Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62
|
|
- Adi Johan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Jurnal Apotema Vol.2 No Sudjana. 2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Sugianto, D. 2014). Perbedaan Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Sta Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran Dan Komunikasi Matematika Siswa Sma. Jurnal Didaktik Matematika, Sugiyono. 2010). Kuantitatif Kualitatif Dan R& D. Bandung: Alfabeta. Suprijono, A. 2011). Cooperatif Learning Teori & Faikem. Yogyakarta: Pustaka Pelajar. Trianto. 2010). Mengembangkan Model Pembelajaran Tematik. Jakarta: Prestasi Pustaka. Trianto. 2007). Model Pembelajaran Inovatif Beriorentasi Konstruktivistik. Jakarta - Indonesia: Prestasi Pustaka. Moh. Affaf: BilanganSempurna...
2 Jurnal Apotema Vol.2 No BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BILANGAN MERSENNE Moh. Affaf, M. Si. Staf Pengajar Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com abstrak. Suatu bilangan asli dikatakan bilangan sempurna jika dan hanya jika jumlah semua pembagi positif dari selain adalah Pada Jamannya, Euler menemukan ciri untuk suatu bilangan genap merupakan bilangan sempurna, yaitu bilangan itu harus mengandung bilangan prima mersenne. Oleh karenanya, dalam pembahasan bilangan sempurna genap diperlukan juga suatu prosedur untuk menyatakan suatu bilangan mersenne prima atau bukan. Untuk mencapai hal tersebut, maka dalam penelitian ini juga dihadirkan suatu prosedur untuk menyatakan suatu bilangan mersenne prima atau bukan. Tes ini dikenal dengan nama Tes Lucas-Lehmer. Kata Kunci : Bilangan Sempurna, Bilangan Sempurna Genap, Bilangan Mersenne, Tes Lucas, Tes Lucas-Lehmer PENDAHULUAN Teorema fundamental dari bilangan bulat menyatakan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih dari satu dapat difaktorkan menjadi bilangan-bilangan prima. Teorema ini memiliki arti lain, yaitu setiap bilangan bulat lebih dari satu, pasti memiliki faktor selain bilangan itu sendiri. Kemudian, matematikawan terdahulu tertarik untuk mempelajari hubungan bilangan bulat lebih dari satu dengan faktor-faktor positif yang bukan bilangan itu sendiri. Salah satu diantataranya adalah bilangan sempurna. Suatu bilangan bulat positif dikatakan sempurna jika jumlah semua faktor positif dari bilangan tersebut selain bilangan itu adalah bilangan itu sendiri. Sejak jaman Euclid, bilangan sempurna telah menjadi bahasan yang menarik. Kemudian di jamannya, Euler menemukan ciri khusus bilangan sempurna dalam kasus bilangan tersebut genap, yaitu bilangan tersebut harus memiliki faktor prima Mersenne. Jadi, perlu untuk mengkaji keprimaan bilangan Mersenne jika ingin mempelajari bilangan sempurna genap. 1. Landasan Teori Pada bagian ini, akan dibahas tentang pembentukan konstruksi, - yang nantinya bisa dijadikan pemrbandingan dengan konstruksi baru yang akan dibentuk pada Hasil dan Pembahasan. Untuk mengawali bagian ini, akan perkenalkan tentang definisi Tripel Pythagoras 2.1. Kongruensi bilangan bulat dan sifat-sifat didalamnya Satu lagi konsep penting dalam teori bilangan adalah kongruensi. Definisi kongruensi bilangan bulat diberikan sebagai berikut. Definisi 2.1.1Kongruen). Misal bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo m dan dituliskan Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
3
4 Jurnal Apotema Vol.2 No jika dan hanya jika. Contoh dan 5 kongruen modulo 2 karena Teorema Misal a, b, c, d,e, dan m adalah bilangan bulat dengan d >0 dan m>0, maka: i) ii) jika maka iii) jika dan, maka iv) jika dan, maka v) jika dan, maka vi) jika dan, maka i) Jelas bahwa ii) maka iii) dan. Tetapi menurut Lemma bagian ii) iv) Karena dan, maka menurut Lemma bagian i) v) dan. Tetapi menurut Lemma bagian ii) vi) dan, maka Pada bagian i) sampai iii) menyatakan bahwa pada kongruensi berlaku relasi ekivalen yang akan dijelaskan pada bahasan akhir di bab ini. Sedangkan untuk bagian iv) sampai vi) akan sering digunakan untuk membuktikan teorema-teorema pada bahasan ini. Teorema a,b, dan m bilangan bulat dengan m >0 sehingga. Maka untuk bilangan bulat positif n berlaku 1. Jelas benar 2. Jika benar untuk suatu bilangan positif, berarti. Karena benar, berdasarkan Teorema bagian v), maka, yaitu. Jadi juga benar. Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, maka benar untuk setiap bilangan bulat positif. Definisi 2.1.2residu terkecil). Jika m > 0 dan r sisa dari pembagian b oleh m, maka r dikatakan residu terkecil dari b modulo m. Kemudian, dikatakan sebagai himpunan semua residu terkecil dari b untuk, mudah diketahui bahwa * ). Serta didefinisikan * +. Contoh Untuk m = 6, maka * + Teorema Diberikan bilangan bulat a, x, y, dan m dengan m >0. Jika a,m) = 1 dan, maka. Karena, maka, dan berdasarkan teorema maka, atau dengan kata lain. Teorema Diberikan bilangan a dan p dengan p prima. Jika, maka. Perhatikan himpunan * +. Jelas bahwa untuk setiap dengan berlaku. Sekarang, Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
5
6 Jurnal Apotema Vol.2 No andai untuk dengan. Berdasarkan Teorema berlaku. Jadi. Oleh karena itu, untuk terdapat dengan sehingga. Maka diperoleh ) ) ) Dengan menerapkan Teorema diperoleh Teorema Teorema Wilson). Untuk bilangan prima p berlaku Sekarang, perhatikan persamaan kongruensi untuk suatu bilangan prima p. Maka ), sehingga atau menurut teorema 2.1.9, sehingga atau. Jika solusi persamaan kongruensi diambil dalam himpunan * +, persamaan tersebut berlaku untuk x = 1 atau x = p - 1. Untuk * +, persamaan kongruensi memiliki solusi berdasarkan Akibat Jika adalah solusinya, jelas. Definisi Untuk bilangan bulat nonnegatif m dan n dengan, didefinisikan. / jika atau. / yang lainnya. ; dan untuk Teorema Jika p prima, maka Telah diketahui bahwa. / untuk sebarang bilangan asli n. Jadi akan dibuktikan bahwa. / untuk. Karena. / bilangan bulat maka. Kemudian, karena setiap bilangan asli yang kurang p prima relatif dengan p, ini artinya, semua hasil kalinya, yaitu m! Juga prima relatif dengan p berdasarkan Teorema 2.2.1, sehingga berdasarkan Teorema ), dengan kata lain adalah bilangan bulat. Oleh karena itu,. / Residu Kuadratik Bahasan ini akan digunakan sebagai dasar pembukrian Tes Lucas dan Tes Lucas-Lehmer yang merupakan tes keprimaan untuk bilangan Mersenne. Definisi residu kuadratik). Diberikan bilangan prima p. Bilangan bulat a dengan disebut residu kuadratik modulo p jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat y sehingga. Jika tidak ada bilangan y yang demikian, maka a disebut residu nonkuadratik modulo p. Contoh residu kuadratik modulo 13 tetapi 2 residu nonkuadratik modulo 5. Definisi 2.2.2Simbol Legendre). Misal p adalah prima ganjil yang tak membagi bilangan bulat a. Didefinisikan. / jika dan hanya jika a residu kuadratik atau nonkuadratik modulo a. Contoh Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
7 Jurnal Apotema Vol.2 No Dari Contoh maka. / dan. / Teorema kriteria Euler). Diberikan bilangan bulat prima ganjil p dan. Kemudian, jika: i) a residu kuadratik modulo p, maka ii) a residu nonkuadratik modulo p, maka i) Karena. /, maka terdapat bilangan bulat y sehingga. Tentu saja karena, sehingga ii) Karena. /, maka untuk setiap bilangan bulat y. Tetapi, selalu terdapat * + sehingga. Tentu saja terdapat pasang, oleh karena itu Teorema lemma Gauss). Diberikan bilangan bulat prima ganjil p dengan. Untuk, misal adalah bilangan bulat kongruen modulo p dengan. Jika banyaknya bilangan yang negatif sebanyak n, maka. / Pertama akan dibuktikan jika, maka. Jika, maka sehingga. Sekarang, jika, maka sehingga, tentu saja ini juga tidak mungkin. Oleh karena itu,, sehingga diperoleh, atau dengan kata lain. / Teorema Diberikan bilangan bulat prima ganjil p. Maka. / dan. / jika jika. Dengan memanfaatkan Teorema 2.2.2, maka tinggal mengetahui genap atau ganjil banyaknya * + yang memenuhi, atau bisa dikatakan. Misal. Tentu saja atau karena bilangan ganjil, maka. Sekarang jelas bahwa atau bergantung atau, sehingga i) Jika dan, maka dan, yaitu genap ii) Jika dan +1, maka dan, yaitu ganjil iii) Jika dan, maka dan, yaitu ganjil iv) Jika dan, maka dan, yaitu genap Maka bukti selesai. Teorema Diberikan bilangan bulat prima ganjil. Maka. / jika dan. / jika. Analog dengan bukti Teorema Teorema Diberikan bilangan bulat prima ganjil. Maka. / jika. Moh. Affaf: BilanganSempurna...
8 Jurnal Apotema Vol.2 No Analog dengan bukti Teorema Grup Definisi grup). Diberikan himpunan tak kosong G dengan operasi * yang terdefinisi di G dan dituliskan sebagai. Kemudian, dikatakan grup jika dan hanya jika memenuhi 4 kondisi berikut: 1. ; 2. ; 3.. Kemudian e disebut elemen identitas di G 4.. Kemudian dikatakan i disebut invers dari a dan biasanya dituliskan sebagai a atau a -1. Jika dan juga membentuk grup, maka dikatakan H subgroup G. Contoh Didefinisikan * + serta dan menyatakan operasi jumlah modulo m dan operasi kali modulo m berturutturut. Untuk m = 3, maka * +. Dapat dicek bahwa tidak membentuk grup, tetapi * + membentuk grup. Kemudian, {1} subgroup * + Definisi Relasi Ekivalen). Sebuah relasi pada sebuah himpunan S dikatakan relasi ekivalen jika dan hanya jika untuk setiap memenuhi 3 kondisi berikut: i) refleksif) ii) berakibat simetris) iii) berakibat transitif) Contoh Misal S adalah himpunan bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat yang lebih dari 1 yang telah ditetapkan. Kemudian, didefinisikan untuk jika. Tentu saja karena. Jika, maka. Karena -1,n) = 1, maka. Oleh karena itu. Jika, maka dan. Berdasarkan Lemma diperoleh. Jadi. Dengan kata lain pada kongruensi bilangan bulat, berlaku relasi ekivalen. Contoh ini merupakan generalisasi dari Jika G grup dan H subgroup G, maka jika,. Relasi ini merupakan relasi ekivalen [Herstein. 1990:57]. Definisi Jika adalah relasi ekivalen pada S dan, maka [a], kelas dari a didefinisikan sebagai, - * + Pada contoh kutipan di atas, dapat dituliskan untuk suatu. Jadi, berakibat. Sekarang, jika untuk suatu, maka. Jadi, jika dan hanya jika * +, dengan kata lain, -. Teorema Jika adalah sebuah relasi ekivalen pada S dan, maka, -, gabungan ini berjalan untuk setiap kelas-kelas di S, dan jika, -, - berakibat, -, - Karena, -, maka tentu saja, -. Sekarang, tinggal membuktikan jika, -, - berakibat, -, -. Berikut akan dibuktikan dengan kontraposisi. Misal, -, -, katakan, -, -. Berdasarkan kelas, maka karena, - dan karena, -. Berdasarkan sifat simetrisnya, berakibat. Karena dan, maka, maka, -. Sekarang, jika, -, maka. Tetapi, oleh karena itu, -. Jadi, -, -. Dengan cara Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
9 Jurnal Apotema Vol.2 No yang sama, mudah diperoleh, -, -. Jadi, -, -, maka bukti teorema selesai. Teorema ini mengatakan bahwa partisi ini adalah partisi disjoin pada S. Teorema ini akan digunakan untuk membuktikan Teorema Lagrange yang merupakan teorema fundamental dalam aljabar abstrak. Namun, sebelum itu, dibutuhkan definisi berikut: Definisi Diberikan bilangan bulat positif n dan grup dengan. Didefinisikan: i) ii) sebagai banyaknya anggota G iii) = m dalam kasus m bilangan bulat positif terkecil sehingga, dengan e elemen identitas di G. Teorema 2.3.2Teorema Lagrange). Misal G himpunan berhingga dan sehingga dan membentuk grup. Jika, maka: i) ii) 2. Hasil dan Pembahasan Definisi 3.1. Diberikan. Jumlah semua pembagi positif dari dinyatakan dengan. Contoh 3.1. Lemma 3.1. Diberikan bilangan prima dan bilangan bulat positif, maka Bukti : menurut Contoh Teorema 3.1. Jika a dan b bilangan bulat positif dengan, maka Bukti : Misal banyak pembagi positif dari a adalah t dengan a 1, a 2, a 3,, a t semua pembaginya dan s banyak pembagi positif dari b dengan b 1, b 2, b 3,, b s, maka ) = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 1 b a 1 b t + a 2 b 1 + a 2 b 2 + a 2 b a 2 b t.. + a s b 1 + a s b 2 + a s b a s b t Jika a i b j dari susunan di atas, maka a i b j ab karena ab= a i x i ) b j y j )= a i b j ) x i y j ), dengan kata lain, setiap elemen pada susunan di atas merupakan pembagi positif ab. Jika c pembagi positif a atau b jelas c muncul dalam susunan di atas. Sekarang, jika c bukan pembagi positif a dan b tetapi c pembagi positif ab, maka setiap prima pembagi c pasti membagi ab menurut Lemma Jadi jika p prima dengan, maka p membagi salah satu dari a atau b. Karena faktor prima dari a dan b berbeda, maka elemen pada susunan di atas berbeda dan faktor prima c muncul di a i dan muncul pula di b j. Dari sini jelas bahwa setiap pembagi positif ab muncul dalam susunan di atas. Jadi banyaknya elemen pada susunan di atas sama dengan banyak elemen pembagi positif ab, atau. Definisi 3.2. Bilangan asli dikatakan sempurna jika dan hanya jika jumlah semua pembagi positif yang kurang dari adalah, yaitu jika, atau dengan kata lain bilangan asli sempurna jika Contoh merupakan bilangan sempurna karena tetapi 12 tidak sempurna karena Teorema 3.2 Teorema Euclid). Jika bilangan asli sehingga prima, maka bilangan adalah bilangan sempurna. Moh. Affaf: BilanganSempurna...
10 Jurnal Apotema Vol.2 No Bukti : Jelas bahwa dan prima relatif sehingga menurut teorema 3.1 berlaku ) Dengan menerapkan Lemma 3.1 diperoleh ) ) ) ) Jadi merupakan bilangan sempurna. Contoh 3.3. adalah prima, maka 6 bilangan sempurna karena. Pada teorema 3.2 Jelas bahwa bilangan yang dimaksud adalah bilangan genap. Kemudian, pertanyaan yang muncul adalah apakah setiap bilangan genap yang sempurna akan berbentuk dengan prima? Pertanyaan ini dijawab positif oleh Matematikiawan asal Swiss, Leonard Euler dalam Teorema 3.3 Teorema Euler). Setiap bilangan genap yang sempurna akan berbentuk dengan adalah prima. Bukti : Misal m adalah bilangan genap sempurna yang dimaksud, tanpa mengurangi keumuman, dituliskan m sebagai dengan dan adalah bilangan ganjil. Maka diperoleh Tetapi m sempurna, yaitu Dari 2 hasil di atas, diperoleh ), atau bisa pula dituliskan. Jelas bahwa dan prima relatif. Misal ), maka dan. Sekarang, andai, maka karena. Hal ini kontadiksi dengan yang diperoleh, yaitu. Maka haruslah. Jadi, dan, sehingga adalah prima. Dengan menuliskan maka bukti selesai. Dari teorema 3.3 jelas bahwa kunci agar suatu bilangan genap untuk sempurna adalah bilangan berbentuk haruslah prima. Jadi, penting untuk mempelajari keprimaan bilangan dalam mempelajari bilangan sempurna genap. Definisi 3.3 Bilangan Mersenne). Untuk suatu bilangan bulat positif k, bilangan berbentuk dikatakan bilangan Mersenne ke-k dan dituliskan sebagai. Contoh 3.4. Untuk k = 1, dan k = 5, Teorema 3.4. Jika prima, maka k juga prima. Bukti : Andai k komposit dan prima. Misal. Maka. Kemudian, diperoleh. Berdasarkan definisi kekongruenan, maka. Karena dan, ini artinya adalah faktor dari selain 1 dan. Hal ini kontradiksi dengan prima. Jadi bilangan prima. Teorema 3.4 membatasi keprimaan bilangan Mersenne dari segi indeknya. Jadi, jika indek bilangan Mersenne Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
11 Jurnal Apotema Vol.2 No komposit maka bilangan Mersennenya komposit. Tetapi tidak selalu berlaku bahwa Jika k prima, maka prima. Di jamannya, Euler menemukan faktor bilangan Mersenne dengan indek prima dalam bentuk untuk. Penulis menetapkannya dalam teorema 3.5 berikut. Teorema 3.5 Teorema Euler). Diberikan bilangan bulat positif m dengan sehingga prima. Jika prima, Maka dan komposit. Karena prima dan, maka berdasarkan teorema diperoleh. /, dan berdasarkan Kriteria Euler didapatkan. Dengan kata lain. Karena, maka dan, oleh karena itu komposit. Contoh adalah bilangan prima dan dapat dituliskan sebagai. Dan mudah diketahui bahwa adalah prima. Oleh karena itu,. Jadi bukan bilangan sempurna. Teorema 3.6 Tes Lucas). Diberikan barisan bilangan dengan dan untuk. Jika p bilangan prima dengan bentuk untuk suatu bilangan bulat nonnegatif, maka merupakan bilangan prima jika dan hanya jika. Sebelum membuktikan teorema ini, Penulis akan memberikan klaim untuk 3 kondisi berikut: i) klaim bahwa barisan bilangan dengan sifat di atas ekivalen dengan. /. / untuk. 1. Untuk, jelas. 2. Andai benar untuk, yaitu. /. / benar, akan ditunjukkan juga benar ) ) ) ) Jadi. /. / benar untuk semua bilangan asli n menurut prinsip Induksi Matematika. ii) Klaim bahwa. Karena dengan k bilangan bulat nonnegatif, maka diperoleh iii) klaim bahwa 1. Untuk, jelas bahwa 2. Andai pernyataan benar untuk, yaitu benar, akan ditunjukkan juga benar ) Moh. Affaf: BilanganSempurna...
12 Jurnal Apotema Vol.2 No Jadi benar untuk bilangan asli menurut prinsip Induksi Matematika. Atau boleh dikatakan benar untuk bilangan prima ganjil untuk suatu bilangan nonnegatif k. Andai prima sehingga dan Maka menurut Teorema dan berdasarkan Definisi diperoleh kesamaan. /. / untuk suatu. Dengan mengalikan kedua ruas dengan. /, diperoleh ) Sekarang, perhatikan grup * +. Mudah diketahui bahwa * +). Karena. / * +, mudah dipahami bahwa. / di * +. Dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh ) di * +. Jadi order dari. / adalah. Berdasarkan Teorema maka. / * +), dan menurut Lemma bagian iii) diperoleh hasil. Tetapi, oleh karena itu. Hal ini kontradiksi dengan. Jadi, jika maka prima. ) ) ) ) Karena dan, maka. / dan. / menurut Teorema dan Teorema Kemudian, berdasarkan Kriteria Euler, diperoleh dan. Berdasarkan Teorema diperoleh. / menurut Teorema Kemudian ) Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
13 Jurnal Apotema Vol.2 No di di. Sehingga. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan terkhir dengan. /, diperoleh ) di. Dengan kata kain, Contoh 3.6. Untuk. Kemudian,. Jadi prima menurut Tes Lucas. Teorema 3.4 dan 3.5 sudah cukup baik dalam mengkarakterisasi keprimaan bilangan Mersenne. Kekurangan Teorema 3.4 adalah tak berlaku dua arah dan Teorema 3.5 dan Teorema 3.6 hanya mengkarakterisasi bilangan prima yang kongruen 3 modulo 4 saja. Untuk mengakhiri pembahasan pada skripsi ini, penulis akan menyajikan teorema terakhir yang penulis anggap lebih baik dalam mengkarakterisasi keprimaan bilangan Mersenne. Penulis menempatkannya dalam teorema berikut yang sekaligus merupakan teorema terakhir dalam bab pembahasan ini. Teorema 3.7 Tes Lucas-Lahmer). Diberikan barisan bilangan dengan dan untuk. Jika p bilangan prima ganjil, merupakan bilangan prima jika dan hanya jika. Pertama, klaim bahwa barisan bilangan dengan sifat di atas ekivalen dengan untuk. 1. Untuk, jelas. 2. Andai benar untuk, yaitu benar, akan ditunjukkan juga benar ) ) Moh. Affaf: BilanganSempurna...
14 Jurnal Apotema Vol.2 No ) ) Jadi benar untuk semua bilangan asli n menurut prinsip Induksi Matematika. Andai prima sehingga dan. Maka menurut Teorema Karena, maka diperoleh untuk suatu. Dengan mengalikan kedua ruas dengan, diperoleh ) ). / ) ) ) Sekarang, perhatikan grup * +. Jelas * +). Karena * +, mudah dipahami bahwa di * +. Dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh ) di * +, jadi order dari adalah. Berdasarkan Teorema maka * +), dan menurut Lemma bagian iii) diperoleh hasil. Tetapi, oleh karena itu. Hal ini kontradiksi dengan. Jadi, jika maka prima. Terlebih dahulu, akan diklaim dan. i) Klaim untuk 1. Untuk, jelas bahwa 2. Andai pernyataan benar untuk, yaitu benar, akan ditunjukkan juga benar Jadi benar untuk bilangan asli menurut prinsip Induksi Matematika. Atau dengan kata lain, benar untuk bilangan prima ganjil p. ii) Klaim untuk Akan dibuktikan benar untuk semua bilangan asli n. 1. Untuk, jelas bahwa 2. Andai pernyataan benar untuk, yaitu benar, akan ditunjukkan juga benar Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
15 Jurnal Apotema Vol.2 No ) Jadi. Dengan memerhatikan, maka ) Jadi benar untuk semua bilangan asli n menurut prinsip Induksi Matematika. Atau boleh dikatakan, benar untuk bilangan prima ganjil p. Karena dan dan. /, maka. / menurut teorema dan teorema berturutturut. Berdasarkan Kriteria Euler, diperoleh dan. Berdasarkan Teorema diperoleh di. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan terakhir dengan, diperoleh. Kemudian. / di. Dengan kata kain, Moh. Affaf: BilanganSempurna...
16 Jurnal Apotema Vol.2 No Contoh Untuk. Kemudian,,,,,. Jadi berdasarkan Tes Lucas-Lehmer, prima. Dengan kata lain, 8128 merupakan bilangan sempurna karena dan bilangan prima. 2. Untuk. Kemudian,,,,,,,,,. Jadi berdasarkan Tes Lucas- Lehmer, prima. Hal ini telah dijelaskan dalam Contoh 3.5 yang juga menyatakan 23 adalah salah satu faktor dari KESIMPULAN Penelitian ini telah berhasil mengidentifikasi bilamana suatu bilangan genap merupakan bilangan sempurna atau bukan, yaitu bilangan tersebut harus berbentuk dengan adalah bilangan mersenne ke- yang harus merupakan bilangan prima. Selanjutnya, untuk mengetahui merupakan bilangan prima atau bukan, dapat dicek dengan melakukan Tes Lucas-Lehmer, yaitu saat diberikan barisan bilangan dengan dan untuk. Jika p bilangan prima ganjil, merupakan bilangan prima jika dan hanya jika. Adapun saran penelitian ke depannya, bisa dilakukan penelitian untuk mengidentifikasi bilangan sempurna ganjil. Penelitian terakhir menyatakan bahwa tidak ada bilangan sempurna ganjil yang kurang dari. Selain itu, dapat pula dilakukan penelitian untuk memodifikasi Tes Lucas-lehmer agar lebih sederhana, baik dalam bukti maupun prosedurnya. 3. Daftar Pustaka [1] Khosy, Thomas Elementary number theory with applications. Amsterdam. Elsivier [2] J. W. Bruce A Really Trivial Proof of Lucas-Lehmer Test. Math Montly. Amer. [3] M, I, Rosen A Proof of Lucas-Lehmer Test. Math Montly. Amer. [4] I, R, Herstein. Abstract Algebra Jon Wiley and Son. New York [5] Kravist, Sidney The Lucas- Lehmer Test For Mersenne Numbers. Dover. New Jersey. [6] Jaroma, John, H. Note On The Lucas-Lehmer Test. Irish Math Society, pg 63 72, [7] Jaroma, John, H. Equivalence of pepin s Test and Lucas-Lehmer Test. European Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol 2, No 3, pg , Moh. Affaf : Bilangan sempurna..
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinciKONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS. Moh. Affaf Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan
KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS Moh. Affaf Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan affafs.theorem@yahoo.com ABSTRAK. Bertahun-tahun yang lalu, telah diketahui bahwa Tripel Pythagoras dapat dikonstruksi
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciKONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS
KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS Moh. Affaf STKIP PGRI Bangkalan E-mai: affafs.theorem@yahoo.com Abstract: several years ago, was known that Pythagorean Triples can be constructed by [ ], that is
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciMETODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field.
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field. Hal ini dimulai dengan memberikan pengertian dari group
Lebih terperinciElvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi
PENERAPAN SIFAT-SIFAT GRUP PENJUMLAHAN MODULO 12 DAN 24 PADA JAM Elvri Teresia br Sembiring Abstrak Makalah ini membahas mengenai penerapan sifat-sifat grup penjumlahan modulo 12 (Z 12 ) dan modulo 24
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciKEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT ABSTRACT
KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT Apriadi, Sri Gemawati 2, Musraini 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciPENGKONSTRUKSIAN BILANGAN TIDAK KONGRUEN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 27 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENGKONSTRUKSIAN BILANGAN TIDAK KONGRUEN RATI MAYANG SARI Program Studi Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciKONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT
KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan
DIKTAT KULIAH ( sks) MX 17 Teori Bilangan (Revisi Terakhir: Juli 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si., M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana KATA
Lebih terperinciTeori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan.
Nama : Teori bilangan Kode /SKS : MAT- / 2 sks Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) TEORI BILANGAN Oleh : RINA AGUSTINA, M.Pd. NEGO LINUHUNG, M.Pd Mata kuliah ini masih merupakan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan
Lebih terperinciBAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan
Lebih terperinci3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?
Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciBAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima
BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc 1. Abstrak
KARAKTERISASI E SEMIGRUP Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc A- Universitas PGRI Yogyakarta dhian.arista@gmail.com Abstrak Dalam suatu semigrup terdapat himpunan elemen idempoten yang menjadi latar E semigrup
Lebih terperinciContoh-contoh soal induksi matematika
Contoh-contoh soal induksi matematika Buktikan bahwa 2 n > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n 5. (i) Basis induksi : Untuk n = 5, kita peroleh 2 5 > 5 + 20 adalah suatu pernyataan yang benar. (ii) Langkah
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL ATAS RING KOMUTATIF
Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Sains Tahun 2014 Inovasi Pendidikan Sains dalam Menyongsong Pelaksanaan Kurikulum 2013 Surabaya 18 Januari 2014 DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 ENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK Mulyono Jurusan Matematika FMIPA UNNES Email:
Lebih terperinciRizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
ISSN: 978-44 Vol. No. (Juni 07) Hal. 30-37 SIFAT-SIFAT FUNGSI PHI EULER DAN BATAS PRAPETA FUNGSI PHI EULER Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciPENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING
Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciHUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI ABSTRACT
HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI Revi Lestari 1, Sri Gemawati, M. Natsir 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciJURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA Volume 2, Nomor 1, Februari 2016, Halaman 16 22 ISSN: 2442 4668 PENERAPAN PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE THINK PAIR SHARE (TPS) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN MAHASISWA
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Yogyakarta, November Penulis
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT atas anugrah yang diberikan sehingga penulisan Buku Diktat yang dilengkapi dengan Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) dan
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan. Kuliah 6
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 6 Materi Kuliah Carl Friedrich Gauss Teori Dasar Kongruen 3/14/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Carl Friedrich Gauss Hidup pada masa 1777 1855 Mengenalkan konsep Disquisitiones
Lebih terperinciGRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP. Nur Hidayatul Ilmiah. Dr. Agung Lukito, M.S.
GRAF PANGKAT PADA SEMIGRUP Nur Hidayatul Ilmiah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya. mia_ilmiah99@yahoo.com Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika,
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciBilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika
Pembaharuan Terakhir: 28 Maret 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 5): Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan
Lebih terperinciMAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER
MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER Disusun : NIM : 12141424 Nama : Ristiana Prodi : Teknik Informatika B SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER EL RAHMA YOGYAKARTA 2016 1. Pendahuluan
Lebih terperinciTeori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciTEORI IDEAL PADA SEMIRING FAKTOR DAN SEMIRING TERNARY FAKTOR
J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 14, No. 1, Mei 2017, 17 23 TEORI IDEAL PADA SEMIRING FAKTOR DAN SEMIRING TERNARY FAKTOR Dian Winda Setyawati Departemen Matematika, Institut
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciKonstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 4, No. 1, May 007, 17 5 Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real Bambang Sugandi 1 dan Erna Apriliani 1 Jurusan Matematika, FMIPA Unibraw,
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciINDUKSI MATEMATIS Drs. C. Jacob, M.Pd Pengantar Apakah suatu formula untuk jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil
INDUKSI MATEMATIS Drs. C. Jacob, M.Pd Email: cjacob@upi.edu 3. Pengantar Apakah suatu formula untuk jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil pertama? Jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciPERANAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN MATEMATIKA
PERANAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN MATEMATIKA Riani Rilanda NIM : 13505051 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung e-mail : if15051@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciR. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A
Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Teori Bilangan MAT 212 Jumlah SKS : Teori= 2 sks; Praktek= - Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Logika dan Himpunan,
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada
II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1
Lebih terperinciAplikasi Bilangan Prima dalam Pembentukan Basis Bilangan
Aplikasi Bilangan Prima dalam Pembentukan Basis Bilangan Freddy Isman - 13513007 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung
Lebih terperinciHIMPUNAN BILANGAN BULAT NON NEGATIF PADA SEMIRING LOKAL DAN SEMIRING FAKTOR. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
HIMPUNAN BILANGAN BULAT NON NEGATIF PADA SEMIRING LOKAL DAN SEMIRING FAKTOR Meryta Febrilian Fatimah 1, Nikken Prima Puspita 2, Farikhin 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof.
Lebih terperinciKajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan
Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Soleha 1, Dian W. Setyowati 2, Satrio A. W. 3 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id 2 Institut
Lebih terperinciAnalisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3,
Analisis Real Johan Matheus Tuwankotta December 3, 200 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id 2 Daftar Isi Sistem
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciBab 2 Daerah Euclid. 2.1 Struktur Daerah Euclid
Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait nya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo
Tutur Widodo OSN Matematika SMA 01 Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 01 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 24, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciYurnalis 1. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia.
SIFAT MULTIPLICATIVE PADA HIIMPUNAN SISA Yurnalis 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
Lebih terperinciR-SUBGRUP NORMAL FUZZY NEAR-RING
R-SUBGRUP NORMAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman Email: samunlam@gmail.com Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru ABSTRAK Dalam tulisan ini akan dibahas R-subgrup normal fuzzy
Lebih terperinciSEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR. Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2. Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275
SEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2 1,2 Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275 Abstract. A BCK-algebra is one of the algebraic structure
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mengirim pesan secara rahasia sehingga hanya orang yang dituju saja yang dapat membaca pesan rahasia tersebut.
Lebih terperinciAPLIKASI SIFAT-SIFAT GRUP JUMLAHAN MODULO 7 DALAM MENENTUKAN HARI. Pardomuan N. J. M. Sinambela. Abstrak
APLIKASI SIFAT-SIFAT GRUP JULAHAN ODULO 7 DALA ENENTUKAN HARI Pardomuan N. J.. Sinambela Abstrak Untuk suatu keperluan tertentu, seseorang mungkin ingin mengetahui hari dari suatu tanggal tertentu. Keingintahuan
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciBAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
Lebih terperinciWOLFRAM-ALPHA PADA TEORI BILANGAN
WOLFRAM-ALPHA PADA TEORI BILANGAN T - 7 Nanang Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Garut na2ngdr.64@gmail.com Abstrak Kemajuan teknologi informasi dan komunikasi (TIK) saat ini telah dimanfaatkan
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL
Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika
Lebih terperinciMODUL STRUKTUR ALJABAR 1. Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP
MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP 196612021999012001 Program Studi S-1 Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Januari 2017 DAFTAR
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinci