DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

Transkripsi

1 DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa an sain. Oleh karena itu materi turunan cukup perlu untuk ipelajari. Paa bab ini akan isjikan efinisi an konsep turunan, rumus asar turunan, contoh-contoh persoalan turunan beserta penyelesaiannya engan berbagai metoe penyelesaian. Notasi Turunan an Rumus Dasar Turunan Turunan ari sebuah fungsi f engan variabel atau f() aalah fungsi lain yang y inotasikan engan f (). Jika kita menuliskan y = f(), aalah koefisien turunan (iferensial) untuk fungsi f(). Atau turunan ari fungsi f apat juga inyatakan engan menggunakan operator D engan menuliskan D[f()] = f (). Tabel berikut ini memuat aftar turunan (iferensial) baku yang akan membantu kita alam menyelesaikan persoalan turunan fungsi seerhana. No Rumus Dasar Turunan y = f() y = f () k, k aalah konstanta 0 n n n-, n Riil e e 4 e k ke k 5 a a ln(a) 6 ln() 7 log a ln( a)

2 Sifat-sifat turunan. Jika f() an g() aalah ua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f () an g () maka berlaku :. (k f) () = k f (). (f + g) () = f () + g (). (f g) () = f () g () 4. (f. g) () = f (). g() + f (). g () f g 5. f ( ). g( ) f ( ). g ( ), g() 0 g( ) untuk ua sifat (rumus) terakhir apat iringkaskan agar memuahkan kita untuk menghafalnya, yaitu engan cara memisalkan u = f() maka u = f () an v = g() maka v = g (). sehingga ua rumus terakhir apat ituliskan sebagai berikut : (u. v) () = u. v + u. v an u u. v u. v ( ) v v, v 0. Contoh. Tentukan turunan ari fungsi y = Penyelesain y = , berasarkan rumus no. an paa aftar maka y = ( - ) 4 ( - ) + 7 ( - ) 0 = Contoh. Tentukan turunan ari fungsi y = paa =. y = , berasarkan rumus no. an paa aftar maka y = (4 ) 7 ( ) + 4 () + () 0 = an untuk =, maka y = () () + 8 () + =.

3 Contoh. Tentukan turunan ari fungsi f() = f() = f () = = Contoh 4. = , maka 6-4. Tentukan turunan ari fungsi g() = g() = g () = 4 - -/ + -/ = 4 - = / + / - 4 -, maka + / Contoh 5. 4 Tentukan turunan ari fungsi h() = - / h() = - / 4 = -/4 -/, maka 5 5 h () = - -7/4 + -/ = / /. Contoh 6. Diferensialkan fungsi y = + 4 y + 7 an hitung nilai paa nilai = -. y = , maka y = an untuk = -, maka y = 6(- ) + 8(- ) = 6.

4 Contoh 7. Tentukan turunan ari fungsi y =. e. y =. e, engan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil kali ua buah fungsi, maka misalkan : u = u = an v = e v = e y sehingga = (u. v) () = u. v + u. v = ( ) e +. e = (e + ). Contoh 8. Tentukan turunan ari fungsi y = 5 y =, engan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil bagi ua buah fungsi, 5 misalkan : u = u = 4 an v = + 5 v = y u u. v u. v sehingga = ( ) v v = (4 )( 5) ( ( 5) 0 5. ( 5) = ). Koefisien Turunan (Diferensial) Keua. y Turunan keua ari fungsi y aalah turunan ari (turunan pertama). Dalam hal ini y koefisien turunan keua aalah ( ) ketiga an selanjutnya. y, an apat iteruskan untuk turunan = Contoh 9. y Tentukan ari fungsi y =

5 y = y + 4 = y sehingga = (8 5 6 ) = Contoh 0. y Tentukan ari fungsi y = y = y = y sehingga = ( 6 8 5) = Turunan Fungsi Trigonometri Paa asarnya turunan sinus an kosinus mengacu paa efinisi turunan, namun hasilnya telah iringkaskan paa teorema berikut : Teorema. Fungsi-fungsi f() = sin an g() = cos, keuanya mempunyai turunan (apat iiferensialkan), yaitu turunan sin aalah f () = cos an turunan cos aalah g () = - sin. Dengan menggunakan teorema. iatas an rumus turunan hasil kali serta turunan hasil bagi, maka apat i tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang inyatakan paa teorema berikut. Teorema. Jika (sin ) = cos an (cos ). (tan ) = sec. = sin, maka : 5

6 . (cot an) = - cosec.. (sec ) = sec. tan. 4. (cos ec) = - cosec. cotan. Contoh. Tentukan turunan ari fungsi y = sin cos. y = sin cos, maka y = (sin ) - (cos ) = cos - (- sin ) = cos + sin. Contoh. Tentukan turunan ari fungsi y = sin. Untuk menentukan y terlebih ahulu kita uraikan fungsi sin engan menggunakan kesamaan trigonometri yaitu sin = sin. cos. Dan engan menggunakan rumus turunan hasil kali, maka y = ( sin ) = [ (sin. cos )] = ( 6sin. cos ) = 6 (sin ).cos sin (cos ) y = 6[cos. cos + sin. (- sin )] = 6 cos sin = 6 cos. Contoh. Tentukan turunan ari fungsi y = 4. tan. 6

7 y = 4. tan, maka y = (4 ).tan 4 (tan ) = (8) tan + (4 ) sec = 4 ( tan +. sec ). Contoh 4. Tentukan turunan ari fungsi y =. cos ( ).cos y = (cos ) (cos ) = ( 6)cos cos.sin = (.cos.sin ) cos Turunan Fungsi Komposit Turunan engan aturan rantai muncul ari fungsi yang merupakan komposit fungsi lainnya. Rumus turunan aturan rantai inyatakan alam teorema berikut. Teorema. Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g()] = (f o g)(). Jika g punya turunan i an f punya turunan i u, maka (f o g)() punya turunan i y y u yaitu : (f o g) () = f [g()]. g (), atau =.. u y y u v Jika y = f(u) an u = g(v) an v = h(), maka =.. isebut aturan u v rantai bersusun an apat ilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih ari tiga. Contoh 5. Tentukan turunan ari fungsi y = ( + 5) 4. Misalkan u = + 5 y = u 4 7

8 y = 4u u an =, u sehingga y y u =. u = (4u ) () = u = ( + 5) Contoh 6. Tentukan turunan ari fungsi y = tan(4 + ). Misalkan u = 4 + y = tan u y = sec u u an = 4, u sehingga y y u =. u = sec u. (4) = 4 sec (4 + ) Contoh 7. Tentukan turunan ari fungsi y = sin[cos( )] Misalkan v =, u = cos v y = sin u y u v = cos u, = - sin v an =, u v y y u v sehingga =.. u v = (cos u) (- sin v) () = - sin ( ) cos[cos( )]. Turunan Fungsi Implisit. Secara umum fungsi implisit apat ikatakan sebagai fungsi yang keua variabel (alam hal ini an y) beraa aa satu ruas ari sebuah persamaan. Misalkan z = f(, y) aalah fungsi engan ua variabel, persamaan f(, y) = 0 menyatakan y sebagai fungsi ari, yang mana alam hal ini y isebut fungsi implisit ari. Turunan ari fungsi implisit inyatakan alam teorema berikut. 8

9 Teorema 4. Misalkan persamaan f(, y) = 0 menyatakan y sebagai fungsi implisit ari, turunan fungsi y iperoleh ari f (, y) nyatakan f alam y an., engan menganggap y = y() kemuian Contoh 8. y Tentukan ari persamaan + 5y = + 9. y Untuk menentukan, lakukan peniferensialan untuk keua ruas paa persamaan. 5y = y + 5 y y = y. = y y y =, maka = 5y. Contoh 9. y Tentukan jika iberikan persamaan + y + y = 4 y y = y + y ( ). y ( y) = 0 y y. + y = 0 y y + (y + ) + 6y = 0 9

10 y y + y + + 6y = 0 y ( + 6y) = - -y y = y. 6y Contoh 0. Jika + y y y 6y + 5 = 0, tentukanlah an y 6y 5 + y y y. + y = y+ 5 y y. = 0-6 y = 0 i titik = an y =. y y + y - 6 = 0, maka y y y - 6 = y (y 6) =, maka y = = y 6 y y = =. untuk = an y =, maka Dengan rumus turunan hasil bagi maka iperoleh y = ( ).( y ) ( ) y ( y ) = ( y ) ( ) y y y, an untuk = an y = engan =, maka nilai 0

11 y = ( ) ( ) = 5. LATIHAN. Tentukan turunan ari fungsi y = Tentukan turunan ari fungsi g() = , paa =.. Tentukan turunan ari fungsi y =.e. ln. 4. Tentukakn turunan ari fungsi y = ( + ) ( 4 + ) 5. Tentukan turunan ari fungsi y = 5. sin. 6. Tentukan turunan ari fungsi y = ln 7. Tentukan turunan ari fungsi y = y 8. Tentukan ari fungsi f() = Tentukan turunan ari fungsi y = 4 cos ( + ) 0. Jika y = cos 5 y, tentukanlah. Jika y = ( + 5) 4 ( ) y, tentukanlah. Jika y = ln ( y + 4), tentukanlah y. Tentukan ari persamaan y + 7y = 0 y 4. Tentukan ari persamaan 6 - y + y y = 0 5. Jika y + y y y = 7, tentukanlah an i titik = an y =.

12 PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum an Minimum. Definisi. (maksimum an minimum). Misalkan S aerah asal f an S memuat titik c, kita katakan bahwa :. f (c) aalah nilai maksimum f paa S jika f (c) > f (), untuk setiap S.. f (c) aalah nilai minimum f paa S jika f (c) < f (), untuk setiap S.. f (c) aalah nilai ekstrim f paa S jika f (c) aalah nilai maksimum atau nilai minimum. Tiak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum, fungsi yang tiak mempunyai nilai maksimum atau minimum apat mempunyai maksimum atau minimum engan membatasi aerah asalnya. Teorema 5. (eksistensi ekstrim) Jika f kontinu paa interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum an minimum. Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum an minimumkan akan mempunyai suatu interval I sebagai aerah aslnya. Beberapa ari interval ini mempunyai titik ujung. Jika sebuah titik imana f (c) = 0, maka c isebut titik stasioner. Jika c aalah titik alam ari I imana f (c) tiak aa, maka c isebut titik singular. Sebarang titik alam aerah asal f yang termasuk salah satu ari ketiga titik yang ikemukakan iatas isebut tittik kritis ari f. Definisi. (titik kritis) Misalkan fungsi f kontinu paa interval terbuka I yang memuat c, titik (c, f (c)) inamakan titik kritis ari f jika f (c) = 0 atau f (c) tiak aa. Catatan : titik kritis tiak selalu merupakan tittik ekstrim. Teorema 6. (titik kritis terhaap nilai ekstrim) Misalkan f punya tururnan paa interval I yang memuat titik c. Jika f (c) aalah nilai ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu c berupa salah satu ari :. Titik ujung ari I

13 . Titik stasioner ari f atau titik c imana f (c) = 0.. Titik singular ari f atau titik c imana f (c) tiak aa. Contoh. Carilah nilai ekstrim ari fungsi f () = - +, paa I = [- ½, ] f () = - +, paa [- ½, ]. Sebelum mencari nilai ekstrim maka akan i cari titik-titik kritis yaitu :. Titik ujung : karena I merupakan interval tertutup maka = - ½ an = merupakan titik-titik ujung ari f paa I.. Titik stasioner : f () = - + f () = , untuk menentukan titik stasioner, misalkan f () = 0 sehingga = 0 atau -6 ( ) = 0 sehingga = 0 atau = merupakan titik stasioner ari f paa I.. Titik singular : karena f () terefinisi paa seluruh bilangan riil maka titik singular tiak aa. Jai titik kritis ari funsi f aalah : = - ½, = 0, = an =. Untuk menentukan nilai ekstrim ari f, gantilah nilai paa f () = - + engan titik-titik kritis, maka f (- ½ ) = - (- ½ ) + (- ½ ) =, f ( 0 ) = - ( 0 ) + ( 0 ) = 0, f ( ) = - ( ) + ( ) =, an f ( ) = - ( ) + ( ) = - 4. Dari nilai-nilai tersebut maka nilai ekstrim ari f aalah : nilai maksimum (f maks ) = icapai paa = - ½ an =, an nilai minimum (f min ) = - 4 icapai paa =. Grafik fungsinya apat ilihat paa gambar berikut.

14 5 gambar 4.. grafik f() = sumbu y maks maks min sumbu Uji Turunan Pertama. Definisi.(kemonotonan) Misalkan f terefinisi paa interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun), kita katakan bahwa :. f naik paa I jika untuk setiap pasangan bilangan an alam I imana <, maka f ( ) < f ( ).. f turun paa I jika untuk setiap pasangan bilangan an alam I imana <, maka f ( ) > f ( ).. f monoton paa I jika ia naik atau turun paa I. Teorema 7. (uji turunan pertama untuk kemonotonan) Misalkan f kontinu paa I an punya turunan paa setiap titik alam ari I,. Jika f () > 0 untuk setiap I, maka f naik paa I.. Jika f () < 0 untuk setiap I, maka f turun paa I. Contoh.. Jika f () = + 7, tentukanlah imana grafik f () naik an imana grafik f () tururn. 4

15 berasarkan teorema 4., maka kita perlu mencari f () untuk menentukan kemonotonan. Jika f () = + 7 f () = 6 6. untuk menentukan imana f () > 0 an imana f () < 0, misalkan f () = = 0 atau 6 ( + ) ( ) = 0 engan emikian iperoleh titik pemecah = - an = yang akan membagi garis bilangan riil menjai tiga bagian yaitu < -, - < < an >. Dan engan mengambil titik-titik uji : -, 0, an, maka kita apatkan kesimpulan seperti yang inyatakan alam tabel berikut : Interval Titik uji Hasil uji f () = 6 6 Tana (-, -) (-, ) (, ) 4 + atau engan garis bilangan riil : (+) (-) (+) - uji terhaap f () jai apat i simpulkan bahwa grafik fungsi f () naik paa I = (-, -) an I = (, ), an grafik fungsi f () turun paa I = (-, ) Grafik fungsinya apat ilihat paa gambar berikut f naik grafik f() = f turun f naik sumbu y sumbu 5

16 Uji Turunan Keua Definisi. Misalkan f () punya turunan paa interval terbuka, I = (a, b), jika f () naik paa I maka f an grafiknya cekung keatas isana, an jika f () turun paa I maka f an grafiknya cekung kebawah paa I. Teorema 8. (uji turunan keua untuk kecekungan) Misalkan f teriferensialkan ua kali (punya turunan keua) paa interval terbuka I = (a, b), oleh karenanya :. Jika f () > 0 untuk semua I, maka grafik f () cekung ke atas paa I. Jika f () < 0 untuk semua I, maka grafik f () cekung ke bawah paa I Definisi 4. (titik belok / titik balik) Anaikan fungsi f () kontinu i titik c, kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik ari grafik fungsi f () jika f () cekung keatas paa suatu sisi an cekung ke bawah paa sisi lainnya ari titik c. Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai engan mengenali titik-titik imana f () = 0 an imana f () tiak aa, kemuian kita periksa apakah ianya benarbenar merupakan titik balik. Contoh. Jika iberikan fungsi f () = + 4, tentukan lah imana kah grafik fungsi f () naik, tururn, cekung keatas an cekung ke bawah. Menentukan kemonotonan (engan uji turunan pertama) f () = + 4 f () = = ( + ) ( ), misalkan f () = 0 ( + ) ( ) = 0 iperoleh titik pemecah = - atau = yang membagi grais bilangan riil menjai tiga bagian, sehingga engan mengambil titik uji i apat kesimpulan yang inyatakan alam tabel berikut : 6

17 Interval Titik uji Hasil uji f () = Tana (-, -) (-, ) (, ) engan garis bilangan riil (+) (-) (+) uji terhaap f () - f naik paa (-, - ) an (, ), turun paa (-, ). Menentukan kecekungan f () =, maka f () =. berasarkan teorema 4., maka kita menguji turunan keua. misal f () = 0 = 0 =, sehingga (-) (+) uji terhaap f () maka f cekung kebawah paa (-, ) an cekung keatas paa (, ). Grafik fungsinya apat ilihat paa gambar berikut: 7