DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2"

Farida Atmadja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 1 POHON

2 DEFINISI Pohon aalah graf tak-rarah trhuung yang tiak mnganung sirkuit a a a a f f f f pohon pohon ukan pohon ukan pohon 2

3 Hutan (forst) aalah - kumpulan pohon yang saling lpas, atau - graf tiak trhuung yang tiak mnganung sirkuit. Stiap komponn i alam graf trhuung trsut aalah pohon. Hutan yang triri ari tiga uah pohon 3

4 SIFAT-SIFAT (PROPERTI) POHON Torma. Misalkan G = (V, E) aalah graf tak-rarah srhana an jumlah simpulnya n. Maka, smua prnyataan i awah ini aalah kivaln: 1. G aalah pohon. 2. Stiap pasang simpul i alam G trhuung ngan lintasan tunggal. 3. G trhuung an mmiliki m = n 1 uah sisi. 4. G tiak mnganung sirkuit an mmiliki m = n 1 uah sisi. 5. G tiak mnganung sirkuit an pnamahan satu sisi paa graf akan mmuat hanya satu sirkuit. 6. G trhuung an smua sisinya aalah jmatan. Torma i atas apat ikatakan sagai finisi lain ari 4 pohon.

5 POHON MERENTANG (SPANNING TREE) Pohon mrntang ari graf trhuung aalah upagraf mrntang yang rupa pohon. Pohon mrntang iprolh ngan mmutus alam graf. sirkuit i G T 1 T 2 T 3 T 4 5

6 Stiap graf trhuung mmpunyai paling sikit satu uah pohon mrntang. Graf tak-trhuung ngan k komponn mmpunyai k uah hutan mrntang yang isut hutan mrntang (spanning forst). 6

7 APLIKASI POHON MERENTANG 1. Jumlah ruas jalan sminimum mungkin yang mnghuungkan smua kota shingga stiap kota ttap trhuung satu sama lain. 2. Prutan (routing) psan paa jaringan komputr. (a) Routr () Suntwork (a) Jaringan komputr, () Pohon mrntang multiast 7

8 POHON MERENTANG MINIMUM Graf trhuung-root mungkin mmpunyai lih ari 1 pohon mrntang. Pohon mrntang yang root minimum inamakan pohon mrntang minimum (minimum spanning tr ) a g 50 h 5 a g h f f 8

9 Algoritma Prim Langkah 1: amil sisi ari graf G yang root minimum, masukkan k alam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mmpunyai oot minimum an rsisian ngan simpul i T, ttapi (u, v) tiak mmntuk sirkuit i T. Masukkan (u, v) k alam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sanyak n 2 kali. 9

10 prour Prim(input G : graf, output T : pohon) { Mmntuk pohon mrntang minimum T ari graf trhuungroot G. Masukan: graf-root trhuung G = (V, E), ngan V = n Kluaran: pohon rntang minimum T = (V, E ) } Dklarasi i, p, q, u, v : intgr Algoritma Cari sisi (p,q) ari E yang root trkil T {(p,q)} for i 1 to n-2 o Pilih sisi (u,v) ari E yang ootnya trkil namun rsisian ngan simpul i T T T {(u,v)} nfor 10

11 Contoh:

12 Langkah Sisi Boot Pohon rntang 1 (1, 2) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (3, 5)

13 Pohon mrntang minimum yang ihasilkan: Boot = =

14 Pohon mrntang yang ihasilkan tiak slalu unik mskipun ootnya ttap sama. Hal ini trjai jika aa rapa sisi yang akan ipilih root sama. 14

15 Contoh: a f 4 g 4 h i 6 j 4 k 2 l Tiga uah pohon mrntang minimumnya: a 3 2 a 3 2 a f g h f h f g h i j 4 k 2 l i j 4 k 2 l Bootnya sama yaitu = 36 i j k 2 l 15

16 Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi ari graf suah iurut mnaik rasarkan ootnya ari oot kil k oot sar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) ngan oot minimum yang tiak mmntuk sirkuit i T. Tamahkan (u, v) k alam T. Langkah 3: ulangi langkah 2 sanyak n 1 kali. 16

17 prour Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Mmntuk pohon mrntang minimum T ari graf trhuung root G. Masukan: graf-root trhuung G = (V, E), ngan V = n Kluaran: pohon rntang minimum T = (V, E ) } Dklarasi i, p, q, u, v : intgr Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi ari graf suah iurut mnaik rasarkan ootnya ari oot kil k oot sar) T {} whil jumlah sisi T < n-1 o Pilih sisi (u,v) ari E yang ootnya trkil if (u,v) tiak mmntuk siklus i T thn T T {(u,v)} nif nfor 17

18 Contoh:

19 Sisi-sisi iurut mnaik: Sisi (1,2) (3,6) (4,6) (2,6) (1,4) (3,5) (2,5) (1,5) (2,3) (5,6) Boot Langkah Sisi Boot Hutan mrntang (1, 2) (3, 6) (4, 6) (2, 6)

20 5 (1, 4) 30 itolak 6 (3, 5) Pohon mrntang minimum yang ihasilkan: (2, 6) 25 Boot = =

21 POHON BERAKAR (ROOTED TREE) Pohon yang satu uah simpulnya iprlakukan sagai akar an sisi-sisinya iri arah shingga mnjai graf rarah inamakan pohon rakar (root tr). a a f g f g h i j h i j (a) Pohon rakar () sagai prjanjian, tana panah paa sisi apat iuang 21

22 a f g a f h g h g h f sagai akar a sagai akar Pohon an ua uah pohon rakar yang ihasilkan ari pmilihan ua simpul ra sagai akar 22

23 TERMINOLOGI PADA POHON BERAKAR Anak (hil atau hilrn) an Orangtua (parnt),, an aalah anak-anak simpul a, a aalah orangtua ari anak-anak itu a f g h i j k l m 23

24 2. Lintasan (path) Lintasan ari a k j aalah a,,, j. Panjang lintasan ari a k j aalah 3. a 3. Sauara kanung (siling) f aalah sauara kanung, ttapi g ukan sauara kanung, karna orangtua mrka f g ra. h i j k l m 24

25 4. Upapohon (sutr) a f g h i j k l m 25

26 5. Drajat (gr) Drajat suah simpul aalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) paa simpul trsut. Drajat a aalah 3, rajat aalah 2, Drajat aalah satu an rajat aalah 0. Jai, rajat yang imaksukan i sini aalah rajat-kluar. Drajat maksimum ari smua simpul mrupakan rajat pohon itu sniri. Pohon i atas rrajat 3 a f g h i j k l m 26

27 6. Daun (laf) Simpul yang rrajat nol (atau tiak mmpunyai anak) isut aun. Simpul h, i, j, f,, l, an m aalah aun. 7. Simpul Dalam (intrnal nos) Simpul yang mmpunyai anak isut simpul alam. Simpul,,, g, an k aalah simpul alam. a f g h i j k 27 l m

28 8. Aras (lvl) atau Tingkat Aras a 0 1 f g 2 h i j k 3 l m 4 9. Tinggi (hight) atau Kalaman (pth) Aras maksimum ari suatu pohon isut tinggi atau kalaman pohon trsut. Pohon i atas mmpunyai tinggi 4. 28

29 POHON TERURUT (ORDERED TREE) Pohon rakar yang urutan anak-anaknya pnting isut pohon trurut (orr tr) (a) () (a) an () aalah ua pohon trurut yang ra 29

30 POHON N-ARY Pohon rakar yang stiap simpul aangnya mmpunyai paling anyak n uah anak isut pohon n-ary. < sntn> <sujt> <vr> <ojt> <artil> <noun phras> wars <artil> <noun> A <ajtiv> <noun> a <ajtiv> <noun> tall oy r hat Gamar Pohon parsing ari kalimat A tall oy wars a r hat Pohon n-ary ikatakan tratur atau pnuh (full) jika stiap simpul aangnya mmpunyai tpat n anak. 30

31 POHON BINER (BINARY TREE) Aalah pohon n-ary ngan n = 2. Pohon yang paling pnting karna anyak aplikasinya. Stiap simpul i alam pohon inr mmpunyai paling anyak 2 uah anak. Diakan antara anak kiri (lft hil) an anak kanan (right hil) Karna aa praan urutan anak, maka pohon inr aalah pohon trurut. 31

32 a a Gamar Dua uah pohon inr yang ra 32

33 a a Gamar (a) Pohon onong-kiri, an () pohon onong kanan 33

34 Gamar Pohon inr pnuh 34

35 Pohon Binr Simang Paa rapa aplikasi, iinginkan tinggi upapohon kiri an tinggi upapohon kanan yang simang, yaitu ra maksimal 1. T 1 T 2 T 3 Gamar T 1 an T 2 aalah pohon simang, sangkan T 3 ukan pohon simang. 35

36 TERAPAN POHON BINER 1. Pohon Eksprsi * + / a + Gamar Pohon ksprsi ari (a + )*(/( + )) aun opran simpul alam oprator 36

37 2. Pohon Kputusan a : a > > a a : : a > > a > > : > a > a : > > a > > a > > a a > > a > > > a > > > a Gamar Pohon kputusan untuk mngurutkan 3 uah lmn 37

38 3. Ko Awalan Gamar Pohon inr ari ko prfiks { 000, 001, 01, 10, 11} 38

39 4. Ko Huffman Tal Ko ASCII Simol Ko ASCII A B C D rangkaian it untuk string ABACCDA : atau 7 8 = 56 it (7 yt). 39

40 Tal Tal kkrapan (frkunsi) an ko Huffman untuk string ABACCDA Simol Kkrapan Pluang Ko Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111 Dngan ko Hufman, rangkaian it untuk ABACCDA : hanya 13 it! 40

41 5. Pohon Pnarian Binr R Kuni(T1) < Kuni(R) Kuni(T2) > Kuni(R) T1 T2 41

dokumen-dokumen yang mirip

DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2

DEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2 1 POHON DEFINISI Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit a b a b a b a b c d c d c d c d e f e f e f e f pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2 Hutan (forest) adalah - kumpulan