BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

Transkripsi

1 Bulei Ilmia Ma. Sa. da Teraaa (Bimaser) Volume 6, No. 0(07), al 8. BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR Umi Salma, Mariaul Kifia, Frasiskus Fra INTISARI Beuk kaoik Jorda meruaka mariks Jorda ag similar dega mariks asala. Beuk kaoik Jorda daa dialikasika uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Peeliia ii berujua uuk meeuka beuk kaoik Jorda dari suau mariks A M da megalikasika beuk kaoik Jorda dalam meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Lagka erama uuk meeuka beuk kaoik Jorda adala meeuka ersamaa karakerisik uuk medaaka ilai eige da vekor eige. Selajua, meeuka mulilisias aljabar da mulilisias geomeri sera vekor eige ergeeralisasi. Kemudia, meeuka mariks ak sigular S da iversa sera beuk kaoik Jorda J S AS. Seela medaaka beuk kaoik Jorda J, lagka uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial liear d A g adala meeuka solusi dega J da J meruaka blok Jorda dari J. Lagka selajua, meeuka S da N N g seigga medaaka solusi umum sisem ersamaa diferesial liear. Hasil eeliia ii meujukka baa vekor eige ergeeralisasi daa diguaka uuk meeuka beuk kaoik Jorda da beuk kaoik Jorda daa diguaka uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Kaa Kuci: vekor eige ergeeralisasi, sisem ersamaa diferesial PENDAHULUAN Suau mariks adala jajara ema ersegi ajag dari bilaga-bilaga. Bilaga-bilaga dalam jajara ersebu disebu eri dari mariks. Suau mariks A M daa didiagoalisasi aabila dimesi ruag eige sama dega agka eriggi dari fakor oliomial karakerisik. Dimesi ruag eige disebu juga dega mulilisias geomeri da jumla kemucula 0 sebagai fakor ada oliomial karakerisik disebu juga dega mulilisias aljabar []. Kose ag diguaka uuk mediagoalisasi suau mariks aiu similarias. Suau mariks B M dikaaka similar dega mariks A M jika ada mariks ak sigular S M sedemikia seigga B S AS [3]. Jika mariks A M daa didiagoalisasi, maka mariks A ersebu similar dega mariks diagoal. Aka eai, jika mariks A M idak daa didiagoalisasi, maka mariks A ersebu similar dega mariks ag amir diagoal aau ag disebu dega mariks Jorda []. Mariks Jorda ag similar dega mariks A disebu sebagai beuk kaoik Jorda [3]. Sala sau cara uuk medaaka beuk kaoik Jorda aiu dega megguaka vekor eige ergeeralisasi. Vekor eige ergeeralisasi ersebu diguaka uuk memerluas basis ruag eige da memerole vekor eige ag bebas liear, seigga mulilisias geomeri sama dega mulilisias aljabara. Jika mulilisias aljabar ela sama dega mulilisias geomeri, maka mariks ersebu daa dieuka beuk kaoik Jordaa aiu J S AS dega S meruaka mariks ak sigular ag kolom-koloma erdiri dari vekor eige ergeeralisasi. Beuk kaoik Jorda ersebu daa diguaka uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Peeliia ii berujua uuk meeuka beuk kaoik Jorda dari mariks A M dega megguaka vekor eige ergeeralisasi da megalikasika beuk kaoik Jorda dalam

2 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Mariks ag diguaka ada eeliia ii aiu mariks A M da sisem ersamaa diferesial ag diguaka aiu sisem ersamaa diferesial biasa liear orde erama dega koefisie kosa. Lagka erama dalam eeliia ii adala meeuka baa mariks ag diguaka meruaka mariks A M. Lagka selajua, meeuka ersamaa karakerisik dega ersamaa P( ) de( I A) 0. Dega memfakorka ersamaa karakerisik dierole ilai eige ag bersesuaia dega mariks A. Kemudia mesubsiusika ilai eige ada ersamaa A I = x 0 dierole vekor eige. Selajua, meeuka mulilisias aljabar sama dega mulilisias geomeri aau belum. Kemudia meeuka vekor eige ergeeralisasi dega ersamaa ( A I ) x 0 da ( A I ) x 0,,3,... samai mulilisias aljabar sama dega mulilisias geomeri. Seela iu membeuk mariks ak sigular S ag kolom-koloma erdiri dari vekor eige ergeeralisasi. Kemudia meeuka ivers dari mariks ak sigular S seigga didaa beuk kaoik Jorda J S AS. Seela medaaka beuk kaoik Jorda, lagka uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial liear d A g aiu meeuka solusi dari J. Kemudia, meeuka S da N N g dega N SM seigga medaaka solusi umum sisem ersamaa diferesial liear. BENTUK KANONIK JORDAN Beuk kaoik Jorda meruaka mariks Jorda ag similar dega mariks asala. Mariks Jorda erdiri dari blok-blok Jorda. Blok Jorda J ( ) meruaka mariks segiiga aas berukura dega diagoal uama, suerdiagoal berilai, da semua eri laia adala 0 ag didefiisika sebagai beriku: J Jika ada Persamaa (), maka eri ilai eige. Mariks Jorda blok Jorda beriku: ( ) J ( ) aria blok Jorda ersebu berukura dega J M meruaka ejumlaa lagsug dari blok Jorda J dega ukura i da ilai eige i ag bersesuaia dega blok Jorda da i,,..., k sebagai dega.... Jika seia blok Jorda k i J ( ) J ( ) J J ( ) k k J ada Persamaa () berdimesi sau, aiu semua da k, maka mariks Jorda J berbeuk mariks diagoal. i i i i () ()

3 Teorema [3] Diberika A M seigga A SJS. Akiba [3] Diberika A M da 0, sedemikia seigga Beuk Kaoik Jorda dalam Meelesaika... 3, maka erdaa mariks ak sigular S M sedemikia maka erdaa mariks ak sigular S S ( ) M J (, ) J (, ) A S S J (, ) k k dega... k da J m(, ) 0 0 M m Seela diberika defiisi da eorema ag berkaia dega beuk kaoik Jorda, selajua dibaas srukur dari mariks Jorda. Dega megeaui srukur mariks Jorda, suau mariks A daa dieuka mariks Jordaa. Srukur mariks Jorda ersebu sebagai beriku:. Jumla ada blok Jorda adala jumla vekor eige ag bebas liear dari mariks J.. Jumla blok Jorda ag sesuai dega ilai eige adala mulilisias geomeri dari ilai eige ag bersesuaia. 3. Jumla ukura dari semua blok Jorda ag sesuai dega ilai eige ag diberika adala mulilisias aljabar dari ilai eige. Coo 3 Diberika mariks Jorda J sebagai beriku: J Pada mariks Jorda ersebu daa dikeaui baa, a. Mariks A9 9 memuai ilai eige ag berbeda aiu 4, 3, 3. b. Mulilisias geomeri dega masig-masig ilai eige berbeda aiu c. Mulilisias aljabar dega masig-masig ilai eige berbeda aiu 4, 3,. 4 5, 3,. VEKTOR EIGEN TERGENERALISASI Suau mariks A M belum eu memiliki vekor eige ag bebas liear, agar mariks ersebu memiliki vekor eige ag bebas liear dierluka vekor eige ergeeralisasi. Vekor eige ergeeralisasi diguaka uuk memerluas basis da memerole vekor eige ag bebas liear.

4 4 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN Defiisi 4 [4] Vekor x disebu vekor eige ergeeralisasi jika ( A I) x 0 da ( A I ) x 0 Jika, maka ( A I ) x 0 da x 0 dega x meruaka vekor eige. Pada vekor eige ergeeralisasi erdaa raai vekor eige ergeeralisasi ag didefiisika sebagai beriku: x x x ( A I ) x = ( A I) x ( A I) ( A I ) x x = x ( A I ) ( A I ) x x = x Himua vekor x, x,..., x disebu raai vekor eige ergeeralisasi dega ajag. Pada vekor eige ergeeralisasi erdaa ruag eige ergeeralisasi ag dioasika dega didefiisika sebagai beriku: E x A I x 0,,, Coo 5 Meeuka beuk kaoik Jorda dari mariks A. A Peelesaia. Meeuka ersamaa karakerisik dari mariks A de I A de Dega megguaka eksasi kofakor dierole, 0 Seigga, ersamaa karakerisik mariks A aiu 3 P( ) E ag. Meeuka ilai eige da vekor eige dari mariks A. Dega memfakorka ersamaa karakerisik, dierole ilai eige dari mariks A aiu. Uuk ada ersamaa A I = x 0 dierole, A I = x 0 x 0 x 0 x 3 0 Dega megguaka elimiasi Gauss-Jorda dierole, x x x 3 0

5 Beuk Kaoik Jorda dalam Meelesaika... 5 Seigga, x x x3. Misalka x r, x3 s, r, s, maka r s x = r r s 0, r, s dega ruag eige berdimesi. s 0 3. Meeuka mulilisias aljabar da muilisias geomeri dari mariks A. 3 P( ) 0, maka mulilisias aljabar () 3. Ruag eige berdimesi, maka mulilisias geomeri (). 4. Berdasarka lagka 3, () (), maka selajua meeuka vekor eige ergeeralisasi sebagai beriku: ( A I) x = x 0 x= x = x 3 0 Misalka x r, x s, x3 dega r, s,, maka x r 0 0 x = x s r 0 s 0, r, s, dega ruag eige berdimesi 3. x Meuru defiisi vekor eige ergeeralisasi, ambil maka Ambil 3 E A λi x x eai x 3 bebas liear dega x E x eai 0 0 x aiu x 3 0 T x aiu E x 0 0 T, 5. Meeuka mariks ak sigular S ag kolom-koloma erdiri dari vekor eige ergeeralisasi aiu S Meeuka ivers dari mariks ak sigular S. S I Dega megguaka oerasi baris dierole, I S

6 6 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN Sedemikia seigga, S Meeuka beuk kaoik Jorda dari mariks A dega J S AS aiu J J S AS J APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN Sala sau alikasi beuk kaoik Jorda adala meelesaika sisem ersamaa diferesial liear. Dalam eeliia ii, beuk kaoik Jorda dieraka uuk meelesaika sisem ersamaa diferesial biasa liear orde erama dega koefisie ea. Diberika sisem ersamaa diferesial liear orde erama sebagai beriku: d A g (3) T dega AM g g g T,,,...,, g,,...,. Persamaa (3) daa diselesaika dega meeuka beuk kaoik Jorda dari mariks koefisie A. Jika A SJS dega beuk kaoik Jorda J dari mariks A, maka J Persamaa (4) didaa dega mesubsiusika S A SJS ada Persamaa (3) da memisalka. Jika beuk kaoik Jorda J berbeuk mariks diagoal, maka eri-eri dari aiu T,,..., ag sesuai dega blok Jorda uuk ilai eige real dari ersamaa komleks a ib J berbeda di J digabugka. Seigga, memuai solusi a memuai solusi ce cosb isib ce da ilai eige. Aka eai, jika beuk kaoik Jorda J idak berbeuk mariks diagoal, maka eri-eri dari ag sesuai dega blok Jorda J berbeda di J idak digabugka. Seigga cuku dega megagga baa beuk kaoik Jorda J adala blok Jorda uggal [3]. Persamaa (4) daa diuraika sebagai beriku: 0 0 d (4)

7 Beuk Kaoik Jorda dalam Meelesaika... 7 Persamaa ersebu diselesaika dega cara meelesaika ersamaa dari baa ke aas. Dimulai dari ersamaa erakir aiu: memuai solusi c e. Dilajuka dega memuai solusi c e c e. Dilajuka dega memuai solusi c e c e c e da seerusa. Seigga dierole, Solusi,,..., c k c k k... ck e, k 0,,,...,. k! k! T ersebu daa dibeuk mejadi mariks ag dierole dari Persamaa (5) dega mesubsiusika k 0,,,, ag didefiisika sebagai beriku aiu M c dega 3! 3!! 0 c!! M 3 e c 0 0 da c. 3! c dega M meruaka mariks fudameal dari sisem da c meruaka vekor dega kosaa c, c,..., c. Teorema 6 [5] Fugsi N N g adala solusi dari sisem d A. g Coo 7 Meelesaika sisem ersamaa diferesial liear beriku: d 3 e d 3 3 e d e (5)

8 8 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN Peelesaia Berdasarka Coo 5, mariks ak sigular S da iversa sera beuk kaoik Jorda J dierole, S 0, S, J Lagka selajua, meeuka solusi dega J seigga dierole, J 0 ce ce ce ce J c3e ce ce ce. 3 c3e Kemudia meeuka dari sisem ersamaa diferesial liear dega S sebagai beriku: dierole Seela iu, meeuka sebagai beriku: ce ce S 0 ce 0 0 c3e dari sisem ersamaa diferesial liear ersebu aiu SM ce ce ce c3e ce ce c3e ce ce dari sisem ersamaa diferesial liear dega N N g SM SM g e e e e e e e e e e e e e 0 N N g

9 Beuk Kaoik Jorda dalam Meelesaika... 9 SM M S e e e e 0 e e e e e e e 0 e e Mesubsiusika SM, SM, da g ada dierole SM SM g SM SM g sedemikia seigga, e e e e e e e e e 3 e e e e e e e 4 e e 0 0 e e 0e e e e e c 9 3 e e e e 0 3 e e e e e c 3 e e e e c 3 dari sisem ersamaa diferesial liear aiu e e 6e e ce ce ce c3e e e ce ce c3e e 6e e ce ce 9 Lagka selajua, meeuka solusi umum dari sisem ersamaa diferesial liear aiu e e e e c e c e c e c3e 9 ce ce ce c3e 0 4 ce ce c3e e e ce ce c3e 9 ce ce e 6e e ce ce 9 Seigga, solusi umum dari sisem ersamaa diferesial ersebu aiu ce ce ce 4c3e e e 6e e ce ce c3e e e ce ce e 6e e 9 3

10 0 U. SALMAH, M. KIFTIAH, F. FRAN PENUTUP Berdasarka embaasa ag ela diaarka, maka daa diarik kesimula, aiu:. Dalam meeuka beuk kaoik Jorda dega megguaka vekor eige ergeeralisasi daa dilakuka dega lagka meeuka ersamaa karakerisik dari mariks A, seigga dierole ilai eige da vekor eige. Selajua, meeuka mulilisias aljabar da mulilisias geomeri sera vekor eige ergeeralisasi, kemudia meeuka mariks ak sigular S da iversa. Seigga dierole beuk kaoik Jorda J S AS.. Alikasi beuk kaoik Jorda dalam meelesaika sisem ersamaa diferesial liear d A g daa dilakuka dega cara mesubsiusika blok Jorda J ada ersamaa J, seigga dierole solusi. Selajua, mesubsiusika solusi ada ersamaa S, kemudia meeuka sisem ersamaa diferesial liear. N N g seigga dierole solusi umum DAFTAR PUSTAKA []. Ao, H., & Rorres, C. Aljabar Liear Elemeer Versi Alikasi Jilid. Kedelaa ed. Jakara: Erlagga; 004. []. Arilliaii. Mariks Jorda da Alikasia ada Sisem Liier Waku Diskri. Jural Maemaika. 0; 5(), -6. [3]. Hor, R. A., & Joso, C. Marix Aalsis. Ne York: Press Sdicae of e Uiversi of Cambridge; 988. [4]. Ce, C.-T. Liear Ssem Teor ad Desig. Tird ed. Ne York: Oxford Uiversi Press; 999. [5]. Weiraub, S. H. Jorda Caoical Form: Alicaio o Differeial Equaios. Sa Rafael: Morga ad Claool, 008. UMI SALMAH : FMIPA Ua, Poiaak, umisalma@sude.ua.ac.id MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Ua, Poiaak, kifiamariaul@ma.ua.ac.id FRANSISKUS FRAN : FMIPA Ua, Poiaak, fradl88@gmail.com