Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi"

Yulia Darmali
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Suaratno Suirham Diferensiasi

2 Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org

3 Pengertian-Pengertian

4 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan garis lurus aalah m Bagaimanakah engan garis lengkung?

5 f P Garis Lengkung Garis lurus engan kemiringan / memotong garis lengkung i ua titik P Jarak keua titik potong semakin kecil jika i perkecil menjai * P P f * * Paa konisi menekati nol, kita peroleh lim 0 lim 0 f f f Ini merupakan fungsi turunan ari f i titik P Ekialen engan kemiringan garis singgung i titik P

6 ,, Paa suatu garis lengkung f, kita apat memperoleh turunanna i berbagai titik paa garis lengkung tersebut f i titik, aalah turunan i titik,, f i titik, aalah turunan i titik,

7 Jika paa suatu titik i mana lim 0 maka ikatakan baha fungsi f apat iiferensiasi i titik tersebut benar aa Jika alam suatu omain suatu fungsi f apat i-iferensiasi i semua alam alam omain tersebut kita katakan baha fungsi f apat i-iferensiasi alam omain. lim 0 kita baca turunan fungsi terhaap Penurunan ini apat ilakukan jika memang merupakan fungsi. Jika tiak, tentulah penurunan itu tiak apat ilakukan.

8 Mononom

9 Contoh: f k 0 f f 0 0 lim 0 0 Contoh: f f lim f 0 5 Fungsi ramp Fungsi tetapan

10 f f lim lim lim Turunan fungsi mononom pangkat berbentuk mononom pangkat kura garis lurus Contoh: f lim lim lim f Turunan fungsi mononom pangkat berbentuk mononom pangkat kura parabola Contoh:

11 Secara umum, turunan fungsi mononom f aalah n m n m n Jika n maka kura fungsi n m berbentuk garis lurus * an turunanna berupa nilai konstan, Jika n >, maka turunan fungsi fungsi, f n m f k akan merupakan Fungsi turunan ini apat iturunkan lagi an kita menapatkan fungsi turunan berikutna, ang mungkin masih apat iturunkan lagi f turunan ari f f turunan ari f * Untuk n berupa bilangan tak bulat akan ibahas kemuian

12 f isebut turunan pertama, f turunan keua, f turunan ke-tiga, st. Contoh: f 6 6 ; ;

13 Kura fungsi mononom f n m ang memiliki beberapa turunan akan berpotongan engan kura fungsi-fungsi turunanna. Contoh: Fungsi an turunan-turunanna

14 Polinom

15 Contoh: f { } { } f lim f f ,5 0-0,5,5 ' Turunan fungsi ini sama engan turunan f karena turunan ari tetapan aalah 0. Secara Umum: Jika F f K maka Fʹ f

16 Contoh: f f 8 f 0 f f

17 Contoh: 5 f { } { } lim f { } { } lim 0 Contoh: Secara Umum: Turunan fungsi polinom, ang merupakan jumlah beberapa mononom, aalah jumlah turunan masing-masing mononom engan sarat setiap mononom ang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

18 Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

19 Jika maka

20 Contoh: Turunan 5 6 aalah 0 Jika ipanang sebagai perkalian ua fungsi Jika u u u u u u u u u u u Contoh: 5 6 Jika ipanang sebagai perkalian tiga fungsi u 6 6 0

21 Fungsi Yang Merupakan Pangkat ari suatu Fungsi

22 6 Contoh: n n n Contoh ini menunjukkan baha Secara Umum:

23 Contoh: Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian ua fungsi an pangkat suatu fungsi

24 Fungsi Rasional

25 Fungsi rasional merupakan rasio ari ua fungsi atau Jai:

26 Contoh: 0 Contoh: engan ; agar penebut tiak nol Contoh:

27 Fungsi Berpangkat Tiak Bulat

28 Bilangan tiak bulat p n engan p an q aalah bilangan bulat an q 0 q q Jika 0, kita apatkan p / q q p p / q q n p / q q q p p p p / q sehingga p / q p q p q q p q p p p p / q p / q aalahfungsi ang bisa iturunkan p q p p p / q Formulasi ini mirip engan keaaan jika n bulat, hana perlu persaratan baha 0 untuk p/q <.

29 Fungsi Parametrik an Kaiah Rantai

30 Apabila kita mempunai persamaan f t an f t maka relasi antara an apat inatakan alam t. Persamaan emikian isebut persamaan parametrik, an t isebut parameter. Jika kita eliminasi tari keua persamaan i atas, kita apatkan persamaan ang berbentuk F Kaiah rantai Jika maka F apat iturunkan terhaap an f t apat iturunkan terhaap t, f t g t F apat iturunkan terhaap t menjai t t

31 Fungsi Implisit

32 Sebagian fungsi implisit apat iubah ke alam bentuk eplisit namun sebagian ang lain tiak. Untuk fungsi ang apat iubah alam bentuk eksplisit, turunan fungsi apat icariengan cara sepertiang suah kitapelajari i atas. Untuk mencari turunan fungsi ang tak apat iubah ke alam bentuk eksplisit perlu cara khusus, ang isebut iferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap baha fungsi apat iiferensiasiterhaap.

33 Contoh: 8 Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis i ruas kiri, maka operasi ang sama harus ilakukan pula i ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan iferensiasi cari turunan i keua ruas, an kita akan peroleh 0 Jika 0 kita peroleh turunan

34 Contoh: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan iferensiasi paa keua ruas, an kita akan memperoleh 0 0 Untuk 0 kita apat memperoleh turunan

35 Turunan Fungsi Trigonometri

36 Jika sin maka sin sin sin sin cos cos sin sin Untuk nilai ang kecil, Δmenuju nol, cos ansin. Oleh karena itu sin cos

37 Jika cos maka cos cos cos cos cos sin sin cos Untuk nilai ang kecil, Δmenuju nol, cos an sin. Oleh karena itu cos sin

38 Turunan fungsi trigonometri ang lain tiak terlalu sulit untuk icari. sec cos cos sin sin cos cos sin tan csc sin sin cos cos sin sin cos cot tan sec cos sin cos sin 0 cos sec cot csc sin cos sin cos 0 sin csc

39 Contoh: Hubungan antara tegangan kapasitor C an arus kapasitor i C aalah i C C t Tegangan paa suatu kapasitor engan kapasitansi C 0-6 fara merupakan fungsi sinus C 00sin00tolt. Arus ang mengalir paa kapasitor ini aalah 6 i C C C 0 t t C 00sin 00t 0,60 cos 00t ampere C ic C i C t [etik] -00

40 Contoh: Arus paa suatu inuctor L,5 henr merupakan fungsi sinus i L 0,cos00t ampere. Hubungan antara tegangan inuktor L an arus inuktor i L aalah i L L L t il L L,5 00 t t 0, cos 00t,5 0, sin 00t sin t L i L L il t[etik] -00

41 Turunan Fungsi Trigonometri Inersi

42 sin sin cos cos cos cos sin sin

43 tan tan cos cos cot cot sin sin

44 sec 0 sin sec cos cos cos sin csc 0 cos csc sin sin sin cos

45 Fungsi Trigonometri ari Suatu Fungsi

46 cos sin sin sin cos cos Jika f, maka sec cos sin cos cos sin tan csc sin cos cot tan sec cos sin 0 cos sec cot csc sin csc

47 sin cos tan cot sec csc Jika f, maka

48 Fungsi Logaritmik an Fungsi Eksponensial

49 Turunan Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik f ln iefinisikan melalui suatu integral 6 5 /t 0 0 / f ln t > 0 t ln t t lnln t / Tentang integral akan ipelajari lebih lanjut luas biang ang ibatasi oleh kura /t an sumbu-t, alamselang antara t an t ln ln ln t t ln Luas biang ini lebih kecil ari luas persegi panjang Δ /. Namun jika Δ makin kecil, luas biang tersebut akan makin menekati Δ /; an jika Δ menekati nol luas tersebut sama engan Δ /.

50 Turunan Fungsi Eksponensial e ln ln e. penurunan secara implisit i keua sisi ln atau Jai turunan ari e aalah e itu seniri e e e e st. Jika e e e e tan e tan tan e tan

51 Diferensial an

52 Turunan fungsi terhaap inatakan engan formulasi lim 0 f Sekarang kita akan melihat an ang iefinisikan seemikian rupa sehingga rasio /, jika 0, sama engan turunan fungsi terhaap. Hal ini muah ilakukan jika aalah peubah bebas an merupakan fungsi ari : F an iefinisikan sebagai berikut:., ang isebut sebagai iferensial, aalah bilangan nata an merupakan peubah bebas lain selain ;., ang isebut sebagai iferensial, aalah fungsi ari an ang inatakan engan F'

53 Penjelasan secara grafis P θ Ini aalah fungsi peubah tak bebas F' P Ini aalah peubah bebas θ Jika berubah, maka berubah seemikian rupa sehingga / sama engan kemiringan garis singgung paa kura tan θ tan θ aalah laju perubahan terhaap perubahan. aalah besar perubahan nilai sepanjang garis singgung i titik P paa kura, jika nilai berubah sebesar

54 Diferensial ianggap bernilai positif jika ia mengarah ke kanan an negatif jika mengarah ke kiri. Diferensial ianggap bernilai positif jika ia mengarah ke atas an negatif jika mengarah ke baah. θ P P θ P θ

55 Dengan pengertian iferensial seperti i atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi an formula iferensial fungsi alam tabel berikut. Dalam tabel ini aalah fungsi. Turunan Fungsi c 0 ; c c c konstan Diferensial c 0 ; c c c konstan n c n n n n n n cn n c n n cn

56 Aa ua cara untuk mencari iferensial suatu fungsi..mencari turunanna lebih ulu kolom kiri tabel, kemuian ikalikan engan.. Menggunakan langsung formula iferensial kolom kanan tabel Contoh: sehingga 6 5 Kita apat pula mencari langsung engan menggunakan formula alam tabel i atas

57 Bahan Ajar Diferensiasi Suaratno Suirham

dokumen-dokumen yang mirip

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Suaratno Suirham Stui Maniri Diferensiasi ii Darpublic BAB 3 Turunan Fungsi-Fungsi (3 (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inersi, Logaritmik, Eksponensial 3.. Turunan Fungsi Trigonometri Jika maka