SUATU KAJIAN ANALITIS PADA SISTEM PERSAMAAN AIR DANGKAL

Transkripsi

1 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) SUTU KJIN NLITIS PD SISTEM PERSMN IR DNGKL Sudi Mungkasi Program Sudi Maemaika, Fakulas Sains Teknologi Universias Sanaa Dharma bsrak Makalah ini mengkaji sisem persamaan air gkal secara analiis. Dua benuk sisem persamaan air gkal dibukikan ekuivalen. Sifa hiperbolik, karakerisik, gelombang sederhana, peridaksamaan enropi, gelombang shock dipaparkan. Kaa kunci : persamaan air gkal, sisem hiperbolik, gelombang sederhana, peridaksamaan enropi, gelombang shock PENDHULUN Sisem persamaan air gkal elah dipelajari sejak ahun 8-an. eberapa arikel erkenal yang diulis pada masa iu yang membahas masalah ersebu dianaranya dikarang oleh Sain-Venan (87) enang aliran air gkal Rier (89) enang aliran air dari bendungan. Sejak masa iu sisem ini dikembangkan secara luas hingga saa ini. Terapan sisem ini cukup banyak, melipui: bendungan-bobol (Rier, 89; Chanson, 6), perambaan sunami (Ying dkk, 7), aliran air sungai (Jakeman, 6), banjir (Wang dkk, ), lain-lain. Makalah ini dapa digunakan sebagai bahan referensi yang sekiranya berguna unuk ujuan pedagogi. Pembahasan dalam makalah ini melipui benuk-benuk sisem persamaan air gkal yang sering kali muncul dalam referensi, sifa hiperbolik dari sisem, karakerisik dari sisem, makna gelombang sederhana menuru karakerisik yang ada, peridaksamaan enropi unuk sisem, kondisi erjadinya gelombang shock. Selanjunya, makalah ini erdiri aas empa bagian. agian SISTEM PERSMN IR DNGKL (SPD) membahas dua benuk sisem persamaan air gkal yang ekuivalen sau sama lain. agian SPD SEGI SISTEM HIPEROLIK memberikan buki bahwa SPD benar-benar merupakan sisem hiperbolik. agian SIFT-SIFT SPD memua sifa-sifa yang dimiliki oleh 87

2 Vol. 5, No., Desember 9: 87- gelombang sederhana, peridaksamaan enropi, gelombang shock. khirnya, makalah ini diuup dengan bagian KESIMPULN. SISTEM PERSMN IR DNGKL liran air gkal dapa dijelaskan secara maemais oleh sisem persamaan air gkal (SPD). Dalam sau dimensi, sisem ini erdiri aas sau persamaan massa sau persamaan momenum yang diberikan secara beruru-uru oleh uu u( D ) u, g. () Seperi ampak dalam Gambar, adalah peubah jarak horizonal unuk ruang (spaial) berdimensi sau, adalah peubah waku (emporal), (, ) mewakili jarak verikal dari sumbu acuan horizonal hingga permukaan air di iik pada waku, D () mewakili jarak verikal dari sumbu acuan horizonal hingga permukaan opografi dasar air. Di sini, u (, ) merepresenasikan kecepaan aliran di iik pada waku, g adalah konsana yang melambangkan percepaan graviasi. Gambar : liran air gkal sau dimensi. 88

3 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) Dalam sisem (), adalah elevasi permukaan yang bernilai posiif jika permukaan air naik di aas permukaan air ekuilibrium, segkan D adalah fungsi kedalaman yang benilai posiif jika opografi berada di bawah permukaan air ekuilibrium. Penurunan sisem () dapa diperoleh dalam beberapa referensi, misalnya buku karangan Soker (957). Dalam beberapa referensi, seperi yang dikarang oleh LeVeque (), SPD yang dinyaakan dalam sisem () sering kali diulis dalam benuk dengan ( hu) ( hu h ( hu) gh, ) ghz. z D h z. Dengan demikian, diperoleh eorema beriku. () Teorema. SPD () ekuivalen dengan SPD (). uki: Subsiusi D z h z ke dalam persamaan perama dari SPD () diperoleh ( h z) ( uh). (3) Karena z, persamaan (3) menjadi ( h ) ( uh). (4) Selanjunya, subsiusi h z ke dalam persamaan kedua dari SPD () hasilnya diekspansikan, diperoleh hu huu ghh ghz. (5) Dengan menerapkan persamaan (4), persamaan (5) dapa diulis menjadi [ h u] hu [( hu) u] huu ghh ghz, (6) yang kemudian dapa disederhanakan menjadi ( hu) ( hu gh ) ghz Jadi, SPD () berakiba SPD ().. (7) Dengan cara yang analog, SPD () berakiba SPD (). Oleh karena iu, SPD () ekuivalen dengan SPD (). 89

4 Vol. 5, No., Desember 9: 87- SPD SEGI SISTEM HIPEROLIK Dalam bagian ini dibahas bahwa SPD memiliki sifa hiperbolik, sebagaimana dinyaakan oleh LeVeque (). Unuk mengawali pemaparan, disajikan definisi sifa hiperbolik unuk sisem linear. Definisi. Suau sisem linear berbenuk q q, (8) dengan q adalah vekor kuanias berkomponen sebanyak m mariks koefisien konsan berukuran nilaieigen-nilaieigen yang real. m m, disebu hiperbolik jika dapa didiagonalisasi dengan Terdapa beberapa jenis khusus sisem hiperbolik berdasarkan sifa mariks. Jika adalah suau mariks simeri, maka dapa didiagonalisasi dengan nilaieigennilaieigen real sisemnya disebu hiperbolik simeris. Jika mempunyai nilaieigennilaieigen real yang semuanya berbeda, maka dapa didiagonalisasi sisemnya disebu hiperbolik egas. Jika mempunyai nilaieigen-nilaieigen real eapi idak dapa didiagonalisasi, maka sisemnya disebu hiperbolik lemah. Terdapa pula benuk-benuk lain dari sisem hiperbolik. Suau sisem linear dengan koefisien peubah yang berbenuk q ( ) q, (9) adalah hiperbolik di iik dengan mariks koefisien () memenuhi kondisi hiperbolik yang dinyaakan dalam Definisi. Jika sumber S () muncul di dalam sisem erulis sebagai q ( ) q S( ), () sifa hiperbolik masih berganung pada mariks koefisien, yang berari bahwa sisem () dinyaakan hiperbolik di seiap iik di mana () dapa didiagonalisasi dengan nilaieigen-nilaieigen real. Suau sisem quasilinear q ( q,, ) q S( ), () 9

5 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) dikaakan hiperbolik di iik ( q,, ) jika mariks koefisien ( q,, ) memenuhi kondisi hiperbolik yang dinyaakan dalam Definisi. Dengan demikian, hukum kekekalan nonlinear q (, ) [ f( q(, ))] S( ), () yang juga dapa diulis dalam benuk quasilinear q f' ( q) q S( ), (3) adalah hiperbolik jika mariks Jacobian f '( q) memenuhi kondisi hiperbolik unuk seiap nilai kuanias q yang relevan. Dengan pengerian ini, diperoleh eorema beriku. Teorema 3. SPD adalah suau sisem hiperbolik egas. uki: Dipang SPD (). Sisem ini dapa dinyaakan ke dalam benuk (3), dengan h q q :, (4) hu q hu q f f :, hu gh ( q) / q g( q ) f (5) S. ghz gqz (6) Mariks Jacobian f '( q) adalah f f q q f '( q) f f. (7) u gh u q q Mariks Jacobian ersebu mempunyai nilaieigen-nilaieigen u gh u gh (8) yang secara beruru-uru erkai dengan vekoreigen-vekoreigen 9

6 Vol. 5, No., Desember 9: 87- r r u gh. (9) u gh Jelas bahwa kedua nilaieigen ersebu berbeda bernilai real jika h posiif, mariks Jacobian f '( q) dapa didiagonalisasi dengan nilaieigen-nilaieigen ersebu. Hal ini membukikan bahwa SPD bersifa hiperbolik egas pada saa h posiif. SIFT-SIFT SPD Soker (957) menjelaskan karakerisik SPD. Dalam bagian ini, karakerisik dalam kaiannya dengan gelombang sederhana dipaparkan, lebih lanju, sebuah caaan kondisi enropi sera kondisi gelombang shock juga dipaparkan. Pemaparan enang gelombang sederhana gelombang shock mengikui kajian yang dilakukan oleh Soker (957), segkan pemaparan enang kondisi enropi mengikui kajian yang diberikan oleh ouchu (4). Dari benuk SPD, erdapa dua himpunan kurva karakerisik, C C, yang merupakan kurva-kurva penyelesian persamaan diferensial biasa C C d : u c, d d : u c, d () dengan c gh adalah nilai kecepaan perambaan gelombang relaif erhadap kecepaan parikel u. Fungsi-fungsi u c u c adalah nilaieigen-nilaieigen dari mariks koefisien SPD. Secara simulan berlaku relasi yang disebu Riemann invarian, yaiu u c k u c k di sepanjang kurva C di sepanjang kurva C,, () dengan k k masing-masing bernilai konsan. Nilai k k berbeda pada kurva yang berbeda kedua himpunan karakerisik yang dinyaakan dalam () juga berbeda karena c unuk h dengan () adalah ekuivalen dengan SPD.. Perlu diekankan bahwa sisem persamaan () bersama-sama 9

7 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) Makna gelombang sederhana Misalkan bahwa air dalam keadaan awal bersifa seragam, arinya, pada saa kecepaan parikel u kecepaan perambaan gelombang c adalah c c u uo o masing-masing bernilai konsan. Misalkan pula bahwa suau usikan imbul di iik asal sehingga salah sau dari u aau c berubah nilainya erhadap waku. Sebagai gelombang sederhana, usikan di suau iik permukaan air akan meramba di dalam air yang berkedalaman konsan berkecepaan seragam. Dengan kondisi ini, dapa dibukikan bahwa salah sau dari himpunan karakerisik yang dinyaakan dalam () merupakan himpunan yang seluruhnya berisi garis lurus di mana masing-masing u aau c bernilai konsan. Gerakan perambaan dengan kondisi inilah yang disebu dengan gelombang sederhana. Unuk lebih jelasnya secara maemais, pernyaaan ini dapa diuangkan dalam eorema beriku. Teorema 4. Gelombang sederhana mengakibakan salah sau dari dua himpunan karakerisik yang diberikan oleh persamaan diferensial biasa () merupakan himpunan yang seluruhnya berisi garis lurus di mana masing-masing u aau c bernilai konsan. uki: Gambar : Suau daerah dalam big-, yang memua karakerisik garis lurus. 93

8 Vol. 5, No., Desember 9: 87- Perama-ama dipang bahwa jika nilai u c pada kurva karakerisik, kaakan suau kurva penyelesaian bernilai konsan. kibanya, C dari persamaan perama sisem (), masing-masing C adalah suau garis lurus di mana nilai u c masingmasing bernilai konsan. Ini erjadi paling idak dalam suau daerah dalam big-, di mana u (, ) c (, ) idak memua singularias yang dilingkupi oleh kedua himpunan karakerisik yang berbeda. Jelas bahwa kurva C adalah suau garis lurus jika u c masing-masing bernilai konsan di sepanjang kurva ersebu, karena gradien kurva adalah konsan berdasarkan sisem (). Selanjunya, misalkan C adalah suau karakerisik yang lain yang berdekaan dengan pada C. Kemudian dipang dua iik sebarang C bersama-sama dengan karakerisik dari himpunan C melalui, misalkan bahwa karakerisik C memoong C di iik seperi ampak pada Gambar. uki pernyaaan dalam eorema cukup dengan menunjukkan bahwa jika u( ) u( ) c( ) c( ) maka u c bernilai konsan pada C (hal ini erjadi karena iik adalah dua iik berbeda yang sebarang pada C ) akibanya gradien kurva C juga bernilai konsan. Karena u ) u( ) c ) c( ), dengan menggunakan relasi kedua dari (), diperoleh bahwa ( yang memberikan relasi u u c c u ( u c c u, c, () u c u c. (3) Segkan menggunakan relasi perama dari () unuk C, didapakan relasi u c u c. (4) Relasi (3) (4) secara bersama-sama hanya dapa dipenuhi jika u( ) u( ) c( ) c( ). Dengan demikian, eorema erbuki. 94

9 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) Kondisi shock Dengan menyaakan SPD ke dalam benuk quasilinear menganggap bahwa penyelesaian SPD bersifa halus, elah dipaparkan di muka bahwa erdapa dua himpunan karakerisik yang membenuk suau sisem koordina curvilinear aas big-,. kan eapi, hal ini idak selalu bisa erjadi karena penyelesaian SPD kag kala idak bersifa halus unuk kasus erenu. Secara eori, pada saa dua aau lebih karakerisik dari himpunan yang sama saling berpoongan, suau diskoninuias yang disebu dengan shock akan muncul. Dalam kasus ersebu, unuk menyelidiki penyelesaian SPD, benuk inegral dari hukum kekekalan harus dierapkan. Penyelesaian benuk inegral erkai disebu penyelesaian lemah dari SPD. Diberikan adalah kecepaan perambaan shock, maka pada posisi shock, kondisi Rankine-Hugonio q q ) f( q ) f( q ) (5) ( r l r l harus erpenuhi. Namun demikian, kondisi Rankine-Hugonio idak menjamin keunggalan penyelesaian. Unuk memasikan apakah suau penyelesaian lemah adalah benar-benar penyelesaian yang benar secara fisis diperlukan penerapan kondisi enropi La. Caaan 5. SPD memenuhi peridaksamaan enropi erkai dengan energi fisis. Peridaksamaan enropi menuru ouchu (4) diberikan oleh ~ ~ ( q, z) G ( q, z), dengan ~ ~ ( q, z) ( q) ghz, ( q, z) G( q) ghzu, G g ( q) hu h, G ( ) ( hu gh ) u q. Kondisi enropi La erpenuhi jika karakerisik-karakerisik yang ada konvergen sedemikian sehingga 95

10 Vol. 5, No., Desember 9: 87- ) ( q ) ( q ) ( q ) (6) ( ql r l r unuk shock- shock- secara beruru-uru. Perlu diinga bahwa dari persamaan (8), u gh u gh adalah nilaieigen-nilaieigen dari mariks Jacobian f '( q) yang juga merupakan kecepaan perambaan gelombang aau disebu kecepaan karakerisik. Dalam prakek, gelombang shock dihasilkan oleh diskoninuias dari nilai kuanias (kedalaman, kecepaan, aaupun ekanan). Misal diberikan bahwa erdapa diskoninuias permukaan air di iik () di anara a ( ) a ( ) dengan a a seperi ampak pada Gambar 3. Gambar 3: Suau keadaan diskoninuias. Penerapan hukum kekekalan massa hukum kekekalan momenum erhadap kolom air erkai menghasilkan relasi d d d d ( ) a a ( ) h d (7) a ( ) w w hu d p dy p dy gh gh a ( ) z (8) z 96

11 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) dengan rumusan ekanan air hidrosais adalah p gh, di sini w z h w z h. Persamaan (7) menyaakan bahwa massa air di dalam kolom eap bernilai konsan, segkan persamaan (8) menyaakan bahwa perubahan momenum dalam kolom air sama dengan resulan dari gaya-gaya yang bekerja di ujung-ujung kolom. Relasi ersebu melibakan inegral yang mempunyai benuk umum a ( ) I (, ) d (9) a ( ) dengan (, ) diskoninu di iik (). Penerapan auran Leibniz unuk menurunkan benuk inegral (9) menghasilkan relasi di d d d a ( ) a ( ) d a ( ) d d d ( ) d (, ) ( ) ( a ( ), ) u ( a( ), ) u ( ) a ( ) (, ) ( ). d d Di sini, u a ) a ( ) u a ) a ( ) adalah kecepaan di ujung kiri ( d ( d ujung kanan kolom, adalah kecepaan gerakan diskoninuias, sera (, ) (, ) adalah nilai limi unuk di kiri kanan. Dengan mengambil limi sedemikian sehingga lebar kolom mendekai nol posisi diskoninuias eap berada di dalam kolom, suku inegral pada ruas kanan dari persamaan (3) mendekai nol. Dengan demikian, diperoleh lim l di d (3) v v. (3) Di sini, l a a adalah lebar kolom, sera v v adalah kecepaan u u aliran di ujung kiri kanan kolom relaif erhadap gerakan diskoninuias. Lebih lanju, mewakili nilai limi unuk di kiri di kanan iik diskoninuias. erdasarkan pemaparan di muka, berdasarkan (7), (8), (3) diperoleh h v h v (3) h vu hv u gh gh. (33) Persamaan (3) (33) dapa diulis ulang menjadi 97

12 Vol. 5, No., Desember 9: 87- (34) v v (35) vu vu p p dengan h p g gh. Suau diskoninuias yang memenuhi (34) (35) disebu gelombang shock aau cukup disebu shock aau bore, aau jika diskoninuias-nya sasioner disebu lompaan hidrolik. Cara lain menyaakan kondisi shock (34) (35) adalah v v m( v v ) p m, p, dengan m mewakili flu massa yang melinasi iik shock. Dipang kasus khusus u yang berari bahwa air di sebelah kiri shock (36) dalam keadaan diam. Karena mv vv mv v v, persamaan kedua dari kondisi shock sisem (36) dapa diulis p p v v. (37) Karena u, diperoleh v v ; sehingga menggunakan relasi g u p, persamaan (37) dapa diulis ulang menjadi g ( u ) ( ). (38) Dengan alasan yang sama, karena u, persamaan perama dari kondisi shock sisem (36) menghasilkan ( u. (39) ) Lebih lanju, jika u dieliminasi, kondisi kedua unuk shock yang dinyaakan oleh (38) dapa diulis menjadi g ; (4) aau jika dieliminasi, persamaan (38) dapa dinyaakan sebagai 98

13 Suau Kajian naliis... (Sudi Mungkasi) g u ( u ). (4) Secara singka, persamaan (39) bersama-sama dengan salah sau dari (38), (4), aau (4) adalah kondisi shock unuk kasus u. SIMPULN Makalah ini elah memaparkan suau kajian analiis sisem persamaan air gkal. Penulis berharap bahwa makalah ini dapa digunakan sebagai bahan referensi yang sekiranya bermanfaa unuk ujuan pedagogi dalam big maemaika erapan pada mekanika fluida. Unuk melengkapi pembahasan makalah ini, peneliian selanjunya akan mengkaji sisem persamaan air gkal secara numeris. DFTR PUSTK ouchu, F. 4. Nonlinear Sabiliy Of Finie Volume Mehods For Hyperbolic Conservaion Laws nd Well-alanced Schemes For Sources. asel: irkhauser Verlag. Chanson, H. 6. nalyical soluions of laminar and urbulen dam break wave, River Flow. London: Taylor & Francis Group. Jakeman, J. 6. On Numerical Soluions of he Shallow Waer Wave Equaions. Honours Thesis yang idak dierbikan. Canberra: The usralian Naional Universiy. LeVeque, R. J.. Finie-Volume Mehods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge Universiy Press. Rier,. 89. Die forpflanzung der wasserwellen. Zeischrif des Vereines Deuscher Ingenieure, 36 (33): Sain-Venan,. J. C. de. 87. Théorie du mouvemen non-permanen des eau avec applicaion au crues des rivières e à l inroducion des marées s leur li, C. R. cad. Sci. Paris, 73: Soker, J. J Waer Waves: The Mahemaical Theory wih pplicaion. New York: Inerscience Publishers. 99

14 Vol. 5, No., Desember 9: 87- Wang, X., Cao, Z., Pender, G., & Neelz, S.. Numerical modelling of flood flows over irregular opography. Proceedings of he ICE - Waer Managemen, 63(5): Ying, L., Sumida, S., Ceric, M., Yamamoo, K., & Waanabe, M. 8. Numerical Sudy of Effecs of Tsunami Wave Generaed on Nankai Trough. Journal of he Faculy of Environmenal Science and Technology, Okayama Universiy, 3(): 57 6.