Minggu Ke XII Matriks dan Graf

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Minggu Ke XII Matriks dan Graf"

Widyawati Yuliana Hadiman
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Minggu K XII. Matriks dan Graf Misal G adalah graf dngan titik-titik,,,., dan garis-garis,,,, n. Kadang-kadang dngan praktis khususnya untuk alasan-alasan prhitungan, dapat mngganti G dngan suatu matriks. Prhatikan bahwa garis-garis G dapat diwakili olh matriks bilangan-bilangan bulat B brtip n x dngan tiap baris dari B mnunjukkan garis dari G, yaitu baris (, ) mnunjukkan garis (, ). Matriks garis ini tidak scara lngkap mlukiskan G kcuali juga dibrikan bilangan m dari titik-titik G. Akan dibicarakan dua matriks rprsntasi dari G yang lain yang banyak diprgunakan. () Matriks Ajasni (adjacncy matrix) Misal A = (a ij ) adalah m x m matriks yang didfinisikan dngan :, jika ( i, j ) adalah garis, yaitu i dan j brdkatan (adjacnt) A ij =, jika tidak Maka A disbut matriks ajasnsi dari G. Prhatikan bahwa a ij a ji shingga A adalah suatu matriks simtri. (Ditntukan matriks ajasnsi untuk multigraf dngan mngambil a ij sbagai banyak garis ( i, j ). () Matriks Insidnsi (incidnc matrix) Misal M = (m ij ) adalah m x n matriks yang didfinisikan dngan, jika i insidn (incidnt) pada garis i m ij =, jika tidak Contoh.: Ditntukan graf G dalam Gambar. Tntukan: (a) matriks garis B dari graf G (b) matriks ajasnsi A dari graf G (c) matriks insidnsi M dari graf G. G = 6 7 Gambar.

2 6 Pnylsaian : Untuk dapat mmbaca yang mudah, untuk smntara dibrikan labl barisbaris dan kolom-kolom dari B, A dan M dngan titik-titik dan garis-garis yang brhubungan. (Untuk slanjutnya, jika anda tlah bnar-bnar mmahami pngrtian matriks-matriks ini, daftar titik-titik dan garis-garis trsbut. Tidak prlu disrtakan pada matriks-matriks ini). B = Contoh.: Diktahui graf G dalam Gambar. Gambar. Tntukan : (a) banyak walk dngan panjang dari k (b) banyak walk dngan panjang dari k Pnylsaian (dngan matriks ajasnsi): A a a Matriks ajasnsi

3 6 (a) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat komponn. matriks A ) (b) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat komponn. matriks A ) Ktrangan : walk-walk panjang dari k adalah: Pnylsaian : (a) 6 B (b) A (c) M 6 Mskipun matriks garis B dari grafik G adalah rprsntasi yang paling ringkas, ia tidak slalu yang paling brguna. Dalam pmandangan torma brikut, matriks ajasnsi sangat brguna untuk mmutuskan masalah ktrhubungan / konktiitas (connctiity). Torma. : Misal A matriks ajasnsi untuk graf/multigraf G dngan m titik dngan m >. Maka komponn k ij matriks A mmbrikan banyak walk dngan panjang n dari titik i k titik j.

4 Contoh.: Diktahui graf G dalam gambar.. Gambar. Tntukan : (a) banyak walk dngan panjang dari k (b) banyak walk dngan panjang dari k. Pnylsaian (dngan matriks ajasnsi) : Matriks ajasnsi A = A = A = (a) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat gambar komponn. matriks A ) (b) banyak walk dngan panjang dari k = (lihat gambar komponn. matriks A ) Ktrangan : (a) walk-walk panjang dari k adalah : (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, ) (b) walk-walk panjang dari k adalah : (,, ) Contoh. : Diktahui multigraf G dalam Gambar. Gambar. 6

5 Tntukan : (a) matriks ajasnsi multigraf G. (b) banyak walk dngan panjang dari k (c) banyak walk dngan panjang dari k. Pnylsaian : (a) matriks ajasnsi A = (b) A = (c) A = Shingga banyak walk panjang dari k = Shingga banyak walk panjang dari k =. Ktrangan : (a) walk-walk dngan panjang dari k adalah : (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) (b) walk-walk dngan panjang dari k adalah : (, ), (, ), (, ). Pandang graf G dngan m titik. Sbarang path dari i k j pasti mmpunyai panjang m atau kurang. Maka matriks A + A + A + A + a m- dapat mmpunyai komponn k ij nol hanya jika tidak ada path dari i k j (sbab, jika ada path dari i k j, maka komponn k ij dari skurang-kurangnya satu A k (k =,,, m - ) pasti tidak sama dngan nol). Dngan matriks konksi (connction matrix) dari G dngan m titik dimaksud m x m matriks C = (C ij ), di mana, jika i = j atau ada path dari i k j C ij =, jika tidak 6

6 Contoh. : Diktahui graf dalgambar. (gambar ini sudah trdapat di muka) G = Tntukan matriks konksi C dari graf G! Pnylsaian : C = Jadi matriks konksi graf G adalah C = Contoh.6 : Diktahui graf G dalam Gambar. brikut : 6 Gambar. Tntukan matriks konksi C dari graf G! 6

7 Pnylsaian : C = Prhatikan, graf G adalah trhubung jika dan hanya jika C babak mmpunyai komponn nol. Mnurut pmbicaraan di atas : (i) komponn k ij (i = j) dari C sama dngan nol jika dan hanya jika tidak ada path dari i k j (ii) komponn k ij (i = j) dari A + A + + A m- (A adalah matriks ajasnsi, m adalah banyak titik dari G) sama dngan nol jika dan hanya jika ada path dari i k j. Ksimpulan : Matriks konksi C dan matriks A + A + A + + A m mmpunyai komponn nol yang sama di luar diagonal utama. 6

dokumen-dokumen yang mirip

II. LANDASAN TEORI. digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf

II. LANDASAN TEORI. digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf II. LANDASAN TEORI 2.1 Konsp Dasar Graf Pada bagian ini akan dibrikan konsp dasar graf dan dimnsi partisi graf yang digunakan sbagai landasan tori pada pnlitian ini. Tori dasar mngnai graf yang akan digunakan