PREMIUM PRICING IN HEALTH INSURANCE BY NELSON- AALEN ESTIMATOR

Transkripsi

1 REMIUM RICING IN HEALTH INSURANCE BY NELSON- AALEN ESTIMATOR Najmah Isikaanah rogram Sudi endidikan Maemaika FMIA IKI GRI Semarang Jl. Sidodadi Timur No. 24 Semarang ABSTRACT In his paper he using of Nelson Aalen esimaors are presened o esimae ransiion probabiliies of mulisae model. Based on discree ime Markov, we will ge ransiion marices which he elemens are ransiion probabiliies from Nelson Aalen esimaor. Because of he daa ha used in he consrucion of ransiion marices are person s healh hisories, hen i can be seen as a morbidiy value, which can be used o premium pricing. Key words: Markov process, mulisae model, Nelson Aalen, ransiion probabiliy.. endahuluan Kegiaan asuransi pada saa ini elah berkembang dengan pesa sekali, bahkan di banyak negara elah merupakan indusri ersendiri. Jenis asuransi juga makin bervariasi, mula-mula lebih erarah pada barang, kemudian pada jasa, unuk selanjunya keika hidup dan kehidupan mulai dapa dinilai dalam benuk rupiah (concep of human life value), berkembanglah asuransi jiwa (life insurance) sera asuransi kesehaan (healh insurance.) Asuransi kesehaan merupakan cara unuk mengaasi resiko dan keidakpasian perisiwa saki sera semua biaya- biaya yang diakibakannya. Dalam penenuan besar premi maka suau perusahaan asuransi perlu mengeahui besarnya peluang seseorang mengalami penyaki erenu dan besar peluang seseorang yang menderia penyaki erenu unuk meninggal. Unuk mengeahui besarnya peluangpeluang ransisi ini maka digunakanlah model muli saus dimana kondisi seseorang dibagi menjadi beberapa saus. Besarnya peluang- peluang ransisi ini diperoleh berdasarkan aas riwaya kesehaan seseorang. Dalam proses sokasik mulisaus peluang peluang ransisi dicari dengan menggunakan inensias ransisi sebagai komponen uama dalam pembenukan model dan merupakan jalan yang menghubungkan daa-daa awal menjadi suau formula penyelesaian. Model mulisaus pada peneliian kali ini memiliki enpa saus, yaiu seha, saki kaegori, saki kaegori 2 dan saki kaegori 3. Menuru Aalen dan Johansen (978), peluang ransisi ini dapa diesimasi dari inegral perkalian marik inensias ransisi dengan asumsi proses Markov berlaku yang kemudian dikenal sebagai esimaor

2 Nelson- Aalen. Esimaor inilah yang digunakan pada peneliian kali ini yang selanjunya dapa digunakan unuk mencari premi pada model mulisaus dalam asuransi kesehaan. 2. Landasan Teori 2. Teori eluang dan Disribusi eluang Definisi 2.. (Bain dan Engelhard, 992) Apabila dilakukan suau percobaan, S dimisalkan merupakan ruang sample dan A, A 2,... merupakan kejadian- kejadian yang mungkin. Suau himpunan yang memeakan (A) yang bernilai real dengan iap- iap kejadian A disebu sebagai fungsi himpunan peluang, kemudian (A) disebu peluang dari A, yaiu jika memenuhi sifa- sifa beriku ini: 0 A ( ) unuk seiap A (2. ) S ( ) (2. 2) Ai ( Ai) (2. 3) i i dimana A, A 2,...adalah kejadian yang saling asing Definisi 2..2 (Bain dan Engelhard, 992) Variabel random X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sample S yang bernilai real. Apabila semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan suau himpunan yang dapa dihiung baik berhingga x, x2,... x n aau ak berhingga 2 x, x,..., maka X disebu sebagai variable random diskre. Kemudian fungsi 2 f ( x) X x x x, x,... (2. 4) menyaakan peluang masing - masing nilai yang mungkin dari x, yang kemudian disebu sebagai fungsi kepadaan peluang diskre (discree pdf). Apabila X adalah variabel random diskri dengan fungsi kepadaan peluang f(x), maka harga harapan dari X dapa didefinisikan oleh E[ X ] f ( x) 2.2 roses Sokasik x (2. 5)

3 roses sokasik adalah himpunan variable acak yang merupakan fungsi waku aau sering pula disebu proses acak (random process). Ruang saus adalah himpunan harga- harga yang mungkin unuk suau variable acak X n. X n dari suau proses sokasik, n ada proses sokasik banyak sekali proses yang mempunyai sifa khas, salah saunya adalah yang sering disebu dengan sifa Markov. Definisi 2.2. (Ross, 2003) Sifa Markov dinyaakan dengan hubungan seperi dibawah ini, jika xn, n 0 merupakan suau proses sokasik dengan sifa ( X x X x, X x,..., X x ) ( X x X x ) n n 0 0 n n n n n n (2. 6) Suau proses Markov X ( ), T dapa memiliki ruang saus diskre maupun koninu. roses Markov yang memiliki ruang saus diskre seperi diaas disebu ranai Markov. Ranai Markov ruang diskre dikaakan sasioner aau homogen dalam waku jika peluang pergerakan dari suau saus ke saus yang lain adalah independen erhadap waku dimana unuk seiap saus i dan j berlaku : X j X i X j X i n n n n dimana = -(n-), -(n-2),..., -, 0,, 2,... ij (2. 7) 2.3 Fungsi Survival Model survival adalah suau disribusi peluang unuk suau jenis variabel random erenu. Survival ime dapa didefinisikan sebagai waku hingga erjadinya suau kejadian (even). Jika T melambangkan survival ime, maka fungsi survival dilambangkan dengan S (), yang didefinisikan sebagai peluang suau individu akan berahan lebih lama dari S() T ( T ) F ( ) 0 S( ), S(0), S( ) 0 (2.8)

4 Unuk variable random koninu, fungsi kepadaan peluang (DF) didefinisikan sebagai urunan dari F () sehingga dapa diulis d f ( ) F( ) (2.9) d Dari persamaan (2.8) maka diperoleh d f ( ) ( S( )) d d S () d Fungsi hazard disimbolkan dengan () didefinisikan sebagai (2.0) f() () (2.) S () Dari persamaan (2.0) akan diperoleh d S () () d S () sehingga d ln S ( ) (2.2) d ln S( ) ( y) dy (2.3) aau dengan kaa lain 0 S( ) exp ( y) dy (2.4) 0 Dengan demikian fungsi densias f() dapa diulis kembali menjadi f ( ) ( )exp ( y) dy (2.5) 0 Fungsi Hazard Kumulaif (CHF) disimbolkan dengan A dapa didefinisikan sebagai A( ) ( y) dy (2. 6) 0 ersamaan (2. 20) ini digunakan pada daa yang bersifa koninu. Dengan demikian perlu dikeahui benuk fungsi kumulaif hazard pada kasus diskre.ada kasus diskre waku

5 dapa diparisi sebagai 2... n, Misalkan N () adalah jumlah ransisi dari saus h ke saus j dalam inerval [0, ] dan Yh () adalah jumlah individu dalam saus h pada saa -, maka fungsi kumulaif hazard dapa diesimasi dengan N ( ) ˆ hj n Ahj () = å (2. 7) n Y ( n) h ersamaan inilah yang selanjunya dikenal sebagai esimaor Nelson Aalen. hj 3. EMBAHASAN Dalam model mulisaus dengan ruang saus 0,,,K, misalkan X (T) menunjukkan saus seorang individu pada waku. Dengan demikian peluang ransisinya dapa diesimasi dan dimodelkan dengan (3. ) dimana h dan j adalah saus dan inerval [0, s ). adalah serangkaian proses mulisaus selama eluang ransisi ini dapa diuliskan dalam benuk mariks [ s, ] ( hj ( s, )), yaiu é ( s, ) 2 ( s, ) K n( s, ) ù 2 ( s, ) 22 ( s, ) K 2 n( s, ) ( s, ) = M M M M ê n( s, ) n 2( s, ) nn ( s, ) ú ë K û (3. 2) Menuru Aalen dan Johansen (978), peluang ransisi pada persamaan (3. ) dapa diesimasi dari inegral perkalian marik inensias ransisi dengan asumsi proses Markov berlaku yang kemudian dikenal sebagai esimaor Nelson- Aalen. Definisi 3.2. (Aalen dan Johansen, 978) Misalkan Nhj () adalah jumlah ransisi dari saus h ke saus j dalam inerval [0, ] dan Yh () adalah jumlah individu dalam saus h pada saa -, maka esimasi inensias ransisi (3. 7.) dari saus h ke saus j didefinisikan dengan [ ( s) ¹ 0] ˆ I Y ( ) h Aij = ò dnhj ( s ) (3.3) 0 Y () s h

6 dimana I( Y ( s) 0) h ì Yh ( s) ¹ 0 ¹ = ï í ï ïî 0 Yh ( s) = 0 Dari definisi diaas maka dapa dibenuk suau mariks yang komponenkomponennya merupakan esimaor Nelson-Aalen, yaiu Aˆ () éaˆ ( ) Aˆ ˆ 2( ) A n( ) ù K ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ êa A K A ( ) ú M M M M êa ˆ ˆ ˆ n( ) An 2( ) Ann ( ) ú ë K û n = ê ú dengan Aˆ ˆ hh =-å A hj () j¹ h (3. 4) ada peneliian model mulisaus ini, pendekaan waku yang dipakai adalah diskre. Semenara dikeahui bahwa benuk esimaor Nelson-Aalen (3. 0) merupakan penyelesaian unuk pendekaan model waku koninu. Model mulisaus kali ini, waku yang ada dapa diparisi dalam benuk 0,, 2, 3,..., n, n +,... dimana 0 = 0 < < 2 < 3... < n< n + <.... Dengan demikian sesuai berdasarkan persamaan (2.23) pada bab sebelumnya, maka persamaan (3. 3) dapa diuliskan kembali sebagai ì 0, n Aˆ hj () = ï í Nhj ( n) ï å (3. 5), n n ïî Yh ( n) Kemudian unuk mariks peluang ransisi (3. 2) dapa diesimasi dengan ˆ[, ] p s = éi+ daˆ ( u ) ù ë û ( s, ) ( 3. 6) dimana I merupakan mariks idenias berukuran (K+) x (K+) dan p adalah inegral perkalian (Aalen & Johansen, 978). Definisi (Gill, 2004) Misalkan X() adalah mariks yang komponen- komponennya merupakan fungsi dari waku, Î [ 0, ]. Kemudian dimisalkan juga X mempunyai llmi kiri kanan, maka inegral perkalian dari X selama (0, ] dapa didefinisikan dengan

7 p lim ( s, ) i i- [ + dx ( s) ] = ( + ( X ( )- X ( )) max - 0 I I (3.7) Berdasarkan definisi maka selanjunya esimaor peluang ransisi pada persamaan (3. 6) unuk model waku diskre akan menjadi ˆ[ s, ] = é A ˆ ( ) A ˆ ( ) A ˆ ë I + ù û é ë I + + ù ûl é ë I + ( u ) ù û (3. 8) Model mulisaus yang akan dibahas ini kali memiliki empa saus, yaiu seha, saki kaegori, saki kaegori 2, saki kaegori 3. i i Gambar. Model Mulisaus dengan Empa Saus Beriku adalah penjelasan dari simbol-simbol pada Gambar 0 : Seha 2 : Saki kaegori 2 : Saki kaegori 3 : Saki kaegori 3 eluang ransisi model mulisaus dengan empa saus ini dapa diuliskan dalam benuk mariks [ s, ] ( ( s, )) hj é 00( s, ) 0 ( s, ) 02 ( s, ) 03 ( s, ) ù 0 ( s, ) ( s, ) 2 ( s, ) 3 ( s, ) ( s, ) = 20 ( s, ) 2 ( s, ) 22 ( s, ) 23 ( s, ) (3. 9) ê 30( s, ) 3 ( s, ) 32 ( s, ) 33 ( s, ) ú ë û Unuk mengesimasi nilai peluang- peluang ransisi ini maka digunakan esimaor Nelson Aalen. Dari persamaan (3. 4) maka unuk model asuransi kesehaan dengan empa saus ini dapa dibenuk mariks yang komponen- komponenya berisi esimaor Nelson Aalen yaiu :

8 éa ˆ 00( ) Aˆ 0( ) Aˆ 02( ) Aˆ 03( ) ù ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A0 ( ) A ( ) A2 ( ) A3 ( ) A () = (3. 0) Aˆ ˆ ˆ ˆ 20( ) A2 ( ) A22 ( ) A23 ( ) Aˆ ˆ ˆ ˆ êë 30( ) A3 ( ) A32 ( ) A33 ( ) úû dengan Aˆ ˆ hh =-å A hj () j¹ h Tujuan akhir dalam perhiungan akuaria di bidang asuransi adalah peneapan harga premi. erhiungan premi yang akan dibahas dalam bagian ini adalah premi bersih. Menuru Bowers dkk (997) nilai sekarang unuk asuransi jiwa berjangka n ahun dengan memberikan uni pada akhir ahun kemaian (diskre), unuk seorang individu yang berusia x ahun dirumuskan dengan xn : n A v p q (3. ) k0 k k x xk Analog dengan persamaan diaas maka selanjunya dapa dicari perumusan premi unuk model mulisaus dalam asuransi kesehaan. Apabila digunakan conoh aplikasi sebelumnya yaiu model asuransi kesehaan dengan empa saus maka akan didefinisikan erlebih dahulu variabel-variabel yang ada dalam persamaan(3. ) dengan langkah- langkah beriku ini :. eriode yang digunakan adalah hari, dengan demikian x,k,n menyaakan banyaknya hari. 2. k p x diganikan dengan peluang seseorang yang seha pada hari ke- akan eap seha selama k hari( 00 ), peluang seseorang yang saki kaegori pada hari ke- akan eap saki kaegori selama k hari ( ), peluang seseorang yang saki kaegori 2 pada hari ke- akan eap saki kaegori 2 selama k hari( 22 ), peluang seseorang yang saki kaegori 3 pada hari ke- akan eap saki kaegori 3 selama k hari ( 33 ). 3. q x k diganikan dengan peluang seseorang yang seha pada hari ke- +k akan saki kaegori seelahnya( 0 ), peluang seseorang yang seha pada hari ke- +k akan saki kaegori 2 seelahnya ( 02 ), peluang seseorang yang seha pada hari ke- +k akan saki kaegori 3 seelahnya( 03 ).

9 4. ada model ini erdapa ransisi anar masing masing kaegori saki sehingga erdapa peluang 0, 2, 3, 20, 2, 23, 30, 3, 32 yang definisinya analog dengan yang sebelumnya. Secara umum dapa dinyaakan bahwa merupakan peluang seseorang yang memiliki saus j pada hari ke +k akan berada pada saus h seelah hari ke +k. Dengan demikian akan diperoleh premi unuk model dengan empa saus yaiu NS b v (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) i (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) b3 v jh i (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) b v dengan i =, n dimana n merupakan banyaknya inerval waku v = ingka suku bunga perhari. b = besar sanunan unuk saki kaegori b 2 = besar sanunan unuk saki kaegori 2 b 3 = besar sanunan unuk saki kaegori 3 (0, ) (, ) i i i 23 (3.2) 4. ALIKASI NUMERIK Dalam sudi digunakan daa yang ersedia di salah sau klinik pengobaan. ada daa ini jumlah subjek adalah sebanyak 4892 orang dan erdapa 2880 kejadian. ada daa ini biaya pengobaan akan mengkaegorikan ingka penyaki pasien. Tabel engkaegorian Biaya engobaan Biaya Kaegori Dengan demikian model mulisaus pada daa ini erdapa empa saus, yaiu : seha(0), saki kaegori (), saki kaegori 2 (2), saki kaegori 3 (3). ada daa ini ransisi

10 anar saus dimungkinkan erjadi sehingga seseorang yang berada dalam saki kaegori dapa menjadi saki kaegori 2 maupun 3 dan begiupun sebaliknya. Dari daa ersebu maka dibenuk mariks yang menghubungkan anara pasien dengan waku kedaangan. Dari 2880 daa diperoleh 393 iik waku kedaangan selama 894 hari. ada peneliian ini awalnya semua pasien berada dalam kondisi seha sehingga pada = 0 semua pasien berada dalam saus 0. Dengan demikian dapa dibenuk mariks berukuran 4892 X 394, di mana pasien menyaakan baris dan iik waku kedaangan menyaakan kolom. Kemudian misalkan ( 0, ) merupakan inerval aau selang waku anara iik waku perama dan kedua yang selanjunya cukup akan diulis dengan saja, maka akan diperoleh sebanyak 393 inerval iik waku yang berupa ( n, n). ada daa ini akan diperoleh 393 mariks 4 X 4 yang komponen- komponennya merupakan esimaor Nelson Aalen. Kemudian dapa dicari peluang ransisi di semua inerval waku yang diinginkan. ˆ[, ] ˆ ( ) n _ n = é ëi+ A ù n û ˆ[ ˆ ˆ ˆ 0, n ] = é ëi + A ( ) ùé ûë I + A ( 2 ) ù û... é ëi + A ( n ) ù û ada daa ini akan dicari semua ˆ[, ] ˆ ( ) n _ n = é ëi+ A ù n û dan ˆ[ ˆ ˆ ˆ 0, n ] = é ëi + A ( ) ùé ûë I + A ( 2 ) ù û... é ëi + A ( n ) ù ûdimana n = 393. Dengan demikian akan diperoleh 2785 mariks 4 X 4 yang komponen- komponennyanya merupakan peluang ransisi.(lampiran ) erhiungan benefi diperoleh dari raa- raa biaya pengobaan pasien perkaegori. Beriku ini akan disajikan nilai benefi masing- masing kaegori Tabel 2 Nilai Benefi perkaegori Kaegori Benefi (b) Rp 2.359,33 2 Rp ,64 3 Rp ,62 eneliian ini menggunakan periode hari, maka erlebih dahulu perlu dicari suku bunga perhari sehingga dengan menggunakan suku bunga SBI 0,06 maka akan diperoleh premi unggal bersih jangka waku 894 hari

11 NS v (2359,33) (0, ) (, 2 ) (0, ) (, ) (0, ) (, 2 ) (35685,64) (67962,62) i (0, i ) ( i, i) ( v i (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) v 0, ) (, ) (0, ) (, ) i i i i i i ENUTU Dalam arikel ini dibahas enang konsruksi model peluang ransisi model mulisaus dengan asumsi Markov waku diskre. eluang ransisi yang berasal dari esimaor Nelson Aalen ini selanjunya dapa digunakan unuk perhiungan premi pada model mulisaus dalam asuransi kesehaan. : erhiungan premi dapa diperoleh dengn mengikui alur premi asuransi jiwa berjangka. Dengan demikian unuk premi unuk model mulisaus dengan empa saus diperoleh NS b v (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) i (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) b3 v i (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) (0, i ) ( i, i) b v dengan i =, n dimana n merupakan banyaknya inerval waku v = ingka suku bunga perhari. b = besar sanunan unuk saki kaegori b 2 = besar sanunan unuk saki kaegori 2 b 3 = besar sanunan unuk saki kaegori 3 (0, ) (, ) i i i Makalah ini hanya membahas model premi unggal unuk asuransi kesehaan individu berjangka sehingga perlu unuk produk asuransi kesehaan yang lain : misal kelompok. Model muli saus yang digunakan pada makalah ini anpa diberikan pengaruh kovaria sebagai informasi ambahan dari riwaya kesehaan pasien sehingga diperlukan sudi lebih lanju dengan adanya pengaruh kovaria. 23

12 DAFTAR USTAKA Aalen, dkk, 2008, Survival and Even Hisory Analysis, Springer. Andersen dan. Klein, 2006, Regression Analysis for Mulisae Models Based on a seudo-value Approach wih applicaions o Bone Marrow Transplanaion Sudies, Scandinavian Journal of Saisics, Oxford. Bain, L. J., dan Engelhard, Max, 992, Inroducion o robabiliy andmahemaical Saisics 2nd Ediion, Duxbury ress, Belmon, California Bowers, dkk, C.J., 997, Acuarial Mahemaics 2nd Ediion, The Sociey of Acuaries, Iasca, Illinois. Gill, 200, roduc Inegraion, Mahemaical Insiue, Neherlands. Haberman, S. and iacco, E., 999, Acuarial Models for Disabiliy Insurance, Chapman and Hall, London. Jones, B.L., 993, Modelling Muli-Sae rocesses Using a Markov Assumpion, Acuarial Research Clearing, 993, Jones, B.L., 994, Acuarial Calculaions Using a Markov Model, Transacions of he Sociey of Acuaries, 46, Klein dan Moeschberger.997. Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncaed Daa. Springer Verlag. New York. London, Dick, 997, Survival Models and Their Esimaion 3rd Ediion, Acex ublicaion, Winsed. Lee, E.T., 992, Saisical Mehods for Survival Daa Analysis 2nd Ediion, John Wiley & Sons, New York Marinussen dan Scheike, 2006, Dynamic regression Models for Survival Daa, Springer. rapono, M.A, 986, enganar roses Sokasik I, Karunika, Jakara. Ross, S. M. 996, Sochasic rocesses. John Wiley& Sons, New York. Ross, S. M., 2003, Inroducion o robabiliy Models 8h Ediion, Academic ress, Barkeley, California. Waers, H.R., 984, An Approach o The Sudy of Muliple Sae Models, Journal of he Insiue of Acuaries,,