (860,760) (x, y ) = (8252,7452) (x, y ) = (8056,73696) dan seterusnya t = 3 (x, y ) = (52,6) (x, y ) = (400,6) (x, y ) = (5236,52) (x, y ) = (72592,20956) (x, y ) = (00740,29776) dan seterusnya
Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciHUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI ABSTRACT
HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI Revi Lestari 1, Sri Gemawati, M. Natsir 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciMateri Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN
Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan
Lebih terperinciON SOLUTIONS OF THE DISCRETE-TIME ALGEBRAIC RICCATI EQUATION. Soleha Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
ON SOLUTIONS OF THE DISCRETE-TIME ALGEBRAIC RICCATI EQUATION Soleha Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Abstract. On solving the optimal control for the linear discrete-time
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR ABSTRACT
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINEAR Birmansyah 1, Khozin Mu tamar 2, M. Natsir 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya
Lebih terperinciELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY. Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( )
ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban (0403100596) SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA BOGOR 007 A. Fungsi Elliptic Curves 1. Definisi Elliptic Curves Definisi 1. : Misalkan k merupakan field
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN KUADRAT K-13 A. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum persamaan kuadrat..
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan
Lebih terperinciBAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
Lebih terperinciKOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI
Jurnal LOG!K@ Jilid 7 No 1 2017 Hal 52-60 ISSN 1978 8568 KOMBINASI PERSYARATAN KARUSH KUHN TUCKER DAN METODE BRANCH AND BOUND PADA PEMROGRAMAN KUADRATIK KONVEKS BILANGAN BULAT MURNI Khoerunisa dan Muhaza
Lebih terperinciMETODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL ABSTRACT
METODE ITERASI DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN BERDASARKAN INTERPOLASI POLINOMIAL N.D. Monti 1, M. Imran, A. Karma 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciSOLUSI BILANGAN BULAT SUATU PERSAMAAN DIOPHANTINE MELALUI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS ABSTRACT
SOLUSI BILANGAN BULAT SUATU PERSAMAAN DIOPHANTINE MELALUI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS Bona Martua Siburian 1, Mashadi, Sri Gemawati 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.
Lebih terperinciParameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi
Vol 7, No2, 92-97, Januari 2011 Parameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi Nur Erawati Abstrak Suatu sistem linear yang matriks transfernya berupa matriks rasional proper,
Lebih terperinciJurnal Apotema Vol.2 No. 2 62
Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62 Sudjana. 2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Sugianto, D. 2014). Perbedaan Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Sta Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciISNN WAHANA Volume 68, Nomer 1, 1 Juni 2017 HUBUNGAN ANTARA DAERAH IDEAL UTAMA, DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL, DAN DAERAH DEDEKIND
HUBUNGAN ANTARA DAERAH IDEAL UTAMA, DAERAH FATORISASI TUNGGAL, DAN DAERAH DEDEIND Eka Susilowati Fakultas eguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adibuana Surabaya eka50@gmail.com Abstrak Setiap
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciMETODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT. Yenni May Sovia 1, Agusni 2 ABSTRACT
MODIFIKASI METODE NEWTON DENGAN KEKONVERGENAN ORDE EMPAT Yenni May Sovia, Agusni 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciMETODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT. Nurul Saila1
ISSN 2354-6948 METODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT Nurul Saila1 1 Staf Pengajar, Universitas Panca Marga, Probolinggo nurul.saila@upm.ac.id1 (diterima:
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciSOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTINE DENGAN IDENTITAS BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS. Ayu Puspitasari 1, YD Sumanto 2, Widowati 3
SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTINE DENGAN IDENTITAS BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS Ayu Puspitasari 1, YD Sumanto 2, Widowati 3 1 Program Studi S1 Matematika, Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciMata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MATRIKS EULER ABSTRACT
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE MATRIKS EULER Marison Faisal Sitanggang, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciMETODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima
Lebih terperinciMETODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI BARU BEBAS DERIVATIF UNTUK MENEMUKAN SOLUSI PERSAMAAN NONLINEAR Eka Ceria 1, Agusni, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciKARAKTERISTIK GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUKTUR KHUSUS DAERAH INTEGRAL
ARATERISTI GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUTUR HUSUS DAERAH INTEGRAL Eka Susilowati Fakultas eguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adi Buana Surabaya eka250@gmailcom
Lebih terperinciDiscrete Time Dynamical Systems
Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan
Lebih terperinciPertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat
Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperincin suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciEVALUASI INTEGRAL ELIPTIK LENGKAP PERTAMA PADA MODULI SINGULAR
EVALUASI INTEGRAL ELIPTIK LENGKAP PERTAMA PADA MODULI SINGULAR Elma Rahayu Manuharawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya 603 Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. . rumus 1. Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat yaitu : : persamaan kuadrat murni
A. Persamaan Kuadrat PERSAMAAN KUARAT Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi sama dengan. Bentuk baku persamaan kuadrat adalah dalam adalah : a + b + c 0.
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinci2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c =, a 2) Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b 2 4ac 3) Akar-akar persamaan kuadrat
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
NAMA: KELAS: PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar. RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Macam-macam Irisan Kerucut: 1. Parabola 2.
Lebih terperinciKata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi, dan solusi homogen & partikelir
Relasi Rekursi *recurrence rekurens rekursi perulangan. Kata kunci: definisi, relasi rekursi linier berkoefisien konstan, solusi relasi rekurensi, dan solusi homogen & partikelir menuliskan definisi dari
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciTeknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)
Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran
Lebih terperinciSUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR
PYTHAGORAS, Vol. 3(2):46-52 ISSN 2301-5314 Oktober 2014 SUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR Yulian Sari Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Riau Kepulauan Batam
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear
K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan
Lebih terperinciMETODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Neng Ipa Patimatuzzaroh 1 ABSTRACT
METODE BERTIPE STEFFENSEN SATU LANGKAH DENGAN KONVERGENSI SUPER KUBIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Neng Ipa Patimatuzzaroh Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Sangadji *
FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER Sangadji * ABSTRAK FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Dalam makalah ini dibahas fungsi-fungsi
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Yogyakarta, November Penulis
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT atas anugrah yang diberikan sehingga penulisan Buku Diktat yang dilengkapi dengan Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) dan
Lebih terperinciTeori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan
Lebih terperinciBIDANG MATEMATIKA SMA
MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN)
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA ABSTRACT
MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH NILAI AWAL SINGULAR PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA Kristiani Panjaitan 1, Syamsudhuha 2, Leli Deswita 2 1 Mahasiswi Program
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan
Lebih terperinciPersamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II
BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c
Lebih terperinciDesign and Analysis of Algorithm
Design and Analysis of Algorithm Week 5: Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 2 Dr. Putu Harry Gunawan 1 1 Department of Computational Science School of Computing Telkom University Dr. Putu Harry
Lebih terperinciDAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40
DAFTAR ISI 1 TEORI KETERBAGIAN 1 1.1 Algoritma Pembagian............................. 2 1.2 Pembagi persekutuan terbesar........................ 5 1.3 Algoritma Euclides.............................. 12
Lebih terperinciAplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi
JURNAL FOURIER Oktober 2013, Vol. 2, No. 2, 113-123 ISSN 2252-763X Aplikasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Dua dimensi Annisa Eki Mulyati dan Sugiyanto Program Studi Matematika Fakultas
Lebih terperinciSuku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor
Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperinciBAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima
BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciMETODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI
METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER KOEFISIEN FUNGSI Yuni Yulida Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciPENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 40 47 ISSN : 2303 290 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENURUNAN METODE NICKALLS DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN KUBIK MISNAWATI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Nama Anggota Kelompok 4 : 1. Krisna Bani Putri Puspita Azah Elvana Eni Lestari
PERSAMAAN KUADRAT Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat dan Menyusun Persamaan Kuadrat Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kajian Matematika SMA Dosen Pengampu: Padrul Jana,
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciPenulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com
Penulis : Rahmad AzHaris Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp.
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran bertempat di
III. METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2011-2012 bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinci