KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

Transkripsi

1 KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati, SSi, MSi Abstrak Matriks similar suatu matriks diagonal atau dapat didiagonalkan jika hanya jika jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen sama n Untuk matriks yang jumlah multiplisitas geometrinya tidak sama n, matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jor, yang similar Untuk mendapatkan matriks, harus mendapatkan matriks sedemikian hingga Tugas akhir ini mengkaji cara mendapatkan matriks S menggunakan vektor-eigen tergeneralisasi Selain itu juga mengkaji bentuk matriks Jor, sifat-sifat matriks Jor, aplikasi matriks Jor pada sistem kontrol waktu diskrit Kata kunci : matriks Jor, vektor-eigen tergeneralisasi, sistem kontrol waktu diskrit 1 Pendahuluan Matriks dikatakan similar jika ada matriks nonsingular P sehingga Jika matriks mempunyai multiplisitas geometri dari nilai-eigen sama n, dapat didiagonalkan kata lain ada matriks diagonal D yang similar matriks A sehingga sebagai vektor kolom kei adalah vektor-eigen yang bersesuaian nilai-eigen untuk [4] Lalu bagaimana jika multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama? Apakah tidak ada matriks yang similar? Ternyata walaupun matriks, multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama, tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jor, yang similar A Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut 2 Nilai-eigen, Vektor-eigen, Similaritas Berikut ini diberikan definisi nilai-eigen, vektor-eigen, cara mendapatkannya Definisi 21 [2] Jika, vektor taknol pada disebut suatu vektor-eigen dari jika untuk suatu skalar Skalar disebut nilai-eigen dari, disebut suatu vektor-eigen dari yang bersesuaian Untuk mencari nilai-eigen vektor-eigen dari suatu matriks adalah sebagai berikut Penyelesaian tak nol didapat jika hanya jika Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa cara memasukkan nilai ke persamaan Jika adalah nilai-eigen dari suatu matriks multiplisitas aljabar adalah banyaknya sebagai akar dari persamaan polinomial karakteristik A Segkan multiplisitas geometri adalah dimensi ruangeigen yang bersesuaian [2] Definisi 22 [4] Misalkan Untuk suatu nilai-eigen, himpunan dari semua vektor yang memenuhi disebut ruang- 1

2 eigen dari yang bersesuaian nilai-eigen Ingat bahwa setiap elemen tak nol dari ruangeigen merupakan vektor-eigen dari dari yang bersesuaian nilai-eigen Berikut diberikan teorema yang menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas aljabar multiplisitas geometri Teorema 21 [2] Multiplisitas geometri masingmasing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama multiplisitas aljabarnya Pang persamaan disebut polinomial karakteristik dari Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks Teorema 22 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan adalah polinomial karakteristik dari Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu: 1 Matriks Diagonal Suatu matriks dikatakan diagonal jika 2 Matriks Segitiga Suatu matriks dikatakan matriks segitiga atas jika Jika, dikatakan matriks strictly segitiga atas dikatakan matriks segitiga bawah jika Nilai-eigen dari dua matriks yang disebutkan di atas, bisa langsung diketahui Hal ini tertera pada lema berikut Lema 21 [2] Jika (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), nilai-eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A 3 Matriks Blok Diagonal Suatu matriks dalam bentuk, dikatakan matriks blok diagonal Matriks di atas dapat ditulis sebagai Persamaan ini disebut jumlahan langsung dari matriks Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks Definisi 23 [4] Suatu matriks dikatakan similar matriks jika terdapat suatu matriks nonsingular sedemikian hingga Relasi B similar A dinotasikan Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana diberikan pada lema di bawah ini Lema 22 [4] Relasi similaritas adalah suatu relasi ekivalen pada ; kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini a Refleksif : b Simetris : c Transitif : Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut Definisi 24 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers sedemikian sehingga adalah suatu matriks diagonal Berdasarkan Definisi 24 dapat dikatakan matriks dapat didiagonalkan jika similar terhadap suatu matriks diagonal Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini Teorema 23 [5] Misal i A dapat didiagonalkan jika hanya jika jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n ii Jika multiplisitas geometri dari masingmasing nilai-eigen A sama multiplisitas aljabarnya, A dapat didiagonalkan iii Jika semua nilei-eigen A berbeda (masingmasing multiplisitas aljabarnya adalah 1), A dapat didiagonalkan Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal Teorema 24 [4] Misalkan, mempunyai nilai-eigen multiplisitas, berbeda similar terhadap matriks bentuk 2

3 adalah matriks segitiga atas semua elemen diagonalnya sama Berikut ini diberikan sifat-sifat yang dimiliki dua matriks similar Teorema 25 [4] Misalkan Jika A B similar, keduanya mempunyai rank, determinan, polinomial karakteristik yang sama Lema 23 [4] Misal matriks Jika adalah jumlahan langsung dari A B C dapat didiagonalkan jika hanya jika A B dapat didiagonalkan 3 Bentuk Kanonik Jor Matriks Jor adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jor Suatu matriks Jor yang similar matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jor Setelah tahu bentuk kanonik Jor, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui mudah Berikut ini diberikan definisi blok Jor Definisi 25 [4] Suatu blok Jor J k (λ) adalah matriks segitiga atas bentuk Dengan mungkin sama nilai tidak perlu berbeda 4 Sifat-sifat Matriks Jor terhadap Similaritas Sebelum menuju sifat-sifat matriks Jor terhadap similaritas, terlebih dahulu perlu membuktikan lema berikut Lema 41 [4] Diberikan blok Jor Maka (i) (ii) jika (iii) untuk (iv) adalah matriks identitas, adalah vektor satuan basis standar ke-i Bukti : (i) Dengan induksi, akan dibuktikan Untuk matriks berukuran Anggap benar untuk matriks berukuran Sekarang cek untuk matriks ada k-1 angka +1 pada superdiagonal; muncul k kali pada diagonal utama Elemen yang lainnya nol, Matriks Jor adalah jumlahan langsung dari blok Jor sehingga dapat dituliskan sebagai berikut (ii) Dengan induksi, akan dibuktikan, Untuk matriks berukuran pasti sama 0 Anggap benar untuk matriks berukuran Jadi Sekarang cek untuk matriks berukuran 3

4 Sehingga, (iii) Akan dibuktikan untuk Perhatikan bahwa tidak ada blok jor pada diagonal J yang berukuran lebih besar dari sehingga berdasarkan Lema 411 (ii) Sekarang akan dibuktikan untuk matriks berukuran n Dimisalkan hanya akan mempunyai nilai saat bertemu kata lain hanya yang mempunyai nilai Matriks berukuran yang hanya elemen ke yang sama satu adalah (iv) Akan dibuktikan Bukti :, adalah matriks strictly segitiga atas Pang persamaan di bawah ini Dengan mempartisi menjadi yaitu berdasarkan persamaan serta partisi pada ruas kanan dari, persamaan dapat ditulis sebagai berikut Lema di atas akan digunakan untuk pembuktian Teorema 412 berikut ini Teorema 41 [4] Misalkan adalah matriks strictly segitiga atas Terdapat sebuah matriks nonsingular bilangan bulat sedemikian sehingga Sekarang pang similaritas dari matriks tersebut yaitu Pembuktian akan dilakukan induksi Jika Anggap benar untuk matriks berukuran yaitu matriks matriks strictly segitiga atas terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga Ada dua kemungkinan nilai berdasarkan atau 4

5 (i) Jika Akan dibuktikan induksi Untuk matriks berukuran Dianggap benar untuk yaitu terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga adalah blok Jor berukuran diagonal utama nol Gunakan sifat untuk, secara rekursif dapat ditunjukkan bahwa untuk Dengan adalah matriks Jor elemen diagonal nol Untuk Untuk (46) Karena similar similar Karena, terlihat bahwa paling banyak dalam langkah pada similaritas ini, nilai di luar diagonal pada akhirnya akan sama nol Dapat disimpulkan bahwa similar Teorema 42 [4] Misalkan adalah matriks real Terdapat suatu matriks nonsingular sedemikian sehingga (ii) Jika, menunjukkan bahwa similar terhadap matriks Dengan similaritas, Sehingga dapat pula disimpulkan bahwa similar terhadap matriks Berikut akan dicari matriks yang similar matriks B Misalkan matriks tersebut adalah Berikut ini akan dibuktikan bahwa Dari Teorema 24 didapatkan bahwa setiap matriks kompleks yang mempunyai nilai-eigen multiplisitas berbeda, similar matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas elemen diagonal sama Selanjutnya akan dibuktikan bahwa matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas elemen diagonal sama similar matriks Jor 5

6 Misalkan matriks segitiga atas elemen diagonal utama p adalah misalkan adalah matriks strictly segitiga atas sedemikian hingga Dari Teorema 41 diketahui bahwa akan dibuktikan kata lain akan dibuktikan karena setiap matriks kompleks similar matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas elemen diagonal sama matriks tersebut similar matriks Jor setiap matriks kompleks similar matriks Jor 5 Vektor-Eigen Tergeneralisasi Sifat- Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi Suatu matriks, jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen tidak sama n, tidak similar matriks diagonal karena jumlah vektor-eigennya tidak sama Tetapi matriks tersebut similar matriks Jor Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi Berikut ini diberikan definisi dari vektor-eigen tergeneralisasi Definisi 41 [3] Vektor x disebut vektor-eigen tergeneralisasi tingkat dari A yang berpaan jika hanya jika Perhatikan jika, definisi ini menjadi, di mana ini merupakan definisi vektor-eigen Misalkan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian merupakan vektor-eigen tergeneralisasi tingkat, vektor-eigen tergeneralisasi tersebut dapat ditentukan dari persamaan berikut Himpunan vektor disebut rantai vektor-eigen tergeneralisasi panjang Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektoreigen tergeneralisasi panjang dari nilaieigen yang sama adalah vektor bebas linear Teorema 43 [3] Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi panjang adalah bebas linear Akan dibuktikan vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear Dengan kata lain akan dibuktikan untuk, hanya mempunyai 1 penyelesaian yaitu Pembuktian akan dilakukan iterasi Iterasi 1 Kalikan kedua ruas Berdasarkan Definisi 421 bahwa karena dapat disimpulkan bahwa Dengan mensubstitusikan hasil ini ke (410) persamaan berikut (411) Iterasi 2 Kalikan kedua ruas yang dapat dituliskan sebagai 6

7 Pang lagi persamaan Kalikan kedua ruas Berdasarkan Definisi 41 bahwa karena dapat disimpulkan bahwa Dengan mensubstitusikan hasil ini ke persamaan berikut Kalikan kedua ruas akan kembli persamaan sehingga Dengan mengulangi langkah-langkah tersebut, akhirnya didapatkan kesimpulan Berdasarkan Definisi 4 1 bahwa Sehingga terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear Setelah terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dari nilai-eigen yang sama merupakan vektor bebas linear, selanjutnya akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi vektor-eigen vektor-eigen dari nilaieigen yang berbeda juga bebas linear Teorema 44 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear Tanpa mengurangi keumuman, misalkan mempunyai nilai-eigen jadi mempunyai satu rantai vektor-eigen tergeneralisasi panjang segkan Misalkan vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian adalah vektor-eigen yang bersesuaian dibuktikan adalah Akan bahwa adalah bebas linear kata lain akan dibuktikan bahwa Karena oleh sebab itu Kalikan sehingga Kalikan sehingga Dan seterusnya hinga Karena hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu 7

8 Karena Dan seterusnya hingga Dari memenuhi persaman berikut Dari Teorema 43 sehingga bebas linear Sekarang asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari, nilai-eigen dari A adalah Berikut ini akan dibahas dua kasus yaitu untuk 421 Untuk kasus di mana adalah hanya ada satu vektor-eigen yang bersesuaian nilai-eigen, akibatnya hanya ada satu blok Jor yang bersesuaian nilai-eigen berulang ini Teorema 45 Asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k nilaieigen lain yang semuanya berbeda dari serta, ada matriks Jor Vektor-eigen bersesuaian nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditentukan dari Kemudian menggabungkan persamaan, yaitu adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian adalah vektor-eigen yang bersesuaian nilai-eigen sedemikian hingga Dari Karena persamaannya menjadi 422 Karena kita berasumsi bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari, ada vektor-eigen yang bebas linear yang bersesuaian sehingga terdapat blok Jor yang bersesuaian nilai-eigen 8

9 Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat berikut Lema 42 [3] Diberikan ruang null dari, ruang null dari kata lain memuat semua yang memenuhi Akan dibuktikan kata lain akan dibuktikan jika berarti Dengan mengalikan kedua ruas Berarti Sekarang akan ditunjukkan cara untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear Kita misalkan multiplisitas aljabar dari adalah misalkan ukuran blok Jor yang bersesuaian adalah Teorema 46 Jika terdapat dimana kolom-kolom merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian sedemikian hingga Tanpa mengurangi keumuman anggap bahwa mempunyai nilai-eigen nilai-eigen sebanyak k nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari sehingga artinya terdapat s blok Jor pada matriks Jor Misalkan panjang rantai bisa Rantai pertama Dari nilai null dapat diketahui jumlah vektor yang bebas linear yaitu vektor-eigen Rantai kedua Sehingga vektor-eigen vektor-eigen Berikut ini akan dijelaskan bagaimana menentukan banyaknya blok Jor ukuran blok Jor yang bersesuaian i Jika terdapat blok jor yang bersesuaian ii Jika panjang rantai Rantai ke-s 9

10 Diperoleh Vektor-eigen bersesuaian nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditetukan dari Atau sehingga 6 Keberagaman Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh Kemudian menggabungkan persamaan vektor-eigen tergeneralisasi sebelumnya persamaan vektor-eigen di atas menjadi satu, yaitu Misalkan didefinisikan vektor keadaan baru adalah matriks nonsingular Substitusikan persamaan ke persamaan, Kalikan kedua ruas Misal didefinisikan persamaan sebagai dapat ditulis ulang Dengan cara yang sama, Misalkan persamaan menjadi Misalkan rantai vektor sebagai Hal ini menunjukkan bahwa sistem pada persamaan ekivalen persamaaan sistem 7 Keteramatan Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh 10 waktu yang merupakan bilangan bulat

11 vektor keadaan, vektor output, matriks anggota matriks anggota Solusi dari Setelah mendapatkan solusi sistem pada persamaan, bisa didefinisikan sifat keteramatan dari sistem tersebut Definisi 42 Suatu sistem dinan teramati jika setiap keadaan awal dapat ditentukan dari Dengan menggunakan, kita mendapatkan syarat perlu syarat cukup untuk keadaan keteramatan seperti yang dijelaskan pada lema berikut ini Lema 43 [6] Syarat perlu syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan adalah b Kolom yang bersesuaian baris pertama dari masing-masing blok Jor tidak ada yang elemennya nol semua, c Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol 8 Keterkontrolan Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh waktu yang merupakan bilangan bulat vektor keadaan, vektor kontrol, matriks anggota matriks anggota Untuk selanjutnya, sistem yang dinyatakan persamaan (422) dinotasikan sebagai sistem Solusi dari dapat diselesaikan menggunakan metode rekursi yaitu 71 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keteramatan Selain cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan apakah suatu sistem teramati atau tidak Yaitu mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jor Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh Jika semua vektor-eigen berbeda, sebuah matriks transformasi mentransformasikan ke bentuk matriks diagonal, sedemikian hingga adalah nilai-eigen berbeda dari Sistem teramati jika hanya jika tidak ada kolom dari matriks yang semua elemennya nol Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, pendiagonalan tidak mungkin dilakukan Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jor: Sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika hanya jika a Tidak ada dua blok Jor dalam yang bersesuaian nilai-eigen yang sama, Mengulangi prosedur ini, didapatkan Setelah mendapatkan solusi sistem, bisa didefinisikan sifat keterkontrolan dari sistem tersebut Definisi 43 Suatu sistem dinan terkontrol jika untuk setiap keadaan awal keadaan akhir, terdapat vektor kontrol sedemikian hingga solusi dalam persamaan menjadi Dengan menggunakan definisi yang diberikan, kita akan mendapatkan syarat untuk keadaan keterkontrolan Lema 44 [6] Syarat perlu syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan pada persamaan adalah Akan dibuktikan jika sistem terkontrol Misal Karena terkontrol, terdapat sedemikian hingga 11

12 Artinya Jika, jelas Jika apakah suatu sistem terkontrol atau tidak Yaitu mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jor Teorema 47 [6] Jika matriks adalah matriks diagonal sistem terkontrol Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh (428) Jika semua vektor-eigen berbeda, mungkin untuk menemukan matriks transformasi seperti Jadi Akibatnya Dengan kata lain Akan dibuktikan jika sistem terkontrol Karena solusi dari persamaan adalah kita mendapatkan Perhatikan bahwa jika nilai-eigen berbeda vektor-eigen berbeda Bagaimanapun, kebalikannya tidak benar Perhatikan juga bahwa kolom ke i dari matriks adalah vektor-eigen yang bersesuaian nilai-eigen ke i Misalkan didefinisikan persamaan (428) menjadi Misalkan didefinisikan, Karena adalah matriks, kita dapatkan bahwa masing-masing dari matriks adalah matriks misalkan Matriks disebut matriks keterkontrolan Jika rank matriks keterkontrolan adalah, untuk sebarang keadaan, terdapat sebuah rangkaian sinyal kontrol yang memenuhi persamaan sehingga jika rank dari matriks keterkontrolan adalah, sistem terkontrol 81 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keterkontrolan Selain cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan Jika pada matriks yang berukuran terdapat vektor baris nol, variabel keadaan yang bersesuaian kolom tersebut tidak dapat dikontrol oleh setiap Oleh sebab itu, syarat untuk keadaan keterkontrol adalah bahwa, jika vektor-eigen berbeda, sistem dalam keadaan terkontrol jika hanya jika tidak ada vektor baris nol dalam Hal ini penting 12

13 untuk dicatat bahwa untuk menerapkan syarat ini pada keadaan terkontrol, kita harus mengubah matriks ke dalam bentuk diagonal Jika matriks tidak mempunyai vektoreigen yang berbeda, pendiagonalan tidak mungkin dilakukan Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jor Sebagai contoh, jika mempunyai nilaieigen mempunyai vektor-eigen yang berbeda, bentuk kanonik Jor dari adalah Submatriks berukuran pada diagonal utama disebut blok Jor Andaikan mungkin untuk menemukan matriks transformasi sehingga Jika kita definisikan Syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika hanya jika a Tidak ada dua blok Jor dalam yang bersesuaian nilai-eigen yang sama, b Elemen dari vektor baris yang bersesuaian baris terakhir dari masing-masing blok Jor tidak sama nol, c Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol 9 Kesimpulan Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan yaitu 1 Matriks strictly segitiga atas similar matriks Jor 2 Sebarang matriks real similar matriks Jor 3 Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi panjang adalah bebas linear 4 Vektor-eigen tergeneralisasi dari vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilaieigen yang berbeda adalah bebas linear 5 Untuk sebarang terdapat yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah vektoreigen (tergeneralisasi) matriks Jor sehingga 6 Matriks adalah matriks Jor, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika hanya jika a Tidak ada dua blok Jor dalam yang bersesuaian nilai-eigen yang sama, b Kolom yang bersesuaian baris pertama dari masing-masing blok Jor tidak ada yang elemennya nol semua, c Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol 7 Jika matriks adalah matriks Jor, syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika hanya jika a Tidak ada dua blok Jor dalam yang bersesuaian nilai-eigen yang sama, b Elemen dari vektor baris yang bersesuaian baris terakhir dari masing-masing blok Jor tidak sama nol, c Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol 10Daftar Pustaka 1 Anton, Howard 2000 Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1 Interaksara PO Box 238, Batam Centre, Anton, Howard 2000 Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2 Interaksara PO Box 238, Batam Centre, Chen, Chi-Tsong 1970 Linear System Theory and Design CBS College Publishing 4 Horn, Roger A, Charles R Johnson 1990 Matrix Analysis Cambridge University Press 5 Jacob, Bill 1990 Linear Algebra WH Freeman and Company 6 Ogata, Katsuhiko 1995 Discrete-Time Control Systems Second Edition Prentice- Hall International, Inc 13