FUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
|
|
- Surya Darmali
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id Abstrak Domain dari suatu fungsi peubah bernilai real adalah suatu persegi panjang tertutup dan terbatas di ruang berdimensi yang komponen komponen dari titik ujungnya merupakan bilangan computable. Suatu fungsi disebut computable jika pertama fungsi tersebut memetakan barisan titik di ruang dimensi yang computable ke barisan bilangan real computable, kedua fungsi tersebut merupakan fungsi yang effectively uniformly continuous. Pada skripsi ini pertama tama ditunjukkan cara memeriksa suatu barisan merupakan barisan computable. Kemudian diperlihatkan cara memeriksa suatu bilangan real merupakan bilangan computable. Pada akhirnya diperlihatkan cara memeriksa suatu fungsi peubah bernilai real merupakan fungsi yang computable. Computable Function Abstract Domain of a computable real function of variable is a closed and bounded rectangle in dimension space. The compenents of the vertex of the rectangle are computable numbers. A real function of variable is called computable if : first it maps a computable sequence of point in dimension space to a computable sequence of real numbers, second it is an effectively uniformly continuous function. In this skripsi, first it is shown the method to check whether a sequence is
2 computable or not. Next, some methods to determine whether a real number is computable are explored. Finally the way to prove that a real function of variable is computable is exposed. Keyword : sequence, convergence effectively, computable number, computable function. PENDAHULUAN Pada masa kini computer menjadi suatu alat yang mendasar untuk melakukan perhitungan baik dalam matematika, biologi, fisika, maupun teknik. Perkembangan computer dari masa ke masa berkembang sangat pesat. Pada tahun 1930 an Alan Turing menemukan sebuah mesin yang dapat menghitung dengan cepat. Fungsi fungsi yang dapatdioperasikan di dalam mesin turing adalah fungsi yang computable dimana input dari mesin turing ini adalah bilangan computable. Dalam perkembangannya, aplikasi dari fungsi computable sangat penting di bidang fisika khususnya fisika quantum. Dengan menggunakan fungsi computable seorang dapat mendefinisikan kejadian alam dalam model fungsi dan kemudian dihitung dengan mesin quantum. Mesin quantum ini inputnya adalah fungsi fungsi yang computable. Domain dari suatu fungsi computable adalah suatu persegi panjang computable. Persegi panjang computable adalah suatu pasangan bilangan real pada interval dengan ujung interval adalah bilangan computable. Terdapat beberapa metode dalam pendefinisian bilangan computable. Pertama adalah pendefinisian berdasarkan barisan bilangan yang konvergen [4]. Kedua berdasarkan irisan interval bersarang [6]. Ketiga berdasarkan metode Dedekind cuts[3]. Karena barisan bilangan real yang konvergen merupakan barisan Cauchy, maka cara pendefinisian bilangan computable berdasarkan barisan bilangan disebut juga pendefinisian barisan Cauchy. Pada makalah ini, semua definisi yang digunakan mengenai bilangan computable dan fungsi computable menggunakan definisi barisan Cauchy. Pendefinisian bilangan computable berdasarkan definisi barisan Cauchy sangat berkaitan dengan limit barisan bilangan rasional. Barisan bilangan rasional dikatakan konvergen jika limit barisan tersebut menuju suatu nilai tertentu, dan dikatakan divergen jika limit barisan tersebut tidak ada. Suatu barisan bilangan rasional yang dapat dinyatakan dalam tiga fungsi rekursif
3 tertentu disebut barisan computable. Kekonvergenan suatu barisan bilangan rasional yang dibatasi oleh suatu fungsi rekursif disebut konvergen secara efektif. Nilai limit dari suatu barisan bilangan rasional computable secara efektif disebut bilangan computable. METODE PENELITIAN Penelitian dilakukan dengan studi literatur. Materi-materi yang dipelajari tentang barisan bilangan, fungsi, fungsi rekursif, recursively enumerable set, recursive set, recursively enumerable non recursive set HASIL DAN PEMBAHASAN Pada pembahasan makalah ini, ditunjukkan bahwa semua bilangan rasional adalah bilangan computable. Penelitian lebih lanjut memperlihatkan bahwa tidak semua bilangan real adalah bilangan computable. Hal ini ditunjukkan dengan sebuah contoh adanya suatu barisan bilangan rasional konvergen ke suatu bilangan real dan kekonvergenannya tidak dapat secara efektif. Selain itu, dibahas barisan bilangan real yang computable. Pada akhir makalah ini, dibahas mengenai fungsi computable. Sebelum menunjukkan bilangan rasional adalah bilangan computable. Terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai bilangan computable. Definisi 1 Misalkan barisan adalah barisan bilangan rasional. Barisan ini disebut barisan computable jika terdapat fungsi rekursif,, dari N {0} ke N {0} sedemikian sehingga () 0 untuk semua N {0} dan = 1. [4] Definisi 2 Misalkan barisan bilangan rasional adalah barisan yang konvergen ke bilangan real. Barisan ( ) dikatakan konvergen efektif ke bilangan real jika terdapat sebuah fungsi rekursif : N {0} N {0} sedemikian sehingga untuk setiap N {0}, jika () mengakibatkan 2. [4] Definisi 3 Suatu bilangan real disebut computable jika terdapat barisan bilangan rasional computable yang konvergen effektif ke bilangan real.[4]
4 Berikut ini diberikan pembuktian bahwa semua bilangan rasional adalah bilangan computable. Lemma 1 Semua bilangan rasional merupakan bilangan computable. Bukti. Ambil sembarang bilangan Q, terdapat tiga kasus untuk nilai yaitu = 0, bilangan positif, bilangan negative. Kasus 1. Untuk bilangan positif. misalkan = dimana, N Bentuk barisan bilangan rasional dimana " +, > 0 = " 1, = 0 Pilih fungsi rekursif,, dan dari N {0} N {0} sebagai berikut : = 1 +, 0 = = 1 +, 0 = = 2 1, 0 = 2 Sedemikian sehingga setiap suku dapat dinyatakan = 1 Maka berdasarkan Definisi 1 adalah barisan computable. Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari N {0} N {0}, didefinisikan = 2 1, 0 = 1 Untuk semua nilai N {0}, dimana > () maka < = 2 Sehingga untuk semua N, > () berlaku = " + " = 1 < 1 = 2. Jadi barisan bilangan rasional konvergen efektif ke. Berdasarkan Definisi 3 maka = disebut bilangan computable.
5 Kasus 2. Untuk bilangan negatif Misalkan = dimana, N Bentuk barisan bilangan rasional dimana = " +, > 0 " 1, = 0 Pilih fungsi rekursif,, dan dari N N sebagai berikut : = 1 +, 0 = = 1 +, 0 = = 3 1, 0 = 1 Sedemikian sehingga setiap suku dapat dinyatakan = 1 Maka berdasarkan Definisi 1 adalah barisan computable. Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari N N, didefinisikamn = 2 1, 0 = 1 Untuk semua nilai N, dimana > () maka < = 2 Sehingga untuk semua N, > () berlaku = " + " = 1 < 1 = 2 Jadi barisan bilangan rasional konvergen efektif ke. Berdasarkan Definisi 3 maka = disebut bilangan computable.
6 Kasus 3. Untuk = 0 Bentuk barisan bilangan rasional dimana 1 =, > 0 1, = 0 Pilih fungsi rekursif,, dan dari N {0} N {0} sebagai berikut : = 1, 0 = 1 = 1 + 1, 0 = 0 = 2 1, 0 = 2 Sedemikian sehingga setiap suku dapat dinyatakan = 1 Maka berdasarkan Definisi 1 adalah barisan computable. Kemudian pilih sebuah fungsi rekursif dari N {0} N {0}, didefinisikan = 2 1, 0 = 1 Untuk semua nilai N {0}, dimana > () maka < = 2 Sehingga untuk semua N, > () berlaku 0 = 1 0 = 1 < 1 = 2 Jadi barisan bilangan rasional konvergen efektif ke 0. Berdasarkan Definisi 3 maka = 0 disebut bilangan computable. Pada Lemma 1 telah dibuktikan bahwa bilangan rasional adalah bilangan computable. Berikut ini akan diberikan sebuah contoh barisan bilangan rasional computable yang konvergen ke suatu bilangan real tetapi tidak secara efektif. Dalam pembuktian kekonvergenan tidak secara efektif diperlukan dua lemma berikut ini. Lemma 2 Misalkan : N {0} N {0} adalah fungsi rekursif satu-satu, dan : N 0 N {0} adalah waiting time function yang didefinisikan, = "#$ N {0}
7 untuk sembarang bilangan fix N 0. Jika membangkitkan suatu himpunan recursively enumerable non recursive maka tidak ada suatu fungsi rekursif sehingga N {0}.[4] Bukti. Andaikan terdapat fungsi rekursif yang memenuhi kriteria di atas yaitu untuk setiap N {0}, dengan = "#$ N {0} dan : N {0} N {0} adalah fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan sebuah recursively enumerable non recursive set. Jika dapat ditemukan suatu prosedur untuk menentukan suatu bilangan asli merupakan anggota dari himpunan atau bukan, maka himpunan disebut himpunan recursive (Dalen, 1998). Berikut ini akan diberikan suatu prosedur untuk memeriksa apakah suatu bilangan bulat tidak negatif merupakan anggota atau bukan. Untuk sembarang nilai fix N {0}, diperiksa apakah merupakan peta dari untuk nilai. Terdapat 2 kemungkinan untuk nilai () Kasus 1 terdapat nilai =. karena ada =, maka kasus 2 tidak ada nilai sehingga = untuk,, karena berarti untuk nilai maka. Karena tidak ada nilai =, sedangkan = "#$ N {0} mengakibatkan untuk nilai >, nilai. Sebab jika ada > dan < atau = maka merupakan. Karena untuk () dan > () berlaku () artinya. Jadi, N 0. Karena terdapat suatu prosedur untuk menentukan suatu bilangan asli merupakan anggota dari himpunan atau bukan, maka adalah himpunan rekursif bertentangan dengan pemisalan. Jadi, tidak ada suatu fungsi rekursif sehingga N {0}.
8 Lemma 3 (Optimal Modulus of Convergence) Misalkan : N {0} N {0} adalah fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan recursively enumerable non recursive set A dan adalah waiting time function. Pandang barisan = 2 dan misalkan = lim. Didefinisikan adalah bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga untuk jika 2 maka =, untuk N 0. [4] Bukti. Untuk sembarang nilai N {0}, = lim 2 2 = 2. Untuk membuktikan = dimana N 0, akan ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi yaitu untuk mengakibatkan 2. Berdasarkan definisi adalah nilai maksimum N 0 sedemikian sehingga, oleh karena itu sehingga 2 2. Terdapat 2 kasus untuk sembarang nilai N {0}. Kasus 1 untuk <. Karena = "#$ N {0}, untuk kasus 1 terdapat nilai N {0} dan >, sehingga =. Nilai 2 = 2 2. Oleh karena itu = 2 = Jadi, untuk <, 2. Kasus 2. untuk.
9 Karena deret 2 dimulai dari suku = + 1, maka tidak ada bilangan bulat positif [ + 1, ) sehingga = berlaku. Karena = "#$ N {0}. Maka untuk + 1, Jadi > akibatnya 2 2. = 2 2 = 2. Dapat disimpulkan merupakan nilai terkecil, jika maka 2. Contoh 1 Misalkan : N {0} N {0} adalah suatu fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan suatu recursively enumerable non recursive set. Misalkan adalah suatu barisan bilangan rasional computable yang didefinisikan sebagai = 2. Barisan konvergen ke, tetapi barisan tidak konvergen secara efektif ke. Berikut ditunjukkan bahwa barisan tidak konvergen efektif ke. Bukti. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan barisan konvergen efektif ke, berdasarkan Definisi 2 terdapat fungsi rekursif : N {0} N {0} sehingga untuk N {0} jika maka 2 Berdasarkan Lemma 3 adalah bilangan bulat non negatif terkecil untuk jika 2 maka =. Menurut Lemma 2 tidak ada fungsi rekursif. Tetapi ternyata ada fungsi rekurrsif e terjadi kontradiksi maka pemisalan salah. Jadi barisan tidak konvergen secara efektif ke. Pada Contoh 1 telah ditunjukkan barisan konvergen tidak secara efektif ke bilangan. Namun berdasarkan Definisi 3 bilangan belum dapat dikatakan bilangan tidak computable,
10 karena mungkin terdapat barisan bilangan rasional computable yang lain dan konvergen secara efektif ke bilangan. Untuk menunjukkan bilangan tidak computable, terlebih dahulu akan dibahas mengenai barisan bilangan real computable berikut ini. Definisi 4 Misalkan " adalah barisan bilangan real berganda dan adalah barisan bilangan real sedemikian sehingg a pada saat " konvergen ke untuk setiap. Dikatakan " konvergen effektif ke ( ) dalam dan jika ada sebuah fungsi rekursif N 0 N 0 N 0 sedemikian sehingga untuk setiap, N 0 jika (, ) mengakibatkan " 2. [4] Definisi 5 Suatu barisan bilangan real disebut computable jika terdapat suatu barisan bilangan rasional berganda " sedemikian sehingga " konvergen ke saat secara efektif dalam dan. [4] Berdasarkan Definisi 4, dapat diturunkan Definisi 6 sebagai berikut yang ekivalen dengan Definisi 5. Definisi 6 Suatu barisan bilangan real adalah computable jika terdapat barisan bilangan rasional berganda " sedemikian sehingga " < 2 dan. [4] Berikut akan diberikan pembuktian bahwa Definisi 5 ekivalen dengan Definisi 6. Teorema 1 Kedua pernyataan berikut ekivalen, 1. Sebuah barisan bilangan real disebut computable jika terdapat suatu barisan bilangan rasional berganda " sedemikian sehingga " konvergen ke saat secara efektif dalam dan. 2. Suatu barisan bilangan real adalah computable jika terdapat barisan bilangan rasional berganda " sedemikian sehingga " < 2 dan. Bukti. Jika pernyataan 2 maka pernyataan 1. Karena barisan bilangan real computable, berdasarkan pernyataan 2 terdapat barisan bilangan rasional berganda " yang memenuhi " 2. Pilih, = sehingga
11 untuk semua, jika, = mengakibatkan " 2 2. Artinya " konvergen secara efektif ke dalam dan. Jadi, pernyataan 1 berlaku Jika pernyataan 2 maka pernyataan 1. Karena barisan bilangan real computable, berdasarkan pernyataan 1 terdapat barisan bilangan rasional berganda " konvergen efektif ke dalam dan. Berdasarkan Definisi 4, terdapat fungsi rekursif, sehingga, jika, maka " < 2. Ambil sub barisan ", yang didefinisikan dengan ", sehingga N {0} nilai " barisan bilangan rasional berganda " pernyataan 2 berlaku. = ",. Terlihat " = ", 2. Karena terdapat sedemikian sehingga " Ambil sub barisan ", yang didefinisikan dengan ", sehingga N {0} nilai " barisan bilangan rasional berganda " pernyataan 2 berlaku. saat < 2 dan. Jadi, = ",. Terlihat " = ", 2. Karena terdapat sedemikian sehingga " saat < 2 dan. Jadi, Contoh 2 Misalkan : N {0} N {0} adalah suatu fungsi rekursif satu-satu yang membangkitkan suatu recursively enumerable non recursive set. Misalkan pula suatu barisan computable yang didefinisikan sebagai berikut, = 2. Misalkan " =, karena merupakan fungsi satu-satu maka barisan konvergen dengan lim =. Karena ( ) konvergen maka " akan konvergen ke = () saat, N {0}. Pada Contoh 1, diperlihatkan barisan tidak konvergen secara efektif ke. Jadi, barisan " tidak konvergen secara efektif ke dalam dan. Dalam pembuktian terdapat bilangan real yang tidak computable diperlukan dua lemma berikut ini.
12 Lemma 4 Closure under Effective Convergence Jika barisan adalah suatu barisan bilangan real berganda computable dan barisan " konvergen ke barisan saat secara efektif dalam dan, maka adalah barisan yang computable. [4] Bukti. Berdasarkan Definisi 5 akan dicari suatu barisan bilangan rasional " yang computable yang konvergen secara efektif ke dalam dan saat. Karena " adalah barisan berganda yang computable berdasarkan perluasan Definisi 6 terdapat barisan bilangan rasional "# sehingga "# " 2,,, karena " konvergen secara efektif ke dalam dan, maka menurut perluasan Definisi 5 terdapat suatu fungsi rekursif, jika, maka ". Didefinisikan suatu barisan " = ",, karena ", adalah sub barisan "# yang computable maka " juga computable. Oleh karena itu diperoleh " = " " + " " " + " = ",, + " = 2. Jadi, " konvergen secara efektif ke. Menurut Definisi 5 barisan adalah barisan yang computable.
13 Lemma 5 (monotone convergence) Misalkan " adalah suatu barisan berganda dari bilangan real computable yang monoton naik yang konvergen ke barisan saat. Maka computable jika dan hanya jika kekonvergenannya efektif dalam dan. [4] Akibat Lemma 5 Jika suatu barisan yang monoton naik dan computable, konvergen ke x maka computable jika dan hanya jika kekonvergenan secara efektif. Pada Contoh 1, barisan = 2 adalah suatu barisan monoton naik dan computable. Barisan konvergen ke bilangan real tidak secara efektif. Berdasarkan Akibat Lemma 5, maka bilangan real tidak computable. Setelah pembahasan mengenai bilangan computable berikut akan diberikan sifat operasi penjumlahan dua barisan computable dan pengertian fungsi computable dan contoh fungsi computable. Lemma 6 Misalkan dan adalah barisan pada bilangan real yang computable maka barisan dengan = +, adalah barisan bilangan real yang computable. Bukti: Karena barisan computable, berdasarkan Definisi 3.16 terdapat barisan bilangan rasional " ", dan. Karena barisan computable, berdasarkan Definisi 3.16 terdapat barisan bilangan rasional " " dan. Didefinisikan barisan bilangan rasional berganda " " sebagai berikut, " " = " + " maka diperoleh " " = " + " = " + " " + " + = 2 Jadi, barisan adalah barisan computable.
14 Definisi 7 Persegi panjang computable yang tutup dan terbatas di R adalah =,,,, = 1,2,,, dan bilangan "#$%&'()* Definisi 8 (Fungsi yang Squentially Computable) Misalkan R adalah persegi panjang computable yang tertutup dan terbatas di R. Sebuah fungsi : R disebut fungsi yang squentially computable, jika memetakan barisan yang computable di ke R yaitu =,,, dimana =, ",, " dan = R serta barisan adalah barisan yang computable. [4] Definisi 9 (Fungsi yang Effectively Uniformly Continuous) : R disebut Fungsi yang effectively Uniformly Continuous jika suatu fungsi rekursif : N N, N jika maka berlaku 2 dengan menyatakan panjang vector pada R. [4] Definisi 10 Fungsi variabel yang computable Misalkan : R disebut computable jika squentially computable and effectivelly uniformly continuous. [4] Contoh 2 Misalkan R, misalkan pula =,,,. Misalkan adalah barisan bilangan real dari titik di dan =, ",, =,,, Karena adalah barisan computable of points maka =, ",, adalah barisan bilangan real yang computable " dengan Definisikan : R sebagai berikut
15 adalah fungsi computable. KESIMPULAN :,,, Tidak semua bilangan real merupakan bilangan yang computable. Semua bilangan rasional adalah bilangan computable DAFTAR ACUAN [1] Borwein, J.M and Borwien, P.B Ramunajan and Pi. Scientific American. [2] Dalen, D. V Logic and Structure. Third edition. Springer-Verlag. [3] Dedekind, Richard Essays on the Theory of Numbers. New York: Dover Publications. [4] Marian B.P. dan Jonathan I. R Computability in Analysis and Physics, First Edition.. Springer-Verlag. [5] Rosen, K. H Discrete Mathematics and Its Aplication, Sixth edition. Mc Graw Hill. [6] Weirauch, K Computable Analysis an Introduction, Third edition. Springer-Verlag
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF
ITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF Agung Anggoro, Siti Fatimah 1, Encum Sumiaty 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: agung.anggoro@student.upi.edu ABSTRAK. Misalkan
Lebih terperinciBAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
Lebih terperinciHUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan
Lebih terperinciRUANG LIPSCHITZ. Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. *Surel: : (, ) Ϝ
RUANG LIPSCHITZ Muhammad Rifqi Agustian 1), Rizky Rosjanuardi 2), Endang Cahya 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: Muhammadrifqyagustian@yahoo.co.id ABSTRAK. Diberikan ruang
Lebih terperinciSYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION Azki Nuril Ilmiyah Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id ABSTRAK Nama Program Studi
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciEKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND. Nursiya Bito. Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
EKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND Nursiya Bito Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRACT In this paper, we will try to proof existence of
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinciDwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET
1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta
FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 51 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE DEBI OKTIA HARYENI
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciFORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci. Rini Adha Apriani ABSTRACT
FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci Rini Adha Apriani Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciKekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol 9 No 2, Oktober 2013 pp 53-57 Kekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut Badrulfalah dan Iin Irianingsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciPERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA
Eksakta Vol 8 No Oktober 07 http://eksaktappjunpacid E-ISSN : 549-7464 P-ISSN : 4-374 PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA Prodi Matematika Jurusan Matematika FMIPA
Lebih terperinciKonstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur
Konstruksi Pelabelan- Pada Line Digraph dari Graf Lingkaran Berarah dengan Dua Tali Busur Ma rifah Puji Hastuti, Kiki Ariyanti Sugeng, Denny Riama Silaban Departemen Matematika, FMIPA Universitas Indonesia,
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciSYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL
SYARAT KEKONTINUAN FUNGSI KONVERGENSI PADA BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Eddy Djauhari Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl Raya Bandung-Sumedang
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang
Lebih terperinciKetunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach
Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Vol. 11, No. 2, 139-148, Januari 2015 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass NaimahAris 1, Jusmawati M 2,Islamiyah Abbas 3, Abstrak Dalam tulisan ini dibahas pembuktian teorema
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi 1 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas 1, Naimah Aris 2, Jusmawati M 3. Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian
Lebih terperinciKONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 1 KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK Fikri Firdaus, Sunarsini, Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciIntegral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes. The Stieltjes Integrals of Baire-1, Henstock and Riemann
Integral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes Kalfin D Muchtar 1, Jullia Titaley 2, Mans L Mananohas 3 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT Manado, kalfin_muchtar@yahoocom 2
Lebih terperinciDefinisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
DERET TAK HINGGA Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u 3 + + u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciKajian Fungsi Metrik Preserving
Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinci1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak
Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciMENGHITUNG BANYAKNYA BILANGAN PRIMA YANG LEBIH KECIL DARI ATAU SAMA DENGAN SUATU BILANGAN BULAT n ABSTRACT
MENGHITUNG BANYAKNYA BILANGAN PRIMA YANG LEBIH KECIL DARI ATAU SAMA DENGAN SUATU BILANGAN BULAT n Polorida 1, Asli Sirait, Musraini M. 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciTEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA
TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA Eddy Djauhari Departemen Matematika Fmipa Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung-Sumedang km. 21, tlp./fax. : 022-7794696, Jatinangor, 45363 Email : eddy.djauhari@unpad.ac.id
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS SAGITA CHAROLINA SIHOMBING 1006786266 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciUJM 4 (1) (2015) UNNES Journal of Mathematics.
UJM 4 (1 (2015 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN L(3,2,1 DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS Meliana Deta Anggraeni, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciLIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF
LIPATAN GRAF DAN KAITANNYA DENGAN MATRIKS INSIDENSI PADA BEBERAPA GRAF Septian Adhi Pratama 1, Lucia Ratnasari 2, Widowati 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H.
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciLECTURE 7: THE CUANTOR SET
LECTURE 7: THE CUANTOR SET A. The Cantor Middle-Thirds Set Pada bagian ini, kita akan mendiskusikan konstruksi himpunan Cantor Middle-Thirds atau cukup disebut himpaunan Cantor. Kita akan melihat bagaimana
Lebih terperinciRizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
ISSN: 978-44 Vol. No. (Juni 07) Hal. 30-37 SIFAT-SIFAT FUNGSI PHI EULER DAN BATAS PRAPETA FUNGSI PHI EULER Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciINTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE
INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE Ikram Hamid Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT In this paper, we discuss a Riemann-type
Lebih terperinciIDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP
Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted
Lebih terperinciBARISAN BILANGAN REAL
BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciKonvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciBAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 65-7 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciHukum Iterasi Logaritma
Hukum Iterasi Logaritma Sorta Purnawanti 1, Helma 2, Dodi Vionanda 3 1 Mathematics Department State University of Pag, Indonesia 2,3 Lecturers of Mathematics Department State University of Pag, Indonesia
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W
ANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 61-66 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciTrayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks
Trayektori ortogonal dan pemetaan konformal pada fungsi kompleks (On the othogonal trajectories and conformal mapping of complex variable functions) Kus Prihantoso Krisnawan dan Atmini Dhoruri Jurusan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciKONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD Khoiroh Alfiana, Siti Khabibah, Robertus Heri S.U,, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB III. PECAHAN KONTINU dan PIANO. A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional
BAB III PECAHAN KONTINU dan PIANO A. Pecahan Kontinu Tak Hingga dan Bilangan Irrasional Sekarang akan dibahas tentang pecahan kontinu tak hingga yang diawali dengan barisan tak hingga bilangan bulat mendefinisikan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciBAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI
BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI Bab ini membahas tentang fungsi uji dan distribusi di mana ruang yang memuat keduanya secara berturut-turut dinamakan ruang fungsi uji dan ruang distribusi. Ruang fungsi
Lebih terperinciMisal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO PENYELESAIAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2012/2013 Mata Ujian : Analisis Real 1 Tipe Soal : Reguler Dosen : Dr. Julan HERNADI Waktu : 90 menit
Lebih terperinciSIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 016 SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF AMALGAMASI BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 6 13 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF AMALGAMASI BINTANG FADHILAH SYAMSI Program Studi Matematika, Pascasarjana
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT. ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara Pendahuluan Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL
Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 1-10 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN (Online) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/ PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED
Lebih terperinciKEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT ABSTRACT
KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT Apriadi, Sri Gemawati 2, Musraini 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBarisan Deret ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan. August 30, Yogyakarta. Krisnawan Pertemuan 1, 2, & 3
ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan August 30, 0 Yogyakarta Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan. Limit Monoton Pada bagian ini
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT. Masnida Esra Elisabet ABSTRACT
MODIFIKASI METODE CAUCHY DENGAN ORDE KONVERGENSI EMPAT Masnida Esra Elisabet Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSATAKA
4 II. TINJAUAN PUSATAKA 2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm
Lebih terperinciPengantar Matematika. Diskrit. Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diksrit RINALDI MUNIR INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Sekolah Teknik Elrektro dan Informatika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Pengantar Matematika Bahan Kuliah IF2091 Struktur Diksrit Diskrit RINALDI MUNIR Lab Ilmu dan Rekayasa
Lebih terperinci