PERSAMAAN FOKKER PLANCK DAN APLIKASINYA DALAM ASTROFISIKA

Transkripsi

1 BerkalaFisika ISSN : Vol 13., No., Edisi khusus April 1, hal A1-A6 PERSAMAAN FOKKER PLANCK DAN APLIKASINYA DALAM ASTROFISIKA Dwi Saya Palupi Jurusan Fisika,FMIPA UGM dwi_sp@ugm.ac.id Absrac I has been esablished Fokker-Planck equaion o obain he evoluion of paricle disribuion funcions ha describe he moion of paricles in a fluid ha can no be described by he Liouville equaion. Fokker-Planck equaion conains a diffusion componen paricles and he ineracion beween he paricles will be discussed applicaion of Fokker-Planck equaion in asrophysics since he plasma in he form of inersellar space so ha here is ineracion beween he paricles making up he plasma. Keywords: Fokker-Planck, plasma, asrophysics Absrak Telah dibenuk persamaan Fokker-Planck unuk mendapakan evolusi fungsi disribusi parikel yang menggambarkan gerakan parikel dalam suau fluida yang idak dapa digambarkan oleh persamaan Liouville. Persamaan Fokker-Planck berisi komponen diffusi parikel dan ineraksi anar parikel Akan dibahas aplikasi Persamaan Fokker-Planck dalam asrofisika menginga ruang anar binang berupa plasma sehingga erdapa ineraksi anara parikelparikel penyusun plasma. Kaa Kunci: Fokker-Planck, plasma, asrofisika PENDAHULUAN Tinjau suau sisem yang erdiri M parikel dengan M cukup besar. Gerakan parikel-parikel ersebu dapa dicari dengan menyelesaikan persamaan Liouville[Boris Somov, 6][6] yaiu f F v r f v f (1) m Dengan f adalah fungsi disribusi parikel. F adalah gaya yang bekerja pada parikel. Teorema Lioville menyaakan fungsi disribusi parikel menjadi konsan jika dipenuhi syara divv v. Pers.(1) merupakan persamaan koninuias dengan syara div v v. Apabila parikel berumbukan sehingga parikel mengalami perlambaan aau mendapa gaya gesek sebagai F kv maka syara diaas idak erpenuhi sehingga persamaan Lioville idak dapa digunakan. Sebagai ganinya evolusi fungsi disribusi diganikan oleh persamaan Fokker Planck [5] yang akan diurunkan dalam makalah ini. Unuk kesederhanaan akan diiinjau erlebih dahulu persamaan Fokker Planck sau dimensi. Kemudian persamaan Fokker-Planck dalam ruang kecepaan dan beberapa aplikasi persamaan Fokker-Planck dalam asrofisika. Sebagai akiba erjadi umbukan anar parikel, parikel mengalami perubahan arah gerak secara acak. Parikel yang disebu sebagai parikel Brownian ersebu memiliki fungsi f r, v, dan mengalami disribusi proses diffusi. Gerakan parikel bersifa acak, dan gerakan parikel idak dipengaruhi oleh gerakan parikel sebelummya aau dengan kaa lain parikel idak dapa menginga lagi gerakan sebelumnya. [3],[5]. Dengan kaa lain parikel mengikui proses Markov. Jika pergeseran parikel pada A1

2 Dwi Saya Palupi Persamaan Fokker Planck dan Aplikasinya.. suau saa adalah X ( ) dan fungsi f r, v, dinyaaakan dalam disribusi probabilias ransisi posisi x dari saa s menjadi x di saa adalah P( x, s; x, ) dengan s <., maka rapa probabilias ransisi aau fungsi disribusi diberikan oleh p( x, s; x, ) dx Pr x X( ) x dx X x dengan P( x, s; x, ) = Pr x X ( ) x dx X x. () Unuk proses yang homogen rapa probabilias ransisi hanya erganung pada selang inerval ( - s) maka rapa probabilias ransisi dapa dinyaakan hanya dengan parameer, x, x, (-s) saja. Sehingga Pr x X ( ) x dx X x dapa dinyaakan sebagai p( x, x; ) dx unuk sebarang. Berdasarkan persamaan Chapman-Kolmogorov maka rapa pobabilias ransisi dapa diuliskan sebagai beriku : p( x, s; x, ) p( x, s; z, v) p( z, v; x, ) dz (3) Andaikan parikel Brownian dalam inerval waku yang singka bergeser sejauh x, maka oal pergeseran dalam waku adalah X() seelah melakukan N langkah dinyaakan sebagai X n Z i1 i Z i adalah variabel random yang menyaakan panjang aau jarak pada langkah ke i. Waku yang diperlukan seiap langkah adalah, maka N. banyaknya langkah adalah Jarak erjadi pada iap ahap bisa berupa +x yang berari parikel bergerak maju aau berupa -x yang berari parikel bergerak mundur. Probabilias jarak berupa +x dapa dimisalkan sebagai p dan probabilias jarak berupa -x dapa dimisalkan sebagai q. Probabilias oal kedua gerakan dengan demikian = p + q =1. Harga harap pergeseran ke i dapa diuliskan sebagai E Z p q x dan i Z pq x var 4 (4) i Harga harap unuk oal langkah adalah EZ NEZi p q x dan E X (5) var X N var Z 4 i pq x (6) Diambil dan x sanga kecil infiniif x mendekai, sehingga nilai memiliki nilai erenu dan nilai (p - q) mendekai suau kelipaan x. Andaikan dalam selang waku, X memiliki fungsi nilai raa-raa sebagai dan fungsi variannya sama dengan, harga harap E X persauan waku adalah E X dan var X (7) Persamaan (5) unuk =1 dan pers.(7) memberikan 4 pqx p q x, Kaian (4) dan (8) akan erpenuhi jika 1 x dan (8) p 1, q 1 (9) Karena Z i merupakan variabel random, penjumlahan Zi X unuk N i1 A

3 BerkalaFisika ISSN : Vol 13., No., Edisi khusus April 1, hal A1-A6 besar mendekai disribusi dengan raaraa danvariansi. menyaakan panjang inerval waku selama X X. Dengan pergeseran demikian sekarang kia menemukan bahwa unuk < s<,x() X(s) memiliki disribusi normal dengan raaraa ( - s) dan variansi ( - s). Kenaikan X ( s) X () dan X ( ) X ( s) saling idak erganung yang mengindikasikan X() merupakan proses Markov. Rapa ransisi di iik sekiar x x dapa diekspansikan dengan dere Taylor p p 1 p px, x x; p( x, x; ) x x x (1) Menginga p( x, x; ) pp x, xx; x qp x, xx; x (11) Pers.(1) dan pers.(11) memberikan p p 1 p p( x, x; ) p( x, x; ) x pq x O x x dengan membagi kedua sisi pers.(1), sera dengan mengambil limi x, diperoleh persamaan diffusi maju bagi proses gerakan Brownian sebagai 1 p( x, x; ) p( x, x; ) p( x, x; ) O x x unuk x dan sanga kecil seperi pers.(7) Kuanias dan dapa diinerpreaskan sebagai lim EX X lim EX X (1) Secara umum pers.(1) jika x pada suau saa adalah fungsi waku aau merupakan X() maka pers.(1) menjadi lim EX X X x a, x lim E X X X ( ) x b(, x) (13) a, x disebu sebagai koefisien apung (drif koefisien) dan b(, x ) disebu sebagai koefisien diffusi. Pers.(1), (13) menghasilkan persamaan Fokker-Planck [3],[5]: p 1 ( ax, p) b(, x) p x x (14) Persamaan Fokker Planck yang menggambarkan disribusi evolusi karena umbukan yang lemah sehingga erjadi pergeseran kecil dapa disajikan dalam ruang kecepaan. Jika f adalah fungsi disribusi yang idak erganung f v, maka persamaan pada ruang Fokker-Planck berbenuk [],[6] f a f b f c v v v (15) Koefisien a merupakan koefisien gesekan dinamis. Parikel Brownian mendapa gaya gesek yang berlawanan dengan gerakan dan koefisien b merupakan koefisien diffusi yang merupakan raa-raa perubahan kecepaan. Suku perama persamaan Fokker Planck (15) merupakan gesekan yang memperlamba parikel berkas dan menggerakan parikel menuju kecepaan nol dalam ruang fasa, sedang benuk kedua menyajikan difusi berkas parikel dalam ruang kecepaan iga dimensi APLIKASI PERSAMAAN FOKKER PLANCK DALAM ASTROFISIKA Ruang anar binang ersusun oleh sisem plasma. Sisem plasma ersusun oleh ion-ion, yang dapa bermuaan posiip aau negaif aau bermuaan posiip dan negaif sehingga oal muaan plasma bernilai aau neral. Karena sisem plasma ersusun aas ion-ion maka erjadi ineraksi Coulomb anara parikel penyusun plasma. Tumbukan dalam sebuah plasma idak dapa dienukan secara unik seperi pada aom neral [1]. Ineraksi poensial Coulomb dengan A3

4 Dwi Saya Palupi Persamaan Fokker Planck dan Aplikasinya.. parikel lain memberikan dua pengaruh yaiu perama parikel uji yang bergerak di dalam plasma mengalami penyimpangan dari arah semula, yang kedua mempercepa medan parikel. Pengaruh yang kedua menyumbang kehilangan energi dan memberikan gaya gesek pada gerakan parikel uji. Kedua efek ersebu erganung pada rasio kedua parikel. Tinjau berkas parikel cepa dalam plasma yang erionisasi penuh secara ermal yang mendapa medan magne luar B. Medan magne luar ersebu menenukan perjalan parikel. Andaikan plasma esusun aas elekron dan proon ermal yang berada pada keseinmbangan ermodinamik dan f f r, v, adalah fungsi disribusi parikel uji maka persamaan gerak parikel adalah (Somov,3)[6] df f q v f f v B J d r m v v (16) Bila diinjau pada keadaan sasioner dan hanya erganung pada variabel ruang saja aau, dengan z merupakan arah f f z, v,. Pers.(16) medan, B berbenuk f 1 1 sin J vcos v Jv z v v vsin (17) dengan menyamakan pers.(17) dengan persamaan Fokker-Planck maka pers.(17) menjadi f F x f xcos D x f D x f x x (18) Koefisien perama pada pers.(18) yaiu F x menunjukan kehilangan energi parikel dipercepa keika melalui plasma. Koefisien yang kedua yaiu D x menggambarkan energi diffusi. Koefisien yang keiga D x berkaian dengan diffusi parikel cepa pada. Menginga masa elekron jauh lebih kecil daripada massa elekorn. Pada kasus ini koefisien pada pers.fokker Plank menjadi D x 1 m 1 e, x m p m 1 me 1 F x 1, me x mp x 1 D x x x (19) Suku perama pada Koefisien D(x) meupakan sumbangan umbukan anara elekron ermal plasma, sedang suku kedua merupakan sumbangan dengan proon ermal. Dua koefisien yang perama menunjukan energi difusi karena umbukan dengan elekron ermal lebih cepa mp me dari pada karena umbukan dengan proon ermal. kecepaan sudu difusi. Sedangkan kecepaan diffusi sudu dienukan secara berimbang oleh elekron dan proon plasma. Disribusi kecepaan parikel uji dalam plasma dapa dikeahui dengan menggunakan persamaan Fokker-Planck diruang kecepaan. Tinjau sekumpulan parikel uji dengan kecepaan yang sama yang mudah bergerak, disribusi kecepaan parikel uji d mendekai isorop sebelum erjadi kehilangan enaga. Jika parikel medan yang mobile, serean pada parikel memperlamba parikel sebelum erjadi belokan. Waku anara parikel uji mulai mengubah arah geraknya secara umum berbeda dengan waku keika parikel kehilangan enaga dan aau kehilangan momenum. Benuk kedua persamaan Fokker Planck pada pers.(15) merupakan proses diffusi karena hamburan parikel dari arah mula-mula. Penyelesaian persamaan Fokker-Planck pada ruang kecepaan menghasilkan waku defleksi raa-raa baik pada arah A4

5 BerkalaFisika ISSN : Vol 13., No., Edisi khusus April 1, hal A1-A6 egak lurus kecepaan mula-mula aau pada arah sejajar kecepaan mula-mula. Selain waku defleksi dikenal waku defleksi lain yang berkaian dengan perubahan energi anara parikel uji dan parikel medan yaiu waku perukaran energi (energy exchange ime), waku perlambaan (slowingdown ime) dan waku kehilangan enaga (energi loss ime). Waku defleksi ini dapa dicari apabila koefisien diffusi pada persamaan Fokker Planck elah dikeahui. Koefiesien a dan koefisien b pada iap kasus dapa berbeda-beda berganung pada medan lisrik dan medan magne yang bekerja pada plasma,parikel uji dan parikel penyusun plasma [6]. Selain unuk mencari defleksi dan waku defleksi karena umbukan anar parikel persamaan Fokker Planck dapa dierapkan unuk mempelajari pembelokan parikel karena gelombang elekromagneik. [] aau unuk menyajikan Hamburan sudu lemparan (pich-anlge scaering). Hamburan sudu lemparan erganung pada mode gelombang elkeromagneik dan arah perambaan gelombang. Hamburan dapa erjadi Diffusi dapa erjadi pada arah sejajar dengan geris medan aau egak lurus dengan garis medan. KESIMPULAN Persamaan Fokker Planck merupakan persamaan diffusi yang menggambarkan fungsi diribusi parikel dalam suau sisem yang berisi banyak parikel yang saling berumbukan. Persamaan ersebu dapa digunakan dalam asrofisika menginga ruang anara galaksi berupa plasma, yang ersusun dari parikel-parikel bermuaan. Gerak parikel dan proses diffusi dalam plasma dapa diselesaikan dengan menggunakan persamaan Fokker Plank dalam ruang koordina maupun dalam ruang kecepaan. Hamburan, ineraksi dan proses diffusi idak hanya erjadi karena ineraksi anar parikel eapi dapa juga ineraksi anara parikel dan medan elekromagne. DAFTAR PUSTAKA [1]. Bennz,A.O.,, Plasma Asrophysics, Kineic Processes in Solar and Sellar Coronae, Kluwer Academic Press, New York []. Kirk, J.G.,, Paricel Acceleaion, Plasma Asrophysics,Spinger, New York, hal 5-9, [3]. Medhi,J., 198,Sochasic processes, Willey Easern Limied New Delhi [4]. Melrose,D.B.,, Kineic Plasma Physics, Plasma Asrophysics,Spinger New York, hal , [5]. Schuss,Z., 198, Theory and Applicaions of Sochasic Differenial Equaion, John Willey and sons, New York. [6]. Somov,B.3, Plasma Asrophysics Par I,Fundamenal and Pracice, spinger A5

6 Dwi Saya Palupi Persamaan Fokker Planck dan Aplikasinya.. A6