Solusi Persamaan Schrodinger 1-dimensi untuk Potensial Deng Fan MenggunakanKonstruksi Supersimetri

Transkripsi

1 ISSN: X Solusi Prsamaan Shroingr 1-imnsi untuk Potnsial Dng Fan MnggunakanKonstruksi Suprsimtri 1. Wahyulianti, A. Suparmi, C. Cari 1, Program Stui Ilmu Fisika Pasasarjana Univrsitas Sblas Mart, Jl. Ir. Sutami 36A KntinganJbrs, Surakarta Abstrak: Kata Kuni: Pasangan potnsial V ari potnsial Dng Fan ikonstruksi ngan mnggunakan mto Suprsimtri Mkanika Kuantum. Prsamaan nrgi kaaan asar fungsi glombang kaaan asar itntukan ari solusi prsamaan Shroingr 1-imnsi untuk potnsialdng Fan ngan mnggunakan mto Nikiforov- Uvarov. Pasangan potnsial V itntukan ari potnsial fktif, nrgi kaaan asar, suprpotnsial ari potnsial Dng Fan.Suprpotnsial sistm itntukan ari fungsi glombang kaaan asar ngan mnrapkan sifat oprator Suprsymmtry. Prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar ari pasangan potnsial V hasil konstruksi itntukan ngan mto Suprsimtri Mkanika Kuantum. Prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar ari potnsial hasil konstruksi brba ngan prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar ari potnsial asli. pasangan potnsial, mto suprsimtri, nrgi, fungsi glombang. Sminar Nasional Pniikan Biologi Saintk II 415

2 ISSN: X 1. PENDAHULUAN Suprsimtri Mkanika Kuantummrupakan mol tori m SUSY yang paling srhana yang ikmbangkan brasarkan usulan Wittn (Suparmi. 17).Suprsimtri Mkanika Kuantum tlah brkmbang sbagai salah satu mto yang igunakan untuk mmahkan prsamaan Shroingr satu imnsi tanpa mnylsaikan prsamaan ifrnsial or kua sara langsung (Suparmi. 1). Konstruksi pasangan potnsial ilakukan ngan mnrapkan sifatsifat Suprsimtri Mkanika Kuantum, oprator Suprsimtri Mkanika Kuantum, prsamaan fungsi glombang kaaan asar ari potnsi asli (Suparmi. 17 Pnylsaian prsamaan Shroingr untuksatu imnsi apat ilakukan nganmnggunakan prsamaan ifrnsial or ua fungsi hiprgomtri hiprgomtri onflunt (Suparmi, 1). Mtopnylsaian prsamaan Shroingr yang umum igunakan aalah mtonikiforov-uvarov (NU) Suprsimtri Mkanika Kuantum. Mto NU aalah salah satu ara untuk mnylsaikanprsamaan Shroingr ngan potnsial trtntumlalui substitusi variabl paramtr shinggaprsamaan Shroingr truksi mnjai prsamaanifrnsial or ua fungsi hiprgomtri (prsamaantip hiprgomtri) (Suparmi, 1; D. Agboola. 9: Bni. 13). Paa makalah ini isajikan pnylsaianprsamaan Shroingr 1-imnsi untuk sistm yangipngaruhi olh potnsial Dng Fan. Prsamaan nrgi fungsi glombang aripotnsial Dng Fanitntukanngan mnggunakan prsamaanifrnsial fungsi hiprgomtri. Prsamaan ari potnsial Dng Fan yang igunakan aalah V () bd b D (1) 1 1 i mana bd b D. Prsamaan Shröingr 1-imnsi untuk potnsial Dng Faninyatakan sbagai m 1 1 () ()() E () 1.1 Mto Nikiforov-Uvarov Prsamaan ifrnsial tip hiprgomtri, yang islsaikan ngan mnggunakan mto Nikiforov-Uvarov (Suparmi, 17) aalah ()()()() s s s s () s (3) s ()() s s s i mana ()s ()s aalah polinomial or ua, an ()s aalah polinomial or satu. Prsamaan ( 3) islsaikan nganmnggunakan mto pmisahan variabl ()(s) s y(s) (4) Maka prsamaan (3 ) mnjai prsamaan tip hiprgomtri y()() s y s ()() s s s y s (5) (s) aalah turunan logaritma yang mmnuhi syarat bahwa ngan (s),, aalah i mana k (6), k, n( n 1) (7) n n, n,1,,... Solusi ari bagian kua ari fungsi glombang y n (s)ngan mnggunakan hubungan Rorigus aalah n Cn n yn()()() s n s w s (8) w() s s i mana C n aalah konstanta normalisasi, fungsi bobot w(s) mmnuhi konisi w ()() s w s (9) s 416 Sminar Nasional Pniikan Biologi Saintk II

3 ISSN: X Jika alam paramtrik umum, prsamaan tip hiprgomtrik alam prsamaan (3) itulis sbagai (suparmi, 17) ()() s () 1s s ( 1s s) 3 () s (1) s s(1 )(1 s ) s s s 3 3 Dngan mmbaningkan prsamaan (3 ) prsamaan ( 1) maka iprolh prsamaan nrgi fungsi glombang, yaitu n (n 1)( 1) n n( n 1) () s N s 1 s P 1 n1 3 ( 1 1,( 11/) 3 1 1) n 1 ( 13 /) (1 ),( 1 5 ), 3,,, s,,,, 3 (11) (1) (13) 1. Mto Suprsimtri Kuatum Mkanika Kuantum aalah Pasangan Suprsimtri Hamiltonian (Hss) untuk ua oprator muatan ibrikan olh () () H (14) Hss () H () ngan pasangan Hamiltonian H H1 H H V V1 V V V ()() V1 () (15) V ()() V() (16) V ()( ;)( V ;) a E V a E (17) f 1 i mana E aalah nrgi kaaan asar. Dngan mnggunakan oprator suprsimtri, A () () A (18) Maka Hamiltonian suprsimtri mnjai H () H1 A A, () H H AA () A A (19) Pasangan potnsial V ari potnsial Dng Fan apat itntukan ari prsamaan (1 ) (1 7) yang ibrikan sbagai (Anil. 14; U. Laha. 16): V () V1 ln (). METODE PENELITIAN Pnjabaran prsamaan fungsi glombang nrgi untuk potnsial Dng Fan mnggunakan konstruksisuprsimtri ilakukan ngan bbrapa langkah. Langkah prtama yaitu mnntukan prsamaan Shroingr untuk potnsial Dng Fan yang inyatakan paa prsamaan ( ). Slanjutnya mnarisubstitusi variabl paramtr yang ssuai agar prsamaan () brubah mnjai prsamaan ( 1). Dngan mmbaningkan prsamaan (3 ) prsamaan ( 1) maka iprolh prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar untuk n= ngan mnggunakan prsamaan (11) sampai (13). Langkah k ua ilakukan untuk konstruksi suprsimtri ngan mnggunakan prsamaan (17), () srta prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar ari hasil langkah prtama. Kmuian akan iprolh prsamaan (). Langkah ktiga yaitu mnntukan prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar mnggunakan mto Suprsimtri Mkanika Kuantum ngan mnggunakan prsamaan () sbagai potnsialnya. Hubungan antara potnsial fktif ngan V 1 aalah Sminar Nasional Pniikan Biologi Saintk II 417

4 ISSN: X 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1. Pnylsaian potnsial Dng Fan mnggunakan mto NU Prsamaan Shroingr 1-imnsi ngan potnsial Dng Fan: () ()() E m 1 1 Stting 1, m 1, an s, shingga iprolh E () s E () s E (1) s (s) (1) s s(1) s s s 1s ngan mmbaningkan prsamaan (1) (1) iapatkan 1, 1 3 E E E () 1,, 3 Substitusi prsamaan ( ) k (1 3), shingga iprolh 1 1 E 4 E E 7, 8, 1 9, 1 1 E, 4 4, 5, 6, E, 1 E, E, (3) Substitusi prsamaan (3 ) k prsamaan (11) (1) shingga iprolh prsamaan nrgi fungsi glombang kaaan asar, yaitu E () N s 1 s N 1 (4) 3.. Konstruksi pasangan potnsial mnggunakan oprator Suprsimtri Substitusi prsamaan (1 7) ( 4) k prsamaan ( ), maka iapatkan pasangan potnsial V, yaitu V () E (5) 3.3. Pnylsaian pasangan potnsial V mnggunakan mto Suprsimtri Prsamaan Shroingr ngan potnsial yang igunakan aalah pasangan potnsial V. Pnylsaian kasus ini mnggunakan mto Suprsimtri Mkanika kuantum. Bntuk Prsamaan Shroingr 1-imnsi untuk prsamaan (5) aalah 1 1 (6) () 14 E ()() E m Brasarkan prsamaan (6) apat iktahui Potnsial fktif : Vf E 1 1 (7) Sminar Nasional Pniikan Biologi Saintk II

5 ISSN: X Suprpotnsial : A 1 A 1 B B AB 1 A A 1 1 Dngan mnsubstitusi prsamaan (15), (7), (8) k prsamaan (17), iprolh i mana 9 3, A 4 3 B E E E (8) (9) aalah nrgi kaaan asar untuk pasangan potnsial V. Prsamaan fungsi glombang kaaan asar untuk pasangan potnsial V iapatkan ari substitusi prsamaan (18) (8) k prsamaan (19), yaitu B A () N 1 (3) Prsamaan (4), (9), (3) mnunjukkan bahwa aya prbaan nilai nrgi fungsi glombang kaaan asar antara sblum ssuah konstruksi potnsial. 4. SIMPULAN Prsamaan nrgi fungsi glombang untuksistm yang ipngaruhi olh potnsial Dng Fanari prsamaan Shroingr 1- imnsi apat islsaikan mnggunakan mto NU konstruksi suprsimtri. Enrgi fungsi glombang kaaan asar ari prsamaan Shroingr 1-imnsi untuk potnsial Dng Fan hasil konstruksi pasangan potnsial V apat itntukan. Pasangan potnsial V mmpunyai prbaan nrgi fungsi glombang kaaan asar ngan potnsial asli (potnsial Dng Fan). 5. DAFTAR PUSTAKA Suparmi, kk. (1). Analisis Fungsi Glombang Spktrum Enrgi PotnsialRosn Mors Mnggunakan Mto Hiprgomtri. Jurnal Matmatika & Sains, Vol. 17(), A. Suparmi, C. Cari, Bta Nur Pratiwi Dwanta Arya Nugraha. (17).Constrution of solvabl potntial partnr of Gnraliz Hyllraas potntial in onimnsionalshroingr systm.iop Conf. Sris: Journal of Physis: Conf. Sris (1-7). D. Agboola. (9). Th Hulthén potntial in D-imnsions.Phys. Sr..vol (1-6) Anil Kumar. (14). Isosptral Hulth n Potntial.Intrnational Journal of Mathmatial, Computational, Physial, Eltrial an Computr Enginring, vol.8() Bnit Isrom Ita, Alanr Immaanyikwa Ikuba. (13). Solutions of th Dira Equation with Gravitationalplus ponntial Potntial. Appli Mathmatis Shi-Hai Dong. (11). Wav Equations in Highr Dimnsions. (Nw York: Springr), Chaptr 8, (97-18). U. Laha an J. Bhoi. (16). Lat. Am. J. Phys. Eu1. 31 (1-6). Sminar Nasional Pniikan Biologi Saintk II 419